第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理 (1)
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
F F ( L , X x) F ( L, X 0 ) A Bx
2018/11/9 17
~ 条件平差法： F (L ) F ( L) rA O r ,1 r ,1 , n n ,1 r ,1
sin L2 S 2 S1 sin L1
2018/11/9
5
第二节 函数模型
在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型， 一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而 得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表 或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它 的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者 称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
2018/11/9
差法。
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10
由图知
方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测 ~ 值，选择t个独立量作为平差参数 X ，则每个观测量必定可 t ,1 以表达成这个t个参数的函数，即有 ~ ~ L F(X ) n ,1
如果这种表达式是线性的，一般为 ~ ~ L B X d n ,1 n ,t t ,1 n ,1 例如
0
F L
~ L, X 0
F1 L2 F2 L2 Fn L2
~ ~ ~
F X
~ L, X 0
x
F1 X2 F2 X2 Fn X2
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差第四章平差数学模型与最小二乘原理
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL BX 0 A0 4、 附有限制条件的间接平差法
~
L F(X)
n,1
u ,1
~
(X ) 0
s,1 u,1
Bx l Cx Wx 0
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares
2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。
3）三维GPS控制网 网中元素：已知点，未知点，基线向量。
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据
①水准网（三角高程网）： ②测角网： ③测边网和边角网：
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据
~
L F(X)
n,1
u ,1
~
(X ) 0
s,1 u,1
线性方程情况下
L% BX% d
CX%
Wx
0
§4.3 函数模型线性化 Linearization of Functional Model
四种平差方法的一般形式分别为 条件平差法：
Fi (L) 0 (i 1,2,,r) n t r
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么 如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。
Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares
平差数学模型与最小二乘原理
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理(4.1-4.3)
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
一、几何模型的必要观测、多余观测 3 ．必要观测 γ ♣确定平面三角形的形状 观测三个内角的任意两个即可。 α ♣确定平面三角形的形状与大小 必须有选择地观测三个元 素，其中至少有一条边。如，任 意2个角度+1个边、2个边+1个角 度、三个边。
h2 − h3 − h4 = w ≠ 0
h6 + h4 − h5 = w ≠ 0
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
二、测量平差 1. 条件方程 一个几何模型若进行多余观测，则每增加一 个多余观测，就必然增加且只增加一个确定的函 数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个 这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中 称为条件方程。 条件方程 2. 闭合差：以观测值代入条件方程，由于存 闭合差 在观测误差，条件式将不能满足。测量平差中将 观测值代入后所得值称为闭合差。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。 可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形 成r 个条件。 n=3 t =2 r =n−t =1
γ
~ ~ ~ α + β + γ ≠ 180 α + β + γ = 180 ο 实际上：
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
3．必要观测 （1）必要观测个数t 只与几何模型有关，与 实际观测量无关。 （2）必要元素不仅要考虑其个数，并且还 要考虑类型。 （3）一个几何模型的必要观测元素之间是 不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一 函数关系 个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素 的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数 独立量，简称独立量。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
平差数学模型与最小二乘原理电子教案
2平差数学模型与最小二乘原理2.1 参数估计及其最优性质几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。
这些元素都被称为几何量。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。
几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。
1.如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。
它们都是同一类型的元素。
2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。
它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。
3.要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。
