2021年上海中考一模数学试卷第17、18、23题汇编

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2021年上海市静安区九年级数学一模试卷含答案

静安区2020学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2021.1（完成时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时需使用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果0a ≠，那么下列计算正确的是（A ）0()0a =-；（B ）01a =--（）；（C ）01a -=；（D ）01a =--．2．下列多项式中，是完全平方式的为（A ）214x x -+；（B ）21124x x++；（C ）21144x x +-；（D ）21144x x -+． 3．将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是（A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位；（B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位；（C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位；（D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．4．在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，下列比例式中能判定DE //BC的为（A ）BC AB DE AD =；（B ）AC AB AD AE =；（C ）AC AB CE BD =；（D ）AC BD AB CE=．5．如果锐角α，那么下列结论中正确的是（A ）︒=30α；（B ）︒=60α；（C ）︒<<︒4530α；（D ）︒<<︒6045α．6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为（A ）sin tan m αα⋅⋅；（B ）sin cos m αα⋅⋅；（C ）cos tan m αα⋅⋅；（D ）cos cot m αα⋅⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32的相反数是 ▲ ． 8．函数()f x 的定义域为 ▲ ．92x =-的根为 ▲ ．10．二次函数223y x x =-图像的开口方向是 ▲ ． 11．抛物线236y x =-的顶点坐标为 ▲ ．12．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为 ▲ ．13．在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED =∠B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为 ▲ . 15．在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为 ▲ .16. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么 DE 的长为 ▲ ．17．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设a AB =，AD b =，那么AO = ▲ ．（用向量a 、b 的式子表示）18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将 △ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么CDA'D 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：cot30cos45sin 60tan 45︒-︒︒-︒．（第17题图）（第18题图）BACED（第14题图）B AC ED （第16题图）20．（本题满分10分）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求xy的值．21．（本题满分10分, 其中每小题5分）如图，点A 、B 在第一象限的反比例函数图像上，AB 的延长线与y 轴交于点C ，已知点A 、B 的横坐标分别为6、2，AB =25．（1）求∠ACO 的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式． 22．（本题满分10分）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC 、CD 共走7米可到出入口，出入口点D 距离地面的高DA 为0. 8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角(角度精确到1' ，其他近似数取四个有效数字).23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，2AD AE AC =⋅．求证：（1）△BCD ∽△CDE ；（2）AB ADBCCD =22．BC AOyx（第21题图）（第22题图） D C DABCD CB A E （第23题图）24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线102y x m m =-+>（）与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠ 0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD=AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且 CE //BD ，sin ∠MAN=35，错误!未找到引用源。

2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案

2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，每题4分，满分24分） I组：供使用一期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．若抛物线y?(x?1)2?2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（A）（?1?2，0）；（B）（2，0）；（C）（-1，-2）；（D）（?1?2，0）． 5．若一元二次方程4x2?3x?1的两个根分别为x1、x2，则下列结论正确的是 13，x1?x2??；（B）x1?x2??3，x1?x2??1；4413（C）x1?x2?，x1?x2?；（D）x1?x2?3，x1?x2?1．446．下列结论中，正确的是（A）圆的切线必垂直于半径；（B）垂直于切线的直线必经过圆心；（C）垂直于切线的直线必经过切点；（D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．（A）x1?x2??II组：供使用二期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是1112（A）；（B）；（C）；（D）．122335．若AB是非零向量，则下列等式正确的是（A）AB=BA；（B）AB=BA；（C）AB+BA=0；（D）AB+BA=0． 6．下列事件中，属必然事件的是（A）男生的身高一定超过女生的身高；（B）方程4x2?4?0在实数范围内无解；（C）明天数学考试，小明一定得满分；（D）两个无理数相加一定是无理数．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．不等式2-3x>0的解集是． 8．分解因式xy �Cx -y+1= ． 9．化简：12?3? ．10．方程2x?1?3的根是．x的定义域是． x?1k12．若反比例函数y?(k?0)的函数图像过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m n x（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．13．关于x的方程mx2?mx?1?0有两个相等的实数根，那么m= ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为y （-1，6）．若点C与点A关于x轴对称，则点B与点C之间的2 距离为． P 15．如图1，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析O 1 x 式为．11．函数y?16．在�SABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD:DB= ．17．如图2，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为．18．如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30°．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线 DB的距离为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：a2?2ab?b2a2?b2图1A O1B 图2 E DF C O2A 11?(?)，其中a?2?1,b?2?1． ab图3B20．（本题满分10分）x?1x5A D 解方程??．xx?1221．（本题满分10分，第（1）题满分6分，第（2）题满分4分）5如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．B 13图4求（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．22．（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代 50、60年代的20年 70、80年代的20年 90年代的10年平均每年土地荒漠化1560 2100 2460 2扩展的面积（km）表2：沙尘暴发生的次数情况 50年代的1060年代的1070年代的1080年代的1090年代的10年代年年年年年 C每十年沙尘14 23 5 8 13 暴发生次数（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；次数（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；25 （3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈（选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势． 20 1510550年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代23．（本题满分12分，每小题满分各6分） A图5 如图6，在�SABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，D 1点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；2F（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：�SABE≌�SAGE．EB C图624．（本题满分12分，每小题满分各4分）y 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心， 5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点． D （1）求点B、C、D的坐标；B C （2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点， O x .