15 概率与统计(教师版)
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第十一讲 概率与统计
★★★高考在考什么 【考题回放】
1.(重庆卷)从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )
A .
4
1 B .
120
79 C .
4
3 D .
24
23
解:可从对立面考虑,即三张价格均不相同,1
1
1
532
31031.4
C C C P C
⇒=-=
选C
2.(辽宁卷)一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球 是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码 是偶数的概率是( ) A .
122
B .
111
C .
322
D .
211
解: 从中任取两个球共有662
12=C 种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球
的号码是偶数的取法有122
326=-C C 种取法,概率为
11
266
12=
,选D.
3.(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装
有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
解:P=
6
4⨯
6
1=9
1
4.(上海卷) 在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的
概率是 (结果用数值表示).
解: 2
1
233
5310
C C C
=
=3.0
5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是
12
,他投球10次,
恰好投进3个球的概率为 .(用数值作答)
解:由题意知所求概率3
7
310
111522128
p C
⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6.(全国II) 在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布2
(1)(0)N σσ>,.若ξ在(01),
内取值的概率为0.4,则ξ在(02),内取值的概率为 .
解:在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2
)(σ>0),正态分布图象
的对称轴为x=1,ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在 (1,2)内取值的概率于ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机 变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8。
★★★高考要考什么
1.(1)直接利用四种基本事件的概率基本原理,求事件发生的概率 (2)把方程思想融入概率问题,解决实际问题
(3)把概率问题与数列结合起来,运用数列方法解决概率问题 2.离散型随机变量的分布列。
(1)分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x 2, …, xi , …, ξ取每一个值xi (i =1,2,……)的概率P (ξ=xi )=Pi , 则称下表为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.
(2)分布列的性质:由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:
<1> P i ≥0,i =1,2,……;<2> P 1+P 2+……=1. (3)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率是()k k n k
n P k C p q ξ-==,其中k =0,1,…,n .q =1-p ,于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B (n ,p )其中n ,p 为参数,记k k n k
n C p q -=b (k ;n ,p ).
(4)离散型随机变量ξ的期望:E ξ=x1p1+x2p2+……+xipi+… (5)离散型随机变量ξ的方差:
2
2
2
1122()()()i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+
2
(6),(,0),a b a b a E aE b D a D ξηξηξηξ=+≠=+=若为随机变量则为常数,也为随机变量,且。
(7)B(n,p),E =np,D =np(1-p).ξξξ 若则
3. 若标准正态分布2
(,)N μσ总体取值小于0x 的概率用0()x φ表示,即:
00()()x P x x φ= ).μ μσφσ 2 对于一般正态总体N (,)来说,取值小于的概率 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例1】某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望; (Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率. 解(1)0,1,2,3ξ= 223 42 2 5 5 189P( 0)= 100 50C C C C ξ=∙ = = , 2 11 1 2 332442 2 2 2 5 5 5 5 C 24P( 1 )= C 50 C C C C C C C ξ=∙ + ∙ = , 1 1 1 2 23244222225 5 5 5 15(2)50 C C C C C P C C C C ξ== ∙ + ∙ = , 1242225 5 2(3)50 C C P C C ξ== ∙ = 所以ξ的分布列为 ξ的数学期望E(ξ)=924 15 2 0123 1.250 505050⨯ +⨯ +⨯ +⨯ = (2) P(2ξ≥)=15217 (2)(3)505050 P P ξξ=+==+= 分析提示:本题以古典概率为背景,其关键是利用排列组合的方法求出m ,n ,主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。 变式:袋中装着标有数学1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用ε表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量ε的概率分布和数学期望; (3)计分介于20分到40分之间的概率. 解:(I )解法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A , 则3 1 1 1 5222 3 10 2()3 C C C C P A C ⋅⋅⋅= = 解法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ,则事件A 和事件B 是互斥事件,因为121 528 3 10 1()3 C C C P B C ⋅⋅= = ,所以 12()1()13 3 P A P B =-=- = . (II )由题意ξ有可能的取值为:2,3,4,5. 2 1 1 2 2222 310 1(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅=== 2112 4242 310 2(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 2 1 1 2 6262 3 10 3(4);10 C C C C P C ξ⋅+⋅== = 2 1 1 2 8282 3 10 8(5);15 C C C C P C ξ⋅+⋅== = 因此ε的数学期望为123813 234530 15 10 15 3 E ε=⨯+⨯ +⨯+⨯ = (Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ,则 2313 ()("3""4")("3")("4")151030 P C P P P εεεε=====+==+=或 【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 1 2 . (Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率; (Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ.