小学生找出“较复杂图形中线段”的解题策略研究

小学生找出“较复杂图形中线段”的解题策略研究

-------学生问题解决的案例分析报告

杭州市上城区教师进修学校朱乐平

一、问题的提出

许多数学教师都有这样的经验：解决一个数学问题学生常常有自己的解题策略，对同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性。但当学生去解决某一个数学问题时，他们到底会运用怎么样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。为此，笔者给出一个几何问题，让小学四、五、六年级的学生找出“较复杂图形中的线段”，试图从学生的解题中，发现学生的解题策略，并分析学生解题策略的心理特征。

二、测试的问题、对象和过程

1、测试的问题。

观察下面的图形，图中一共有多少条线段？请把图形中的线段都写出来。（请尽可能详细的写出过程）

如果你认为解题已经完成，请选择：

✍你认为这个题目：✍很有趣；✍比较有趣；✍没有趣。

✍你认为这个题目：✍很难；✍比较难；✍不难。

2、测试的对象。

按照现行的小学数学教材，本地区四年级及以上的学生已经学过了线段的概念，知道了线段的表示方法。因此，测试的对象选择了小学四、

五、六年级的学生各一个班。年龄分别是11，12，13岁。人数分别为50、

49、51人。

3、测试和访谈过程。

2001年5月17日上午，在学生不知情的情况下，由班主任协助组织进行测试。在试测前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答，并自我记录做题时间。如果学生自己认为解题已经完成，就把测试卷交给老师，学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这一几何问题的水平。测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，选择了部分学生一一进行访谈。测试与访谈在同一个上午完成。

三、测试结果

1、四、五年级有半数以上的学生能正确解答这个几何问题，六年级学生解答这个题目的正确率超过80％。

对学生的解题试卷进行批改和统计后，我们发现：四、五、六年级学生解答这个几何题的正确率分别是52％、54％和％。有一部分学生不能正确的数出图中的线段数，四、五、六年级的学生在数线段时有遗漏（少数线段）的学生比例分别是18％，18％和％。数出的线段有重复（多数线段）的人数比例四、五、六年级学生分别是30％、28％和％。重复数线段的学生数明显地比少数线段的学生数要多。

2、四、五、六年级学生的解题策略已呈现出多样性，学生认知图形存在着结构性心理特征。

通过对四、五、六年级学生的测试卷分析，我们发现学生的解题策略是多样的，学生在解决上述的测试题时，主要有以下几种策略：

策略一：“顺序”型。按字母顺序数出所有线段。即先数出以A点作为一个端点的所有线段，再分别数出以B、C、D点作为一个端点的所有线段，除去重复的线段。

A点：AB, AO, AC, AD；共四条线段。

A B

C

D B 点：BC, BO, BD ；共三条线段。

C 点：CO, C

D ；共两条线段。

D 点：DO 一条线段。

一共有4+3+2+1=10条线段。下面是一个四年级学生的解答：

这种答案是按照 的“顺序”得出的，在被测试的学生中采用这种策略的学生四年级有32％，五年级有24％，六年级有50％。

策略二：“由外到内”型 。先找四边形外围线段，再找内部线段。即分别写出：AB ，BC ，CD ，DA ；

AC ，BD ；

AO ，BO ，CO ，DO 。

下面是一个五年级学生的解答：

在被测试的学生中，采用这种策略的五年级学生有16％，六年级学生有23％，而四年级采用这种策略的学生只有4％。

策略三：“由内向外”型。这类学生的解题思路正好与上面策略二的解题思路相反。即先数出图形中内部的线段，再数外部的线段。在被测试的学生中，采用这种策略的四、五、六年级学生分别有12％，6％和4％。

策略四：“对称”型。按照图形中各线段的某种“对称”位置找出所有线段。找出线段的顺序可以是：

AC ，BD 。

AB ，DC ，AD ，BC ；

AO ，OC ，BO ，OD ；

下面是一个五年级学生的解答：

在被测试的学生中，采用这种策略的四、五、六年级学生分别是： 6％，8％和10％。

策略五：“三角”型。把要数线段的这个图形分解为几个三角形，然后数出每一个三角形的线段数，再去掉重复的线段，就得到要数的线段数。下面是几个六年级学生的解答：

采用这种“三角”型法的四年级学生只有1人采用这种策略，占做对人数的％，五年级没有学生采用这一策略，六年级学生有5人采用这一策略，占做对人数的％。

这是一个学生用“三角”型法找出线段的解题过程，尽管结果正确，但思考的过程有错误。

上下两个学生的解答过程都说有14条重复线

段，但他们数的三角形的个数是不一样的，笔者尚不清

楚他们是怎样得到“重复线段是14条”这个结论的。

除了上述策略外，还有一些学生是运用了上面两种策略的组合，下面是一个六年级的学生运用“对称”和“顺序”的策略解决问题的过程：从以上的几种解题策略中，我们可以看到，小学生在观察和分析复合

图形时，认知结构上具有“顺序”、“对称”、“封闭”及其组合的某种认知特征。

3、四、五、六年级学生数线段时已有一定程度的规律性。

能正确找出图中10条线段的学生中，四、五、六年级分别有68%、75％和％的学生解答有规律，26%、18％和7％的学生解答有部分规律，仅仅6%、5％和％的学生，笔者没有发现明显规律。学生呈现答案的规律性与结论的正确性有着十分密切的关系。一般来说，答案呈现的规律性越强，答案的正确性就越高。具有“顺序”、“对称”、“封闭”及其组合的认知特征，对学习效果起着积极的作用。

4、题目的有趣性、难度和答题的正确率之间有着比较密切的关系；

对小学四、五和六年级的学生来说，他们对这个几何题有趣程度、难

度的认定以及客观上他们对这个题目解答的正确程度存在着一个有趣的关

系。

表一：各年级学生对题目有趣程度认定的比例

很有趣比较有趣没有趣

项目

年级

四年级64％36％0％

五年级51％％％

六年级15％60％25％