第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章多元函数微分学习题

练习5.1

1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422

2

椭圆抛物面z y x =+ (2)

圆锥面）(4222z y x =+

(3) 椭球面）(19

164222=++z y x (4) 圆柱面）(12

2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=

解：⎩⎨

⎧≥-≥0

y x y

即⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{

}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),(

(2) z =解：0≥-y x

{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为

3. ()y x f ,对于函数=

y

x y

x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →

分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所

得极限值不同即可。

证明：

①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，

(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===

②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k

f x y f x y k x kx k k

→→---=

==≠≠+++

综合①②可知函数极限不存在，证毕。

练习5.2

1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y

z x z xy y x z ∂∂∂∂-=求 解：

23323,3xy x y

z y y x x z -=∂∂-=∂∂ ②;,,)ln(y

z

x z xy z ∂∂∂∂=求

解：[]1

211ln()

2z xy y x xy -∂=⋅⋅=∂

[]1

211ln()

2z xy x y xy -

∂=⋅⋅=∂ ③222ln(),,z z z x x y x x y

∂∂=+∂∂∂求

解：

1ln()z x y x x x y

∂=++⋅∂+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x

z x x z ++=

+-+++=+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂

222

1()(ln())()()z z x x y

x y x y y x y x y x y x y x y ∂∂∂∂==++=-=∂∂∂∂∂++++ ④;,3z

y x u

e u xyz

∂∂∂∂=求

解；2

2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y

∂∂==+=+∂∂∂ 3222()(())(12)()xyz xyz xyz

u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z

∂∂∂∂==+=+++∂∂∂∂∂∂∂

=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++

2．设y

f y f e

y x f y xy ∆-∆+=→∆)

1,2()1,2(lim

,),(0

2

则

解：①2

2(1)200(2,1)(2,1)0

lim lim ()0

y y y f y f e e y y +∆∆→∆→+∆--=∆∆未定式

2

2(1)04(1)10lim 1

y y e y +∆∆→⋅+∆⋅-= = 42e ②2220

1

(2,1)(2,1)

lim

(2,1)24xy y x y y f y f f e xy

e y

=∆→=+∆-'==⋅=∆

3．设23ln(1),111x y z u

x y z u u u '''=+++++在点（，，）处求

解：2311x u x y z '=

+++ 23

21y

y

u x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1)

1233

()|4442

x y z u u u '''∴++=++= 4．设2

,20x

y z z

z e x

y x y

∂∂=+=∂∂求证: 证明：2

2221x

x

y y z e y e x y

-∂=⋅=∂Q 22331

(2)2x x

y y z e x xy e y y

-∂=⋅⋅-=-∂Q

222223231

22(2)22x x x x

y y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y

---∂∂∴+=+⋅⋅-=-⋅+∂∂ = 0

证毕

练习5.3

1.求下列函数的全微分

(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=∆=∆y x

解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-⨯=--+=∆f f z