如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。
必要观测个数用t表示。
例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。
对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。
必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。
观测值个数用n个表示。
当n <t 时,显然无法确定模型的解；当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。
平差模型与最小二乘准则20页
可见 x的方差最小，最有效。
还应有“有效性”要求
最小方差性：
若有一无偏估 ˆ， 计使 D 量ˆ m 2 （ in 最
小方差），则该即估满计足量有效性又满 致性。是最优估值。
•4-４最小二乘准则
一、最小二乘法 设有误差方程： VAx ˆl
n
在满足约束： vi2v12v2 2vn 2m下in，
（2）精度评定－－即是求D(X)的估值。
•4-3 估计值的最优性质
点估计的几种方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截
尾法
用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计 ，会产生不同的估值。
最优估值标准： （1）无偏 性 （2）一致性 （3）有效性
最优估计应具有性质：
估计量ˆ 能在参数真值附近摆动，随着子样容
数理统计问 限题 个： 抽 获 通 样 得 过 x1子 ,有 x2, 样 xn
n有限 构成统 推 计断 量 n母 无体 限
2、常用数理统计方法 （1）参数估计 （2）统计假设检验 （3）回归分析 （4）方差分析
3、对抽样的要求
a、代表性：要求子样的各个分量x i与母体同分布
。即 Exi EX Dxi DX
量的增大，摆幅越来越小，n为时，ˆ 依概率
收敛于 。
一、无偏性
设 ˆ是参数 的 真估 值值，E若 ˆ满
则称 ˆ是 的无偏估计。
问： x是否是母体均估 值计 的？ 无子 偏 s样 2是方
否是母体 Dx方 差 2的无偏估计？
结论
数理统计中
x
1 n
n i1
xi
s 2
1 n
n
(xi
i1
x )2
例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。
平差数学模型与最小二乘原理
而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
平差计算的基本原理和方法
平差计算的基本原理和方法平差计算是一种广泛应用于测量和工程领域的数学方法，用于解决数据观测值中的误差和偏差问题。
平差计算的基本原理是通过最小二乘法，以最小化观测值与计算值之间的残差平方和来确定最优解。
本文将介绍平差计算的基本原理和常用方法。
一、平差的概念和意义平差是指将不准确或不完整的观测数据进行修正和处理，使其达到最优解或近似最优解的过程。
在测量和工程领域中，由于各种误差和偏差的存在，观测数据往往具有一定的不确定性，因此需要进行平差计算来提高数据的精度和可靠性。
平差计算的结果可以用来进行工程设计、地图测绘、导航定位等各种应用。
二、平差计算的基本原理平差计算的基本原理是基于最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是将观测值与计算值之间的残差平方和最小化，通过调整未知量的值来逼近最优解。
残差是指观测值与计算值之间的差异，而平差计算的目标就是使这些差异最小化。
平差计算的基本模型可以表示为以下方程组：A * x = L其中，A为系数矩阵，x为未知量向量，L为观测值向量。
通过解这个方程组，可以求得最优的未知量估计值x。
最小二乘法的优点是可以利用观测数据中的权重信息，将准确性较高的观测数据给予更大的权重，进一步提高计算结果的准确性。
此外，最小二乘法还具有数学上的良好性质，可以通过数学推导和求解得到闭式解，而不需要采用迭代方法。
三、平差计算的常用方法1. 三角形平差法三角形平差法是一种常用的平差计算方法，适用于测量角度和距离的观测数据。
该方法基于三角形的相似性原理，通过解析几何和三角函数等方法，将观测数据转化为方程组，并利用最小二乘法求解未知量。
2. 存储器平差法存储器平差法是一种适用于大规模观测数据的平差计算方法。
该方法通过将观测值按照一定规律存储在存储器中，然后通过循环迭代的方式逐步修正观测值和未知量的估计值，直到最终收敛。
3. 参数平差法参数平差法是一种广泛应用于工程测量领域的平差计算方法。
该方法将未知量表示为参数的形式，并利用最小二乘法求解最优的参数估计值。
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
平差数学模型与最小二乘原理
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
边角三角 网
点数 ×2
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
据起算数据情况，把控制网分为：
自由控制网：不足或仅有必要的起算数据 附和控制网：有多余的起算数据
§4-1 测量平差概述
四、计算t和r的例题
1．水准网
2.பைடு நூலகம்角网
B
B 2 C 3 4 5
3 4 C6 8 7
2
1 A
函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的 真值(或期望值)之间的函数关系式。
函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。
随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特
征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。
§4-3 函数模型的线性化
设有函数
设
c1
0 L L L 1 8 0 0 1 2 3 L 0 1 X
X
一般的：
1 2 3 W 0 1 X W c
一、函数模型
3.附有参数的条件平差的函数模型
在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则 多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 ＜ u ＜ t ， 则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：
(a)
8
5
7
6 D
1 A
D
9
(b)
五、多余观测与平差的关系
多余观测个数：r =n - t 当 n＜ t 时，不能确定平差问题的模型
n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知
n＞ t 时，有多余观测，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。 通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应 的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
834误差理论与测量平差基础大纲(2012年版)
《误差理论与测量平差基础》考研复习大纲（2012年）第一章、绪论（4分）了解系统误差、偶然误差、粗差及其处理方法；掌握测量平差学科的研究对象；理解测量平差任务；了解本课程的任务和内容。
