上海市数学中考一模试卷
2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题
2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1）AB C D 2．已知a b >，下列不等式成立的是（ ）A ．a b ->-B ．22a b -<-C ．22a b <D ．0a b -< 3．当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．55．下列命题中，真命题的是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．四个内角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形 6．如图，在ABC V 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC V 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）A ．60ADC ∠=︒B ．60ACD ∠=︒C ．BCD ECD∠=∠ D ．BAD BCE ∠=∠二、填空题7．计算：3262a a ÷=．8．在实数范围内因式分解23=x -9．函数y =10．若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是．11．布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是．12．已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是． 13．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a u u u r r =，向量BC b u u u r r =，那么向量BF =u u u r ．（用含a r 、b r 的式子表示）15．近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是元．16．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =．17．如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是厘米．18．已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是．三、解答题19．计算：)0112112713-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．20．解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨-+-=⎩．21．如图，已知在ABC V 中，9AB AC ==，cos B =点G 是ABC V 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F ．(1)求AG 的长；(2)求BE 的长．22．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：(1)图中的=a _______，b =______；(2)求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；(3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．23．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．(1)求证：四边形BCED 是菱形；(2)连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．24．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．(1)如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．(2)如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．25．已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值； (2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG V 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．。
2023年上海市虹口区中考一模数学试卷(解析版)
2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A.30° B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：.= 3.3，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2.如图，在Rt ABC △中，9012C AC BC ∠︒==，，，那么cos A 的值为（）A.12B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理求解AB ，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵9012C AC BC ∠=︒==，，，∴AB ==，∴5cos5AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．3.已知抛物线()221y a x =-+有最低点，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.a<0C.2a > D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到20a ->，由此即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵二次函数()221y a x =-+的图像有最低点，∴函数图象开口向上，则20a ->，解得2a <．故选D ．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.0abc <【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图象的开口向下，则0a <，此选项不符合题意；B 、对称轴在y 轴右边且0a <，则0b >，此选项符合题意；C 、图象与y 轴正半轴相交，则0c >，此选项不符合题意；D 、0abc <，此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．5.如果点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，那么1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y >B.12y y < C.12y y = D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的y 值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案．【详解】解： 点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，∴抛物线对称轴为0y =，∴()12,A y -到对称轴距离为2；()23,B y -到对称轴距离为3，抛物线2y x k =+中二次项系数为正，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近y 值越小，即12y y <，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数y 值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数y 值大小比较的方法步骤是解决问题的关键．6.如图，点D E 、分别在ΔABC 边AB AC 、上，3AB AE AD CE==，且AED B ∠=∠，那么ADAC 的值为（）A.12B.13C.14D.23【答案】A 【解析】【分析】根据AED B ∠=∠与A A ∠=∠，即可得到ΔADE ∽ΔACB ，即可得到AD AEAC AB=，结合3AB AE AD CE==即可得到ADAC 的值；【详解】解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ΔADE ∽ΔACB ，∴AD AEAC AB =，∵3AB AEAD CE ==，∴343AD CECE AD=，∴224AD CE =，∴142AD AD AC CE ==，故选A ．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到AD 与CE 的关系．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，那么b =________．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的概念，可得a bb c=，可得216b ac ==，即可得到b 的值，注意线段的长为正数．【详解】解：∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，∴a b b c=，∴216b ac ==，解得4b =±，又∵线段的长度是正数，∴4b =．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．8.计算：()12622b a b --=__________．【答案】33b a-【解析】【分析】按照向量线性运算法则计算即可．【详解】解：()12622b a b --，1126222b a b =-⨯+⨯ ，23b a b =-+ ，33b a =- ，故答案为：33b a -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．9.抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是___________．【答案】()0,3【解析】【分析】令0x =得出y 的值，从而得出与y 轴的交点坐标．【详解】令0x =，得3y =，∴抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y 轴交点的求法是解题的关键．10.沿着x 轴正方向看，抛物线22y x x =-+在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：因为10a =-<，所以抛物线22y x x =-+在对称轴右侧部分是下降的，故答案为：下降．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．11.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．【答案】222y x x =+-【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．【详解】解：将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为：222y x x =+-；故答案为：222y x x =+-．【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．12.已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…1-0234…y…522510…如果点()2,m -在此抛物线上，那么m =___________．【答案】10【解析】【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点()2,m -在此抛物线上，代值求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，52242a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为222y x x -=+，点()2,m -在此抛物线上，()()2222210m ∴=--⨯-+=，故答案为：10．【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键．13.已知111ABC A B C ∽△△，顶点、、A B C 分别与111A B C 、、对应，1112,9AC A C ==，1A ∠的平分线的长为6，那么A ∠的平分线的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据题意，作出图形，根据111ABC A B C ∽△△，由三角形相似的性质得到111ABD A B D △∽△，再由三角形相似的性质即可得到答案．【详解】解：如图所示：111ABC A B C ∽△△，1112,9AC A C ==，1111B B BAC B A C ∴∠=∠∠=∠，，111112493AB AC A B A C ===，AD 是BAC ∠的角平分线，11A D 是111B A C ∠的角平分线，111BAD B A D ∴∠=∠，∴111ABD A B D △∽△，∴111143AD AB A D A B ==， 1A ∠的平分线的长为6，∴A ∠的平分线的长为11114683AB AD A D A B =⋅=⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决问题的关键．14.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，已知ABD △和BCD △的面积比是12：，AB a =，DB b =，那么用向量、a b 表示向量AC 为________．【答案】33a b-【解析】【分析】由题中ABD △和BCD △的面积比是12：，根据三角形“等高”的面积表示即可知道12AD DC =，根据平面向量的加法运算可知()33AC AD AB BD ==+，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ⊥，如图所示：ABD △和BCD △的面积比是12：，∴112122ABDCBDAD BES AD S DC DC BE ⋅===⋅△△，∴AC 3AD =，AB a =，DB b =，∴用向量、a b 表示向量AC 为AC3AD= ()3AB BD=+ ()3AB DB =- ()3a b =- 33a b =- ，故答案为：33a b -．【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表示是解决问题的关键．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E F 、分别在边AB CD 、上且EF AD ∥，已知:1:2AE EB =，3,4AD EF ==，那么BC 的长是________．【答案】6【解析】【分析】由题中AD BC ∥，EF AD ∥，得到AD BC ∥EF ∥，从而利用平行线分线段成比例定理得到12DF AE FC EB ==，连接AC ，如图所示，由相似三角形的判定得到∽CFH CDA △△、AEH ABC ∽△△，利用相似比即可得到答案．【详解】解：连接AC在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EF AD ∥，AD EF BC ∴∥∥，:1:2AE EB =，12DF AE FC EB ∴==， EF AD ∥，D HFC ∴∠=∠，FCH DCA ∠=∠ ，∽CFH CDA ∴△△，23HF CF AD CD ∴==， 3,4AD EF ==，24323EH EF HF ∴=-=-⨯=， EF BC ∥，B AEH ∴∠=∠，EAH BAC ∠=∠ ，∽AEH ABC ∴△△，13EH AE BC AB ∴==，3326BC EH ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 为ABC 的重心，过点G 作GD BC ∥交AB 于点D ．已知310sin 5AB B ==，，那么GD 的长为________．【答案】83【解析】【分析】如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，先由重心的定义得到O 为AB 的中点，则152OC OB AB ===，得到OCB OBC ∠=∠，再由平行线的性质推出OGD ODG ∠=∠，得到OG OD =，则2GD GH =，由重心的性质求出53OG =，解Rt OGH 求出43GH =，则823GD GH ==．【详解】解：如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，∵点G 为ABC 的重心，90ACB ∠=︒∴O 为AB 的中点，∴152OC OB AB ===，∴OCB OBC ∠=∠，∵GD BC ∥，∴OGD OCB ODG OBC ==∠∠，∠∠，∴OGD ODG ∠=∠，∴OG OD =，∵OH GD ⊥，∴2GD GH =，由重心的性质可知1533OG OC ==，在Rt OGH 中，3sin sin 5OGH B ==∠，∴sin 1OH OG OGH =⋅=∠，∴43GH ==，∴823GD GH ==，故答案为：83．【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD 、四边形EFGD 和四边形EAIH 都是正方形．如果图中EMH ∆与DMI ∆的面积比为169，那么tan GDC ∠的值为_________________．【答案】47【解析】【分析】先判定EMH 和DMI △相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为43，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出CG 、CD ，即可求解．【详解】解：在EMH 和DMI △中，EMH DMI ∠=∠，EHM DIM ∠=，EMH DMI∴ EMH 面积：DMI △面积169=43EH DI ∴= 四边形EAIH 为正方形EH AI ∴=，即43AI DI =则7AD AI DI =+=在ADE V 中，根据勾股定理：DE =四边形EFGD 、ABCD 为正方形DG DE ∴==7CD AD ==根据勾股定理：CG =4tan 7CG GDC CD ∴∠==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离是3，“等高底”ABC ∆的“等底”BC 在直线1l 上（点B 在点C 的左侧），点A 在直线2l 上，AB =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，点A C 、的对应点分别为点11A C 、，那么1AC 的长为____________．【答案】3-【解析】【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．【详解】解：当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴=45ABC ∠︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，113AC A B BC =-=-；当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴45ABD ∠=︒，135ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，145ABA ∠=︒，1A B AB ==∴190A BC ∠=︒，∴在1Rt A BC △中，1A C ==故答案为：3-．【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：cos 245°tan302sin60︒-︒＋cot 230°.【答案】196.【解析】【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭23332＋)2＝1123-＋3＝196.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．【答案】（1）265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5（2）6【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【小问1详解】解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c=++010255b c b c =++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5【小问2详解】()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．21.如图，在Rt ABC 中，290,9,sin 3BAC BC B ∠=︒==，点E 在边AC 上，且2AE EC =，过点E 作DE BC ∥交边AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交线段DE 于点F ，求DF 的长．【答案】4【解析】【分析】在Rt ABC △中，得出AC ，由DE BC ∥得出ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质得出23DE AE BC AC ==，得出6DE =，由CF 平分ACB ∠，得出ACF BCF ∠=∠，继而得出2EF EC ==，即可求解．【详解】解：∵29,sin 3BC B ==在Rt ABC △中，2sin 963AC BC B =⋅=⨯=∵2AE EC =，∴2EC =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC△△∽∴23DE AE BC AC ==∵9BC =，∴6DE =，∵DE BC ∥，∴EFC BCF ∠=∠，∵CF 平分ACB ∠，∴ACF BCF ∠=∠，∴EFC ACF∠=∠∴2EF EC ==，∴4DF =【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明ADE ABC △△∽是解题的关键．22.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB 是缓降器的底板，压柄BC 可以绕着点B 旋转，液压伸缩连接杆DE 的端点D E 、分别固定在压柄BC 与底板AB 上，已知12cm BE =．（1）如图2，当压柄BC 与底座AB 垂直时，DEB ∠约为22.6︒，求BD 的长；（2）现将压柄BC 从图2的位置旋转到与AB 成37︒角（即37ABC ∠=︒），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆DE 的长．（结果保留根号）（参考数据：5125sin 22.6,cos 22.6tan 22.6131312︒≈︒≈︒≈；343sin37,cos37,tan37554︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）5cm（2【解析】【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；（2）过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，根据三角函数解直角三角形求出,BH DH 的值，根据EH BE BH =-求出EH 的长度，然后根据勾股定理可得DE 的长度．【小问1详解】解：在Rt BDE △中，5tan 12tan 22.612512BD BE BED =⋅∠=⨯︒≈⨯=，答：此时BD 的长约为5cm ；【小问2详解】过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，cos 5cos374BH BD DBE =⋅∠=︒≈，sin 5sin 373DH BD DBE =⋅∠=︒≈，∴1248EH BE BH =-=-=，在Rt DEH △中，DE ==，答：此时液压伸缩连接杆DE ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．23.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点F ，ADB ACB ∠=∠．（1）求证：ABD ACD ∠=∠；（2）过点A 作AE DC ∥交BD 于点E ，求证：EF BC AD AF = ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明AFD BFC ，再证明ABF DCF V :V ，即可求证；（2）先证明FAE FBA △△ ，再证明AFD BFC ，即可求证．【小问1详解】证明：∵,ADB ACB AFD BFC ∠=∠∠=∠，∴AFD BFC∴AF DF BF CF =，即AF BF DF CF=，∵AFB DFC ∠=∠，∴ABF DCF V :V ，∴ABD ACD ∠=∠．【小问2详解】证明：∵AE DC ∥，∴FAE ACD ∠=∠，∵ACD ABF ∠=∠，∴FAE ABF ∠=∠，∵AFE AFB Ð=Ð，∴FAE FBA △△ ，∴EF AF AF BF=∵AFD BFC ，∴AF AD BF BC =∴EF AD AF BC =即EF BC AD AF = ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y x kx k k =-+-<的顶点为P ，抛物线与y 轴交于点A ．（1）如果点A 的坐标为()0,4，点()3,B m -在抛物线上，连接AB ．①求顶点P 和点B 的坐标；②过抛物线上点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，DM 交线段AB 于点E ，如果DE EM =，求点D 的坐标；（2）连接OP ，如果OP 与x 轴负半轴的夹角等于APO ∠与POA ∠的和，求k 的值．【答案】（1）①顶点()15P -，；点()31B -，；②点()24D -，；（2）2k =【解析】【分析】（1）①把()0,4A 代入224y x kx k =-+-求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B （3，m ）代入求出m 的值即可得点B 坐标；②先求出AB 的解析式，根据DE EM =，列出等式即可求点D 的坐标．