专题29 函数的应用(解析版)

专题29 函数的应用

考点1 求函数的零点

1.若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()

A．0,2

B．0，－1

2

C．0，1

2

D．2，1

2

【答案】B

【解析】由题意知，2a＋b＝0，

∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，

.

若g(x)＝0，则x＝0或－1

2

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()

A．{1,3}

B．{－3，－1,1,3}

C．{2－√7，1,3}

D．{－2－√7，1,3}

【答案】D

【解析】令x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.

因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.

当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.

令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3.

当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.

令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，

解得x＝－2＋√7(舍去)或x＝－2－√7.

所以函数g(x)的零点的集合为{－2－√7，1,3}．

3.下列给出的四个函数f(x)的图象中，能使函数y＝f(x)－1没有零点的是() A．B．C．D．

【答案】C

【解析】把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中的图象与x轴无交点．4.下列图象表示的函数中没有零点的是()

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.

5.已知函数f(x)＝x3－3x＋2.

(1)求f(x)的零点；

(2)求分别满足f(x)<0，f(x)＝0，f(x)>0的x的取值集合．【答案】f(x)＝x3－3x＋2

＝(x3－x)－(2x－2)

＝x·(x－1)(x＋1)－2(x－1)

＝(x－1)(x2＋x－2)

＝(x－1)2(x＋2)．

(1)令f(x)＝0，得函数f(x)的零点为1和－2.

(2)令f(x)<0，得x<－2，

所以满足f(x)<0的x的取值集合是{x|x<－2}；

满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；

令f(x)>0，得－21，

所以满足f(x)>0的x的取值集合是

{x|－21}．

6.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；

(2)f(x)＝x2＋x＋2；

(3)f(x)＝3x＋1－7；

(4)f(x)＝log5(2x－3)．

【答案】(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1

＝－(8x＋1)(x－1)，

或x＝1，

令f(x)＝0，解得x＝－1

8

所以函数的零点为－1

和1.

8

(2)令x2＋x＋2＝0，

因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，

所以方程无实数根，

所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．

(3)令3x＋1－7＝0，解得x＝log37

，

3

.

所以函数的零点为log37

3

(4)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.

考点2 函数的零点存在性定理

7.函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1在下列区间内一定有零点的是() A．[0,1]

B．[1,2]

C．[2,3]

D．[3,4]

【答案】C

【解析】因为f(x)＝ln(x＋1)－x＋1的图象是连续不断的，

且f(2)＝ln(2＋1)－2＋1＝ln3－1>0，f(3)＝ln(3＋1)－3＋1＝ln4－2<0，

f(2)f(3)<0，所以一定有零点的区间是[2,3]．

8.已知f(x)＝2x2－2x，则f(x)的零点所在区间为()

A．(－3，－2)

B．(－1,0)

C．(2,3)

D．(4,5)

【答案】B

【解析】f(－3)>0，f(－2)>0，f(－1)>0，

f(0)＝－1<0.故选B.

9.根据表格中的数据，可以断定方程e x－(2x＋4)＝0(e≈2.70)的一个根所在的区间为()

A．(－1,0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2,3)

【答案】D

【解析】设f(x)＝e x－(2x＋4)，根据表计算：f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－4＝－3<0，f(1)＝

2.7－6<0,f(2)＝7.29－8<0，f(3)＝19.68－10>0.则可以断定方程

e x－(2x＋4)＝0(e≈2.70)的一个根所在的区间为(2,3)．故选D.

10.若a

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

【答案】A

【解析】由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0.

又因为f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，所以函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.

11.已知函数唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题不正确的是()

A．函数f(x)在区间(1,2)或[2,3)内有零点

B．函数f(x)在(3,5)内无零点

C．函数f(x)在(2,5)内一定有零点

D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点