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含参数的二次函数求值域问题专题
有时参数在区间上， 有时参数在解析式上， 构成了有时轴动区间定，
而有时轴定区间动
1 函数f(x)=x 2
-2x2的定义域为
Li, mJ 值域为41…由实数m 的取值范围是
H, 31
2
已知函数f(x)=x 2 -2x+3在区间d, rnJk 有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是 匕2】
2 2
3 已知f (x) = -4x
+ 4ax 4a -a 在区间［0,
1］内有最大值一5,求a 的值・
3 a
解：•・• f(x)的对称轴为X0二厂①当0 <- <1,即o <a <2H^t[f (x)]max
② 当 a < 0时[f ( x)] max= f (0) = —4a — 8 2
= -5,= a = —5;
③ 当 a >2时[f ( x)lmax= f ⑴=-4 殳2 = -5八 a = ±1 不合； 综上，a =—或a.= —5・
2
4已知定义在区间 ［0,3］上的函数f(x)= kx-
解析:V f(x)= k(x- %— k, (1) 当k>0时，二次函数图象开口向上，当 ?k= 1；
(2) 当k<0时，二次函数图象开口向下，当 —3.
(3) 当k= 0时，显然不成立. 故k 的取值集合为{1, — 3}・ 答案：{1, - 3}
o
=—x -ax b 有最小值一1,最大值1 •求使函数取
得最大值和最小值吋相应的
x 的值・
a
解：a>0, /. f(X )对称轴 X = —— V 0 J. [ f ( X )] min = f ( X )= —1 二 3 = b ；
a
2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为 ___________ ・
2 x= 3时，f(x)有最大值，f(3) = k - 3-2kx3= 3k= 3
x= 1 时，f(x)有最大值，f(1)= k- 2k=- k= 3?k= 5.
已知 a>0,当 x e 函数 f (x)
\T2 /(\ XI -
①当一2 兰一1 即竝2时,[f(X)]max = f (4) =1= a =1,不合;
a j
②当一1 < 一一<0,即0 < a < 2时,[f ( x)] max = f ( ——) =1 = a = -2 + 2?,
2 2
•I x ==1 一 \ 2 .
2
综上,当X=[时5[f (X)]min =-1；当*1-血时,[f (X)]max =〔・
2 2
・已知函数f(x)= 4x— 4ax+ a— 2a+ 2在区间［0,2］上有最小值3,求a的值.
i —
\lz
(2)当a
l\l/a z/f\
XI
/(\ z/(\
XI XI
U ] \)/ \)/ min
\1/
4—
v T v
〉厂
，①当。

玄严严
u —
-
a2
a
解：J f(x)= 4( x —)-2a+ 2,对称轴为 x=2-
a
①当多，即aso 时,函数f(x)在[0,2]上是增函数,
2
f ( x) min = f (0)=
a — 2a+2. 由a — 2a+ 2= 3,得a=1眾・ •・• a< 0, ?. a=申
a
a
②当 0V$ 2、即 0<a< 4时，f ( X )min =
£()= — 2a + 2・ 计
由一2a + 2= 3,得 a=- ?(0,4),舍去.
2
3 - 7设二次函数f(x)= ax+ 2ax+1在[-3,2]±有最大值4,则实数a 的值为 ____________________ ・或一
O
分析：函数的对称轴X= - 1
当 a>OI3 j 5 f (X )max = f (2) =8a+1=4,解得 a=8
当 av0时,f ( x)max = f (- 1) =-a+1 =4,解得 a=-3
=2 一 + +
8 已知二次函数f (x) ax 2xab 的定义域为[0, 3],而值域为[1, 5],求a> b 的值.
a
③ 当卒，即a¥时,函数f(x)在 由爲一 10a+18= 3,得 a=5±
2
f ( X )min =
f ⑵二 a — 10a+ 18.
a>4,・•・ a= 5+
0.
上是减函数,
综上所述，a= 1
a=
解：对称轴xo =a
a v 1 时，ymin = f [ ) = 2 2a ；
2
1 三 3 乞 3时，ymin = f a )=1-3; a > 3时,y min = f § ) = 10 6a
解：(1)当 a<2 时，fx( hx = f$ )「0 6a ；
⑵当 a *时，fx （烏） = 22a 。

・本题若修改为求函数的最值, 讨论又该怎样进行? 10 解：（1）
(2) (3) (4)
ad 吋，fx(
柱a <2时,
2<a <3吋,
)=106久 f X (扁=f [ )=2 2a ；
2
f*
)=10 6a, f X ( bn = f @ )=1 a
2
吃 kax =
H ) = 2 2a, f x (也=f 0 )=1 a ；
处 3时，Lx =
M ) = 2 2a, f x ( )=10Ga 。

、求函数y = x 2
—4x$在区间t 』1上的眾小值。

解：对称轴xo =2
(1)当 2<tl 卩 t>2时，yen =f1( ) = t 2
-4t 3；
(2) 当 t <2<t +1 即厲 <20t ，ymin = f ? )=^1；
(3) 当 2 >t +1 即 tc 时，y“n=ft(1+ ) = t 2
—2t
改: 1. 本题若修改为求函数的最大值，过程又如何?
(3)
I X \Z [ -^-XZ a
解：f* ）=X2+|x—a|* =< 2 5一’这个函数是一个分段函数’由于上下两段上
x -x 1 +x <a
的对称轴分别为直线x=—1 , x=1 ,当，-1 <a<1 , a> 1时原函数的图象分别
2 2 2 2 2 2
如下（1） , （2） , （3）
1 1 ；＞
（2）当畝 总=3 ） = a +1；
(1)当农一「时，f (Xh
f-1 亠;
I 2J 4。