（2）过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，构建直角三角形，从而得到POQ PAN ∠=∠，tan tan POQ PAN ∠=∠，即可建立等式求出k 的值．【小问1详解】解：如图1，①把()0A ，4代入224y x kx k =-+-，∴44k -=，解得1k =-，∴抛物线的表达式为()222415y x x x =--+=-++∴顶点()15P -，把()3B m -，代入224y x x =--+，得1m =，∴点()31B -，，②∵()0A ，4，()31B -，可得直线AB 的解析式为4y x =+，设()224D t t t --+，，则()()4,0E t t M t +，，，∵DE EM =，∴234t t t --=+，解得122t t ==-∴点()24D -，．【小问2详解】解：如图2，过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，由题意可得，点()04A k -，，∵()222244y x kx k x k k k =-+-=--+-，∴()24P k k k -，，由题意可得POQ APO POA ∠=∠+∠，∵PAN APO POA ∠=∠+∠，∴POQ PAN ∠=∠，即tan tan POQ PAN ∠=∠，∴22444k k k k k k k--=--+，解得1222k k ==，∵0k <，∴2k =的关键．25.如图，在ABC 中，310,sin 5AB AC B ===，点D E 、分别在边AB BC 、上，满足CDE B ∠=∠．点F 是DE 延长线上一点，且ECF ACD ∠=∠．（1）当点D 是AB 的中点时，求tan BCD ∠的值；（2）如果3AD =，求CF DE的值；（3）如果BDE △是等腰三角形，求CF 的长．【答案】（1）1tan 4BCD ∠=（2）107CF DE =（3）CF =【解析】【分析】（1）过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，利用310,sin 5AB AC B ===求出BG 、BH 、DH 的长，即可得出结论；（2）证明DCE BCD ∽和CFD CAB △∽△，得出CF CA DE BD=，代入数值即可得出结论；（3）分三种情况讨论，DEB B ∠=∠，BDE B ∠=∠，BDE DEB ∠=∠，进而得出结论．【小问1详解】过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，∵310,sin 5AB AC B ===，∴在Rt ABG △中，cos 8BG AB B == ，∵AB AC =，∴216BC BG ==，∵点D 是AB 的中点，∴5BD =，在Rt BDH △中，cos 4BH BD B == ，sin 3DH BD B == ，∴16412CH =-=，在Rt CDH △中，31tan 124DH BCD CH ∠===；【小问2详解】∵,CDE B DCE BCD ∠=∠∠=∠，∴DCE BCD ∽，∴DE CD BD BC =，∵ECF ACD ∠=∠，∴ACB DCF ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CFD CAB △∽△，∴CF CD CA CB =，∴CF DE CA BD =，即CF CA DE BD=，∵3AD =，∴7BD =，∴107CF DE =；【小问3详解】∵BDE △是等腰三角形，①DEB B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CDE DEB ∠=∠，∴CD BC ∥，∴舍去；②BDE B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴290CDB B ∠=∠<︒，∵90CDB A ∠>∠>︒，∴舍去；③BDE DEB ∠=∠，∴BD BE =，过点E 作EP BD ⊥，垂足为P ，可得44331,,55555BP BE BD EP BE BD DP BD =====，105DE BD ==∴，由DCE BCD ∽得DE CD BD BC=，即10516BD CD BD =，∴CD =由（2）可得，CFD CAB △∽△，CF CD CA CB =，∴161051016CF =，可得CF =综合①②③，CF =【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．第25页/共25页。
上海市2024届长宁区中考数学一模
考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤上海市2024届长宁区中考数学一模.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果∠A =α，BC =a ，那么AC 等于 （A ）a ⋅tan α； （B ）a ⋅cot α；（C ）asin α； （D ）acos α． 2．下列关于抛物线y x x =+−223的描述正确的是（A ）该抛物线是上升的； （B ）该抛物线是下降的；（C ）在对称轴的左侧该抛物线是上升的； （D ）在对称轴的右侧该抛物线是上升的． 3．已知点C 在线段AB 上，且满足2=⋅AC BC AB ,那么下列式子成立的是（A ）AC BC =−512； （B ）AC AB =−512； （C ）BC AB =−512； （D ）BC AC =−352． 4．已知a 为非零向量，且=−3b a ，那么下列说法错误的是 （A ）=−13a b ； （B ）=b a ||3||；（C ）b a +=30； （D ）//b a ．5．如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC （A ）AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23 ； （C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD = 43 ，AE EC = 43 ．6．已知在△ABC 与△A'B'C'中，点D 、D'分别在边BC 、B'C'上，（点D 不与点B 、C 重合， 点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC 与△A D C '''相似，点A 、D 分别对应点A'、D'， 那么添加下列条件可以证明△ABC 与△A'B'C'相似的是 ①AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的角平分线； ②AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的中线； ③AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的高．（A ）①②； （B ）②③； （C ）①③； （D ）①②③．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．如果=x y 53（x 、y 均不为零），那么+x x y :()的值是 ▲ ． 891011 ．12 ． 13．已知向量a 与单位向量e 方向相反，且a =||3，那么a = ▲ ．（用含向量e 的式子表示）14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 15．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，且BC = 5，AD =3，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和如果EH =2EF ，那么EH = ▲ ．16．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点G 是△ABC 的重心，联结GA 、GC ，如果AC =3，AG =53，那么∠GCA 的余切值为 ▲ ． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC 中，AB =AC =10，点D 、E 都在边BC 上，AD =AE =5， 如果△ABC 与△ADE 是友好三角形，那么BC 的长为 ▲ ．18．如图，在矩形ABCD 中，AD =8，AB =4，A C 是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将△DPC 沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好 落在△ADC 内，那么线段BP 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知抛物线y x x =++2241．（1）用配方法把y x x =++2241化为=++y a(x m)k 2的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；ABCD EF第11题图、 G ACBHFED 第15题图A B C G第16题图ABCD第18题图（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点14（，），求平移后的抛物线的顶点坐标．20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 、AC 相交于点F ． （1）设AB a =，AD b =，试用a 、b 表示EF ；（2）先化简，再求作：32)(2)a b a b +−+（2（直接作在图中）．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AC ⊥BC ，DE ⊥AC ， 垂足为点E ，AC =4，DE =3． （1）求:AD AB 的值；（2）联结BD 交AC 于点F ，如果BAC ∠=tan 12，求CF 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A 、B 两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH 、QR 、EF 在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在△ABC 中，点、D E 分别是、BC AD 的中点，AFE DCB第20题图 AE DC B 第21题图AF E图1 第22题图 A B O CP βαD 图2Q R 图3且=AD AC ，联结CE 并延长交AB 于点F ． （1）证明：△ABC ∽△DCE ； （2）证明：=4BF EF ． 24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线122=++y x bx c 与x 轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线y x =−−6经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果、C F 两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当⊥DF CF 时，求∠PDF 的正切值； ②如果PD :DE=3:5，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知△ABC 中，∠=∠ABC C 2，BG 平分∠ABC ，=AB 8，=AG 316，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且∠=∠ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2） 如图1，如果=BF CE 2，求BF :GF 的值； （3）如果△ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．ABCGA BC G DEFA BC G AOB yC x第24题图AOB yC x备用图7一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二．填空题：（本大题共12题，满分48参考答案分）．38； 8．−31； 9．23； 10．4:9； 11．6； 12．−11； 13．3e −→；14．1:2.4； 15．3011； 16．32； 17．85； 18．<<BP 46． 三、解答题（本大题共7题, 满分78分）19. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）=+−y x 2112)( (2分)开口方向向上，对称轴直线=−x 1，顶点坐标−−1,1)(； (3分)（2）设平移后的解析式为 =+−+y x m 2112)( (1分)代入点1,4)( ，得 =−+m 481，=−m 3 (2分)∴平移后的解析式为： y x （）=+−2214(1分) ∴平移后的顶点坐标为−−1,4)(. (1分) 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC //，=AD BC (1分)∵E 是AD 的中点，∴=12AE AD ，∴AE BC =12∵AD BC //， ∴==FB BC EF AE 21 ∴=EF EB 31 (1分) ∵ 、EF EB →→方向相同 ∴13EF EB =→→(1分) ∵E 是AD 的中点，且EA →与EB →反向，∴12EA AD =−→→， (1分)∵AB a =，AD b =，∴1=EB EA AB b a +=−+2 (1分)∴111EF EB a b ==−336(1分)（2）原式=2332a b a b +−−→→→→=12a b −−→→ (2分) 作图 (1分) 结论 (1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵⊥DE AC ∴∠=︒AED 90 ∴，中∆∠∠=︒Rt AED ADE EAD +90∵∠=∠+∠=︒BAD BAC EAD 90 ∴∠=∠ADE BAC (1分)∵⊥AC BC ∴ ACB 90∠=︒ ∴∠=∠ACB AED (1分) ∴∽∆∆AED BCA ， ∴=AD AB DEAC(2分) ∵DE AC ，==34， ∴AD AB =34(1分) （2）∵ 在∆Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，∴tan ∠=BAC BCAC∵BAC AC ，∠==tan 124 ∴BC =2 (1分)∵∽∆∆AED BCA ∴AE BC DE AC ==34 ∴AE =32(1分) ∴CE AC AE =−=52(1分) ∵⊥⊥DE AC BC AC , ∴DE BC // ∴EF FC DE BC ==32(1分)∴ =25CF CE ∴=CF 1 (1分)22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分） 解：（1）90︒−α(2分)（2）延长GQ 交EF 于点M.由题意可知∠EGM=30°，∠EQM=45°， GQ =10米 ， MF=1.6米 (2分) 设EM =x ，则QM =x ， GM =10+x ， (1分) ∵在∆Rt EGM 中，∠EMQ=90︒ ，∴ tan ∠=EGM EM GM ， ∴ xx ︒=+tan 3010 ， (1分)∴ x =+535 (2分)∴ =+=++=+EF EM MF ..535165366米 (1分) 答: 大楼房EF 的高度为+53 6.6米. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD 即 ∠=∠EDC ACB （1分） ∵D 、E 分别是BC 、AD 的中点 ∴==AC AD ED ED 21，=BC CD 21（2分）∴=AC BCED CD（1分） ∴∆ABC ∽∆DCE （1分）（2）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD∵∆ABC ∽∆DCE ∴∠=∠ECD B ∴=CF BF （2分） ∵∠=∠+∠ADC B FAE ，∠=∠+∠ACD ECD ACF∴∠=∠FAE ACF （1分） ∵∠=∠AFE CFA ∴∆AFE ∽∆CFA （1分）∴===AF CF AC EF AF AE 21（1分） ∴=⋅=CF AF CF EF EF AF 41（1分） ∴=BF EF 41∴=BF EF 4 （1分） 24．（本题满分12分，每小题4分）（1）解：由=−−y x 6过x 轴上点A ，又过y 轴上点C ，令=y 0，得=−x 6，∴−A 6,0)( （1分） 令=x 0，得=−y 6，∴−C 0,6)( （1分）由于抛物线=++y x bx c 212过点A 、C ， ∴⎩−+=⎨⎧=−b c c 18606，⎩=−⎨∴⎧=c b 62（1分）∴=+−y x x 22612（1分） （2）① 解：已知抛物线y x x =+−21226与轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧） 令 =y 0，得=−x 6或=x 2，∴B 2,0)( （1分）(0,6)C −、点F 关于直线=−x 2对称， ∴−−F 4,6)( （1分）∴⊥CF CO DF CF ⊥ ∴DF CO // ∴∠=∠FDC OCD //PD BC ∴∠=∠PDC BCD∴∠−∠=∠−∠PDC FDC BCD OCD 即∠=∠PDF BCO （1分） ∴∠=∠==CO PDF BCO BO 3tan tan 1（1分） ②解：分别过点、D P 作⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，垂足为、G H//PE BC ∴∠=∠DEG OCB ∴∠=∠=DEG OCB 3tan tan 1（1分）在∆Rt DEG 中，∠==EG DEG DG 3tan 1∴设==DG t EG t 5,15在∆Rt DCG 中，∠==CGDCG DGtan 1 ∴ =CG t 5⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，∴DG PH //∴===PH EH EP DG EG ED 85∴==PH t EH t 8,24，∴=−=CH EH EC t 4，∴=+OH t 64 （1分）∴−−−P t t 8,64)( （1分） 把−−−P t t 8,64)(代入=+−y x x 22612得−−=−+⨯−−t t t 264(8)2(8)612解得：=t 83，去舍=t 0()，⎝⎭ ⎪∴−−⎛⎫P 23,15 （1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（1）解： ABC C ∠=∠2， BG 平分∠ABC∴∠=∠=∠ABG CBG CBAG CAB ∠=∠ ABG ACB ∴∆∆（1分）∴==AB AC BC AG AB BG GBC C ∠=∠ =BG CG （1分）8,AB AG ==316 +∴==CG BC CG38163816∴=CG 320=BC 10（2分） （2）解： 过点G 作GH BC // ，交 AD 于HADC ABD BAD ∠=∠+∠，∠=∠+∠ADC ADE EDC ，∠=∠ABD ADE ∴∠=∠BAD EDC ABG C ∠=∠， ABF DCE ∴∆∆ （1分）∴=AB BF CD CE2,8BF CE AB ==，∴=CD 4 10BC =∴=BD 6 （1分）162033AG CG ==, ， ∴=+=AC AG CG 12//GH CD ∴=CD AC GH AG 即 =GH412316∴=GH 916 （1分）//GH BD ∴==GF GH BF BD 827（1分）（3）解：①当=AD AE 时，∠=∠ADE AEDADE ABC C ∠=∠=∠2，∠=∠+∠AED EDC C∴∠=∠EDC C BAD EDC ∠=∠ ∴∠=∠BAD C（1分） ABD CBA ∠=∠ ABD CBA∴∆∆（1分） ∴=AB BC BD AB =BD 8108 =BD 532 （1分） ②当=AD DE 时，在BC 上在取点M ，使得∠=∠CEM C ，则=ME MC DME C CEM C ∠=∠+∠=∠2 ∠=∠ABD C 2 ∴∠=∠DME ABDBAD EDM ∠=∠ =AD DE ∴∆≅∆ABD DME（1分）∴==AB DM 8 ==BD ME MC （1分） BC BD DM MC =++ =++BD BD 108 ∴=BD 1（1分） 综上，325BD =或1。
2024届上海市松江区初三一模数学试卷(含答案)
2024届上海市松江区初三一模数学试卷（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）2024.01考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题.2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.下列函数中，属于二次函数的是（▲）（A ）2y x =−；（B ）2y x =； （C ）221)y x x =−+（； （D ）22y x =． 2.在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠A =α， BC =a ，那么AB 的长为（▲）（A ）a sin α; （B ）cos aα; （C ）a sin α; （D ）a cos α.3.关于二次函数22(1)y x 的图像，下列说法正确的是（▲）（A ）开口向上；（B ）经过原点；（C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1，0）．4.下列条件中，不能判定a ∥b 的是（▲）（A ）a ∥c ，b ∥c ，其中0c ≠；（B ）a c =−，2b c =；（C ）2a b =− ；（D ）||3||a b =. 5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AH =3，矩形DEFG 的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果GF 正好经过△ABC 的重心，那么BD ·EC 的积等于（ ▲ ） （A ）4;（B ）1;（C ）1625; （D ）925. 6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，点A 与点A 1、点B 与点B 1、点C 与点C 1、点D 与点D 1分别是对应顶点，已知k B A AB=11.(第5题图)H G F AE CB D该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的面积比等于2k ；②四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的两条对角线的和之比等于k . 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）①正确，②错误； （B ）①错误，②正确； （C ）①和②都错误；（D ）①和②都正确.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若12y x = ，则y x y =+ ▲ .8.A 、B 两地的实际距离AB =250米,画在地图上的距离A ′B ′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是 ▲ .9.某印刷厂一月份印书50万册,如果第一季度从2月份起,每月印书量的增长率都为x ，三月份的印书量为y 万册,写出y 关于x 的函数解析式是 ▲.10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，如果AB =5，那么AP = ▲ . 11.在直角坐标平面中，将抛物线2(1)2y x =−++，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .12.如果一个二次函数图像的顶点在x 轴上，且在y 轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式： ▲ .13.如图，一辆小车沿着坡度为1: 2.4的斜坡从A 点向上行驶了50米，到达B 点，那么此时该小车上升的高度为 ▲米.14.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且43AB CD =，若AB m =， AD n =．请用m ，n 来表示AC = ▲ .15.如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线m 于点A 、B 、C ，交直线n 于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，AB =2BC ，DF =6,那么EF = ▲ .16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,点E 是AD 的中点，BE 、CD 的延长线交于点F ，如果AD :BC =2:3,那么:EDF AEB S S △△=▲ .n mA DE B CF（第15题图）l 3l 2 l 1DBA(第18题图)(第14题图)CBAD （第16题图）(第13题图)水平面ABACB15° (第22题图)30°M17.在△ABC 中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果△OBC 是等边三角形，那么tan ∠ABC = ▲ .18.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，将边AB 绕点A 逆时针旋转，点B 落在B '处，联结BB '、CB '，若90BB C ∠'=︒，则BB '= ▲ . 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．x … 0 1 2 3 4 … y…3-1?3…（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点P （5，t ）是图像上一点，求△P AD 的面积.20.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知ED BC ∥，EF AB ∥，AD =3，9DB =．（1）求BFFC的值； （2）若△ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积． 21.（本题满分10分）已知：如图，△ABC 中，AB =15，BC =14， 4sin 5B =，AD ⊥BC 于D . （1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot ∠EBC 大小．22.