第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
《多元函数微分学》练习题参考答案
解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
高等数学基础教材课后答案详解
高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。
函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。
而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。
在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。
同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。
2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。
在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。
需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。
3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。
这些性质是进行极限计算的基本工具。
极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。
4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。
通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。
无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。
二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。
在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。
求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。
2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。
几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。
3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。
通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。
在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。
4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。
《高等数学》多元函数微分学部分 练习题答案
八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。
西工大—高数答案—多元函数微分法及其应用
y kx
此值随 k 值不同而不同,故极限
( x , y ) (0,0)
lim
z 不存在,从而函数 z 在（0,0）点不连续.
在除（0,0）点外的区域上,函数 z
xy 是初等函数,故在其定义区域上连续. x y2
4
注意 常犯的错误一是只讨论了函数在（0,0）点的连续性,没讨论函数在定义域内其 它点处的连续性;二是求（0,0）点的极限时,出现了如下：
所以
z x y y x ]. = ( x e ) [ln( x e ) x ey x z x
法2
y x
(1,0)
从而
= 2ln 2 1
0 x x
因为 z = ( x e ) ,所以 z ( x, 0) = ( x e ) = ( x 1)
dz x x ln( x 1) x ] = [e x ln( x 1) ] = e x ln( x 1) [ln( x 1) ] = [( x 1) ] = [e x 1 dx
常见的错误是遗漏了步骤：
y x
注意
z u y z ( y ) ,而得到错误结果： = x ln x . z z
y
（5 ） 法 1
因为 z = ( x e ) ,则 ln z = x ln( x e ) ,
z x = ln( x e y ) x 1 , x ey z
xy xy = lim 4 2 ( x , y ) (0,0) x y 2 ( x , y ) (0,0) x y y kx
lim
4
（错误的式子）
事实上,记号“
( x , y ) (0,0)
lim
”表示点 ( x, y ) 以任意的方式无限接近（0,0）点,而记号
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分学题目简析
暑期培训（多元函数微分学）一、多元函数的偏导数1. f(x,y)可微，f(0,0)=0,m f x =)0,0(/，n f y =)0,0(/，)),(,()(t t f t f t =ϕ，求)0(/ϕ。
知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构 答案：2m mn n ++ 难度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求x z ∂∂，22xz ∂∂。
知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案：/////11122/2,(,),(,);f zf f y x yz f f y x yz x yf ∂==-=-∂()()()22//////////2122211121232/22.f f f f f f f zxy f--+∂=∂难度：易 3.(,)z f x y z xyz =++，求,,.z x yx y z∂∂∂∂∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是z ，也可以是x 或者.y答案：//////121212//////1212121;;.1f yzf f xzf f xyf zx y x f xyf y f yzf z f xzf ++--∂∂∂==-=∂--∂+∂+ 难度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且22),(321)1,(y x O y x y x f +=+++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1所确定，求)0(/y知识点：多元函数全微分的定义关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与“(,1)123(),f x y x y O ρρ+=+++=之间的联系，从而从已知条件中发现求)0(/y 所需要的东西。
答案：23- 难度：中 5.3(),(),,uu f xyz F t t xyz x y z∂===∂∂∂求().F t知识点：3元的抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构+耐心 答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易6. 2(1,1)(,),.u uu e xy u u x y x y ∂+==∂∂确定了求知识点：隐函数求偏导关键：求出2u x y∂∂∂的表达式，明确(,)(1,1)x y =时?u =答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易7. ,ln )1()(x y x x y xf z -+=f 二阶可微，求-∂∂222x z x 222yz y ∂∂. 知识点：抽象的复合函数求偏导关键：处理好()y f x答案：(1).x y + 难度：易 8.2222(),x y z xyf z f++=可微，求.z z xy x y∂∂+∂∂ 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构、处理好2()f z答案：/2.1()zxyf z - 难度：易 9.(,,)u v w ϕ有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由(,,)0bz cy cx az ay bx ϕ---=所确定，求.z za b x y∂∂+∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：等号左边的ϕ有3个中间变量；(,)z z x y =。
解答金榜图书武忠祥 高等数学辅导讲义 练习题详解