求这个二次函数解析式；A （3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与 x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，1当�SCPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．2图725．（本题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC 于点G，∠BAE2的平分线交射线BC于点O．（1）如图8，当CE=时，求线段BG的长；3CE（2）当点O在线段BC上时，设?x，BO=y，求y关于x的函数解析式；ED（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．A D A DE BO 图8CG B备用图C2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学模拟卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，满分24分）I组 1、B； 2、D； 3、C; 4、D; 5、A; 6、D． II组 1、B； 2、D； 3、C; 4、C; 5、A; 6、B．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）2; 8、(x?1)(y?1)； 9、2?3； 10、x?5； 311、x?0 且x?1；12、?； 13、4； 14、32；7、x?15、y?2x?3； 16、2:1(或2)； 17、23； 18、三．解答题：（本大题共7题，满分78分）23. 3(a?b)2a?b19．解：原式＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3分) ?(a?b)(a?b)aba?bab? ? －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) a?ba?bab ?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)a?b12 当a?2?1,b?2?1时，原式＝?.－－－－－－－－－－－－－－(3分)422x?120．解: [方法一]设y?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)x则原方程化为y?∴y1?15?，整理得2y2?5y?2?0，－－－－－－－－－－ (2分)y21， y2?2；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分) 21x?11? ，得 x?2，－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?时，2x2x?1?2 得 x??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?2时， x 经检验 x1?2，x2??1是原方程的根；－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)[方法二]去分母得 2(x?1)2?2x2?5x(x?1)，－－－－－－－－－－－－－－（3分）整理得 x2?x?2?0，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）解得 x1?2，x2??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）经检验 x1?2，x2??1是原方程的根．－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）21．解：（1）在Rt△ABC中，?BAC?90，cosB=AB5?．－－－－－－－－－ (1分) BC13∵BC=26，∴AB=10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴AC=BC2?AB2?262?102?24．－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) ∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴cos∠DAC= cos∠ACB=AC12?；－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) BC13(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)1AC?12．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 2AE12?，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 在Rt△ADE中，cos∠DAE=AD13∵AD=DC， AE=EC=∴AD=13．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)22．解：（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为次数 25 1560?20?2100?20?2460?10 （2分）20?20?10?1956（km），－－－－－－－－－(1220 分) 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956 km2；（2）右图；－－－－－－－－－－－－－ (5分) （3）增加．－－－－－－－－－－－－－－(2分)23．证明：(1) 连结BE，－－－－－－－－－－ (1分)∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．(2分)∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=15 10 5 50年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代1AB； 2－－－－－－－－－－－－ (3分)(2) [方法一]在△ABG中，AF?BF，AG//EF，∴BE?EG．－－－－－－（3分）在△ABE和△AGE中，AE?AE,∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；－－(3分) [方法二]由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．－－－－－－－－－－－－－(1分) ∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)∴∠EAF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．－－－－－－－－－－－ (3分)24．解：（1）∵点A的坐标为(0 ,?3)，线段AD?5，∴点D的坐标(0 ,2)．－－－－(1分)感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年上海市数学中考模拟卷一(含解析)

1 / 14O一、选择题（每小题4分，共24分） 1、下列代数式中，属于分式的是（） A ．2x B ．2xC ．2xD ．2x2、一次函数23y x =-+的图像不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、据统计，2016年上海市参加中考的人数约为7.7万人，则7.7万用科学记数法表示为（） A ．37.710⨯ B ．47.710⨯ C ．50.7710⨯ D ．57.710⨯4、下列说法正确的是（）A ．一组数据的平均数和中位数一定相等B ．一组数据的平均数和众数一定相等C ．一组数据的标准差和方差一定不相等D ．一组数据的众数一定等于改组数据中的某个数据5、如果某人沿坡度为1 : 3的斜坡向上行走a 米，那么他上升的高度为（） A ．1010a B ．10a C ．3a D ．3a6、一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，此水管的直径是（） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米D ．1米二、填空题（每小题4分，共48分） 7、计算()()12x x -+的结果是______． 8、函数134y x x =-+-的定义域为______． 9、不等式组24050x x +>⎧⎨-<⎩的解集是______．模拟卷二ABCDEFO10、若一次函数2y x b =+（b 为常数）的图像经过点（1,5），则b 的值为______． 11、如果关于x 的方程2610x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值为______． 12、已知Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，那么∠B 的正弦值等于． 13、李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是．14、如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ．设AB a =，BC b =，那么AD =__________（结果用a 、b 的式子表示）．15、在一个不透明的袋子中，有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同．充分摇匀后，摸出一个球是黑球的概率为______．16、已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE // AC ，12AD DB =，DE = 4，那么边 AC 的长为______．17、定义两种新运算“△”和“※”，a △ b =2a ab -，a ※ b =23a b -，则（2△1）△（2※2）的值为______．18、如图，已知AD 是等腰ABC ∆底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC ∆绕着点D 旋转，得DEF ∆，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，那么:=AOF DOC S S ∆∆__________．三、解答题19、（本题满分10分）先化简，再求值：2211211a a a a a +⎛⎫÷+ ⎪++-⎝⎭，其中2sin451a =︒-．ABDC3/ 14AB CEFD20、（本题满分10分）解方程组：2220 23x xy yx y⎧--=⎨+=⎩．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在ABC∆中，D是边BC的中点，E、F分别是BD、AC的中点，且AB = AD，AC = 10，4sin5C=．求：（1）线段EF的长（2）∠B的余弦值．22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50120x≤≤时，具有一次函数的关系，如下表所示．x5080100120y40343026（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费．ABCDFE 23、（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，DF ∥AC ，BD = 2AD ， AE = 2EC ．（1）求证：EF ∥AB ；（2）联结DE ，当∠ADE =∠C 时，求证：AC AB 2=．24、（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =+经过点A （4,0），顶点为B ．