（本题满分10分）如图，A 处有一垂直于地面的标杆AM ，热气球沿着 与AM 的夹角为15°的方向升空，到达B 处，这时 在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为30° （AM 、B 、C 在同一平面内）.求A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)≈(第20题图)(第19题图)y xO (第21题图)CA23.（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠BDC =∠DEC ． 求证：（1）△ADE ∽△ACD ；（2）AC AEBCCD =22． 24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ． （1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且∠ADC 的正切值为2，求a 的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结P A ，如果点P 在y 轴上，P A ∥x 轴，且∠EP A =∠CBO ，求新抛物线的表达式．25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题第5分、第(3)题5分）在△ABC 中，AC =BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB =⋅. （1）如图，如果点D 在AC 的延长线上. ①求证：DE BD =；②联结CE ,如果CE ∥BD ，CE =2，求EF 的长． （2）如果DF :DE =1:2，求：AE :EB 的值．（第23题图）AD BCE (第24题图)yxO DAB C EF（第25题图）（第25题备用图）BCA参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分） 1．B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D二、填空题（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分）7.13； 8.1:5000； 9. 250(1)y x =+； 10.5552−； 11. 2(2)y x =−+； 12. 2=y x （答案不唯一）； 13. 2501314. 34+m n ； 15. 2； 16. 12；17.33 ； 18.125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2, ∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x =−−， ∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x =−−，顶点D 的坐标为（2，-1）. (2)当x =5时，y =8, ∴点P （5,8）, 当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S =+⨯=梯形（）12442ACD S =⨯⨯=△;1255522ABP S =⨯⨯=△∴6325415.22APD S =−−=△ 20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴=AD AEBD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93==AE EC ∵EF ∥AB , ∴1.3AE BF EC FC ==（2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC△∽△∴2()ADE ABC S AD S AB=△△， ∵△ABC S =16，∴21().164ADE S =△ 1.ADE S =△ (第19题图)yxO DPAB C(第20题图)同理可得23().164EFC S =△∴9.EFC S =△∴1619 6.BFED S =−−=21．解：(1)∵AD ⊥BC, AB =15，4sin 5B =，∴AD =15sin B=12. ∴BD =9， ∵BC =14，∴CD =5 ∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵ E 为AC 的中点 EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD==∴ EH =6, CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴ cot ∠EBC =11.523.612==BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵ ∠C =30°，AC =200，∴ AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴ ∠BAC =105°, ∠ABC =45° ∴AB =°1002141sin 45AH =≈米答：A 、B 之间的距离约为141米.23.证明：（1）∵∠BDC =∠DEC ∴∠ADC =∠AED ∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD (2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB ∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED∴22=△△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴=△△CDE BDC S DE S BC , =DE AE BC AC ∴ 22=CD AEBC AC24.解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），CB AD EH ACB15° (第22题图)30°MH（第23题图）AD BCE∴3⎧⎨++=⎩c =0a b c a∴2=⎧⎨⎩b a c =0∴抛物线的表达式22=+y ax ax ∵2122−=−=−b a a a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1 （2）∵O （0, 0）对称轴是直线x =-1 ∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n ∠ADC =323==AH a DH∴ a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ） ∵P A ∥x 轴 ∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位， ∴ PF =2,EF =4a ∵tan ∠CBO =1=OC BC a tan ∠EP A =422==EF aaPF ∵∠EPA =∠CBO ∴12,=a a2=a∴新抛物线的表达式是222=+y x 25．（1）①∵2CD CF CB =⋅ ∴=CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD题图))DABCEF（第25题图）∴∠DBC =∠FDC ∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA∠DEB =∠A +∠EDA ∠DBA =∠CBA +∠DBC ∴∠DEB = ∠DBA ∴DE =BD（1）②∵CE ∥DB ∴∠BDF =∠DEC 又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC∴CE =DF =2 DE =DB =2+EF∵=CE EF BD DF ∴222=+EFEF EF1 （EF=1舍去） （2）1º当点D 在AC 延长线上时过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2 ∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE ∴△BHD ≌△DAE ∴DH =AE =EB AE :EB =1 2º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB △BGD ≌△DAE ∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13==DG DF BE EF ∴AE :EB=13DABCE F（第25（2）题图）H（第25题备用图）BCADFEG。
上海市2024届嘉定区中考数学一模
一、选择题1. 上海市2024届嘉定区中考数学一模如果抛物线=−+y k x 122)(的开口向下，那么k 的取值范围是（ ）A . k >0B . k <0C . k >1D . k <12. 抛物线=++≠y ax bx c a 02)(的对称轴是直线=−x 2，那么下列等式成立的是（ ） A . =b a 2B . =−b a 2C . =b a 4D . =−b a 43. 已知在ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =5，那么下列结论正确的是（ ） A . =A 5sin 3B . =A 5cos 3C . =A 5tan 3D . =A 5cot 3 4. 一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（ ） A . 6000米B . 12000米C.D. 米5. 如图1，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，,AB a AC b ==，那么AD 等于（ ）A . 11AD a b =−22 B . 11AD a b =−+22 C . 11AD a b =−−22D . 11AD a b =+226. 下列命题是真命题的是（ ）A . 有一个角是36°的两个等腰三角形相似B . 有一个角是45°的两个等腰三角形相似C . 有一个角是60°的两个等腰三角形相似D . 有一个角是钝角的两个等腰三角形相似二、填空题7. 如果函数=−+−y k x kx 112)(（k 是常数）是二次函数，那么k 的取值范围是____________8. 将抛物线=+−y x x 322向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是____________9. 如果抛物线=+y x c 2经过两点A （2,1）和B （1,b ），那么b 的值是____________10. 二次函数=−−+y x x m 22图像的最高点的横坐标是____________11. 如果=a b 53（a b ,都不等于零），那么=−ba b____________ 12. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =4cm ，AP <BP ，那么BP =____________cm 13. 如果向量,,a b x 满足关系式()3223a x b a b −−=−，那么x =____________（用向量,a b 表示） 14. 在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AD :AB =1:2，AC =4，那么当AE =___________时DE //BC15. 如图2，在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 上，DE //BC ，DEAS形边四=S BCED81，BC =9，那么DE =____________16. 如图3，在ABC 中，∠ACB =90°，⊥DA AB ，连接BD ，==AC BC 1，AD =2，那么cosD =____________17. 如图4，在港口A 的南偏西30°方向有一座小岛B ，一艘船以每小时12海里的速度从港口A 出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C 处测得小岛B 在船的正南方向，那么小岛B 与C 处的距离BC =____________海里（结果保留根号）18. 在ABC 中，∠ACB =90°，AB =25，AC =20，点P 、Q 分别在边AC 、BC 上，且CP :BQ =3:2（如图5），将PQC 沿直线PQ 翻折，翻折后点C 落在点C 1处，如果QC 1//AB ，那么∠=QPC cot 1___________19. 计算：20. ︒−︒︒2tan 453cot 6041cos302sin 60)(−︒+已知平面直角坐标系xOy （图6），抛物线=++y x bx c 2经过点−A 3,0)(和−B 0,3)(两点.（1）求抛物线的表达式；（2）如果将这个抛物线向右平移k （k >0）个单位，得到新抛物线经过点B ，求k 的值.21. 如图7，在平行四边形ABCD 中，点H 是边AB 上一点，且BH =2AH ，直线DH 与AC 相交于点G . （1）求ACAG的值； （2）如果⊥∠==DH AB BCD AD 3,cos ,91，求四边形ABCD 的面积.三、解答题AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45°，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74°.（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长； （2）求古塔CD 的高度（结果精确到122. 如图8，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ，小山斜坡AB 的坡度为i =1:2:4，坡长米）（参考数据：︒≈︒≈︒≈︒≈sin740.96,cos740.28,tan74 3.49,cot 740.29）23. 如图9，在ABC 中，∠ACB =90°，点D 是BC 延长线上一点，点E 是斜边AB 上一点，且⋅=⋅BC BD BE BA .（1）求证：⊥AB ED ；（2）联结AD ，在AB 上取一点F ，使AF =AC ，过点F 作FG //BC 交AD 于点G . 求证：FG =DE .24. 定义：对于抛物线=++y ax bx c 2（a b c ,,是常数，≠a 0），若=b ac 2，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy （图10），抛物线=−+y x x k 22是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D .（1）求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标； （2）点B (2,b )在这个黄金抛物线上. ①点⎝⎭⎪−⎛⎫C c 2,1在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC 的正弦值. ②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD 相似，且相似比不为1，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.25. 如图11，在ABC 和ACD 中，∠ACB =∠CAD =90°，BC =16，CD =15，DA =9. （1）求证：∠B =∠ACD ；（2）已知点M 在边BC 上一点（与点B 不重合）且∠MAN =∠BAC ，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E . ①如图12，设==BM x CE y ,，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域； ②当CEN 是等腰三角形时，求BM 的长.一、选择题1. D2. C3. A4. B5. D6. 参考答案C二、填空题7. ≠k 1 8. =−++y x x 2129. −2 10. −1 11. −5212. 2 13. 5a b + 14. 2 15. 316.17. 18. 21三、解答题 19. 720.（1）=+−y x x 232；（2）221.（1）41；（2） 22.（1）15米；（2）29米 23.证明略24.（1）=−+y x x 242，D （1,3）；（2）①17 ②存在，⎝⎭⎪⎛⎫P 2,41 25.（1）证明略；（2）①−=<≤x y x x 250169)(②10或225或7。
上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷(附答案)
上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ▲ ）（A ）2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；（B ）2cm ，3cm ，4cm ，6cm ；（C ）1cm ，2cm ，3cm ，2cm ；（D ）3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段AB ＝2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则AP 的长是（ ▲ ）（A ）253−； （B ）53−； （C ）215−； （D ）15−.3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24°，则高BC 是（ ▲ ）（A ） 2450sin 米；（B ） 2450cos 米； （C ）︒2450sin 米； （D ）︒2450cos 米. 4.在四边形ABCD 中，如果BC AD 32=，|AB DA +|＝|DA DC −|，那么四边形ABCD 是（ ▲ ）（A ）矩形；（B ）菱形； （C ）正方形； （D ）等腰梯形.5.二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图像不．经过（ ▲ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限.图2图3图16. 如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与△AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC ；②△ABD .关于这两个三角形，下列判断正确．．的是( ) （A ）只有①是； （B ）只有②是； （C ）①和②都是；（D ）①和②都不是．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝ ▲ .8. 比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 ▲ km . 9. 计算：sin 30°－sin 45°．cos 45°＝ ▲ .10. 二次函数()20y ax bx c a =++≠图像上部分点的坐标（x ，y ）对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ▲ .11. 直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是 ▲ . 12. 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果BC ＝6，那么GF 的长是 ▲ .13. 如图4，斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比i ＝1:3，那么这个斜坡的长度AB ＝ ▲ m .14. 在△ABC 中，如果2BC =，7AB =，3AC =，那么cos A = ▲ . 15. 如果二次函数)0()2(<−=a x a y 2的图像上有两点），（149y 和），（237y ， 那么y 1 ▲ y 2.（填“>”、“=”或“<”）16. 如图5，已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝ 6，△ABC 的面积为12，那么EF 的长为 ▲ .17. 平面直角坐标系中，在x 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y 轴的交点的距离．．之和．．最小的点，称为这条抛物线与x 轴的“亲密点”．那么抛物线2245y x x =++与x 轴的“亲密点”的坐标是 ▲ .18. 已知AC 和BD 是矩形ABCD 的两条对角线，将△ADC 沿直线AC 翻折后，点D 落在点E 处，三角形AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果AB ＝6，BF ＝2，那么∠BDE 的正切值是 ▲ .图5表1图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图6，在△ABC 中，∠C ＝ 90︒，sinB ＝ 54，AB ＝10，点D 是AB 边上一点， 且BC ＝ BD ． （1）求BD 的长； （2）求∠ACD 的余切值．20. （本题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E .（1）求DE 的长；（2）联结CE 交BD 于点F ，设a AB =，b AD =，用a 、b 的线性组合表示向量BD ＝ ▲ ，BF ＝ ▲ ．21. (本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点A (1,0)和B (0,3).（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点E (4,m )在该函数图像上，求△ABE 的面积．图6图722. （本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高.测高仪ABCD 为矩形，CD ＝30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H .图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M .经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离DF ＝13m ，CM ＝20cm .求塔EG 的高度(结果精确到1m )．23. （本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分）如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且CE ＝BF ，DF 分别交 AE 、AC 于点P 、Q ． （1）求证：AE ⊥DF ；（2）求证：DFPQ BF AQ ⋅=⋅2．图8图924.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线221x y =平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线221x y =交于点N ，且MN ＝4.（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并 说明理由；（3）抛物线221x y =上的点A 平移后的对应点是点B ，BC ⊥MN ，垂足为点C ，如果△ABC是等腰三角形，求点A 的坐标.图1025.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图11，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F.（1）求证：BFAF⋅DF=（2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式；（3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长.图11评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.22；8.2；9.0；10.x ＝2 ；11.S ＝πx 2+2πx ； 12. 1；13.1030； 14.37； 15.>； 16.2.417. ），085(−； 18. 31或33. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ ABAC ，又∵sinB ＝54，AB ＝10， ∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分 ∵∠C ＝ 90︒， ∴，222AB BC AC =+∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分 ∵BC ＝ BD ，∴BD ＝6.………………………………………………………………………… 1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由∠C ＝ 90︒，可得DE ∥BC ， ∴，ABAD BC DE =∵BC ＝6，A D ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4， ………………………………………………………………………1分 同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分 ∵在Rt △DEC 中，cot ∠ACD ＝ DE EC ， …………………………………………1分∴cot ∠ACD ＝ 2. …………………………………………………………………1分20. 解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ………………………………………………………………………1分 ∴DE ＝BE ， ………………………………………………………………………1分 设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x , ……………………………………………………1分 ∵DE ∥BC ，∴AB AE BC DE =， ……………………………………………………1分∴，554x x −= ………………………………………………………………………1分 解得920=x ，所以，.920=DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b −， ……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b −…………………………………………………………………2分21. 