成比例线段与比例的基本性质

内容
如果
a b
=
c d
,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
a b
=
c d
(1) (2)
b a
a b
= =
dcdc⇔ ⇔acdb==
dbac((ba,,cb,,dc不,d不为为0)0, ab)
=
c d
⇔b
a
dBiblioteka Baidu
=c
(a,b,d不为0);
如果
a b
=
c d
,那么a
b
b
=
cd d
=
c d
或a∶b=c∶d,不能写成
其他形式,也就是说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按
顺序写出
1 成比例线段
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例1 判断下列各组线段是否成比例. (1)a=3 cm,b=5 cm,c=7 cm,d=4 cm; (2)a=3 cm,b=20 m,c=6 cm,d=10 m.
分析 当四条线段的长度单位不相同时,先统一单位,再把它们按从小到 大(或从大到小)的顺序排列,然后依次计算前两个数的比与后两个数的 比,看这两个比值是否相等即可.
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题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
cm.
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
3b 3
(2)设
a=
2
b=
3
c=k(k>0),那么a=2k,b=3k,c=4k,所以
4
a 3b 2c=
2a b
2k 3 3k 2 4k 2 2k 3k
3k 3
= =.
7k 7
方法归纳 通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可 以通过设辅助元来计算比例式的值.
1 成比例线段
000,2
000,∴ac
3
=6
1
=2
,
d = 1 000 = 1 ,∴a =d ,
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
1 成比例线段
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知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
m n
.其中,
线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m 表示成比值k,
AB
n
那么CD=k,或AB=k·CD
(1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一. 详解 (2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且
结果没有单位
链接 比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺
234
2a b
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1 成比例线段
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解析
(1)①由2a=3b,得ba
3
=2
,所以a∶b=3∶2.
②由 a b= 1,得2(a-b)=a,即2a-2b=a,从而a=2b,所以a∶b=2∶1.
a2
③由 a 2b= 5,得3(a+2b)=15b,得3a+6b=15b,从而3a=9b,所以a∶b=3∶1.
1 成比例线段
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知识点一 线段的比及成比例线段
1.(2019福建泉州南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是( ) A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2 5,c= 5,d=5 C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
1 成比例线段
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答案 C 根据比例线段的概念,让最小的线段和最大的线段相乘,另外 两条线段相乘,看它们的积是否相等,即可得出答案. A.4×10=5×8,能成比例; B.2×5=2 5 × 5 ,能成比例; C.1×4≠2×3,不能成比例; D.1×4=2×2,能成比例. 故选C.
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初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
第四章 图形的相似
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1 成比例线段
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知识点一 线段的比及成比例线段
1.线段的比
内容
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这
概念
两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成CADB =
1 成比例线段
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解析
(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,da
3
=4
,b
c
=
5 ,且3 ≠5 ,∴ a ≠b .
7 47 d c
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1
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题型二 与比例线段有关的开放题
例2 已知三条线段的长分别为1 cm, 2 cm,2 cm,请你再添加一条线段, 使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.
分析 因为本题中没有明确告知是求1, 2 ,2的第四比例项,所以所添加 的线段长可能是前三个数的第四比例项,也可能不是,因此应进行分类 讨论.
1 成比例线段
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解析 设所添加的线段的长为x cm.
若x∶1= 2 ∶2,则x= 2 ;若1∶x= 2 ∶2,则x= 2 ;
2
若1∶ 2 =x∶2,则x= 2 ;若1∶ 2 =2∶x,则x=2 2 .
综上所述,所添加的线段的长有三种可能,可以是 2 cm, 2 cm或2 2 cm.
2
规律总结 本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时, 要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例, 则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰 好等于另外两个数的乘积.
(b,d不为0)
如果 a
b
=
c d
=
e f
=…=mn
(b+d+f+…+n≠0),那么ab
ce df
m n
=
a b
1 成比例线段
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;② a b = 1 ;③ a 2b = 5 .
a 2 3b 3
(2)已知 a = b = c ,且a,b,c都是正数,求 a 3b 2c 的值.
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2.成比例线段
定义 其他概念
要求
四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 a= c ,
bd
那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段
在
a
b=
c d
中,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.若ab
=
b c
,则b叫做
a,c的比例中项
四条线段a,b,c,d成比例,只能记作ab