（1）求顶点B 的坐标；（2）将这条抛物线向左平移后与y 轴相交于点C ，此时点 A 移动到点D 的位置，且DBA CBO ∠=∠，求平移后抛物线的表达式．xy5 / 14ABC DH OP25、（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，32cos =∠AOB ．（1）求：公共弦BC 的长度；（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP = x ，BD = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且BDE ∆与BPE ∆相似，求线段AP 的长．中考模拟卷xyBAO ABCABCDE一、选择题（每小题4分，共24分）1、下列各数中，不能被6整除的数是（） A ．18B ．12C ．9D ．6【答案】C2、下列二次根式中，与2a 一定是同类二次根式的是（） A ．aB ．32aC ．4aD ．28a【答案】B3、数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是（） A ．104、103B ．103、101C ．103、102D ．103、103【答案】A4、如图，已知一次函数y = kx + b 的图像经过点A （5,0）与B （0,4-），那么关于x 的不等式kx + b < 0的解集是（） A ．x < 5 B ．x > 5 C ．x <4-D ．x >4-【答案】A5、如图，ABC ∆中，AB = 5，BC = 3，AC = 4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则C 的半径为（） A ．2.3 B ．2.4 C ．2.5D ．2.6【答案】D6、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE = AD ，联结EB 、EC 、DB ．添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（） A ．AB = BEB ．BE DC ⊥ C ．90ADB ∠=︒D ．CE DE ⊥【答案】B模拟卷一7 / 14次数/次人数/人 48 12 16 15 20 25 30 35二、填空题（每小题4分，共48分）7、如果分式7x x -的值为0，那么x 的值等于 .【答案】78、分解因式：2212x xy y --= . 【答案】()()43x y x y -+9、方程211x x -=-的解是__________. 【答案】1x =10、如果将抛物线21y x x =++向下平移，使它经过点（0,2-），那么所得的新抛物线的解析式是______ . 【答案】22y x x =+- 11、如果反比例函数ky x=的图像经过点A （2 , y 1）与B （3 , y 2），那么12y y 的值等于______.【答案】3212、如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，记OD m =，OF n =，那么OB =______（用向量m 、n 表示）．【答案】m n --13、在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是 .【答案】1214、在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE // BC ，如果AD = 5，DB = 10，那么:ADE ABC S S ∆∆的值为______．【答案】1915、为了了解九年级学生的体能情况，体育老师随机抽查了其中的40名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在20~25之间的频率是______．FABCDEOABCDOxy ABC【答案】0.316、如果1O 与内含2O ，124O O =，1O 的半径是3，那么2O 的半径的取值范围是______．【答案】7r >17、如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知A （1,0），B （0,3），则sin COA ∠=______．【答案】4518、已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，把ABC ∆绕着点C 旋转，使得点A 落在点'A ，点B 落在点'B ．若点'A 在边AB 上，则点B 、'B 的距离为______．【答案】5【解析】先根据题意画出图形：易得：'AC A C =，'BC B C =，''ACA BCB ∠=∠，∴'ACA ∆∽'BCB ∆，∴''AC AA BC BB =；由90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，可得AC = 6，35BC =过C 点作CD AB ⊥，易得'8AA =，∴'45BB =．三、解答题19、（本题满分10分）计算：1213332332-⎛⎫-+⎪+⎝⎭（）【答案】3【解析】1213332332-⎛⎫--++⎪+⎝⎭（）13234233=++-=9 / 1420、（本题满分10分）解不等式组：159104122362x x x x x -≤-⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【答案】14x ≤<【解析】由第一个不等式得：55x ≥，解得：1x ≥；由第一个不等式得：()()212312x x x --+>-，整理得：28x <，解得4x <； ∴不等式的解集为：14x ≤<．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000 8000 10000 15000 … 成本y （元）28500360004100053500…（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x 取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【答案】（1）5160002y x =+；（2）12800．【解析】（1）设所求一次函数的解析式为y kx b =+（0k ≠），有题意可知：500028500800036000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5216000k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩； ∴所求函数的关系式为5160002y x =+；（2）∵548000160002x =+，∴12800x =．答：能印该读物12800册．ABCDP N MQHBA CDEF22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到13 1.7）【答案】（1）36；（2）89．【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =--=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==，cot 30153DH AH m =⋅︒=，由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-=-．23、（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE CE =，以点E 为圆心EA 长为半径作弧交AB 于点D ，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ，联结CD ．求证：（1）CD AB ⊥；（2）CF FB =．【答案】见解析【解析】（1）∵,AE ED CE AE ED ===, ∴ ,A EDA EDC ECD ∠=∠∠=∠∵ 180A ECD ADC ∠+∠+∠=︒，即180A ECD EDC EDA ∠+∠+∠+∠=︒ ∴ 2()180A ECD ∠+∠=︒ ∴ 90A ECD ∠+∠=︒∴180()1809090ADC A ECD ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒∴CD AB ⊥（2）联结EF ．∵ED EC =，EF EF =，∴Rt EDF ∆≌ Rt ECF ∆ ∴12DEF CEF DEC ∠=∠=∠，∵12A ADE DEC ∠=∠=∠∴CEF A ∠=∠∴EF ∥AB ，∵EA EC = ∴CF FB =11 / 14A BCDEOxyA BCDEOxyA BCDEOxyP NM图（a ）图（b ）图（c ） 24、（本题满分12分，每小题满分各4分）如图（a ），抛物线()263y a x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线DE x ⊥轴，垂足为E ，23AE DE =．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且PAC ∆是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b ），求tan PCA ∠的值；（3）如图（c ）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN DM ⊥，交直线DE 于点N ，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E 三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21493y x x =++；（2）1tan 3PCA ∠=；（3）()6323M -+或()6323--．【解析】（1）已知抛物线的顶点()63D --，，则36DE OE ==，， 2393AE DE AE ==∴=，，即()30A -，．将A 点代入抛物线解析式中，得：()23630a -+-=，即13a =，所以抛物线解析式为：()2211634933y x x x =+-=++．（2）设()6P a -，，()()()306009A E C --，，，，，，根据勾股定理得：2222AE PE AC PC ++=，即()22298169a a ++=+-，解得：1a =，()61P ∴-，，10310AP AC ∴=101tan 3310AP PCA AC ∴∠===．（3）设点()()00M a b a b <>，，，分两种情况讨论：（i ）当2NE DE =时，6NE =，即()612N -，，已知()63D -，，则有直线MN 的斜率：166b k a -=+，直线MD 的斜率：236b k a +=+．由于MN DN ⊥，则()()()122636b b k k a -+⋅=+1=-，整理得：22123180a b a b ++-+=①由抛物线的解析式得：21493a a b ++=，整理得：2123270a a b +-+=②由-①②得：29b =，即3b =（负值舍去），将3b =代入①得：66a a =-+=--故点()63M -+或()63--；（ii ）当2NE DE =时，32NE =，即362N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，已知()63D --，，则有直线MN 的斜率：1326b k a -=+，直线DM 的斜率：236b k a +=+．由题意得：()()12233216b b k k a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⋅==-+，整理得：2236312022a b b a ++++=，而2123270a a b +-+=；将两式相减，得：22990b b ++=，解得：12322b b =-=-，（均不符合题意，舍去）．综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为：()63M -+或()63--．13 / 1425、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．//EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形．（2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==．由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t -=．5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭． ()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==；（3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高，则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．A BCDEFmH。