解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3， ………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312=++b ，解得b ＝－4， ……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342+−=x x y …………………………………1分 （2）把x ＝4代入342+−=x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分 于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分 ∴.63)04(21=⋅−⋅=∆ABE S…………………………………………………1分22. 解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝ CMCD ， ……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ， ………………………………………………………1分 ∴cot ∠CDM ＝ 23， ……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF +∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分 又由题意可得∠CDM +∠GDF ＝90°，∴ ∠CDM ＝∠DGF ， …………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝ DF GF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239， ………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239≈+， ……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m . …………………………………………………………1分23. 证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°， …………………………………1分 又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ， …………………………………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2， …………………………………………………………………………1分 ∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ……………………………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分 ∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G . ………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝90°， ∴∠APQ ＝∠AGE ， 又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴EGAEPQ AQ =，…………………………………………………………………………1分 ∵在正方形ABCD 中，∴ 45214=∠=∠DCF ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝ 22=CE EG ，∴CE EG 22=， ………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴BF EG 22=，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ， …………………………………………………………………………1分 ∴BF DF PQAQ 22=， ∴DF PQ BF AQ ⋅=⋅2.……………………………………………………………1分24. 解：（1），，设)0)(21(2>t t t N )421(2−t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122−+−=t t x y ， ………………………………1分 由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分 所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212−−=x y . ……………………………………1分 （2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)， …………………………1分 记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22==NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形， ……………………………………………………1分 ∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形， ……………………………………………………………1分 ∵22==NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形. ……………………………………………………………1分 （3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2−+a a B )2212(2−a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB =+−==，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB ===−+−== …………1分 ；，或，②)422()422(,22,22,22,112−−====A A a a a BC AB ………………1分；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ==+−=……………………………………1分 所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、−.25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分 又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分 ∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分 ∴AFBF DF AF =， ∴BF DF AF ⋅=2.…………………………………………………………………………1分 解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G. ………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ， ∴AC AD CE DG =，……………………………………………………………………………1分 由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG =，………………………………………………………………………………1分 ∵DG ∥AB ， ∴BF DF AB DG =，……………………………………………………………………………1分 ∴y x y x +=12， ∴231x x y −=. ……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分 ②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分 设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ， ∴2312=+m m ，63=m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分 设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ， ∴221=+m m ，22=m . ………………………………………………………………1分 所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。
上海市2024届金山区中考数学一模
上海市2024届金山区中考数学一模考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线=y x 22向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（ ▲ ）（A ）=−y x 212； （B ）=+y x 212； （C ）=−y x 212)(； （D ）=+y x 212)(． 2．已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果 AE ∶ED =1∶2，那么DF ∶FB 为（ ▲ ）（A ）1∶2； （B ）1∶3； （C ）2∶3； （D ）2∶5． 3．在直角坐标平面的第一象限内有一点A （a ，b ），如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（ ▲ ） （A ）b=a ·tan α；（B ）b=a ·cot α；（C ）b=a ·sin α；（D ）b=a ·cos α． 4．抛物线=++y ax bx c 2的图像如图所示，下列判断中不正确的是（ ▲ ）（A ）a <0； （B ）b <0； （C ）c >0； （D ）a +b +c <0．5．将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是（ ▲ ）（A ）2∶1；（B 1； （C ）3∶1；（D ∶1． 6．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从△ABC 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC 相似的有（ ▲ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果）（=≠b a b 530，那么=−ba b▲ ． 8．化简：2(3)6a b b −+−= ▲ ．9．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的周长比为 ▲ ． 10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是 ▲ ．y xO 1（第4题图） A B C （第6题图）11．抛物线=−y x 3322的顶点坐标是 ▲ ． 12．如果点A （2，a ）、B （3，b ）在二次函数=−y x x 32的图像上，那么a ▲ b （填“>”“<”或“=”）．13．如果α是直角三角形的一个锐角，sin α=54，那么tan α= ▲ ． 14．如图，已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ， △ADE 、△EFC 的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为 ▲ ． 15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i =1∶2，那么相邻两树间的坡面距离为 ▲ 米．16．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A 处向北偏东60° 的方向行驶8海里到B 处，再从B 处向南偏东45°方向行驶到发点A 正东方向上的C 处，此时这艘船距离出发点A 处 ▲ 海里．17. 把矩形ABCD 绕点C 按顺时针旋转90°得到矩形A ´B ´CD ´，其中点A 的对应点A ´在BD的延长线上，如果AB=1，那么BC= ▲ ．18．在△ABC 中，AC=6，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒⋅︒︒−tan 45cot 60cos30sin 4512． 20．（本题满分10分）1 y xO2 B4P1AA B C D E F （第14题图） （第15题图） A B C 北 北 （第16题图） 60° 45°21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，四边形BEGD 是平行四边形．（1）求证DE ∥AC ；（2）设BA a =，BC b =，用向量a 、b 表示DE =22．（本题满分10分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角 ∠BAD=75.5°，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAC =∠BDC ． （1）求证：△AOD ∽△BOC ；（2）过点A 作AE ∥CD ，AE 交BD 与点E ，求证：⋅=⋅AB AD AE BC ．AB CD O ABC DEA BD E GM24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线=++y ax bx c 2经过点A (-1，0)、B (3，0)、C （0，-3）.(1) 求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2) 点D 在抛物线对称轴上，∠P AD=90°，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB=QM ，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO=OE ，求新抛物线的表达式.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠CAD=∠ABC ，DC ⊥AC ，AD 与边BC 相交于点P .（1）求证： =⋅AB AD BC 212； （2）如果sin ∠ABC=54，求BP ∶PC 的值；（3）如果△BCD 是直角三角形，求∠ABC 的正切值.O 11 y x A B C DP一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24参考答案分）1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32； 8．a −2； 9．2∶3； 101； 11．（0，-3）； 12．<； 13．34； 14．4； 15．16. 4 ； 17；18．且AB AB ≤≤≠32626． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=⎝⎭ ⎪−⎛⎫1212，-----------------------------------------------------------（8分） =0.----------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20．解： 设抛物线的解析式为=++≠y ax bx c a 02)(-------------------------------------（1分）由题意得，抛物线经过A （0，2）、B （4，0），顶点P 的横坐标为1，∴⎝−= ++== ⎛a ba b c c 2116402-----------------------------------------------------------------------------（3分）解得：=−==a b c 42,,211，.-------------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的解析式是=−++y x x 422112，顶点P 坐标为（1，2.25）.---------（2分）∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度是2.25米.-----------------------------------（2分） 21.（1）证明：∵AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，∴AG=2GM ，---------------------（1分）∵四边形BEGD 是平行四边形，∴DG ∥BE ，EG ∥BD ，∴==BA MA BD MG 31，==BM MA BE AG 32-------------------------------------------------------（2分）∵BM=MC ，∴=BC BE 31--------------------------------------------------------------------------（1分） ∴=BC BABE BD --------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE ∥AC ------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）11DE b a =−33-----------------------------------------------------------------------------------（4分） 22. 解：作BM ⊥ED ，BN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，-----------------------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°， ∴AN=AB ·cos ∠BAD =4×0.25=1，-----------------------------------------------------------（2分） BN=AB ·sin ∠BAD =4×0.97=3.88，--------------------------------------------------------（2分） ∴ND=2，-------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 在四边形BMDN 中，∠BMD=∠MDA=∠DNB=90°， ∴在四边形BMDN 是矩形，∴BM=ND =2，BN= MD=3.88，---------------------------（1分） 在△ABN 中，∠ANB =90°，∠BCM =45°， ∴BM=MC=2，------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴CD=MD -MC=1.88≈1.9（米）.-------------------------------------------------------------（1分） 答：阴影CD 的长是1.9米.-------------------------------------------------------------------（1分） 23.证明：（1）∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，-----------（2分）∴=BO COAO DO，-----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵∠AOD =∠BOC ，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴△AOD ∽△BOC . ------------------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AOB ∽△DOC ，∠BAO =∠CDO ， ∵AE ∥CD ，∴∠AED =∠CDO ，-------------------------------------------------------------（1分） ∴∠AED =∠BAC ，--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵△AOD ∽△BOC ，∴∠ADE =∠BCA ，-----------------------------------------------------（1分） ∴△AED ∽△BAC ，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴=BA BCAE AD，∴⋅=⋅AB AD AE BC ．--------------------------------------------------------（2分） 24.解：（1）由题意得：⎩=−⎪⎨++=⎪⎧−+=c a b c a b c 39300,解得：a =1，b =1，c =4，∴抛物线的表达式为=−−y x x 232.-------------------------（2分）∵=−−=−−y x x x 231422)(，∴顶点P 的坐标是（1，-4）.----------------------（2分） （2）抛物线的对称轴为直线x =1，--------------------------------------------------------------（1分） 设点D 的坐标为（1，m ），∵∠P AD=90°，∴+=PA AD PD 222，∴+=222，-----------（1分）解得，=m 1，点D 的坐标为（1，1）-----------------------------------------------------（2分） （3）由题意，点M 坐标是（1，0），作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，∵QB=QM ，∴MH=HB ，∴点H 的坐标为（2，0），点Q 的横坐标为2，---------（1分） 设点Q 的坐标是（2，t ）， ∵QO=OE ，∴点Q 和点E 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为（-2，-t ），--------（1分）∴−−⨯−−=−t 22232)()(，解得=−t 5，点Q 的坐标是（2，-5），-------------------（1分）∴新抛物线的表达式是=−−y x 252)(，即=−−y x x 412.-------------------------------（1分） 25.（1）证明：∵∠CAD=∠ACB ，∠ACP=∠BCA ，∴△ACP ∽△BCA ，∴=BC AC AC CP ，∴=⋅AC CP BC 2.----------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∵∠CAD=∠ABC ，∴∠CAD=∠ACB ，∴P A=PC ，--------------------------------------（1分） ∵DC ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∠ACB+∠PCD=90°， ∴∠ADC=∠PCD ，∴PD=PC ，∴===AP PD PC AD 21，-------------------------------（1分）∴=⋅AB AD BC 212-------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）作AH ⊥BC ，垂足为点H ，在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，sin ∠ABC ==AB AH 54， 设AH=4k ，AB=5k ，则BH=3k .---------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴BH=HC=3k ，∴BC=6k ， ∵=⋅AB CP BC 2，∴=CP k 625，-------------------------------------------------------------（1分） ∴=BP k 611，∴BP ∶PC=2511.-----------------------------------------------------------------（2分） （3）显然∠BCD ≠90°，如果∠CBD =90°，∵∠AHB =90°，∴AH ∥BD ，∴=BP PDPH AP，∵AP=PD ，∴PH=BP ，设PH=BP=m ， ∴BH=CH=2m ，CP=3m ，BC=4m ，----------------------------------------------------------（1分）∵=⋅AB CP BC 2，∴=AB ，-----------------------------------------------------------（1分）在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∴=AH ，∴tan ∠ABC ==BH AH，即∠ABC （1分） 如果∠CDB =90°，∵∠ACD =90°，∴AC ∥BD ， ∴=CP APBP PD，∵AP=PD ，∴BP=PC ，-------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴四边形ABDC 是正方形，----------------------------------------------------（1分） ∴∠ABC=45°，∠ABC 的正切值为1.---------------------------------------------------------（1分）综上所述，如果△BCD 是直角三角形，∠ABC 1.。
上海市2024届浦东新区中考数学一模
