(江苏专用)202x版高考数学大一轮复习 第二章 4 第四节 函数的图象
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第四节 函数的图象
教 材
1.利用描点法作图
研 2.利用图象变换作图 读
考 考点一 作函数的图象 点 突 考点二 函数图象的应用 破
教材研读
1.利用描点法作图
利用描点法作图的步骤如下: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等; (4)描点,连线,画出函数的图象.
y=f(x) y= |f(x)| .
知识拓展 与函数图象的对称变换有关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象; (2)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象; (3)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
间[0,1)上,
f(x)=
x
2
,其x 中D 集, 合D=
x,x D ,
0的解的个数是
.
,则方x程xf(nxn)-1lg,nx=N*
(2)(2017江苏泰州中学高三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x))+
ln x在(0,1)上不同的零点个数为
.
答案 (1)8 (2)3
解析 (1)由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况.在此范围内,x∈Q
i 1
规律总结
若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则该函数的图象关于点
a
对2 b称, 2c;若
函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数的图象关于直线x= a 对b 称,反之也
2
成立.
角度二 确定方程实根的个数
典例3 (1)(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区
(3)y=
x2 x2
的2图x象1(如x 图0)③, .
2x 1(x 0)
(4)y= x =2 1+ ,3先作出y= 的3 图象,将其图象向右平移1个单位,向上
x1 x1
x
平移1个单位,即得y= x 的2 图象,如图④.
x1
方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数的解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象.
2.利用图象变换作图
(1)平移变换
(2)伸缩变换
y=f(x)
y=⑤ f(ωx) ; y=f(x) y=⑥ Af(x) . (3)对称变换 y=f(x) y=⑦ -f(x) ;
y=f(x) y=⑧ f(-x) ; y=f(x) y=⑨ -f(-x) . (4)翻折变换
y=f(x) y=⑩ f(|x|) ;
.(只填序号)
答案 ④
解析 当x≥1时, f(x)=e|ln x|=eln x=x,当0<x<1时, f(x)=e|ln =e x| -ln x= 1 ,函数y=f(x+
x
1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到,故④正确.
5.(2017南京三中高三月考)若关于x的方程|x2-1|=a有三个不等的实数解,
(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出. 易错警示 (1)画函数图象时一定要注意定义域. (2)利用图象变换法作图时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的 基本函数的要先变形.
则实数a的值是
.
答案 1Biblioteka Baidu
解析 问题转化为函数y=|x2-1|的图象与直线y=a有三个不同的交点,画 出y=|x2-1|的图象(图略),结合图象可知a=1.
6.(2017江苏无锡一中高三月考)函数f(x)=x2-2|x|的单调增区间是 .
答案 [-1,0],[1,+∞) 解析 在直角坐标系中作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得f(x)的递 增区间是[-1,0],[1,+∞).
.
i 1
答案 2
解析
函数y=
2
2
x
x
1
满足f(x)+f(-x)=2,则该函数的图象关于点(0,1)对称,
1
且在R上单调递增,y∈(0,2).又函数y= x 的1 图象也关于点(0,1)对称,且
x
在(0,+∞)和(-∞,0)上递减,所以两个函数的图象(如图)共有2个公共点:
2
A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于点(0,1)对称,则 (xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.
且x∉Z时,设x= q ,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lg x∈Q,则由lg x∈[0,1),可
p
设lg x= n
m
n
,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此10 m
考点突破
考点一 作函数的图象
典例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg x|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;
(4)y= x .2
x1
解析 (1)y=lglgx的(xx(图01象),x如1图) ①. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图②.
x2 2x(x 2), x2 2x(x 2),
∴所求函数的图象由两部分组成,如图所示.
考点二 函数图象的应用
角度一 研究函数的性质
典例2
(2019江苏镇江高三模拟)已知函数y=
2
2
x
x
1
与y=
1
x的 图1 象共有
x
k(k∈N*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则 k (xi+yi)=
1.直线x=a与函数y=x2+1的图象有 答案 1 2.函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 答案 y轴
个公共点. 对称.
3.为了得到函数y=lg x 的3 图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点
10
向
平移3个单位长度,向
平移
个单位长度.
答案 左;下;1
4.已知函数f(x)=e|ln x|,则函数y=f(x+1)的图象大致为
1-1 画出下列函数的图象:
(1)y=x2-2x(|x|>1); (2)f(x)= 1 ;
|x |
(3)y=x|2-x|.
解析 (1)∵|x|>1,∴x<-1或x>1, ∴所求函数的图象由两部分组成,如图所示.
