含参数的二次函数最值问题

含参数的二次函数
最值问题
课前热身
已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
1 5 , ]，求函数f(x)的最值； （3）若x∈[ 2 2
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的 最值或值域的一般方法是：
看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的 变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对 称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向 及端点情况。
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2] 时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称
轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,即
y y y
-1
O
1
x
-1
O 1
x
-1
O
1
x
综上所述：
y y y
-1
O
1
x
-1
O
1
x
-1
O 1
x
当 a 2 时 当-2<a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
f min
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
a a f 3 4 2
2
评注：探究2属于“轴动区间定”的问题，
10
15
4
6
4
（3）当k ≥1时
x=1 k k+2
5
2
f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
综上所述：
6 4 2
6
6
6
4
4
4
x=1
x=1 k+2
5
2
x=1
2
2
k
10
k+2
5
k
10
10
k+2
10
5
x=1
15
15
kBiblioteka Baidu
2
5
15
5
15
5
k
10
k+2
①当f(k)>f(k+2)时，
10
15
8 2
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
6
4
4
6
②当f(k) ≤f(k+2)时，
x=1
2
8
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
k k+2
5
10
2
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10
f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3
10
当k ≥1
时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
评注：探究1属于“轴定区间动”的问题，
看作动区间沿 x 轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
b （1）讨论对称轴x= 与区间 [ a，b]的相对位置； 2a b （2）当对称轴在区间[a，b]内时，f(a)、f(b)、f( ） 2a 中的较大者是最大值,较小者是最小值； b （3）当区间[a,b]在对称轴x= 一侧时，f(a)、f(b) 2a 中的较者是最大值，较小者是最小值.
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
4
解：（1）当k+2≤1即k ≤-1时
2
x=1 k+2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
k
2
f(x)min=f(k+2) =（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
6
8
10
4
x=1
2
（2）当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4
要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位置,则
从以下几个方面解决如图:
y=x
2∙x
3
y = x2 y=x
2
2∙x 2∙x
8
3 3
10
10
8
8
8
6
6
6
6
4
4
4
x=1
2
4
x=1 k+2
2
x=1
2
2
k
5
10
k+2
5
k
10
10
k+2
15
5
x=1 k
10 15
k
15
5
15
5
10 5
k+2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
b （1）判断x0= 是否属于 [ m，n]； 2a
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值； （3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.
探究1：若x∈[-1,1]，求函数y =x2+ax+3的 最小值：
课堂小结
含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
5
k
10
k+2
2
5
2
2
4
4
4
4
当k ≤-1时
8
6
6
6
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
8
f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3
8
8
6
当-1<k <0时 当0≤ k<1时
10
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
10
f(x)min=f(1)=- 4 f(x)min=f(1)=- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3