一、选择题1. 下列函数中，是二次函数的是（ 上海市2024届浦东新区中考数学一模）A . =+y x 21B . =+y x 12C . =−−y x x 122)(D . =x y 122. 已知在Rt ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，那么下列等式正确的是（ ） A . =A 5sin 3 B . =A 4cos 3 C . =A 5tan 3 D . =A 4cot 3 3. 已知1,3a b ==，且b 与a 的方向相反，那么下列结论正确的是（ ）A . 3a b =B . 3a b =−C . 3b a =D . 3b a =−4. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）A . 1:4B . 1:2C . 1:16D . 1:5. 下列关于二次函数=−+y x 32的图像与性质的描述，正确的是（ ）A . 该函数图像经过原点B . 该函数图像在对称轴右侧部分是上升的C . 该函数图像的开口向下D . 该函数图像可由函数=y x 2的图像平移得到 6. 下列命题中，说法正确的是（ ）A . 如果一个直角三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似B . 如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似C . 如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似D . 如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似 二、填空题7. 如果=y x 43，那么=+yx y ____________ 8. 计算：()43a a b −+=____________9. 已知线段MN =2cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP >NP ，那么线段MP 的长度等于____________cm10. 已知点G 是ABC 的重心，且AG =6，那么边BC 上的中线长为____________ 11. 已知在Rt ABC 中，∠C =90°，BC =6，=A 4sin 3，那么AB 的长为____________12. 如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，∠ADE =60°，如果BD =1，那么CE =____________13. 小明沿着坡度i =1:2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了____________米14. 在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为<<x x 03)(的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是_____________15. 已知点−−A m B n 2,,3,)()(都在二次函数=−y x 12)(的图像上，那么m 、n 的大小关系是： m ____________n （填“>”“=”或“<”）16. 如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上，已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为____________17. 平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =4，BC =9，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么FCDF 的值为____________ 18. 在菱形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，联结AE ，将ABE 沿着AE 所在的直线翻折得到AFE ，点B 落在点F 处，延长AF 交边CD 于点G ，如果EF 的延长线恰好经过点D ，那么AG AF 的值为____________三、解答题19. 计算：︒︒+−︒︒+︒2sin 30cot 30cos 452cos30tan 45220. 如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =2，DB =4，AE =3，EC =6.（1）求BCDE 的值； （2）联结DC ，如果,DE a DA b ==，试用,a b 表示向量CD .21. 如图，已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD =2，AB =3，BC =4.（1）求BOC 的面积；（2）求∠ACD 的正弦值.22. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案 Rt ABC 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：【问题探究】如图1，在Rt ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，然后延长CB 到点D ，使BD =AB ，联结AD .（1）∠D =__________°（2）设AC =BC =t ，那么AB t 的代数式表示，以下同），BD =___________（3）tan 22.5°=___________.【知识迁移】如图2，在Rt ABC 中，∠C =90°，∠=ABC 3tan 2，然后延长CB 到点D ，使BD =AB ，联结AD . 请用习题中求tan 15°的方法求∠ABC 2tan 1【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，∠C =90°，AC =18，BC =25，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DC =5，EC =12， 联结AE 、BD 交于点P .求证：tan ∠BPE =1.23. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且∠DEC =∠DCB .（1）求证：=CE CBAD AC ； （2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，=⋅AF AE AC 2，求证：⋅=⋅EC AF BC AE .24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线=−++M y x bx c :2过点A （2,2）、点B （0,2），顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D .（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （t >0）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135°得到点F ，当点F 在抛物线N 上时，求t 的值.25. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作 ⊥AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N .（1）当点E 在边BC 上时，如果=AN ND 51，求∠BAE 的余切值； （2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段==⋅BE x y EN MF ,，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当CE =3时，求EMC 的面积.一、选择题1. B2. D3. D4. A5. C6. B参考答案二、填空题 7. 47 8. 3a b −9. 1) 10. 9 11. 8 12. 32 13. 50 14. =−y x 92 15. < 16.1760 17. 32 18. 43 三、解答题19.（1）21 20.（1）31 （2）32CD a b =−+21.（1）4（2）6522.（1）22.5（2（31【知识迁移】23 【拓展应用】证明略 23.（1）证明略 （2）证明略24.（1）=−++y x x 222；C （1,3）；（2）⎝⎭⎪⎛⎫P P 36,0,,0412)(；（325.（1）3或2；（2）=+>y x x 3662)(；（3）845或827。
上海市2024届黄浦区中考数学一模
（满分：150分，考试时间：100上海市2024届黄浦区中考数学一模分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列命题中，真命题是（ ▲ ）（A ）如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似； （B ）如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似； （C ）如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似； （D ）如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似．2．已知：△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2∽△A 3B 3C 3，如果△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为2，△A 2B 2C 2与△A 3B 3C 3相似比为4，那么△A 1B 1C 1与△A 3B 3C 3的相似比为（ ▲ ） （A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）8．3．如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列等式中，成立的是（ ▲ ）（A ）=EF EC DE AE； （B ）； （C ）； （D ）=DB BCAD BF． 4．已知G 是△ABC 的重心，记a GB GC =+，b AB AC =+，那么下列等式中，成立的是（ ▲ ） （A ）b a =；（B ）2b a =；（C ）3b a =； （D ）4b a =．5．将二次函数和的图像画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图 像都是上升的部分，所对应自变量x 的取值范围是（ ▲ ） （A ）；（B ）；（C ）；（D ）或．=DB FC AD BF=EF BC DE AB=++y x x 232=−+−y x x 232≥x 1≤−x 1−≤≤x 11≥x 1≤−x 1EDFCBA 第3题图6．如图，过矩形ABCD 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH ．设对角线AC 与BD 的夹角为，那么矩形EFGH 与矩形ABCD 面积的比值为（ ▲ ） （A ）； （B ）； （C ）； （D ）αcot 2．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知=b a 52，那么+=−b a b a▲ ． 8．已知向量a 与b 是互不平行的非零向量，如果23n a b =+，11m a b =−−23，那么向量n 与m 是否平行？答： ▲ ．9．已知抛物线=++y ax bx c 2顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ▲ ．10．已知抛物线=++y ax bx c 2开口向上，且经过点（3,4）和（−2,4），如果点y 1,1)(与y 2,2)(在此抛物线上，那么y 1 ▲ y 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）11．已知点A （1，4）、B （−2，0），那么直线AB 与x 轴夹角的正弦值是 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝6，CO 是边AB 上的中线，G 为△ABC 的重心，过点G 作GN ∥BC 交AB 于点N ，那么△OGN 的面积是 ▲ ．13．已知等腰三角形的腰与底边之比为3︰2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ▲ ．14．如图，N 是线段AB 上一点，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，NM ⊥AB ，联结CM 并延长交AB 于点P ，联结DM并延长交AB 于点Q ．已知AB ＝4，AC ＝3，BD ＝2，MN ＝1，PN ＝1.2，那么QN = ▲ ．<<︒αα090)(αsin2αcos 2αtan 2DCBAHGF E第6题图NO CBAG第12题图第14题图NMDCBA QP15．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC ，它的底边AB 长20厘米．要截得的矩形DEMN 的边MN 在AB 上，顶点D 、E 分别在边AC 、BC 上，设DE 的长为x 厘米，矩形DEMN 的面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．（不必写定义域） 16．如图，点D 、E 分别位于△ABC 边BC 、AB 上，AD 与CE 交于点F ．已知AF ︰FD ＝1︰1， EF ︰FC ＝1︰4，则BD ︰CD = ▲ ．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点B 旋转到△DBE 的位置，其中点D 与点A 对应，点E 与点C 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE 的正切值是 ▲ ．18．为了研究抛物线L 1：=++y ax bx c 2与L 2：=−+−y ax bx c 2在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a 、b 、c 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L 1与L 2的位置特征，你的发现是： ▲ ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧.理由是： ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒−︒︒+−︒cot 45tan 602sin 60cos 3022.DCBAEFEDCBA第15题图第16题图第17题图NM DCBAE已知抛物线的顶点为A ，它与y 轴的交点为B ． （1）求线段AB 的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y 轴上，且与x 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，对角线AC 、BD 交于点E ． （1）设，=BC b ，试用、的线性组合表示向量． （2）如果∠ABC ＝90°，AC ⊥BD ，求四边形ABCD 的面积．=++y x x 232AC a =a b CD EDCBA第21题图在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中MN =1.5m ，视线MB 的仰角为α（已知=α6tan 1），视线MA 的仰角为β（已知=β4tan 3）． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH =a ，请你用含有a 的代数式表示松树（AB ）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB ）的高度．23．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AD ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，再过点C 作CF ⊥CD 交直线AE 于点F ．（1）求证：⋅=⋅CA CD CB CF ； （2）联结CE ，求证：∠ACE ＝∠F ．DCAFE 第22题图第23题图24．（本题满分12分）如图，直线=−+y x 3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .对称轴为直线x =1的抛物线经过点A 、B ，其与x 轴的另一交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线=−+y x 3的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：△CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ 面积．25．（本题满分14分）如图，O 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，BH ⊥CO 交AC 于D ，垂足为H ，联结OD ． （1）求证：=C •BC AC D 2；（2）如果△ODH 与△ABC 相似，求其相似比； （3）如果BH ∶DH ＝4∶1，求∠ADO 的大小．=++y ax bx c 2HDOCBAOBAy第24题图一、选择题：（本大题6小题，每小题4分，满分24参考答案分）1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.C ；6.B . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．73； 8．否； 9．=+−y x 2112)(等； 10．<； 11．54； 12．21； 13．31； 14．1.6； 15．=−y x x 21012； 16．2︰3； 17.139； 18．两者关于原点中心对称，如果点（s ，t ）在L 1上，那么点（-s ，-t ）在L 2上；反之亦然.注：第1空，只要给出一个不错的结论，可得1分；第2空，能言之有理，也可得1分. 第18题得分为0、1、2、3、4，其余均为0、4.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．原式=⎝⎭⎪ ⎪⨯⎛⎫2222————————（1+1+1+1）−413)————————（1+2+1） =−47————————（2）20. （1）顶点−A 1,2)(，交点B 0,3)(，————————（2+1）AB————————（2）（2）由题意知：x 轴上两交点为2,0)(与−2,0)(，————————（2） 则抛物线的表达式为=+−y x x 22)()(，————————（2） 即=−y x 42.————————（1）21.解：（1）1AD b =3，————————（2） =CD CA AD =+————————（2） =1a b −+3；————————（1） （2）证：△DAB ∽△ABC ，————————（3）得：=AB （1）所以，四边形ABCD 面积为（1）22.解：（1）过M 作MT ∥NH 交AH 于T . ————————（1）在△MAT 中，可得：=⋅∠=AT MT AMT a 4tan 3，————————（2） 在△MBT 中，可得：=⋅∠=BT MT BMT a 6tan 1，————————（1） 所以，=AB a 127；————————（1） （2）将2米的直尺一端放置于松树底边B 处，另一段靠在树干上点C 处，继续用测角仪测出点C 的仰角，记为γ，————————（2）在△MCT 中，可得：=⋅∠=⋅γCT MT CMT a tan tan ，————————（1）由⋅−=γa a 6tan 21，————————（1） 得：−=γa 6tan 112则−=γAB 6tan 17.————————（1）23.（1）证：∠ACF =∠BCD ，————————（2） 证：∠F =∠BDC ，————————（2） 证：△ACF ∽△BCD ，————————（1）证：⋅=⋅CA CD CB CF .————————（1） （2）记对角线AC 与BD 的交点为O .证：△AOE ∽△DOA ，————————（2） 证：△OCE ∽△ODC ，————————（2） 得：∠OCE =∠ODC ，————————（1） 得：∠ACE =∠F .————————（1）24.（1）由直线=−+y x 3，得：点A （3,0）、B （0,3）. ————————（1）由题意得：⎩−=⎪⎪⎨=++⎪=⎪⎧ab a bc c 210933，————————（2）得：=−++y x x 232；————————（1）（2）①令−+P s s ,3)(，则抛物线L ：=−−−+y x s s 32)(，——————（1）由过点A ，得抛物线L ：=−+−y x x 432，————————（1）得：D （1,0），————————（1）即CD =2；————————（1）②由⎩⎪=−+⎨⎪=−−−+⎧y x y x s s 332)(，————————（1） 得+−+Q s s 1,2)(，————————（1） 所以面积不变，面积为2. ————————（2）25.（1）证：∠OCA =∠OAC ，————————（1）证：∠OCD =∠CBD ，————————（1） 得：∠A =∠CBD ，证：△BCD ∽△CAB ，————————（1） 得：=⋅BC AC CD 2————————（1）（2）当∠DOH =∠A 时，可得∠A =30°，————————（1）则相似比为6，————————（2） 当∠ODH =∠A 时，可得D 为边AC 中点，————————（1）————————（1） 注：两种情况顺序无关.（3）由BH ∶DH =4∶1，得：BC ∶CD =2∶1，————————（2） 过O 作OT ⊥AC ，垂足为T . ————————（1）证：DT =OT , ————————（1） 得：∠ADO =45°. ————————（1）。
上海市2024届崇明区中考数学一模
上海市2024届崇明区中考数学一模考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为（ ▲ ） (A)1:2；(B)1:4；(C)1:8；(D)1:16．2．在直角坐标平面内有一点A (5,12)，点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为θ，那么θtan 的值为（ ▲ ）(A)135； (B)1312； (C)125； (D)512． 3．将抛物线=−y x 2向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（ ▲ ） (A)=−−y x 32；(B)=−+y x 32；(C)=−+y x (3)2；(D)=−−y x (3)2．4．已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中不．一定．．能判定a b ∥的是（ ▲ ） (A)2a b =；(B)2a b =；(C),a c b c ∥∥；(D)2a c =，b c ∥．5．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，以下能推出∥DE BC 的条件是（ ▲ ）(A)=DB AD 43，=AE CE 43； (B)=AB AD 43，=BC DE 43； (C)=AD AB 34，=AE EC 31；(D)=AB AD 43，=AC CE 43． 6．在二次函数=++y ax bx c 2中，如果<a 0,>b 0,<c 0，那么它的图像一定不．．．经过（ ▲ ） (A) 第一象限；(B) 第二象限；(C) 第三象限；(D) 第四象限．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知=b a 34，那么+a ba的值为 ▲ ． 8．计算：532a b a b ⎛⎫⎛⎫+−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 ▲ ．9．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（>AP BP ），那么ABAP的值是 ▲ ． 10．在Rt △ABC 中，∠=︒C 90，=AC 8，=B 5sin 4，那么AB 的长为 ▲ ． 11．如果抛物线=−+y m x m (1)2经过原点，那么该抛物线的开口方向 ▲ ．12．已知一条抛物线的对称轴是直线=x 1，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ▲ .（只要写出一个符合条件的即可）13．如图，已知∥∥AD BE CF ，它们与直线l 1、l 2依次交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果=DF EF 53，=AB 10，那么线段BC 的长是 ▲ ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，联结BE ，交对角线AC 于点F ，如果△△=S S BFC AEF 91，=AD 15，那么=AE ▲ ． 15．如图，一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60°方向，距离灯塔25海里的A 处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B 处，那么此时轮船与灯塔P 的距离为 ▲ 海里． 16．如图，在△ABC 中，∠=︒ABC 60，P 是△ABC 内一点，且∠=∠=︒APB BPC 120，如果=AP 3，=BP 4，那么=CP ▲ ．17．如图，将矩形ABCD 沿EM 、FN 折叠，点A 、D 分别与、''A D 对应，B 、C 两点对应点落在AD 上的点G 处，且GM ⊥GN ，如果△='S A EG 8，△='S D GF 2，那么AB 的长为 ▲ ． 18．定义：P 为△ABC 内一点，连接、、PA PB PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．根据定义求解问题：已知在△ABC Rt 中，∠=︒ACB 90，CD 是AB 边上的中线，如果△ABC 的重心P 恰好是该三角形的自相似点，那么∠PBD 的余切值为 ▲ .（第13题图）（第14题图）（第15题图）A B C D E F l 1l 2A BCDEF（第16题图）ABCP（第17题图）ABCD E FMG A′D′三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：︒︒−+︒︒3tan 30cos 45cot 30sin 602.20．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图，已知在△ABC 中，=BC 18，点D 在边BC 上，∥DE AB ，=DE AB 94． （1）求BD 的长；（2）联结AD ，设,AB a AC b ==，试用a 、b 表示AD ．21.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）已知二次函数=+−y x x 2462．（1）用配方法把二次函数=+−y x x 2462化为=++y a x m k ()2的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）如果该函数图像与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，O 为坐标原点，求四边形ADCO 的面积．