2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型含详解

专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．专题二图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝55（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP ＝．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt △ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．专题三定义新图形【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC3AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．6．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝AM4=sin C sin60∠，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝，833AE＝，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝×2，∴AA′＝2AF＝，故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于655．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG ＝CG ，CE ⊥BD ，证明△CDF ∽△BCD 和△CDG ∽△BDC ，可计算CD 和CG 的长，再证明△EFD ∽△AED ，可得AE 的长．【解答】解：由折叠得：CE ⊥BD ，CG ＝EG ，∴∠DGF ＝90°，∴∠DFG +∠FDG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG +∠CDG ＝90°，∴∠CDG ＝∠DFG ，∵∠CDF ＝∠BCD ＝90°，∴△CDF ∽△BCD ，∴CD DF =BC CD，∵AB ＝4，DF ＝1，∴CD 1=4CD，∴CD ＝2，由勾股定理得：CF ＝221+2=5，BD 222+45，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG ＝455，∴CE＝2CG ＝85 5，∴EF＝CE﹣CF ＝855＝355，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE ，即15=AE2，∴AE【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或40 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22226810AC BC +=+=，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ，又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：BF ＝165，设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ，∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =，∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2．方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25，∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ，在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2，∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ，∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817，∴BE ＝4017．故答案为：2或4017．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为152+．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ，∴DC ＝DE ，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AF DEEF AE=，∴11x xx+=，解得x＝152+或x＝152（舍去），∴AE＝12．故答案为：15 2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC ＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝21 4，故答案为21 4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝5（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据△AA′C为直角三角形，分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点B'的距离．【解答】解：分两种情况：①当点B '在线段AC 上时，△AA ′C 为直角三角形，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，sin A ＝5，∴BC ＝AB ×55＝10×55＝∴B 'C ＝AC =，∴AB '＝AC ﹣B 'C ＝②当点B '在线段AC 的延长线上时，△AA ′C 为直角三角形，同理可得，B 'C ＝AC ＝，∴AB '＝AC +B 'C ＝综上所述，点A 与点B '的距离为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝3，tan B ＝．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝3【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点F 作FG ⊥AC 于点G ，由旋转的性质得出∠B ＝∠D ，得出tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，由平行线的性质得出∠B ＝∠AFG ，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，则2132x x =+，求出AG ＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，∴∠B ＝∠D ，∴tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，∵∠ACB ＝∠FGA ＝90°，∴BC ∥FG ，∴∠B ＝∠AFG ，∴tan ∠B ＝tan ∠AFG ＝12AG FG =，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，∴2132x x =+，解得x ＝1，∴AG ＝1，FG ＝2，∴AF 225FG AG +=∴BF ＝AB ﹣AF ＝35．故答案为：35【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，根据勾股定理和正切的定义得到AC ＝，BC ＝，根据三角形面积得到CE ＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，∵tan B ＝23，∴23AC BC =，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，AB ＝13，解得x ＝AC ＝，BC ＝，S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ，即12××312×13×CE ，解得CE ＝6，∵tan B ＝CE EB ＝23，∴EB ＝9，∵将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，∴∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′，∵CE ⊥AB ，∴AE ′＝AE ＝AB ﹣BE ＝13﹣9＝4，∴A ′B ＝AB ﹣A ′E ＝9﹣4＝5，∵∠A ′DB ＝∠CDB ′，∴△A ′DB ∽△B ′DC ，∴'CD A D ＝''CB A B ＝'CB A B ．．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为622．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B 1AB ＝30°，由直角三角形的性质可求DB 1＝2DE ，DB ＝3﹣DE ，即可求解．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 1于E，∵∠B ＝45°，∠C ＝60°，∴∠CAB ＝75°，∵BB 1∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABB 1＝75°，∵将△ABC 绕点A 旋转，∴AB ＝AB 1，∠AB 1C 1＝∠ABC ＝45°，∴∠AB 1B ＝∠ABB 1＝75°，∴∠B 1AB ＝30°，又∵DE ⊥AB 1，∠AB 1C 1＝45°，∴AD ＝2DE ，AE＝DE ，DE ＝B 1E ，∴AB 1DE +DE ＝AB ，DB 1DE ，∴DB ＝AB ﹣ADDE ﹣DE ，∴1BD B D622=，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP﹣1．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．②当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA ＝DC 解决问题．