成比例线段与比例的基本性质
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
九年级上册数学 4.1线段的比和比例的基本性质
（2）已知线段a、b、c满足关式
a b
b c
，
且b＝5，那么ac＝__2_5___．
如果线段a、b、c满足关式
ab bc
，
那么b是a、c的比例中项，且b2=ac.
• 2、反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d
四个数成比例，即 a c 吗 ？
bd
由ad=bc,得出
ac bd
是有条件的,
1、如果a,b,c,d四个数成比例，即 a c ， bd
那么ad=bc吗？
由等式的基本性质：
在 a c 两边同乘以bd，得ad＝bc.
bd
两外项之积＝两内项之积。 交叉相乘积相等
(1)a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 ， b = 2 ，c = 9 ，则d 的长____6_____.
即a,b,c,d都不等于0
解： a, b, c, d都不等于0，
两边同时除以bd得：
ad bc bd bd
整理得：a c bd
两边同时除以dc得到
的比例式是什么？a b cd
d c或d b ba ca 或b d或b a
ac dc 或c d或c a
ab db
1.如果2x=5y，那么
n
CD
五边形 ABCDE与五边 形A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段 A’B’的比是多少？
◎这个比值刻画了两个五边形大小关系
注： 1、线段的比要统一单位长度。 2、线段的比是一个正数，无单位
已知线段a=30cm，b=60cm，c=0. 15m ，d=30cm. (1)求线段a与线段b的比； (2)求线段c与线段d的比；
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
比例的基本性质、平行线分线段成比例
精心整理数学辅导11： 比例的基本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.（1d 都不为（2（3（4（5.（1，则yx（2 已知572c b a ==，则a cb a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db ca 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习12. ∶c =d 3. 4 A 5 A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）A10.11.12.m ，1314151617．18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457ac c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12： 平行线分线段成比例一、知识点：如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF DE BC AB =； 如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDEBC AB =.。
成比例线段与比例的基本性质
成比例线段
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的, 即 ac
bd
那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比 例线段.
上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段， AB,AD,EH,EF也是成比例线段。
跟踪练习
1、判断下列四条线段 a,b,c,d 是否成比例
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 a = c bd
例题
如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD= 1m ,按着图中所示的方式
将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
a 绸布的宽与长的比相同，即 AE AD ，那么 的值应当是多少？ AD AB
解：根据题意可知，A Ba,m A E1a,m A D 1m 3
如果把 m 表示成比值k,那么 AB k，或AB=k·CD
n
CD
两条线段的比实际上就是两个数的比.
五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′形状相同 AB=5cm,A'B'=3cm,AB:A'B'=5:3, 5 就是线段AB与线段A'B的比。
3
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
想一想
两条线段长度的比与所采用的长度单位有 没有关系？
对于形状相同而大小不同的两个图形， 我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系
线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的
长度分别是m、n，那么说这两条线段的比就是它们长
度的比，即 AB:CD=m:n或写成 AB m CD n
其中，线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项、后项.
没有关系
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
成比例线段与比例的基本性质
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
即时训练1
已知如图：在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC的 延长线于D，E.且AB=15,AC=9,BD=4,求AE
几何语言：
在△ABC中，
∵DE∥BC ∴ AD AE DE
AB AC BC
三边对应成比例！简记： 上 上 上底
全 全 下底
即时练习2
已知AB,CD为梯形ABCD的两底，对角线AC,BD的 交点为O ,且CD=4，AB=12，求OB,OD.
即时练习3
如图△ABC中， DE∥BC，中线AM交DE于N. 求证：DN=EN
再连接CF )
解题视频
【拓展教材】
例题2.如图， D E∥BC,分别交AB,AC于点D、E. 求证： AD AE DE
AB AC BC
证明：过点D做DF∥AC交BC于F
∵DE∥BC，DF∥AC
∴ AD
，
AB
∵DE=
，
∴ AD AE DE AB AC BC
AD
=
AB
过某点做平行线是最 常用的辅助线哦！
定理2：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的 直线，所截得的三角形三边与原三角形的三边对应 成比例。
A
C
D
EFΒιβλιοθήκη 2 .已知如图， L1∥L2 ∥L3，AB=3，DE=2，DF=10，
则BC= .