(2)f(x)=
1 x
(x 1( x
0 ),
其图象如图所示.
x 0 ),
(3)∵y=x|2-x|=
教 材
1.利用描点法作图
研 2.利用图象变换作图 读
考 考点一 作函数的图象 点 突 考点二 函数图象的应用 破
教材研读
1.利用描点法作图
利用描点法作图的步骤如下: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等; (4)描点,连线,画出函数的图象.
y=f(x) y= |f(x)| .
知识拓展 与函数图象的对称变换有关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象; (2)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象; (3)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
间[0,1)上,
f(x)=
x
2
,其x 中D 集, 合D=
x,x D ,
0的解的个数是
.
,则方x程xf(nxn)-1lg,nx=N*
(2)(2017江苏泰州中学高三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x))+
ln x在(0,1)上不同的零点个数为
.
答案 (1)8 (2)3
解析 (1)由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况.在此范围内,x∈Q
i 1
规律总结
若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则该函数的图象关于点
a
对2 b称, 2c;若
函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数的图象关于直线x= a 对b 称,反之也
2
成立.
角度二 确定方程实根的个数
典例3 (1)(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区
(3)y=
x2 x2
的2图x象1(如x 图0)③, .
2x 1(x 0)
(4)y= x =2 1+ ,3先作出y= 的3 图象,将其图象向右平移1个单位,向上
x1 x1
x
平移1个单位,即得y= x 的2 图象,如图④.
x1
方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数的解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象.
2.利用图象变换作图
(1)平移变换
(2)伸缩变换
y=f(x)
y=⑤ f(ωx) ; y=f(x) y=⑥ Af(x) . (3)对称变换 y=f(x) y=⑦ -f(x) ;
y=f(x) y=⑧ f(-x) ; y=f(x) y=⑨ -f(-x) . (4)翻折变换
y=f(x) y=⑩ f(|x|) ;
.(只填序号)
答案 ④
解析 当x≥1时, f(x)=e|ln x|=eln x=x,当0<x<1时, f(x)=e|ln =e x| -ln x= 1 ,函数y=f(x+
x
1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到,故④正确.
5.(2017南京三中高三月考)若关于x的方程|x2-1|=a有三个不等的实数解,
(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出. 易错警示 (1)画函数图象时一定要注意定义域. (2)利用图象变换法作图时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的 基本函数的要先变形.
则实数a的值是
.
答案 1Biblioteka Baidu
解析 问题转化为函数y=|x2-1|的图象与直线y=a有三个不同的交点,画 出y=|x2-1|的图象(图略),结合图象可知a=1.
6.(2017江苏无锡一中高三月考)函数f(x)=x2-2|x|的单调增区间是 .
答案 [-1,0],[1,+∞) 解析 在直角坐标系中作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得f(x)的递 增区间是[-1,0],[1,+∞).
.
i 1
答案 2
解析
函数y=
2
2
x
x
1
满足f(x)+f(-x)=2,则该函数的图象关于点(0,1)对称,
1
且在R上单调递增,y∈(0,2).又函数y= x 的1 图象也关于点(0,1)对称,且
x
在(0,+∞)和(-∞,0)上递减,所以两个函数的图象(如图)共有2个公共点:
2
A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于点(0,1)对称,则 (xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.
且x∉Z时,设x= q ,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lg x∈Q,则由lg x∈[0,1),可
p
设lg x= n
m
n
,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此10 m
考点突破
考点一 作函数的图象
典例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg x|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;
(4)y= x .2
x1
解析 (1)y=lglgx的(xx(图01象),x如1图) ①. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图②.
x2 2x(x 2), x2 2x(x 2),
∴所求函数的图象由两部分组成,如图所示.
考点二 函数图象的应用
角度一 研究函数的性质
典例2
(2019江苏镇江高三模拟)已知函数y=
2
2
x
x
1
与y=
1
x的 图1 象共有
x
k(k∈N*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则 k (xi+yi)=
1.直线x=a与函数y=x2+1的图象有 答案 1 2.函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 答案 y轴
个公共点. 对称.
3.为了得到函数y=lg x 的3 图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点
10
向
平移3个单位长度,向
平移
个单位长度.
答案 左;下;1
4.已知函数f(x)=e|ln x|,则函数y=f(x+1)的图象大致为
1-1 画出下列函数的图象:
(1)y=x2-2x(|x|>1); (2)f(x)= 1 ;
|x |
(3)y=x|2-x|.
解析 (1)∵|x|>1,∴x<-1或x>1, ∴所求函数的图象由两部分组成,如图所示.
(2)f(x)=
1 x
(x 1( x
0 ),
其图象如图所示.
x 0 ),
(3)∵y=x|2-x|=