（第21题图）（第20题图）C DBAE22．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度=i D 处有一棵树AD （假设树AD 垂直水平线BN ），在坡底B 处测得树梢A 的仰角为45°，沿坡面BM 方向前行30米到达C 处，测得树梢A 的仰角∠ACQ 为60°．（点B 、C 、D 在一直线上） （1）求A 、C 两点的距离；（2）求树AD 的高度（结果精确到0.1米）．≈1.732）23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图，已知在梯形ABCD 中，∥AD BC ，E 是边BC 上一点，AE 与对角线BD 相交于点F ，且=⋅BE EF AE 2．（1）求证：△DAB ∽△AFB ；（2）联结AC ，与BD 相交于点O ，若⋅=⋅AB OB BC AF ，求证：=⋅AF OD BF 2．（第23题图）ABC DEF O （第22题图）A D CQBNM24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分4分，第(2)②小题满分4分）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线=++≠y ax bx c a (0)2经过点−A (1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，联结AD 、BD位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD ①如果=m 2，求∠DBF tan 的值； ②如果△BDF 与△ABD 相似，求m 的值．（备用图）25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）已知Rt △ABC 中，∠=︒ACB 90，=AC 3，=AB 5，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足∠=∠CDF A ，过点C 作CE ⊥CD 交DF 的延长线于E .（1）如图1，当∥CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设=AD x ，=BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当△CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．（第25题图1）（第25题图2）（备用图）CABCABCABDEFDEF一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24参考答案分）1. B ;2. D 3．C 4．A 5．C 6． B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74； 8．3a b +； 9．21； 10．10； 11．向下； 12. ）（=−y x 12（答案不唯一）； 13.15； 14. 5；15.16.316；17.；18.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式= −2(2………………………………………………………（8分）. ……………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵∥DE AB ，=DE AB 94 ∴==AB BC DE CD 94……………………………………………………………………（2分） ∵=BC 18， ∴=CD 1894，解得：=CD 10，……………………………………………………（1分） ∴=−=−=BD BC CD 18810. ……………………………………………………（2分） （2）∵AB a =,b AC =，∴-BC AC AB b a =−=.………………………………………………………………（2分） 又∵=CD BC 94，DC 与BC 同向，∴444DC BC b a ==−999，…………………………………………………………（1分） ∴.4445()AD AC CD AC DC b b a a b =+=−=−−=+9999…………………（2分） 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）=+−y x x 2462）（=+−x x 2262……………………………………………………………（1分））（=++−x x 22182…………………………………………………………（1分））（=+−x 2182……………………………………………………………（1分）∴对称轴为直线=−x 1，顶点坐标为）-（−1,8. ………………………………（2分）（2）由（1）得），（−−D 18.令=y 0，则+−=x x 24602，解得：=−x 31，=x 12，∴），-3（A 0，则AO=3. ……（1分）令=x 0，则=−y 6，∴），（−C 06，则OC=6. ……（1分）联结OD .，则： 形边四△△=⋅+⋅=+AO y OC x S S S D D ABDC AOD DOC 2211………………………………（1分）=⨯⨯+⨯⨯=2238611511…………………………………（2分） 22．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分） 解:（1）根据题意可知：∠ABN=45°，∠ACQ=60°，BC =30米.∵小山的斜坡BM 的坡度=∠i MBN tan ，∴∠MBN=30°=∠MCQ ，………（1分） ∴∠ABC=∠∠−=︒ABN MBN 15，∠ACM=∠∠−=︒ACQ MCQ 30…………………（2分） ∵∠ABC +∠BAC=∠ACM ，∴∠BAC=30°-15°=15°=∠ABC …………………………（1分） ∴AC=BC=30米，即A 、C 两点的距离为30米. ………………………………………（1分） （2）延长AD交CQ 于点H ，则∠AHC=90°. 在△R ACH t 中，=AC 30，∠ACQ=60°， ∴=⋅︒==AH AC sin 6030， =⋅︒=⨯=CH AC 2cos6030151.……………（2分） 在△Rt DCH 中，=CH 9，∠DCH=30°，QNBH∴=⋅︒==DH CH tan 3015（1分）∴=−=≈AD AH DH 17.3（米）………………………………………………（2分） 答：A 、C 两点的距离为18米，树AD 的高度约为17.3米. 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证明：（1）∵=⋅BE EF AE 2， ∴=EF BEBE AE， 又∵∠=∠BEF AEB ，∴△∽△BEF AEB ，…………………………………………………………（2分） ∴∠=∠EBF BAE . ……………………………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，∴∠=∠ADB EBF ，……………………………………………………………（1分） ∴∠=∠BAE ADB ，……………………………………………………………（1分） 又∵∠=∠ABF ABD ，∴△∽△DAB AFB . ……………………………………………………………（1分） （2）∵⋅=⋅AB OB BC AF ， ∴=BC OBAB AF， 又∵∠=∠BAF OBC ，∴△∽△ABF BCO ，……………………………………………………………（2分） ∴=∠∠AFB BOC ， ∴=∠∠AFO AOF ，∴ =AF AO .………………………………………………………………………（1分） ∵=∠∠BOC AOD ，∴=∠∠AFB AOD ， 又∵=∠∠BAF ADO ，∴ △∽△BAF ADO ，………………………………………………………………（1分） ∴=BF AFAO OD， 即⋅=⋅AO AF OD BF ，………………………………………（1分） ∵=AF AO ，∴=⋅AF OD BF 2.…………………………………………………（1分） 24. （本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题的①满分4分，第(2)小题的②满分4分） 解：（1）∵抛物线=++y ax bx c 2（≠a 0）经过点）-1,0（A ，）（B 3,0，）（C 0,3，∴⎩=⎪⎨++=⎪⎧+=c a b c a b c 3930-0，解方程组得：⎩=⎪⎨=⎪⎧=−c b a 321. ………………………………………（3分） ∴抛物线的表达式为： =−++y x x 232………………………………………………（1分）（2）由）（=−++=−−+y x x x 231422，得抛物线对称轴为直线=x 1.∵点D 是点）（C 0,3关于抛物线对称轴对称的点，∴）（D 2,3…………………………（1分） 过点D 作⊥DH x 轴，垂足为点H ，则）2,0（H∴DH=AH=3，BH=1， ∴∠=∠=︒ADH DAH 45. 当DE=m=2时，EH=1=BH ，∴，中在∆=Rt EBH BE ，∠=∠=︒EBH BEH 45， ∴∠∠=+∠=︒DFB FAB FBA 90…………………………（1分） 在△R DEF t 中，DE=2，∠=︒ADH 45 ∴EF =sin 452DE ︒==DF ， ∴BF=EF+BE=在△R DBF t中，∠===BF DBF DF 2tan 1.……………………………（2分） （3）如果△BDF 与△ABD 相似∵∠ADB 是公共角，① 方法一：若∠=∠DBF DAB ，则△∽△DFB DBA ∴=BDAD DF BD=，解得：=DF （1分）过点F 作⊥FG DH ，垂足为点G ，则∥FG AB . ∴=BH EHFG EG……………………………………（1分） 在△R DFG t 中，∠=︒ADH 45，∴==DG FG 35， ∴=−EG m 35，又=−EH m 3，∴−=−mm 133355，解得：=m 25.……（1分）； 方法二：若∠=∠DBF DAB ，则△∽△DFB DBA ，可得∠DBF =∠DAB =45°利用上一题结论，可证明∠=EBH 2tan 1………………………（1分）， 在△R EHB t 中，∠==BH EBH EH 2tan 1，得=EH 21………………………（1分） 解得=m 25………………………（1分）; ②若∠=∠DFB DAB ，此时F 与A 重合，即△BDF 和△ABD 全等，即=m 3……（1分）. 25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分） 解： 在△R ABC t 中，=AC 3，=AB 5，∴=BC 4，==AB A AC 5cos 3.……………（1分） （1）∵⊥CE CD ，∴∠=︒DCE 90.………（1分） ∵CE ∥AB ，∴∠=∠=︒ADC DCE 90…（1分） 在△R ADC t 中，=⋅=⨯=AD AC A 55cos 339……（1分）（2）∵∠=∠=︒ACB DCE 90，∴ ∠=∠ACD BCE∵∠+∠=∠A ACD CDB ,即∠+∠=∠+∠A ACD CDF FDB ∵∠=∠CDF A ，∴∠=∠ACD FDB ， ∴∠=∠FDB BCE ，又∵∠=∠DFB CFE ， ∴△DFB ∽△CFE ，………………………（1分） ∴=CF EFDF BF， ∴=BF EFDF CF，又∵∠=∠CFD EFB ， ∴△DFC ∽△BFE ，………………………………………………………………（1分） ∴∠=∠CDF EBF ，∵∠=∠CDF A ∴∠=∠A EBF ， ∵∠=∠ACD BCE ，∴△ACD ∽△CBE ，………………………………………………………………（1分） ∴=BC BEAC AD∵AD=x ，BE=y ，∴=yx 43， 得：=y x 34.……………………………………………………………………（1分）BAEBAE定义域：<<x 05.……………………………………………………………（1分） （3）∵∠=∠A EBF ，∴∠∠∠+=∠+=︒A ABC EBF ABC 90，即∠=︒DBE 90.∵CH ⊥BE ，∴∠CHB=90°.在△R CHB t 中，=BC 4，=⋅∠=⋅=⨯=BH BC CBE BC A 55cos cos 4312，=CH 516.若△CQE 是等腰三角形， ①点Q 在线段DE 的延长线上时∵在△R CDE t 中，∠CED < 90°，∴∠CEQ>90°，∴只有EC=EQ 一种情况. ∵CH ⊥BE ，∴==QH CH 516. ∵∠∠==︒DBE CHB 90， ∴CQ ∥AB ， ∴=BD BEQH EH， ∴−=−x y y 5551612，即−=−x x x35455316124， 解得：x=1或x=9（舍去）， ∴AD=1………………………………………………（2分） ②点Q 在线段DE 上时∵∠CQE>90°，∴只有QC=QE 一种情况. ∴∠QCE=∠QEC ，∵在△R CDE t 中，∠∠+=︒CDE DEC 90，∠∠+=︒ECQ DCQ 90 ∴∠QCD=∠QDC ， ∴QC=QD ，∴QE=QD ， ∵CH ∥AB ，∴EH=BH=512， ∴BE =524，即=x 35424，解得：=x 518，…………………………………………（2分）∴=AD 518. 以上分类讨论的情况正确，有判断过程…………………（1分） 综上所述：当△CQE 是等腰三角形时，AD 的长为1或518.。
2023年上海市闵行区中考一模数学试卷(原卷版)
九年级数学练习一、选择题：1.下列图形中一定是相似形的是（）A.两个等边三角形B.两个菱形C.两个矩形D.两个直角三角形2.如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（）A.103B.203C.52D.1523.如图，己知在Rt ABC △中，90,,ACB B CD AB β∠=︒∠=⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（）A.AD BDB.AC ABC.AD ACD.CD BC4.下列说法正确的是（）A.如果e为单位向量，那么||a a e=B.如果a b =-，那么abC.如果a b 、都是单位向量，那么a b =D.如果||||a b = ，那么a b= 5.抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）A .(3,0)- B.(3,0) C.(0,3)- D.(0,3)6.如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果3AC BDOC OD==，且量得4cm CD =，则零件的厚度x 为（）A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm二、填空题：7.如果3(0)a b b =≠，那么a bb+=___________．8.化简：22(3)33a b b -+-=___________．9.已知2()2f x x x =+，那么(1)f 的值为___________．10.抛物线22y x =在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．11.已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为___________．12.设点P 是线段AB 的黄金分割点(),2AP BP AB >=，那么线段AP 的长是___________．13.在直角坐标平面内有一点(512)A ，，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么sin θ的值为___________．14.已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点（不与端点重合），要使得ADE V 与ABC 相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．15.已知一斜坡的坡角为30︒，则它坡度i=___________．16.如图，一艘船从A 处向北偏西30︒的方向行驶5海里到B 处，再从B 处向正东方向行驶8千米到C 处，此时这艘船与出发点A 处相距___________海里．17.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，9AB =，cot 2A =，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将ABC 沿着折痕DE 翻折后，点A 恰好落在线段BC 的延长线上的点P 处，如果BPD A ∠=∠，那么折痕DE 的长为___________．18.阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P 满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD 中，4,5AB AD ==，点E 在边AD 上，且2AE =，联结BE ．设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为___________．三、解答题：19.)11311+cos308-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．20.如图，已知ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE BC ∥，且DE 经过ABC 的重心，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ．（1）DE =___________（用向量,a b 表示）；（2）求作：13a b +r r．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B ．（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =-++沿x 轴正方向平移(0)m m >个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求ACB ∠的余切值．22.2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD =米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．己知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角45︒，顶部B 处的仰角为53︒，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）23.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC AB 、的中点，DF AC ⊥，DF 与CE相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）求证：2CD DG BD =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线线2y ax bx =+经过(1,3)(2,0)A B -、，点C 是该抛物线上的一个动点，连接AC ，与y 轴的正半轴交于点D ．设点C 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，连接DE ，当23m <<时，在CDE 中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．25.如图1，点D 为ABC 内一点，联结,BD CBD BAC ∠=∠，以BD BC 、为邻边作平行四边形,DBCE DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒．（1）求证：ABC ECF ∽；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE FE =，且ABC 的面积与平行四边形DBCE 面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分,5,2AEC AB CE ∠==，求线段AE 的长．第6页/共6页。
上海市2024届徐汇区中考数学一模
一、选择题1. 上海市2024届徐汇区中考数学一模下列抛物线中，对称轴为直线=x 1的抛物线的表达式是（ ）A . =+y x 12B . =−y x 12C . =+y x x 22D . =−y x x 222. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A (4,3)，直线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么αsin 的值是（ ） A .53B .43 C .54 D .34 3. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A . 两个直角三角形 B . 两个等腰三角形 C . 两个等边三角形D . 两个面积相等的三角形4. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，设,OA a OB b ==，那么向量,,,OC OD AB BC 关于,a b 的分解式中，下列结论正确的是（ ）A . OC a =B . OD b =−C . AB a b =−D . BC a b =+5. 进博会期间，从一架离地200米的无人机A 上，测得地面监测点B 的俯角是60°，那么此时无人机A 与地面监测点B 的距离是（ ） A.3米 B.3米 C . 200米D.6. 如图，点D 是ABC 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果==AB AC BCAD AE DE，那么下列结论正确的是（ ） A . CE //ADB . BD =ADC . ∠ABE =∠CBED . ⋅=⋅BO AE AO BC二、填空题7. 计算：︒−︒=2sin 60cot 30_____________8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），如果AB =2，那么BP 的长是_____________9. 已知ABC DEF ，如果它们对应高的比=AM DN :，那么ABC 和DEF 的面积比是____________10. 在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD :AB =2:3，AE =4，CE =2，DE =3，那么BC 的长是____________11. 如图，AB //CD //EF ，如果AD =2，DF =1.5，CE =1.8，那么BE 的长是____________12. 如图，在Rt ABC 中，∠ABC =90°，⊥BD AC 于D ，如果BCD 和ABD 的面积比为9:16，CD =12，那么AB 的长是_____________13. 如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60°方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是______________米（结果保留根号）14. 将抛物线=−y x 2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB 是等边三角形，那么点B 的坐标是____________15. 如图，在ABC 中，AD 和BE 是ABC 的高，且交于点F ，已知AB =13，BC =15，AC =14，那么∠AFE 的正切值是_____________16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A 处（即EA =8里），出西门往前直走2里到B 处（即DB =2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C 看见宝塔A ，如果设正方形的中心为O ，点O 、D 、B 在一直线上，点O 、E 、A 在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是____________里17. 在ABC 中，AB =AC =6，BC =4，如果将ABC 绕着点B 旋转，使得点C 落在边AC 上，此时，点A 落在点A '处，联结AA '，那么AA '的长是____________18. 如图，在ABC 中，∠BAC =90°，==AB AC ，如果点P 在ABC 的内部，且满足∠APC =∠BPC =135°，那么CP 的长是____________三、解答题19. 已知：=b a 52. （1）求代数式−+a ba b234的值；（2）当+−=a b 23335时，求a b ,的值.20. 已知抛物线=−++y x bx 32与y 轴交于点C ，与x 轴交于点−A 1,0)(和点B ，顶点为D .（1）求此抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结CD 、BD ，求∠CDB 的余弦值.21. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 平分∠ABC ，CD =BD =8，AB =5. （1）求BC 的长；（2）设,AB a BC b ==，求向量BD （用向量,a b 表示）个斜坡CD ，首先在斜坡CD 的底端C 测得高楼顶端A 的仰角是60°，然后沿斜坡CD 向上走到D 处，再测得高楼顶端A 的仰角是37°，已知斜坡CD 的坡比是i =1:6，斜坡CD 的底端C 到高楼AB 底端B 22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一的距离是B 、C 、E 三点在一直线上（如图所示），假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB 的高度；（2）求点D 离地面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据：︒≈︒≈︒≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73）23. 如图，在ABCD 中，点E 在边AB 上，=⋅DE AE CD 2. （1）求证：⋅=⋅AD CD CE DE ；（2）当点E 是边AB 的中点时，分别延长DE 、CB 交于点F ，求证：=AB EF 222.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线=>y ax a 02)(上，点M 到两坐标轴的距离都是2.（1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线=>y axa 02)(先向右平移23个单位，再向下平移k (k >0)个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点A (m ,0)和点B (n ,0)，已知m <n ，且=−mn 4，与y 轴负半轴交于点C . ①求k 的值； ②设直线=−y x 34与上述新抛物线的对称轴的交点为D ，点P 是直线=−y x 34上位于点D 下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果∠=PCD 4tan 3，求点P 的坐标.25. 如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，==AB AC D 是边AB 上的动点（点D 不与点B 重合），以CD 为斜边在直线BC 上方作等腰直角三角形DEC . （1）当点D 是边AB 的中点时，求∠DCB sin 的值；（2）联结AE ，点D 在边AB 上运动的过程中，∠EAC 的大小是否变化? 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC 的大小；（3）设DE 与AC 的交点为G ，点P 是边BC 上的一点，且∠CPD =∠CGD ，如果点P 到直线CD 的距离等于线段GE 的长度，求CDE 的面积.一、选择题1. D2. A3. C4. B5. B6. 参考答案D二、填空题7. 08. 3 9. 2:9 10.29 11. 4.2 12. 38013. 25014. )( 15. 3416. 8 17. 418.三、解答题19.（1）−2；（2）==a b 4,1020.（1）=−++y x x 232；D （1,4）；（2）1021.（1）564；（2）25BD a b =−+64 22.（1）60米；（2）6.2米 23. 证明略 24.（1）=y x 212；（2）①825，②⎝⎭⎪−⎛⎫P 77,243225.（1）10；（2）45°；（3）−8。