【解读教材】
3.请观察下列图形， L1∥L2 ∥L3， L4与L5是它们的 截线，你能写出哪些成比例线段？
23.1成比例线段(2)比例的基本性质
即ac-ad=ac-bc 课本P50 例题
【证明】 a c b d ad bc ad bc
ac ad ac bc a(c d ) c(a b)
比例的基本性质 两边同乘以-1 两边同加ac
a c a b, 且 , c d b d a c a b c d
a c 如果 ，那么 ad bc a c b d 如果 ad bc ，那么 b d
也可表示为
a c b d
比例式
ad bc
等积式 两内项之积等于两外项之积
文字叙述
比例式的几种形式
a b (1) c d
交换比例的内项
a c b d
d c （2） b a
交换比例的外项
2a b
5
例4 x y z 0 如果
x yz 9 那么 _______ x yz
2
3
4
课堂小结
1、比例的基本性质：
a c b d
ad bc
两内项之积等于两外项之积
2、比例式的四种形式： （1）交换内项；（2）交换外项； （3）交换前后项； （4）自身。 3、比例中项的概念： 如果
例1
a c 已知 , b d
ab cd 求证： (1) b d
a c 1 1, 只须得到 b d
分析：要得到 a b c d , b d
这与已知 有何关系？
a c 【证明】 b d a c 1 1 b d
所以，只要在已知比例式两边同加上1即可。
ab cd b d
b d (3) a c
交换比例的前后项
尝试练习
a c 8 1、在比例式 中，已知a=4,c=3,d=6,则b=_____ b d
24.1比例线段及比例的基本性质
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比因为例a的：内b=c项：d乘，积即等于ab =外dc项， 乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AC BC =
DF EF
，
成比例线段(1)
课堂反思和小结ຫໍສະໝຸດ 这节课你有什么收获和体会？
作业： 1、抄写和背诵：各三遍。 2、基训一课时。 3、预习下一课。
∵a是线段，∴a=6
2、比例的基本性质 ：
在比例中，两个外项的积
等于两个内项的积。用式子 a c （ 表示就是：如果 b d b,d都不为0），那么ad=bc.
a c b d
反之，如果ad=bc则
课堂练习 1、在比例尺为1：6 000 000的地图上 ，量得北京到南京的直线距离为15厘 米，求北京到南京的实际直线距离。 2、把xy=mn改写成比例式后是 X:m=n:y x:n=m:y y:m=n:x y:n=m:x ______________________________。 4 x 3、已知：3x=4y,则： y _________ 3
x y
达标测试 ：
A组： 1、若7m=5n，则m：n=_______ 5：7 2、在比例尺为1：500的地图上，一个菱形花坛的边 长是0.2厘米，那么这个花坛的实际周长是 ___________厘米。 100 3、若线段a=4,b=9，线段x是a和b的比例中项，则x= （B ） A、36 B、6 C、-6 D、±6 B组： 在比例尺为1：8000的某学校地图上，矩形运动场的 图上尺寸为长2厘米，宽1厘米，这个运动场的实际 面积是多少平方米？
尝试练习：
（1）已知a=1cm,b=6cm,c=2cm,d=3cm,
请问这四条线段成比例吗？ a:c=d:b=1:2 （2）已知a,b,m,n是成比例线段，其中 8 a=4cm,b=6cm,n=9cm，则m=________ 。 （3）已知线段b=2,c=18，线段b和c的 比例中项为线段a，求线段a的长度。 a2=bc a2=2x18=36 a=±6
《成比例线段 成比例线段与比例的基本性质》 教案
《成比例线段成比例线段与比例的基本性质》教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。
2. 学生能够运用成比例线段的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养直观表达能力和逻辑思维能力。
2. 学生能够运用比例尺的知识，解决实际生活中的问题。
情感态度与价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，体验数学在生活中的应用。
2. 学生培养合作意识，学会与他人交流、分享。
二、教学重点与难点：重点：1. 成比例线段的概念及判定方法。
2. 成比例线段的性质及应用。
难点：1. 成比例线段的判定方法。
2. 成比例线段在实际问题中的应用。
三、教学方法与手段：教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究成比例线段的概念和性质。
2. 运用合作学习法，培养学生与他人交流、分享的习惯。
3. 采用案例分析法，让学生体验成比例线段在实际问题中的应用。
教学手段：1. 使用多媒体课件，帮助学生直观理解成比例线段的概念和性质。
2. 提供实物模型，让学生动手操作，加深对成比例线段的理解。
四、教学过程：1. 导入新课：利用多媒体课件展示成比例线段的图片，引导学生观察、思考，引出成比例线段的概念。
2. 探究成比例线段的判定方法：学生分组讨论，每组探究成比例线段的判定方法，教师巡回指导，总结判定方法。
3. 学习成比例线段的性质：学生通过观察、操作、交流等活动，总结成比例线段的性质，教师点评、总结。
4. 应用成比例线段解决问题：提供实际问题，让学生运用成比例线段的性质解决问题，教师点评、指导。
5. 课堂小结：学生总结本节课所学内容，教师点评、补充。
五、课后作业：1. 完成教材课后练习题。
2. 搜集生活中的成比例线段例子，下节课分享。
3. 思考如何运用成比例线段解决实际问题，下节课讨论。
六、教学评估1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，了解学生的学习状态和理解程度。
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000,2
000,∴ac
3
=6
1
=2
,
d = 1 000 = 1 ,∴a =d ,
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
1 成比例线段
栏目索引
知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
(b,d不为0)
如果 a
b
=
c d
=
e f
=…=mn
(b+d+f+…+n≠0),那么ab
ce df
m n
=
a b
1 成比例线段
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;② a b = 1 ;③ a 2b = 5 .