【解答】解：如图1，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∴∠EFC ＝∠ABC ＝45°，∵∠PAO ＝45°，∴∠PAO ＝∠OFH ，∵∠POA ＝∠FOH ，∴∠H ＝∠APO ，∵∠APC ＝90°，EA ＝EC ，∴PE ＝EA ＝EC ，∴∠EPA ＝∠EAP ＝∠BAH ，∴∠H ＝∠BAH ，∴BH ＝BA ，∵∠ADP ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝90°，∴BD ⊥AH ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝22.5°，∵∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴A ，D ，C ，B 四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，AP=PD＝2a，∴PC＝a+2a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝2 2 a，∴PC＝a ﹣22 a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为3 7．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设点C落在射线CD上的点C'处，由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．【解答】解：如图，设点C落在射线CD上的点C'处，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，∴∠CAC'＝90°＝∠EAB，∴AC'∥BC，∴'34AD ACDB BC==，∴AD＝157，∴tan∠AED＝37 ADAE=，故答案为：3 7．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．专题三定义新图形【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD ＝8，CD ＝4，再求出MH ＝4，DH ＝2，设BE ＝x ，得出CE ＝12﹣x ，CF ＝3+x ，EH ＝10﹣x ，再判断出△EHM ∽△ECF ，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D 是BC 上一点，BC ＝12，∴BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝8，CD ＝4，过点M 作MH ∥AC 交CD 于H ，∴△DHM ∽△DCA ，∴MH DH =AC DM CD AD=，∴点M 是AD 的中点，∴AD ＝2DM ，∵AC ＝8，∴MH DH 1=842=，∴MH ＝4，DH ＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x-，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB=∴BD＝AB+AD＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．6．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x-整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型。

【2021年上海市初中一模数学卷】2021年上海市青浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

青浦区2020学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷 Q2021.1（完成时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．已知线段AB =2，P 是线段AB 的黄金分割点，AP>PB ，那么线段AP 的长度等于（）（A）12；（B1；（C；（D）3．2．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD =2，AB =3，AC =6，那么AE 等于（）（A ）125；（B ）185；（C ）4；（D ）9．3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cos A 等于（）（A ）BC AB；（B ）AC AB；（C ）BC AC；（D ）AC BC．4．抛物线的顶点坐标是（）（A ）（2，-3）；（B ）（-2，-3）；（C ）（2，3）；（D ）（-2，3）．5．已知+=a b c ，2−=a b c ，且0≠c ，下列说法中，不正确的是（）（A ）||3||=a b ；（B ） a ∥b ；（C ）30+=a b ；（D ） a 与b 方向相同．6．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（）（A ）AD DEDB BC=；（B ）AE BFAC BC=；（C ）BD BFAD DE=；（D ）DG BFGF FC=． EDCBA GF E DCBA （第2题图）（第6题图）()223y x =−−−二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．如果，那么 ▲ ．8．计算：43(2)−−a a b = ▲ ．9．如果两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应角平分线的比为 ▲．10．将抛物线2y x =−向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ．11．抛物线223y x =−在y 轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）12．二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为 ▲ ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A=2，BC =3，那么AC = ▲．14．小明在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是32°，那么点B 处的小丽看点A 处的小明的仰角是 ▲ 度．15．直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为▲．16．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC 的正弦值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么 BE ∶AE 的值为 ▲ ．（用含a 、b 的式子表示）18．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果△QAB 、△QBC 和△QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ = ▲ ．CBA ABCDEF（第16题图）34=ab−=+b ab aABC DQ（第17题图）A BCD（第18题图①）（第18题图②）三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：()1cot 3012sin 60+cos 60+tan 30︒︒︒︒−−． 20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，DE =3.2．（1）求BC 的长；（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =，试用a 、b 表示向量CD ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ， AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设△BGE 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）22．（本题满分10分）某条道路上通行车辆限速为40千米/时，在离道路50米的点P 处建一个监测点，道路的AB 段为监测区（如图）．在△ABP 中，已知∠P AC= 26.5°，∠PBC = 68.2°．一辆车通过AB 段的时间为9秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果2DA DE DB =⋅，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．ABCDEFG H AB CDEEDCBA（第20题图）（第21题图）（第23题图）（第22题图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24=+−y ax bx 与x 轴交于点A （-4，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如果点D 的坐标为（-8，0），联结AC 、DC ，求∠ACD 的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当∠OCD=∠CAP 时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC=，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ=2BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．（第24题图）（备用图）DP ABCDQ一、选择题：1．B ；2．C ； 3．B ； 4．A ；5．D ；6．C ．二、填空题：7．17；8．6+a b ； 9．2:3； 10．22=−+y x ； 11．下降；12．1−；13．6； 14．32； 15．12； 16．2； 17．−ab a； 18．3 三、解答题：19．解：原式112+22⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭． ································································ （4分）1． ···················································································· （4分）． ···············································································································（2分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12=AD DB ，12=AE EC ．∴=AD AEDB EC． ··················································· （2分） ∴DE//BC ． ········································································································ （1分） ∴=AD DEAB BC． ······························································································· （1分）又∵AB =6，DE =3.2， ∴2 3.26=BC．∴BC =9.6． ················································································ （1分）（2）∵DE//BC ，∴=AD DE AB BC ．