第二章、误差分布与精度指标（6分）理解偶然误差的特性；掌握衡量精度的绝对指标和相对指标，精度、准确度与精确度；理解测量不确定度。
第三章、协方差传播律及权（20分）理解数学期望的传播；掌握方差协方差阵、权、权阵、协因数、协因数阵的概念及其表示方法；掌握协方差传播律及其应用；熟练掌握权与定权的常用方法，协因数、协因数传播律及其应用，理解由观测值函数的真误差估计中误差的方法；了解系统误差的传播。
第四章、平差数学模型与最小二乘原理（10分）掌握各种平差问题必要观测数，多余观测数的确定方法；掌握测量平差的函数模型，函数模型的线性化，掌握参数估计与最小二乘平差准则。
第五章、条件平差（20分）熟练掌握条件数的确定，条件平差原理；掌握各种平差问题条件方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第六章、附有参数的条件平差（15分）了解附有参数的条件平差函数模型和随机模型的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第七章、间接平差（20分）掌握间接平差原理，误差方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定；掌握间接平差应用（直接平差，三角网坐标平差，导线网间接平差，GPS 网平差）。
第八章、附有限制条件的间接平差（15分）掌握附有限制条件的间接平差原理；掌握误差方程、条件方程列立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第九章、概括平差函数模型（10分）熟悉基本平差方法的概括函数模型；附有限制条件的条件平差原理，精度评定；熟悉各种平差方法的共性与特征；理解平差结果的统计性质。
第十章、误差椭圆（10分）了解点位中误差概念以及计算方法；掌握任意方向的位差计算；点位误差的极大值和极小值的计算；理解误差曲线的基本概念；掌握误差椭圆要素计算；理解点位落入误差椭圆内的概率；第十一章、平差系统的统计假设检验（10分）熟悉统计假设检验的基本方法；了解误差分布的假设检验；掌握平差模型正确性的统计检验；理解平差参数的统计检验和区间估计；了解粗差检验的数据探测法。
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
误差平差：平差数学模型与最小二乘原理
思考：以下是否可行？为什么？
h2 h4 h5 0 h h h 0
1 3 5
H A h3 h4 H B 0
h1 h2 h3 h4 0
二、间接平差的函数模型
1、间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。 即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函 数，这种函数关系式称为“观测方程”。 2、间接平差 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称 为参数平差）。
由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物 理的约束方程，即函数模型； 而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存 在闭合差而并不满足； 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到 消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
则为：AL A0 0
则为：L BX d
三.附有参数的条件平差的函数模型
1、先仍然按条件平差列r个条件方程；
L1 L2 L3 1800 0
2、然后再增选一个参数，则就会增加 一个条件方程，即
L1 X 0
3、则上式可写成：
X
1 1 1 0 180 A ，B ，A0 1 0 0 1 0
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差； 3、附有参数的条件平差； 4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
1、条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
-平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数 t = 3
BM
h2 h6
h1
P2
h3
h5
P3
P1
若仅观测了 h1 , h2 ，
则无法求得P3点的高程。
h4
若仅观测了 h1 , h4 ，
则无法求得P2点的高程。
举例： 如图所示三角网： 必要元素数 t = 5
A
1
2
s4
34
D
s1
s5 s6
s3
B
8 7
s2
6 5
C
若仅观测了 ：
1,2,5,6
5
P5
必要元素数 t = 10
A
必要元素不仅要考虑其个数，
而且要考虑以它的类型。
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
1、必要元素 必要元素的个数 t ，又称为必须观测数，只与几 何模型有关，与实际观测量无关，一旦给定几何 模型，则其必要元素的个数 t 是唯一的，其类型 不唯一。
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
2、多余观测
在测量工程中，为使一个几何模型有定解，就 必须进行观测，以获取部分几何元素的量值。
设在给定的几何模型中，总共观测了n个元素的 量值，若观测个数少于必要元素的个数，即 n<t，显然无法定解该模型，即出现了数据不 足的情况。
例1： 如图所示水准网中：
§4-1 测量平差概述
几何观测模型举例 导线 (符合、闭合、导线网)
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
1、必要元素 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型 中所有元素（几何量）的量值，只需知道其中 部分元素的量值，其它元素可以通过它们的函 数关系来确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素， 简称必要元素；必要元素的个数用t 来表示。
第四章-平差数学模型与最小二乘原理2008
第四章平差数学模型与最小二乘原理在大地测量中，为了确定一些点的高程而建立的水准网，为了确定某些点的坐标而建立的平面控制网或3维测量网。
前者包含点间的高差、点的高程元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的2维、3维坐标等元素。
这些元素都是几何量，以下通称这些网为几何模型。
为了测定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，只需要知道其中部分元素的大小就可以了，其它元素可通过它们来确定。
例如，如果为了测定平面三角形的形状，只需测量其中任意两个内角的大小就行了。
为了确定平面三角形的大小和形状，只要知道其中任意的两边一角、两角一边或三边的大小就行了。
能够唯一确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素，必要元素的个数用t来表示。
当某个几何模型给定之后，就能够唯一地确定该模型的必要元素的个数t及其观测量的类型，t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
在具体的测量平差问题中，对一个几何模型的测量次数n总是大于必要观测次数t，不然无法确定该模型。