a 2 3b 3
(2)已知 a = b = c ,且a,b,c都是正数,求 a 3b 2c 的值.
1 成比例线段
栏目索引
解析
(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,da
3
=4
,b
c
=
5 ,且3 ≠5 ,∴ a ≠b .
7 47 d c
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1
栏目索引
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
第四章 图形的相似
栏目索引
1 成比例线段
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知识点一 线段的比及成比例线段
1.线段的比
内容
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这
概念
两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成CADB =
234
2a b
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解析
(1)①由2a=3b,得ba
3
=2
,所以a∶b=3∶2.
②由 a b= 1,得2(a-b)=a,即2a-2b=a,从而a=2b,所以a∶b=2∶1.
a2
③由 a 2b= 5,得3(a+2b)=15b,得3a+6b=15b,从而3a=9b,所以a∶b=3∶1.
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知识点一 线段的比及成比例线段
1.(2019福建泉州南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是( ) A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2 5,c= 5,d=5 C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
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答案 C 根据比例线段的概念,让最小的线段和最大的线段相乘,另外 两条线段相乘,看它们的积是否相等,即可得出答案. A.4×10=5×8,能成比例; B.2×5=2 5 × 5 ,能成比例; C.1×4≠2×3,不能成比例; D.1×4=2×2,能成比例. 故选C.
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题型二 与比例线段有关的开放题
例2 已知三条线段的长分别为1 cm, 2 cm,2 cm,请你再添加一条线段, 使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.
分析 因为本题中没有明确告知是求1, 2 ,2的第四比例项,所以所添加 的线段长可能是前三个数的第四比例项,也可能不是,因此应进行分类 讨论.
3b 3
(2)设
a=
2
b=
3
c=k(k>0),那么a=2k,b=3k,c=4k,所以
4
a 3b 2c=
2a b
2k 3 3k 2 4k 2 2k 3k
3k 3
= =.
7k 7
方法归纳 通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可 以通过设辅助元来计算比例式的值.
1 成比例线段
内容
如果
a b
=
c d
,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
a b
=
c d
(1) (2)
b a
a b
= =
dcdc⇔ ⇔acdb==
dbac((ba,,cb,,dc不,d不为为0)0, ab)
=
c d
⇔b
a
d
=c
(a,b,d不为0);
如果
a b
=
c d
,那么a
b
b
=
cd d
m n
.其中,
线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m 表示成比值k,
AB
n
那么CD=k,或AB=k·CD
(1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一. 详解 (2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且
结果没有单位
链接 比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺
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2.成比例线段
定义 其他概念
要求
四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 a= c ,
bd
那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段
在
a
b=
c d
中,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.若ab
=
b c
,则b叫做
a,c的比例中项
四条线段a,b,c,d成比例,只能记作ab
=
c d
或a∶b=c∶d,不能写成
其他形式,也就是说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按
顺序写出
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例1 判断下列各组线段是否成比例. (1)a=3 cm,b=5 cm,c=7 cm,d=4 cm; (2)a=3 cm,b=20 m,c=6 cm,d=10 m.
分析 当四条线段的长度单位不相同时,先统一单位,再把它们按从小到 大(或从大到小)的顺序排列,然后依次计算前两个数的比与后两个数的 比,看这两个比值是否相等即可.
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题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
cm.
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
Hale Waihona Puke 1 成比例线段栏目索引
解析 设所添加的线段的长为x cm.
若x∶1= 2 ∶2,则x= 2 ;若1∶x= 2 ∶2,则x= 2 ;
2
若1∶ 2 =x∶2,则x= 2 ;若1∶ 2 =2∶x,则x=2 2 .
综上所述,所添加的线段的长有三种可能,可以是 2 cm, 2 cm或2 2 cm.
2
规律总结 本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时, 要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例, 则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰 好等于另外两个数的乘积.