上海市2024届杨浦区中考数学一模
一、选择题1. 上海市2024届杨浦区中考数学一模将抛物线=y x 22向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ）A . =+y x 232)(B . =−y x 232)(C . =−y x 232D . =+y x 2322. 如果将一个锐角ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正切值（ ）A . 扩大为原来的2倍B . 缩小为原来的21C . 没有变化D . 不能确定3. 已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么下列等式能成立的是（ ）A . =AP BP AB AP B . =BP AP AB BP C. =BP AB D. =AP AB 4. 如果两个非零向量a 与b 的方向相反，且a b ≠，那么下列说法错误的是（ ）A . a b −与a 是平行向量B . a b −的方向与b 的方向相同C . 若2a b =−，则2a b =D . 若2a b =，则2a b =−5. 如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C 处架起测角仪，测角仪的高CD =1.4米，从点D 测得教学大楼顶端A 的仰角为α，测角仪底部C 到大楼底部B 的距离是25米，那么教学大楼AB 的高是（ ）A . +α1.425sinB . +α1.425cosC . +α1.425tanD . +α1.425cot6. 如图，锐角ABC 中，AB >AC >BC ，现想在边AB 上找一点D ，在边AC 上找一点E ，使得∠ADE 与∠C 相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点B 、C 作AC 、AB 的垂线，垂足分别是E 、D ，则D 、E 即所求；（乙）取AC 中点F ，作⊥DF AC ，交AB 于点D ，取AB 中点H ，作⊥EH AB ，交AC 于点E ，则D 、E 即所求，对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（ ）A . 甲正确乙错误B . 甲错误乙正确C . 甲、乙皆正确D . 甲、乙皆错误二、填空题7. 已知线段=a 3厘米，c =12厘米，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么b =____________厘米8. 计算：123a b b ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭2_____________ 9. 二次函数=−−y x x 342的图像与y 轴的交点坐标是____________10. 已知抛物线=−−−y m x x 2312)(的开口向上，那么m 的取值范围是____________ 11. 如果点−A y 5,1)(和点B y 5,2)(是抛物线=−+y x m 2（m 是常数）上的两点，那么y 1__________y 2 12. 在Rt ABC 中，∠ABC =90°，⊥BD AC ，垂足为点D ，如果AB =5，BD =2，那么cosC =____________13. 小华沿着坡度i =1:3的斜坡向上行走了____________米14. 写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是____________15. 如图，在ABC 中，点G 是重心，过点G 作GD //BC ，交边AC 于点D ，联结BG ，如果ABC S=36，那么形边四=S BGDC ____________16. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离是4米，如图建立直角坐标平面xOy ，如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是____________米（结果保留根号）17. 如图，已知ABC 与ABD 相似，∠ACB =∠ABD =90°，==AC BC ，BD <AB ，联结CD ，交边AB 于点E ，那么线段AE 的长是____________18. 如图，已知在菱形ABCD 中，=B 3cos 1，将菱形ABCD 绕点A 旋转，点B 、C 、D 分别旋转至点E 、F 、G ，如果点E 恰好落在边BC 上，设EF 交边CD 于点H ，那么DHCH 的值是_____________三、解答题19. 如图，已知在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，AB =15，=EC AE 32. （1）求AD 的长；（2）如果BF =4，CF =6，求四边形BDEF 的周长.20. 已知二次函数=−+−y x x 432.（1）用配方法将函数=−+−y x x 432的解析式化为=++y a x m k 2)(的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）设该函数的图像与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，顶点记作D ，求四边形ADBC 的面积.21. 如图，在ABC 中，AB =AC =4，=B 4cos 1，AB 的垂直平分线交边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交BC 的延长线于点E .（1）求CE 的长；（2）求∠EFC 的正弦值.22. 周末，小李计划从家步行到图书馆看书，如图，小李家在点A 处，现有两条路线：第一条是从家向正东方向前进200米到路口B ，再沿B 的南偏东45°方向到图书馆D ；第二条是从家向正南方向前进600米到路口C ，再沿C 的南偏东60°方向到图书馆D ，假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线更快到达图书馆? ≈≈≈1.41 2.45）23. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 在边AB 上，AC 与DE 交于点F ，∠ADE =∠DCA .（1）求证：⋅=⋅AF AC AE CD ；（2）如果点E 是边AB 的中点，求证：=⋅AB DF DE 22.24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =−−≠与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4.（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 上一点，如果∠P AC =45°，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ∠=，求平移后抛物线的表达式.25. 如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE =AB ，延长BE 交CD 于点F .（1）求证：∠BED =135°；（2）联结CE .①当CE BF ⊥时，求BP PC的值； ②如果CEF 是以CE 为腰的等腰三角形，求∠FBC 的正切值.。
上海市2024届普陀区中考数学一模
一、选择题1. 上海市2024届普陀区中考数学一模将抛物线=y x 32沿着y 轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是（ ）A . =+y x 12B . =−y x 12C . =+y x 312D . =−y x 3122. 在Rt ABC 中，已知∠ACB =90°，=B 3tan 1，BC =3，那么AC 的长等于（ ） A . 1B . 9C.D. 3. 下列关于抛物线=y x 22和抛物线=−y x 22的说法中，不正确的是（ ） A . 对称轴都是y 轴 B . 在y 轴左侧的部分都是上升的 C . 开口方向相反D . 顶点都是原点4. 已知,a b 是非零向量，如果a b =−3，下列说法中正确的是（ ） A . 30a b += B . 30a b −= C . 3a b =D . a b =35. 如图1，在四边形ABCD 中，如果AB =DC ，∠ABC =∠DCB ，那么下列结论中不一定成立的是（ ） A . AC =BD B . AD //BC C . ∠DAB =∠ADC D . ∠ABD =∠DBC6. 如图2，ABC 和DCB 都是直角三角形，∠BAC =∠BCD =90°，AB =AC ，AC 、BD 相交于点O ，如果 ∠DBC =30°，那么OC :AC 的值是（） A .B . 2C .D .1二、填空题7. 已知=y x 25，那么=+yx y ____________8.已知正比例函数y 的值随着自变量x 的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是____________9. 化简：)a b a +−=2(____________10. 已知二次函数=++−y x x m 322的图像与y 轴的交点在正半轴上，那么m 的取值范围是____________11. 如图3，点D 、E 分别在ABC 的边CA 、BA 的延长线上，且DE //BC ，如果AB =6，AE =3，CD =5，那么AC =____________12. 如图4，在ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，如果AC =5，CD =4，那么ACD 与CBD 的相似比k =____________ 13. 已知点A 在抛物线=−+y x 122)(上，点A '与点A 关于此抛物线的对称轴对称，如果点A 的横坐标是−1，那么点A '的坐标是____________14. 如图5，抛物线=−+y x x 42的顶点为P ，M 为对称轴上一点，如果PM =OM ，那么点M 的坐标是____________15. 已知点P 为等边三角形ABC 的重心，D 为ABC 一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么PD =____________16. 如图6，在边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形顶点的位置上，联结AB 、CD 相交于点P ，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos ∠BPC 的值等于____________17.ABC 中，点D 在边BC 上，DC =2BD ，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，9BDEBDFABCSSS ==1，如果BC =6，那么EF =____________ 18. 如图7，矩形ABCD 中，AB =6，BC =9，E 为边CD 的中点，联结AE 、BE ，P 为边AD 上一点，将ABP 沿BP 翻折，如果点A 的对应点A '恰好位于ABE 内，那么AP 的取值范围是____________三、解答题19. 计算：︒−︒︒+︒−︒tan 602sin 30sin 453cot 602cot 452一点，OF //DC 20. 如图8，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BD 与EF 交于点G ，O 为BD 上. （1）求ABOE的值； （2）设,BA a DC b ==，如果DE :BF =1:3，那么FO =____________，EG =____________（用向量,a b表示）21. 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数=y x 2的图像与反比例函数=≠xy k k0)(的图像交于点A (1,m ).（1）求这个反比例函数的解析式；（2）点B 在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B 作⊥BH x 轴，垂足为点H ，如果∠AOH =∠OBH ，求点B 的坐标.22. 如图10，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB 的坡度，但由于山坡AB 前有小河阻碍，无法直接从山脚B 处测得山顶A 的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C 处测得山顶A 的仰角为37°第二步：从C 处后退30米，在D 处测得山顶A 的仰角为26.6° 第三步：测得小河宽BC 为33米.已知点B 、C 、D 在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB 的坡度. （参考数据：︒≈︒≈︒≈︒≈0.6sin 22.60.45,cos26.60.89,tan 26.60.5,sin37，︒≈︒≈cos370.8,tan370.75）23. 已知：如图11，在ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADE =∠B ，∠EAF =∠FDC ，DE 与AC 交于点F . （1）求证：=AC AEAB AD； （2）联结BF ，如果=⋅AB AF AC 2，求证：⋅=⋅AD BC AE BF .图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，将一个图形放大或缩小后，得到与它形状相同的图形，图24-3中，四边形A B 11（1）填空：在图24-3中位似中心是点_______；______多边形是特殊的_______多边形（填“位似”或“相似”） （2）在平面直角坐标系xOy 中（如图12），二次函数=−y x x 2312的图像与x 轴交于点A ，点B 是此函数图像上一点（点A 、B 均不与点O 重合），已知点B 的横坐标与纵坐标相等，以点O 为位似中心，相似比为21，将OAB 缩小，得到它的位似11OA B . ①画出11OA B ，并求经过O 、A 1、B 1三点的抛物线的表达式； ②直线=>y kx k 0)(与二次函数=−y x x 2312的图像交于点M ，与①中的抛物线交于点N ，请判断1OA N 和OAM 是否为位似三角形，并根据新定义说明理由.25. 如图13，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 是边BC 延长线上一点，过点B 作⊥BM DE ，垂足为点M ，联结CM ，设=<<CE a a 01)(.（1）求证：DCE BME ；（2）∠CME 的大小是否是一个确定的值? 如果是，求出∠CME 的正切值；如果不是，那么用含字母a 的代数式表示∠CME 的正切值；（3）P 是边AD 上一动点（不与点A 、D 重合），联结PB 、PM ，随着点P 位置的变化，在PBM 中除∠BPM 外的两个内角是否会有与∠CME 相等的角，如果有，请用含字母a 的代数式表示此时线段AP 的长；如果没有，请说明理由.一、选择题1. C2. A3. B4. C5. D6. 参考答案D二、填空题 7.27 8. =y x 2（不唯一） 9. 2a b + 10. m >211.310 12.43 13.（3,6）14. ⎝⎭⎪⎛⎫22,315. 316.517. 418. <<AP 22三、解答题 19. −21 20.（1）21；（2）b −21；11b a −8821.（1）=xy 2；（2）B （2,1）22. 3523.（1）证明略 （2）证明略24.（1）P ；位似；相似（2）①作图略；表达式为=−y x x 32②是，说明略 25.（1）证明略 （2）不是，21 （3）有，+=−a AP a14。
2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷【答案版】
2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝（a +2）x 2+1 B ．y =1x 2+1 C ．y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2D ．y ＝2x 2+3x2．抛物线y =12x 2−2一定经过点（ ） A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（4，0）D ．（0，4）．3．如果把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A ．都扩大为原来的3倍 B ．都缩小为原来的13C ．都没有变化D ．都不能确定4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠A 的正弦值是（ ） A ．3√1010B ．√1010C ．3D ．135．已知非零向量a →、b →、c →，下列条件中不能判定a →∥b →的是（ ） A ．a →=2b →B ．|a →|=2|b →|C ．a →∥c →，b →∥c →D ．a →=c →，b →=2c →6．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，它们依次交直线l 4、l 5于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：DF ＝3：5，AC ＝12，那么BC 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．245D ．365二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知ab=34，那么a−b a+b= ．8．已知抛物线y ＝（a ﹣1）x 2+2x 开口向下，那么a 的取值范围是 ． 9．将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是 ．10．已知点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，那么y 1 y 2（填“＞”、“＝”、“＜”）．11．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝1，如果此抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 ．12．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，cosB =13，那么AB 的长是 ．13．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD ⊥AD ，如果BC ＝4，cot ∠CDB =32，那么BD ＝ ．14．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A 处，测得地面控制点B 的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于 米（结果保留根号）．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3AE ，设AB →=a →，AD →=b →，那么CE →= ．16．如图，已知在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，且相交于点F ，过点F 作FG ∥AC ，那么DG BC= ．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，如果S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，那么S △ABC ＝ ．18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC边上的中线（如图）．将△ABC绕着点C 逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG 的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°．tan60°+2cos45°20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．21．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是AD边上的一点，CE与BD相交于点F，CE与BA 的延长线相交于点G，DE＝3AE，CE＝12．求GE、CF的长．22．（10分）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）（1）求FG的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）23．（12分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边CB、AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F．（1）求证：△DBF∽△EBC；（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF•DA．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，4）、B（3，﹣4）两点，且与y轴的交点为点C．（1）求此抛物线的表达式及对称轴；（2）求cot∠OBC的值；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A 重合，点F 不与点B 重合），联结EF ，将△CEF 沿着直线EF 翻折后，点C 恰好落在边AB 上的点D 处．过点D 作DM ⊥AB ，交射线AC 于点M ．设AD ＝x ，CF CE=y ，（1）如图1，当点M 与点C 重合时，求MD ED的值；（2）如图2，当点M 在线段AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当CM CE=12时，求AD 的长．2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝（a +2）x 2+1 B ．y =1x 2+1 C ．y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2D ．y ＝2x 2+3x解：A 、y ＝（a +2）x 2+1（a ≠﹣2），是二次函数，故A 不符合题意； B 、y =1x 2+1，不是二次函数，故B 不符合题意； C 、y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2＝3x +2，是一次函数，故C 不符合题意； D 、y ＝2x 2+3x ，是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．2．抛物线y =12x 2−2一定经过点（ ） A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（4，0）D ．（0，4）．解：当x ＝0时，y ＝﹣2，故A 和D 不正确． 当y ＝0时，12x 2−2=0，解得x ＝2或﹣2．故选：B ．3．如果把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A ．都扩大为原来的3倍 B ．都缩小为原来的13C ．都没有变化D ．都不能确定解：如果把Rt △ABC 的三边长度都扩大3倍，锐角A 不变，锐角三角函数值不变． 故选：C ．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠A 的正弦值是（ ） A ．3√1010B ．√1010C ．3D ．13解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3， ∴AB =√AC 2+BC 2=√12+32=√10， ∴sin A =BCAB =3√10=3√1010， 故选：A ．5．已知非零向量a →、b →、c →，下列条件中不能判定a →∥b →的是（ ）A ．a →=2b →B ．|a →|=2|b →|C ．a →∥c →，b →∥c →D ．a →=c →，b →=2c →解：∵向量a →、b →、c →为非零向量，a →=2b →， ∴a →与b →方向相同， ∴a →∥b →，∵|a →|＝2|b →|，不能说明方向相同或相反， ∴不能判定a →∥b →； ∵a →∥c →，b →∥c →， ∴a →∥b →；∵a →=c →，b →=2c →， ∴a →与b →方向相同， ∴a →∥b →，故选项B 符合题意， 故选：B ．6．