即使在tn=情况下，虽然能够确定该几何模型，但由于没有多余观测，就不可能发现测量中存在的误差，这在测量工作中是不容许的。
为了能及时发现测量中的误差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使tn>，若令r-=nt式中，n为对几何模型观测的总次数，t是在假定测量无任何误差情况下，确定该模型所需的最小观测次数，即必要观测次数，r就称为多余观测次数。
多余观测次数在测量中又称为自由度。
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章节系统地学习各种平差理论打下基础。
最后介绍最小二乘原理，这是测量平差方法所遵循的原则。
§4.1 测量平差的数学模型在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。
测量平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。
一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。
空间误差分析第四章平差数学模型与最小二乘原理
(
L1
1 )
(L2
2
)
(L3
3
)
180o
0
误差的存在
(S2
S2
)
(S1
S1
)
sin(L2 sin(L1
2) 1 )
L1 L2 L3 180o W 0
S2 sin L1
S1
s
in
L2
1 WS
§4-1 测量平差概述
2.几何量
• 每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网 中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、 边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
§4-1 测量平差概述
3.函数模型
• 要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素 的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元 素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种 描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。
§4-2 函数模型
条件平差的函数模型 附有参数的条件平差的函数模型 间接平差的函数模型 附有限制条件的间接平差的函数模型
§4-2 函数模型
测量数据的函数模型：几何模型、物理模型或几何、物理模 型。（测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型）
建立不同的函数模型，就有不同的平差方法，测量中常 用的有： 1. 条件平差的函数模型 2. 附有参数的条件平差的函数模型 3. 间接平差的函数模型 4. 附有限制条件的间接平差的函数模型
0
W AL A0
c,n n,1 c,u u,1 c,1
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第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 下： 在不同时刻
的位置是
y ，函数如
y
测定质点位置，得一组观测值
y1 , y2 .... yn
1 , 2 .... n
由运动方程可得： v y i i i 或 用图解表示如图： V B X Y
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？ 此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形成r个条件。
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的性质
必要元素的个数t只取决于模型本身 所有的必要元素都是彼此函数独立的量 模型中所有的量都是必要元素的函数 一个模型中函数独立的量有且只有t个 模型中作为必要元素的“量”不是唯一 的
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章 平差数学模型与 最小二乘平差原理
§4-1 测量平差概述 §4-2 函数模型 §4-3 函数模型的线性化 §4-4 测量平差的数学模型
§4-5 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
几何模型中包含多种“量”(真值)， 例：
(1) 角度：三个内角∠A、∠B、∠C (2) 边长：三条边长a、b、c
ˆ W 0 AV B x
cu u1 c1
c1
2 2 1 D 0 Q 0 P
2 2 1 D 0 Q 0 P
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-5 最小二乘原理
参数估计及其最优性质： 无偏、一致、有效
最小二乘原理
V V min
T T
V PV min
一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平 n
V TV min
V T PV min
满足上式的估计称为最小二乘估计二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
内容小结
必要元素 平差问题存在的条件 平差模型 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
条件平差
间接平差
A V W 0
r 1
r n n1
r 1
2 2 1 D 0 Q 0 P 2 2 1 D 0 Q 0 P
ˆ l V B x
n1 nt t 1
n1
附有参数的条件平差 cn n1 附有条件的间接平差
以平面三角形为
(3) 高：三边上的高ha、hb、hc
(4) 坐标：三点的平面坐标
Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc； (5) 方位角：TAB ；TBC ；TCA (6) 坐标差：ΔXAB ，ΔYAB ；……
(7) 面积、周长……
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”
y
y
yi
o
i
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
写成矩阵：
间接平差函数模型
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘出的点不成直线 。 采用什么准则对参数
和
进行估计，从而使估计直线
最佳地拟合于观测点？
2 V 方和达到最小，即： i min i 1
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素) (2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素) (3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一、 参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差 为例： A W 0 条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程 多解。其它模型同。
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。