∴13=DE BC ． ∴3=BC DE ． ······························································································· （1分）青浦区2021 学年第一学期期终学业质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明∵=DE a ，∴3=BC a ． ∴3=−CB a ． ··············································· （1分） ∵23=BD BA ，∴23=BD BA ． ······································································ （1分） ∵=BA b ；∴23=BD b ． ············································································ （1分） ∵=+CD CB BD ，∴233=−+CD a b ． ···················································（1分） 21．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ．························································································· （1分）∴=AD DE BG BE ，=DH DFBG FB． ······································································ （2分） ∵BE=EF=FD ，AD=BC =8， ∴821=BG ， ∴BG =4． ·················································································· （1分） ∴142=DH ，∴DH =2． ·················································································· （1分）（2）∵AD ∥BC ，∴△BEG ∽△DEA ，△HFD ∽△GFB ．∴2⎛⎫= ⎪⎝⎭BEG DEAS BE SED ，2⎛⎫= ⎪⎝⎭HFD GFBS DF S FB ． ················································· （2分） ∵=BEGSa ，BE =EF ，∴2=BGFSa ．∴14=DEAa S，124=HFD S a ． ∴=4DEA Sa ，12=HFDS a ． ······································································ （2分） ∵=四边形−DEA HFD AEFH S SS，∴17=422四边形−=AEFHS a a a ． ··············· （1分）22．解：该车不超速．过点P 作PH ⊥AC ，垂足为点H ． ·········································································· （1分）由题意，得PH =50米．在Rt △AHP 中，∵tan ∠=PH PAC AH ，∴50100tan 26.5=≈︒AH ． ················ （3分）在Rt △BHP 中，∵tan ∠=PH PBH BH ，∴5020tan 68.2=≈︒BH ． ·················· （3分） ∵AB =AH -BH ，∴AB =100 -20=80（米）． ···························································· （1分） ∵这辆车通过AB 段的时间为9秒，∴这辆车通过AB 段的速度为809米/秒．（1分） ∵809米/秒=32千米/时 < 40千米/时，∴该车不超速． ···································· （1分） 23．证明：（1）∵AE CE DE BE ⋅=⋅，∴=AE DEBE EC． ···························································································· （1分）又∵∠AED =∠BEC ，∴△AED ∽△BEC ． ······················································ （1分） ∴∠ADE =∠BCE ． ··························································································· （1分）∵AB =AD ，∴∠ABE =∠ADE ． ······································································· （1分） ∴∠ABE =∠BCE ． ··························································································· （1分）又∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ···················································· （1分）（2）∵2DA DE DB =⋅，∴=DE DADA DB． ···························································· （1分）又∵∠EDA =∠ADB ，∴△EDA ∽△ADB ． ··················································· （1分） ∴∠DAE =∠DBA ． ·························································································· （1分） ∵∠ABE =∠BCE ，∴∠DAE =∠BCE ． ∴AD ∥BC ． ····································································································· （1分） ∴=AD AEBC EC． ······························································································ （1分） ∴⋅=⋅AD EC BC AE ．∵AB =AD ， ∴⋅=⋅AB EC BC AE ． ························································· （1分）24．解：（1）将A （-4，0）、B （2，0）代入2+4=−y ax bx ，得164404240.，−−=⎧⎨+−=⎩a b a b 解得：121.，⎧=⎪⎨⎪=⎩a b ····················································· （2分）所以，2142=+−y x x ． ············································································ （1分）当x =0时，4=−y ．∴点C 的坐标为（0，-4） ········································· （1分）（2）过点A 作AH ⊥DC ，垂足为点H ．∵D （-8，0）、C （0，-4），∴=·································（1分） ∵1122=⋅=⋅ADCSCD AH DA OC ， ·································································· （1分）∴44=⨯AH．∴=AH ． ······························································· （1分） ∵=，∴5=． ························· （1分） ∴tan ∠ACD=13==AH HC ． ····························································· （1分）（2）由题意可知，点P 在第一象限．过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．∵A （-4，0）、C （0，-4），∴OA =OC ．∴∠OAC =∠OCA ．∵∠OCD =∠OCA +∠ACD ，∠CAP =∠CAO +∠BAP ，∠OCD =∠CAP ，∴∠ACD =∠BAP ．∴tan ∠BAP =tan ∠ACD=13． ·········································· （1分）设PQ =a ，则AQ =3a ，OQ =3a -4．∴P （3a -4，a ）． ··························································································· （1分）将P （3a -4，a ）代入2142=+−y x x ，得()21343442−+−−=a a a ．解得120=9a ，2=0a （舍）．∴P （83，209）． ········································ （1分）25．解：（1）∵∠C= 90°，AC =2，BC =∴AB 4=． ················································································· （1分）∴2=BC AB ．∵BQ =2BP ，∴=BQ BP ∴=BQ BC BP AB． ······························································································· （1分）又∵∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ． ······························································ （1分） ∴∠BQP =∠BCA ．∵∠C= 90°，∴∠BQP =90°．即PQ ⊥AB ． ····································································································· （1分）（2）（i ）当∠PQD =90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在． ························································································ （1分）（ii ）当∠QPD =90°时，∵∠PQB =∠QPD =90°，∴AB ∥PD ，∴=CP CDBP DA． ∵CD =DA ， ∴BP =CP ．∵BC =，∴BP ． ················································································· （2分）（iii ）当∠QDP =90°时，过点Q 作QH ⊥AC ，垂足为点H ．设BP =2x ，则BQ x ，PC =2−x ，QA =4．∴AH =22−x ，QH =32−x ，HD =12−x ．∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°， ∴∠CDP =∠DQH ．∴tan ∠CDP =tan ∠DQH ． ∴=CP HDDC QH．。

2021年上海市中考真题模拟数学试卷(word版含答案)

