第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理 (1)

第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一、 参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差 为例： A W 0 条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程 多解。其它模型同。
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。
以平面三角形为
(3) 高：三边上的高ha、hb、hc
(4) 坐标：三点的平面坐标
Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc； (5) 方位角：TAB ；TBC ；TCA (6) 坐标差：ΔXAB ，ΔYAB ；……
(7) 面积、周长……
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确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”
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必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
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什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？ 此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
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条件平差
间接平差
A V W 0
r 1
r n n1
r 1
2 2 1 D 0 Q 0 P 2 2 1 D 0 Q 0 P
ˆ l V B x
n1 nt t 1
n1
附有参数的条件平差 cn n1 附有条件的间接平差
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第四章 平差数学模型与 最小二乘平差原理
§4-1 测量平差概述 §4-2 函数模型 §4-3 函数模型的线性化 §4-4 测量平差的数学模型
§4-5 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
几何模型中包含多种“量”(真值)， 例：
(1) 角度：三个内角∠A、∠B、∠C (2) 边长：三条边长a、b、c
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素) (2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素) (3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
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必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形成r个条件。
y
y



yi
o
i

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写成矩wenku.baidu.com：
间接平差函数模型
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从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘出的点不成直线 。 采用什么准则对参数

和

进行估计，从而使估计直线
最佳地拟合于观测点？
2 V 方和达到最小，即： i min i 1
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三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 下： 在不同时刻

的位置是
y ，函数如
y



测定质点位置，得一组观测值

y1 , y2 .... yn
1 , 2 .... n

由运动方程可得： v y i i i 或 用图解表示如图： V B X Y
一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平 n
V TV min
V T PV min
满足上式的估计称为最小二乘估计，此方法称为最小二乘法。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
内容小结
必要元素 平差问题存在的条件 平差模型 最小二乘原理
ˆ W 0 AV B x
cu u1 c1
c1
2 2 1 D 0 Q 0 P
2 2 1 D 0 Q 0 P
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-5 最小二乘原理
参数估计及其最优性质： 无偏、一致、有效
最小二乘原理
V V min
T T
V PV min
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
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必要元素数的性质
必要元素的个数t只取决于模型本身 所有的必要元素都是彼此函数独立的量 模型中所有的量都是必要元素的函数 一个模型中函数独立的量有且只有t个 模型中作为必要元素的“量”不是唯一 的