二次函数专题之参数范围问题

二次函数专题之参数范围问题
1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2
1
x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物
线的对称轴对称。

（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。

2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根.
（2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=a x 2+x 1,求这个函数的表达式.
（3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?
3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.
（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；
（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围.
4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.
（1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.
5、已知二次函数y=x2+2bx+c（b,c为常数）
（1）当b=1,c= -3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；
（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；
（3）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
6、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=m x 2-2mx-3（m ≠0）与x 轴交于A （3,0），B 两点.
（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标.
（2）当-2＜x ＜3时的函数图像记为G ，求此时函数y 的取值范围.
（3）在（2）的条件下，将图像G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图像G 的其余部分保持不变，得到一个新图像M .若经点C(4,2)的直线y=kx+b （k ≠0）与图像M 在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b 的取值范围.
7、 在平面直角坐标系中，我们定义点P(a ，b )的“变换点”为Q. 且规定：
当a ≥b 时，Q 为(b ，a -)；当a ＜b 时，Q 为(a ，b -)． （1）点(2，1)的变换点坐标为 ； （2）若点A(a ，2-)的变换点在函数1
y x
=
的图象上，求a 的值； （3）已知直线l 与坐标轴交于(6，0)，(0，3)两点．将直线l 上所有点的变换点
组成一个新的图形记作M ． 判断抛物线c x y +=2与图形M 的交点个数，以及相应的c 的取值范围，请直接写出结论．
8、已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
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8、【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．……4分
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，
∵h=﹣，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，……6分
∵顶点A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah，
抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2，
∴t=﹣a，……8分
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，
∴h=，……10分
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，……12分综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．……13分
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10 10、
11、解：(1)抛物线C 的顶点坐标为)1,(-h ，┄┄┄┄┄2分
当h x =时，112-=--=kh kh y ，┄┄┄┄4分
所以直线l 恒过抛物线C 的顶点；
(2)当1-=a 时，抛物线C 解析式为1)(21---=h x y ，
不妨令33-=x y ，
如图1，抛物线C 的顶点在直线1-=y 上移动，
当m ≤x ≤2时，y 1≥x －3恒成立，
则可知抛物线C 的为顶点)1,2(-，┄┄┄┄┄7分
设抛物线C 与直线33-=x y 除顶点外的另一交点为M ，
此时点M 的横坐标即为m 的最小值，
由⎩⎨⎧-=---=，，31)2(2x y x y 解得：11=x ，22=x ，┄┄┄8分
所以m 的最小值为1．┄┄┄┄┄9分
(3)法一：如图2，由(1)可知：抛物线C 与直线l 都过点A )1,(-h ，
当20≤<a ，0>k 时，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数
的点，
即当2+=h x 时，12y y >恒成立┄┄┄┄11分
所以1)2(1)2(2--+>--+h h a kh h k ，整理得：a k 2>，┄┄13分
又因为20≤<a ，
所以420≤<a ，所以4>k ．┄┄┄┄┄14分
法二：由⎩⎨⎧--=--=，
，11)(2kh kx y h x a y 解得：h x =1，a k h x +=2，┄┄┄11分 如图2，A ，B 为抛物线C 与直线l 的交点，过点B 作⊥BC 直线1-=y 于点C ，
所以AC =a
k h a k h x x =-+=-12， 当20≤<a ，0>k 时，
欲使得在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点， 只要2>a
k 即可，所以a k 2>，┄┄┄┄┄13分 又因为20≤<a ，
所以420≤<a ，所以4>k ．┄┄┄┄14分
12、解：（1）依题意，可设1L 的“友好抛物线”的表达式为：2y x bx =-+，…1分 ∵1L ：222(1)1y x x x =-=--，
∴1L 的顶点为（1，－1）. ……………2分
∵2y x bx =-+过点（1，－1），∴211b -=-+，即b =0. …………3分
∴1L 的“友好抛物线”为：2
y x =-. ……………4分 （2） ∵2L ：2
y mx nx =+的顶点为2
(,)24n n m m
--， 1L ：2y ax bx =+的顶点为2
(,)24b b a a --. ………5分 ∵ 2L 为1L 的“友好抛物线”，
∴ m =－a . ………6分
∵2L 过1L 的顶点，
∴22()()422b b b m n a a a
-=⨯-+⨯-. 化简得 bn =0. ……………7分 把x ＝m
n 2-代入2y ax bx =+，得 y =2()()22n n a b m m
⨯-+⨯-=22
424n bn n m m m --=-. ∴抛物线1L 经过2L 的顶点. ……………8分 又∵1L 与2L 的开口大小相同，方向相反，
∴抛物线1L 也是2L 的“友好抛物线”. ……………9分
（3）依题意，得 m =－a .
∴2L ：2
y ax nx =-+的顶点为2
(,)24n n a a
. ……………10分 ∴2
24n a =，即2108a n =>. ……………11分 当2L 经过点P （1,0）时，
0a n -+=，∴a =8. ……………12分 当2L 经过点Q （3,0）时，
930a n -+=，∴89
a =
. ……………13分 ∴抛物线2L 与线段PQ 没有公共点时，809a <<或8a >. ……14分。