2021年上海市中考真题模拟卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --． 2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（）A ．2a b b -<-； B ．2a ab <； C ．2ab b <； D ．22a b <． 3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <．4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（）A. 3B. 4C. 5D. 8 5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆 6. 下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________8、分解因式91024+-x x =__________9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________10．方程2+x =-x 的根是 .11. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示向量DE 为yx3-112．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ．14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）．15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”）16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是．（不写定义域）17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．17题图D C B A A B F 1 第18题图CD E F B 1三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长；（2）求sin ∠DBE 的值.22.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点．（1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．第21题图第22题图23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ．（1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．ABCEG F第23题25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.第25题图2021年上海市中考真题模拟卷答案数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --．【答案】D2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（）A ．2a b b -<-；B ．2a ab <；C ．2ab b <；D ．22a b <．【答案】A3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <．【答案】B4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（）A. 3B. 4C. 5D. 8 【答案】B5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆第12题图【答案】D6. 下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________ 【答案】189、分解因式91024+-x x =__________ 【答案】（x+1)（x -1)（x+3)（x -3)9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________ 【答案】（-1、-3）11．方程2+x =-x 的根是 . 【答案】x=-111. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示向量DE 为【答案】31 12．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有【答案】①14．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ．【答案】c b +14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）．【答案】m ∙tan α+h15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”）【答案】＜16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是．（不写定义域）【答案】x x y 62+=17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．【答案】453218．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．第15题图17题图DCBA ABF 1 第18题图CD EFB 1【答案】58三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．【模块/考点】实数的运算/零指数幂/负整数指数幂．【解析】原式32=20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩【模块/考点】代数与方程/二元二次方程组【解析】解：2222216(4)(4)09(3)(3)0,x xy y x y x y x y x y x y ⎧-+-=-+--=⎪⎨-=+-=⎪⎩ 则原方程可化为：4444,,,30303030x y x y x y x y x y x y x y x y -=--=--=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=-=⎩⎩⎩⎩解这些方程组得： 3636;;;1212x x x x y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长；（2）求sin ∠DBE 的值.第21题图【模块/考点】图形与几何/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角形比【解析】⑴ 12522CD AB ==⑵ ∵DCB DBC ∠=∠ ∴16CE =，则72DE =而252DB = 所以sin ∠DBE =DE DB =72225⨯=72522.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点．（1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．【模块/考点】函数与分析/一次函数和反比例函数解析式的求法【解析】解：（1）题意易得一次函数b x y +-=的解析式为：4+-=x y ， ∵点),1(n A 在直线4+-=x y 上，∴3=n ，∴点)3,1(A 将)3,1(A 代入反比例函数xky =，得3=k ，反比例函数的解析式为：xy 3=.由题意易得方程组解得： )3,1(A 、)1,3(B∴设一次函数4+-=x y 和y 轴的交点为N ，与x 轴交于点M ，. 易知：M （4,0），点N （0，4）， NA ：AB ：BM=1：2：1 ∴S 4442142=⋅⋅⋅==∆∆NOMABO S23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ．（1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．【模块/考点】几何与证明/平行线的性质/全等三角形的判定和性质【解析】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB AC BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒ CD CE =∴△CDE 是等边三角形∴60CDE ABC ∠=∠=︒，CD DE =ABDCEG F第23题第22题图∴DF AB ∥EF AE =，CD DE =∴AE EF CE DE= ∴AF BC ∥∴四边形ABDF 是平行四边形∴AB DF =又∵AB BC =∴BC DF =（2）∵△CDE 是等边三角形∴60CDE DCE ∠=∠=︒，CE CD DE ==又∵BC DF =∴BCE FDC △≌△∴CBE DFC ∠=∠又∵BED FEG ∠=∠∴BDE FGE △∽△∴BD DE FG EG= 又∵CD DE = ，2BD CD =∴2BD GF CD EG== ∴2GF EG =24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．【答案】解：（1）△抛物线经过A （﹣2，0），C（4，0）两点，△，解得．△抛物线的解析式为．（2）要寻找在第一象限外点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似，那么可以通过做BC的垂线，垂足分别为B、C，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点E的坐标．若点B为直角顶点，则点E的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2，2），此时点E不在抛物线上；若点C为直角顶点，则点E的坐标为（﹣4，﹣8）或（2，﹣2），此时点（﹣4，﹣8）在抛物线上．（3）△S△ABC=，S△BCD：S△ABC=1：4，△S△BCD=S△ABC=．如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DE△x轴于点E，则S△BCD=S梯形BOED+S△DCE﹣S△BOC=．即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．△点D的坐标为（1，）或（3，）．25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ．（1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.【模块/考点/题型】图形与几何/圆、相似三角形【解析】（1）联结OC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴OA =OB =OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ，又∵∠OAC +∠OCA +∠OCB +∠OBC =180°，∴∠OCA +∠OCB =90°．即∠ACB =90°．∵AC =6，BC =8， ∴2210AB AC BC =+=．∴⊙O 的半径为5．（2）过点P 作PD ⊥BC ，垂足为点D ．∵AP =x ，∴BQ =2x ，CQ =8-2x ，PB =10-x ．在Rt △PDB 中，∵sin PD B PB ∠=，∴61010PD x =-． ∴365PD x =-． ∴()113826225y CQ PD x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭()2342240455x x x =-+<< （3）（i ）当∠PQC =∠B 时，因为∠PQC >∠B ，不合题意，舍去．（ii ）当∠PQC =∠A 时，∠PCQ =∠B ，此时点P 和点O 重合，∴AP = PC =5．∵cos cos PCQ B ∠=∠，∴5810CQ =． ∴254CQ =．第25题图∴257844 BQ=-=．∴7174520BQkAP==⨯=．。