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，它们依次交直线l 4、l 5于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：DF ＝3：5，AC ＝12，那么BC 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．245D ．365解：∵DE ：DF ＝3：5，EF ＝DF ﹣DE ， ∴EF ：DF ＝2：5． ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴BC AC=EF DF，∴BC 12=25，∴BC =245． 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知ab=34，那么a−ba+b= −17 ．解：∵a b=34，∴设a ＝3k ，b ＝4k ， ∴a−b a+b=3k−4k 3k+4k=−17．故答案为：−17．8．已知抛物线y ＝（a ﹣1）x 2+2x 开口向下，那么a 的取值范围是 a ＜1 ． 解：∵y ＝（a ﹣1）x 2+2x 的开口向下， ∴a ﹣1＜0，解得a ＜1， 故答案为：a ＜1．9．将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是 y ＝（x ﹣1）2﹣9（或y ＝x 2﹣2x ﹣8） ．解：∵y ＝x 2+6x ＝（x +3）2﹣9，∴将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是y ＝（x +3﹣4）2﹣9，即y ＝（x ﹣1）2﹣9．故答案为：y ＝（x ﹣1）2﹣9（或y ＝x 2﹣2x ﹣8）．10．已知点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，那么y 1 ＞ y 2（填“＞”、“＝”、“＜”）．解：∵y ＝﹣x 2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴， ∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，1＜3， ∴y 1＞y 2． 故答案为：＞．11．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝1，如果此抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 （﹣1，0） ．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝1， ∴交点（3，0）到对称轴的距离是2，根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（﹣1，0）．12．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，cosB =13，那么AB 的长是 9 ． 解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由cos B =BCAB 得AB =BCcosB =313=9，故答案为：9．13．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD ⊥AD ，如果BC ＝4，cot ∠CDB =32，那么BD ＝ 6 ．解：∵DC ∥AB ， ∴∠ABD ＝∠CDB ， ∴cot ∠ABD ＝cot ∠CDB =32，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝4，cot ∠ABD =BDAD ， ∴BD AD=32，即：BD 4=32，∴BD ＝6． 故答案为：6．14．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A 处，测得地面控制点B 的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于2000√33米（结果保留根号）．解：如图：由题意得：AC ⊥BC ，∠DAB ＝60°，DA ∥BC ， ∴∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 在Rt △ABC 中，AC ＝1000米， ∴AB =ACsin60°=1000√32=2000√33（米）， ∴飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于2000√33米，故答案为：2000√33．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3AE ，设AB →=a →，AD →=b →，那么CE →= −23a →−b →．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴BC →=AD →=b →， ∵AB ＝3AE ， ∴BE =23AB ，∴BE →=−23AB →=−23a →，∴CE →=BE →−BC →=−23a →−b →．故答案为：−23a →−b →．16．如图，已知在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，且相交于点F ，过点F 作FG ∥AC ，那么DG BC=16．解：∵AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，∴DF AD =13，DC =12BC ， ∵FG ∥AC ，∴DG DC =DF AD =13， ∴DG BC =16．故答案为：16．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，如果S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，那么S △ABC ＝ 25 ．解：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∠AED ＝∠ACB ，∠BFD ＝∠ACB ，∴∠AED ＝∠BFD ，∴△ADE ∽△BDF ，∵S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，∴S △ADE S △BDF =49， ∴AD DB =23， ∴AD AB =25， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵AD AB =25， ∴S △ADES △ABC =(25)2=425，∵S △ADE ＝4，∴S△ABC＝25．故答案为：25．18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC边上的中线（如图）．将△ABC绕着点C 逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG的长是3√1026．解：如图，过点C作CH⊥AD于H，过点D作DN⊥EF于N，∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，∴BC=√AC2+BC2=√1+9=√10，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝CD＝BD=√102，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠BAC＝90°＝∠CHA，∴∠DAC+∠ACH＝90°＝∠DCA+∠B，∴∠B＝∠ACH，∴sin B＝sin∠ACH=AHAC=ACBC，∴AH=AC⋅ACBC=1×1√10=√1010，∵tan B＝tan∠ACH=ACAB=AHCH=13，∴CH＝3AH=3√10 10，∵将△ABC绕着点C逆时针旋转，∴CE＝AC＝1，∠CEF＝∠BAC＝90°，∴AH＝AE=√1010，∠CEH+∠DEN＝90°，∴DE＝AD﹣AH﹣HE=√102−√1010−√1010=3√1010，∵∠CEH+∠HCE＝90°，∴∠HCE＝∠DEN，又∵∠CHE＝∠DNE＝90°，∴△CEH ∽△EDN ，∴CE DE=HE DN ， ∴3√1010=√1010DN ，∴DN =310， ∵∠CEG ＝∠DNG ，∠DGN ＝∠CGE ，∴△CGE ∽△DGN ，∴DG CG =DNCG =3101=310， ∵CG +DG ＝CD =√102， ∴DG =3√1026， 故答案为：3√1026．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°tan60°+2cos45°． 解：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°tan60°+2cos45° ＝3×1×√33+2×|12−1|1√3+2×√22 =√3+1−(√3−√2)=1+√2．20．（10分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．解：（1）由题意把A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）代入二次函数y ＝ax 2+bx +c ，可得：{a +b +c =5c =3a −b +c =−3，解得：{a =−2b =4c =3．∴二次函数解析式为y ＝﹣2x 2+4x +3；（2）y ＝﹣2x 2+4x +3＝﹣2（x ﹣1）2+5，∴顶点坐标是（1，5）．21．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，CE 与BD 相交于点F ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，DE ＝3AE ，CE ＝12．求GE 、CF 的长．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥DC ．∵点G 在BA 延长线上，∴GA ∥DC ．∴AE ED =GE EC ．∵DE ＝3AE ，CE ＝12，∴13=GE 12，即GE ＝4．∵AD ∥BC ，∴ED BC =EF FC ．∵DE ＝3AE ，DE +AE ＝AD ，∴ED AD =34．∵AD ＝BC ，∴ED BC =EF FC =34．∵EF +FC ＝EC ，∴FC CE =47．∵CE ＝12，∴FC 12=47， 即FC =487．综上，GE ＝4，FC =487．22．（10分）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45°；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30°．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）解：（1）由题意得：CB ⊥FH ，ED ⊥HG ，在Rt △FBC 中，∠BFC ＝45°，BC ＝2，∴BF =BC tan45°=2（米）， 在Rt △DEG 中，∠G ＝30°，DE ＝2，∴DG =DE tan30°=√33=2√3（米）， ∵BD ＝6米，∴FG ＝BD +DG ﹣BF ＝6+2√3−2＝（4+2√3）米， ∴FG 的长为（4+2√3）米；（2）设AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH=AHtan45°=x（米），∵FG＝（4+2√3）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2√3）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG=AHtan30°=AH√33=√3AH，∴x+4+2√3=√3x，解得：x＝5+3√3≈10.2，∴AH＝10.2米，∴山峰高度AH的长约为10.2米．23．（12分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边CB、AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F．（1）求证：△DBF∽△EBC；（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF•DA．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ABC、∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，∴∠ABC＝∠DAB+∠D，∠ACB＝∠EBC+∠E，∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E．又∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC．（2）∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC，∴∠DBF＝∠DAB．∵∠D ＝∠D ，∴△DBF ∽△DAB ，∴DB DA =DF DB ，即DB 2＝DA •DF ．在△ADB 和△BEC 中，{∠D =∠E∠DAB =∠EBC AB =BC，∴△ADB ≌△BEC （AAS ），∴BD ＝EC ，∴EC 2＝DF •DA ．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，4）、B （3，﹣4）两点，且与y 轴的交点为点C ．（1）求此抛物线的表达式及对称轴；（2）求cot ∠OBC 的值；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点P 坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）根据题意：{1−b +c =49+3b +c =−4， 解得{b =−4c =−1， ∴抛物线表达式为y ＝x 2﹣4x ﹣1．∴抛物线的对称轴为：直线x ＝2．（2）∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣1与 y 轴相交于点C ，∴C 点坐标是（0，﹣1），作BM ⊥y 轴，垂足为M ．作OH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ．∵B （3，﹣4），∴CM ＝BM ＝3，BC =3√2，∴∠MCB ＝∠HCO ＝45°．∵OC ＝1，∴CH =OH =√22．∴BH =BC +CH =3√2+√22=7√22．∴cot ∠OBC =BH OH =72√222=7．（3）存在，理由如下：∵BC 为直角边，∴只可能有两种情况：∠PCB ＝90°或∠PBC ＝90°．设点P 坐标为（x ，x 2﹣4x ﹣1）①当∠PBC ＝90°，作PT ⊥BN ，垂足为T ，作CK ⊥BN ，垂足为K ．∴PT ＝3﹣x ，BT ＝4x ﹣x 2﹣3．∵∠CBK ＝45°，∠PCB ＝90°，∴∠BPT ＝45°，∴PT ＝BT ；∴3﹣x ＝4x ﹣x 2﹣3，可求得x 1＝2，x 2＝3（舍）．∴P 2（2，﹣5）；②当∠PCB ＝90°，作PQ ⊥y 轴，垂足为Q ．∴PQ ＝x ，QC ＝x 2﹣4x ．∵∠MCB ＝45°，∠PCB ＝90°，∴∠QCP ＝45°，∴PQ ＝QC ；∴x ＝x 2﹣4x ，可求得x 1＝0（舍），x 2＝5．∴P 1（5，4）；综上所述，点P 的坐标是（5，4）或（2，﹣5）．25．（14分）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点E 、F 分别在边AC 、边BC 上（点E 不与点A 重合，点F 不与点B 重合），联结EF ，将△CEF 沿着直线EF 翻折后，点C 恰好落在边AB 上的点D 处．过点D 作DM ⊥AB ，交射线AC 于点M ．设AD ＝x ，CF CE =y ，（1）如图1，当点M 与点C 重合时，求MD ED 的值；（2）如图2，当点M 在线段AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当CM CE =12时，求AD 的长． 解：（1）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，∴∠A ＝60°，BC =2√3，AC ＝2，∵DM ⊥AB ，∴∠ADM ＝90°，∵AC ＝2，∠A ＝60°，∴MD =√3，由题意可得：CE =ED =12CA =1，∴MD ED =√3．（2）由题意可知：CE ＝DE ，CF ＝DF ，∠EDF ＝∠C ＝90°， ∴CF CE =DF DE =y ，∵∠MDF +∠FDB ＝90°，∠EDM +∠MDF ＝90°， ∴∠FDB ＝∠EDM ，在Rt △ADM 中，∠ADM ＝90°，∠A ＝60°，AD ＝x ， ∴∠AMD ＝30°，DM =√3x ，∴∠B ＝∠AMD ，∴△FDB ∽△EDM ，∴DF DE =DB DM ，∵AD ＝x ，AB ＝4，∴DB ＝4﹣x ，∴y =4√3−√3x 3x（4−2√3＜x ≤1）． （3）①当点M 在线段AC 上时，∵CM CE =12， ∴EM CE =EM DE =12， 由（2）得△FDB ∽△EDM ，∴FB EM =FD ED ， 即FB FD =EM ED =12， ∴FB FC =12，∵BC =2√3，∴CF =DF =4√33，BF =2√33，过点F 作FH ⊥AB ，垂足为点H ，∴BH ＝1，FH =√33，在Rt △DFH 中，DH 2＝DF 2﹣FH 2， ∴DH 2＝（4√33）2﹣（√33）2＝5，∴DH =√5（负值舍去），∴AD =3−√5．②当点M 在AC 的延长线上时， ∵CM CE =12，∴CE ME =DE ME =23，由题意得∠M ＝∠B ，∠EDM ＝∠FDB ， ∴△EDM ∽△FDB ，∴ED FD =EM FB ，即FB FD =EM ED =32，∴FB FC =32，∵BC =2√3，∴CF =DF =4√35，BF =6√35，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为点G ．∴BG =95，FG =3√35，DG =√215，∴AD =11−√215． 综上，AD =3−√5或11−√215．。
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上海市数学中考一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） -2010的绝对值是（）
A . -2010
B . 2010
C .
D . -
2. （2分） (2016七上·南京期末) 国家体育场“鸟巢”的建筑面积达258000m2 ，用科学记数法表示为（）
A . 25.8×105
B . 2.58×105
C . 2.58×106
D . 0.258×107
3. （2分） (2016八上·东城期末) 若x- =1，则x2+ 的值是（）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 4
4. （2分） (2020八下·江苏月考) 在抗击疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表：
年龄（岁）1822303543
人数23221
则这10名队员年龄的中位数是（）
A . 20岁
B . 22岁
C . 26岁
D . 30岁
5. （2分） (2019九上·潘集月考) 一元二次方程的根的情况是（）
A . 两个不等的实数根
B . 两个相等的实数根
C . 无实数根
D . 由字母m的取值决定
6. （2分）已知线段AB，下列尺规作图中，PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2019八上·瑞安期末) 如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知，，
，若的平分线BE经过点D，则的度数（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2019九上·安庆期中) 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，
，那么y与x之间的函数图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共8题；共9分)
9. （1分） (2020九下·开鲁月考) 因式分解 ________．
10. （2分） (2019九上·泉州期中) 分式有意义时，x的取值范围是________．
11. （1分） (2016七下·东台期中) 把一副常用的三角尺按如图所示的方式拼在一起，则∠ABC=________．
12. （1分） (2019八上·和平月考) 甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种，乙种，丙种混在一起，则售价应定为每千克________.
13. （1分） (2019七下·柳江期中) 如图所示，如果△OBC的面积为12，那么点C的纵坐标为________.
14. （1分） (2018八上·邗江期中) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为________．
15. （1分）(2018·眉山) 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
16. （1分） (2017八上·滨江期中) 如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，
交于点，若，，当是直角三角形时，则的长为________．
三、解答题 (共9题；共97分)
17. （5分）(2019·五华模拟) 先化简，再求值：，其中a＝20190﹣（）﹣1
18. （11分）(2020·石城模拟) 为弘扬祖国优秀传统文化，加强优秀文化熏陶，提高学生的文化素养和道德素质，我县某校举行了“经典启迪人生，国学伴我成长”主题活动，学校统一印制独具本校特色的国学教育校本教材，通过课堂教学和课外活动相结合的方式进行国学教育，为了解学生学习成果，现随机抽取了部分同学的国学成
绩(x为整数，总分100分)，绘制了如下尚不完整的统计图表．调查结果扇形统计图。
组别成绩分组(单位：分)频数频率
A50≤x<60400．10
B60≤x<7060c
C70≤x<80a0．20
D80≤x<901600．40
E90≤x<100600．15
合计b1
（1）根据以上信息解答问题：(1)统计表中a=________，b= ________，c=________。
（2）扇形统计图中，m的值为________，“D“所对应的圆心角的度数是________度；
（3）若参加国学教育的同学共有2000人，请你估计成绩在90分及以上的学生大约有多少人？
19. （6分）(2020·仙居模拟) 甲乙两人依次测量同一圆柱体工件的横截面直径(单位：cm)，测得的数据分别如表1、表2。
表1：甲的测量数据
测量数据9.89.91010.110.3
频数13321
表2：乙的测量数据
测量数据9.79.81010.110.3
频数12322
（1）如果在这些测量数据中选择一个数据作为工件直径的估计值，应该是那个数据？请说明理由。
（2）如果甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率。
（3）请直接判断甲乙两人谁的测量技术更好________(填甲或乙)，你选择的统计量是________ 。
20. （10分） (2016八下·固始期末) 某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B 型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行
规定后是否违背了广告承诺？
21. （5分）某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150 m，且B在A的正东方向。
为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100 m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200 m的商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？
22. （15分） (2020九下·丹阳开学考) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝CD＝6，BC＝8.连接BD，AE⊥BD垂足为E.
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）求线段AE的长.
23. （15分） (2019八下·温州期中) 我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测第，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品（1）根据信息填表：
产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可或利润（元）
甲65-x________ 15
乙x x________
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？
（3）根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元.要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应如何安排工人进行生产？
24. （15分）(2019·哈尔滨模拟) 是直径，分别是上下半圆上一点，且弧弧，连接，连接交于，
（1）如图（1）求证：；
（2）如图（2）是弧一点，点分别是弧和弧的中点，连接，连接分别交，于两点，求证：
（3）如图（3）在（2）问条件下，交于，交于，过点作交于，连接，若的面积等于，求线段的长度
25. （15分）(2019·花都模拟) 在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC ＝90°，直接写出实数m的取值范围．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共8题；共9分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共97分)
17-1、18-1、
18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、
20-1、
20-2、
21-1、22-1、22-2、
23-1、23-2、
23-3、24-1、
24-2、
25-1、25-2、
25-3、。