【打印版】2021年上海市虹口区中考一模数学试卷及解析

2021年上海市虹口区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共18分）1. 在△ABC中，∠C=90∘，如果BC=3，AC=4，那么tanA的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 452. 如果向量a⃗和b⃗⃗是单位向量，那么下列等式中，成立的是( )A. a⃗=b⃗⃗B. ∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣C. a⃗+b⃗⃗=2D. a⃗−b⃗⃗=03. 下列函数中，属于二次函数的是( )A. y=1x2−2B. y=√x2−2C. y=x2−2D. y=(x−2)2−x24. 将抛物线y=x2−3向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是( )A. y=x2−1B. y=x2−5C. y=(x+2)2−3D. y=(x−2)2−35. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1:2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )A. 10米B. 24米C. 25米D. 26米6. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE．如果tan∠EAC=13，S△CEF=1，那么S△ABC的值是( )A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题（共12小题；共48分）7. 如果a:b=3:2，那么aa+b=．(2a⃗−4b⃗⃗)=．8. 计算：3a⃗−129. 如果抛物线y=x2−a经过点(2,0)，那么a的值是．10. 如果抛物线y=(k+1)x2有最高点，那么k的取值范围是．11. 如果抛物线l经过点A(−2,0)和B(5,0)，那么该抛物线的对称轴是直线．12. 沿着x轴正方向看，抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．13. 点P是线段AB上的一点，如果AP2=BP⋅AB，那么AP的值是．AB14. 已知△ABC∽△AʹBʹCʹ，顶点A，B，C分别与顶点Aʹ，Bʹ，Cʹ对应，AD，AʹDʹ分别是BC，BʹCʹ边上的中线，如果BC=3，AD=2.4，BʹCʹ=2，那么AʹDʹ的长是．15. 如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB=3，CD=6，那么EF的长是．16. 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘，∠BDC=90∘，AD=4，BC=9，那么BD=．17. 如图，图中提供了一种求cot15∘的方法．作Rt△ABC，使∠C=90∘，∠ABC=30∘，再延长CB到点D，使BD=BA，连接AD，即可得∠D=15∘．如果设AC=t，则可得CD=(2+√3)t，=2+√3．运用以上方法，可求得cot22.5∘的值是．那么cot15∘=cotD=CDAC18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．三、解答题（共7小题；共84分）19. 计算：tan 245∘cot30∘−2cos45∘−2sin60∘．20. 已知二次函数的解析式为 y =12x 2−2x ．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y =a (x +m )2+k 的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系 xOy 内描点，画出该函数的图象．x ⋯⋯y ⋯⋯21. 如图，在 △ABC 中，点 G 是 △ABC 的重心，联结 AG ，联结 BG 并延长交边 AC 于点 D ，过点G 作 GE ∥BC 交边 AC 于点 E ．（1）如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，用 a ⃗，b ⃗⃗ 表示向量 BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗；（2）当 AG ⊥BD ，BG =6，∠GAD =45∘ 时，求 AE 的长．22. 图 1 是一款家用落地式取暖器．如图 2 是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形 ABCD 是取暖器的主体，等腰梯形 BEFC 是底座，BE =CF ，烘干架连杆 GH 可绕边 CD 上一点 H 旋转，以调节角度．已知 CD =50 cm ，BC =8 cm ，EF =20 cm ，DH =12 cm ，GH =15 cm ，∠CFE =30∘．当 ∠GHD =53∘ 时，求点 G 到地面的距离．（精确到 0.1 cm ）（参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，√3≈1.73）23. 如图，在△ABC中，点D，G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC，EG∥AB，AE，BD交于点F，BF=AG．（1）求证：△BFE∽△CGE；（2）当∠AEG=∠C时，求证：AB2=AG⋅AC．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点．（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式．（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC=∠ACB时，求点P的坐标．（3）如果抛物线y=ax2+bx+c的顶点D位于△BOC内，求a的取值范围．25. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，过点A作射线AM∥BC，点D，E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），连接BD，BE分别交边AC于点F，G，∠DBE=∠C．（1）当AD=1时，求FB的长；（2）设AD=x，FG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）连接DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．答案第一部分1. A2. B3. C4. D5. D6. C第二部分7. 358. 2a ⃗+2b ⃗⃗9. 410. k <−111. x =3212. 下降13. √5−1214. 1.615. 216. 617. √2+118. 2 或 4017第三部分19. 原式=√3−√22×√32=√3+√2−√3=√2.20. （1） y =12x 2−2x=12(x 2−4x )=12(x 2−4x +4−4)=12(x −2)2−2.（2） x ⋯01234⋯y ⋯0−32−2−320⋯21. （1） ∵ 点 G 是 △ABC 的重心，∴BD 是 AC 边上的中线，即 AD =12AC ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗−a ⃗ .∵ 点 G 是 △ABC 的重心，∴BG =2GD ，即 BG =23BD . ∴BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(12b ⃗⃗−a ⃗)=13b ⃗⃗−23a ⃗．（2）由上可知 ∵BG =2GD =6，∴GD =3．在 Rt △AGD 中，sin∠GAD =GD AD =√22， ∴AD =3√2．∵BD 是 AC 边上的中线，∴DC =AD =3√2．∵GE ∥BC ，∴DG DB =DE DC =13， ∴DE =√2．∴AE =AD +DE =3√2+√2=4√2．22. 分别延长 AB ，DC 交 EF 于点 M ，N ，则有 BM ⊥EF ，CN ⊥EF ．过点 G 作 GP ⊥CD 于点 P ，则点 G 到地面的距离等于 PN 的长．根据题意，可知 BC =MN =8 cm ，EM =NF =(20−8)÷2=6 cm ，在 Rt △CNF 中，tan∠CFE =CN NF =√33， ∴CN =2√3 cm ，在 Rt △GPH 中，cos∠GHD =PH GH ≈0.60，∴PH =9.0 cm ，∴PN =PH +HC +CN =9+(50−12)+2√3=50.46≈50.5 cm ．答：点 G 到地面的距离约为 50.5 cm ．23. （1） ∵DB =DC ，∴∠DBC =∠C ．∵EG ∥AB ，∴AG GC =BE EC ．∵BF =AG ，∴BF GC =BE EC ．∴△BFE ∽△CGE ．（2） ∵△BFE ∽△CGE ，∴∠BEF =∠CEG ．又 ∵EG ∥AB ，∴∠ABE =∠CEG ．∴∠ABE =∠BEF ．∴AB =AE ．∵∠EAG =∠CAE ，∠AEG =∠C ，∴△AEG ∽△ACE ．∴AE AC =AG AE ．∴AE 2=AG ⋅AC ．∴AB 2=AG ⋅AC ．24. （1） ∵y =ax 2+bx +c 过 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴{0=a −b +c,0=9a +3b +c,3=c.解得：{a =−1,b =2,c =3.∴y =−x 2+2x +3．（2） ∵∠PBC =∠ACB ，∠OBC =∠OCB =45∘，∴∠PBO =∠ACO ，∴tan∠PBO =tan∠ACO =13．设点 P 的坐标为 (x,−x 2+2x +3)，过点 P 作 PQ ⊥x 轴，垂足为点 Q ． ∵ 点 P 在第三象限，∴tan∠PBO =PQ BQ =−(−x 2+2x+3)3−x=13，解得 x =3（舍）或 x =−43．∴ 点 P 的坐标为 (−43,−139)．（3） ∵y =ax 2+bx +c 过 A (−1,0)，B (3,0)，∴{0=a −b +c,0=9a +3b +c.解得：{b =−2a,c =−3a.∴y =ax 2−2ax −3a ．∴ 抛物线 y =a (x −1)2−4a 的顶点 D 坐标是 (1,−4a )．∴ 即抛物线的顶点 D (1,−4a ) 在对称轴直线 x =1 上．设直线 x =1 交边 CB ，OB 于点 M ，N ，可得 M (1,2)，N (1,0)．又 ∵ 顶点 D 位于 △BOC 内，即顶点 D 在线段 MN 上（除点 M ，N 外）， ∴0<−4a <2，即 −12<a <0．∴a 的取值范围是 −12<a <0．25. （1） ∵AD ∥BC ，∴AD BC=DF FB ． ∵AD BC =14， ∴FB =45BD ．∵AD ∥BC ，∠ABC =90∘，∴∠BAD =90∘．∵AD =1，AB =3，∴BD =√12+32=√10．∴FB =45√10．（2） ∵∠ABC =90∘，AB =3，BC =4， ∴AC =5．∵∠BAD =90∘，AB =3，AD =x ， ∴BD =√x 2+9．∵AD ∥BC ，∴FA FC =FD FB =AD BC =x 4．∴ 可得 FC =20x+4，FB =4√x 2+9x+4．∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ， ∴△FBG ∽△FCB ．∴FB 2=FG ⋅FC ．∴(4√x 2+9x+4)2=y ⋅20x+4．即 y =4x 2+365x+20(0<x <4)．（3） AD 的长为 78 或 32 或 94．。

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AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。