《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学1.应选（B）.,)0,(xe xf =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在；2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000y x f y x f y y =→3.应选（B）. ,000lim)0,0(0=Δ−=′→Δx f x x ,000lim )0,0(0=Δ−=′→Δxf y y220000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）.,00)(1sin)(lim)0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δxx x f x x ,00)(1sin)(lim )0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δy y y f y y22222200)()()()(1sin ))()((lim])0,0()0,0([)]0,0(),([limy x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++−+= ,01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x 2222)0,0(),(1cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）.5.应选（D）.由0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>6.应选（D）. )0,0()1,0()1,0()1,1()0,0()1,1()1,1(f f f f f f f −−+−−−=−−=−.211)1(),0()1,(=+>−⋅+−=ηξy x f f 故应选(D).也可用排除法:取.1.11.1),(y x y x f −=则,0)1,1(,2.2)1,1(,0)1,1(=−−−=−=f f f 则(A)(B)(C)都不对，故应选（D）.7.应选（C）. )0,0()0,1()0,1()1,1()0,0()1,1(f f f f f f −−+−−−=−−.101)1()0,(),1(=+>−⋅+−=ηξx y f f 即1)0,0()1,1(+>−f f .8. 应选（B）【解1】 直接法 由于22)0,0(),(22)0,0(),(2222)0,0(),(lim),(lim)(),(limy x y x y x f y x y x y x f y x y x y x +−+=++−→→→1),(lim22)0,0(),(=+=→yx y x f y x则0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ，若0)0,0(=f ，),(y x f 在)0,0(点连续，否则不连续。
多元微分方程题库精品资料
多元函数微分学习题五1、设函数z z(,x y) 由方程2、设函数z z(,x y) 由方程yz ln( xyz) 2 ( yz1)所确定，求2 z。
y 2 x lnz所确定，求2 z 。
z y x y3、设函数z z(,x y) 由方程 e z z x sin2y2 z。
所确定，求x y4、设函数z z(,x y) 由方程 1xy 2z z 2 z。
e所确定，求x y5、设函数z z(,x y) 由方程 e z x2 zy 1 所确定，求2 z 。
x y6、设函数z z(,x y) 由方程 x22y z2z x y9 所确定，求2 z 。
x y 7、设函数z z(,x y) 由方程 e z zx y 1 所确定，求2 z 。
x y8、设函数uu( x, y) 由方程 ue u xy 所确定，求2u。
x y232y 2230yz所确定的可微函数，9、设u x yz ,其中 z z(,x y)是由方程 x zx且 z(11,)1,求uy x 1 。
y 110、设函数y y()x 由方程 1 xy ln( e xy e xy )0 所确定，求 d y 和 d 2y。
d x d x211、设函数y y()x 由方程 xy e x y所确定，求d y和d2 y。
d x d x 212、函数y y()x13、函数y y()x 由方程 x22xy y2 1 所确定，求d 2y。
d x22y23所确定，求y , y。
由方程 xx y14、函数z z(,x y) 由方程 z y xe z 1 cosy 所确定，求2 z。
x215、函数 zz(,x y) 由方程 z 33xyza3所确定，求2z 。
x 216、函数 zz(,x y) 由方程 si n( xz) x 3 y 2z 2 所确定，求2 z。
y 217、函数 zz(,x y) 由方程 2xy zxyz 所确定，求2z1 。
x2xy218、函数 zz(,x y) 由方程 z 3 2x 39(x 1) z10(1 y)y 5 所确定，求2z x 1。
多元函数微分学习题
多元函数微分学习题第五部分多元函数微分学第1页共27页第五部分多元函数微分学（1）[选择题]简单问题1-36，中等问题37-87，困难问题88-99。
?x?3y?2z?1?01．设有直线l:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线l()2倍？Y10z？3.0（a）平行于？。
（b）在路上？。
（c）垂直于？。
（d）然后呢？歪曲回答：C?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处()? （x，y）？(0,0)? 0，（a）连续，偏导数存在（b）连续，偏导数不存在（c）不连续，偏导数存在（d）不连续，偏导数不存在a:c?x?u?v?u?()3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，u?v22?xy?u?v?(a)十、五、uy（b）（c）（d）u？似曾相识？似曾相识？似曾相识？答案：B4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()（a）如果f（x，y）在点（x0，Y0）是连续的，那么f（x，y）在点（x0，Y0）是可微的。
(b)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
(c)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。
(d)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
答：d5．函数f(x,y,z)?(a)(,答：a3.x2？y2？点（1，±1,2）处Z2的梯度为（）1?121?121?121?12,)(b)2(,,)(c)(,,)(d)2(,,)3333339999991第五部分多元函数微分学第2页，共27页6．函数z?f(x.y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)是函数存在全微分的（）。
（a）。
充分条件（b）必要和充分条件（c）必要条件（d）回答c既不充分也不必要7．对于二元函数z?f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。
求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。
21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。
22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。
4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。
5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。
多元微分学复习题答案.doc
―z =击5?的定义域是（{(x, y)| / < 4x,0 < X2 + / <1}).函数g =润+)，. 2]OXA 5.函数z = -x/y2在点（2 , 1 ）处对x的偏导数为（；OX_ 17 (2J))广=-1(2,1))•成）.（1,2）4dz = 48c/x+i08dy（A）］血,（*。
+&'，。
+匀）-/（*。
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）A O （B）Hm/（*。
+&40+颂）一/（*。
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）Ax（C）/（—+&，，.）-六*.，））Ax （D）hm/（毛）'月 + 颂）一，（％丸）Ax多元微分学复习题答案一、填空题7 = In X——的定义域是({3y)|x>0,0 V]2 +,2 < [}) yji-x2 - y22.设二元函数/。
,了）=旦】，则f（x-y,x+y）=（-21—）.x y JT _）广2 23.设函数/(x+j) = xj,则f(x,y)=(* 一)').44.设函数z = e'+，，则翌=（；=2/+、（1 + 2/））.dx志~6.函数z = 2xy2-x/y2在点（1 , 2）处对），的偏导数为X= (4xy + 2~)(i,2) y7.二元函数z=x2y3在点（3, 2）处的全微分是（8.函数z = %2+5y2 -6x + 10y+ 6 的驻点是(三、选择题:I.以下极限中，（c ）表示阳2.以下结论中正确的是（C ）（A）f（x,y）在点（％了。
）处一阶偏导数存在，则f（x,y）在点（乩,光）连续;（B）f（x,y）在点（％坊）处一阶偏导数存在，则f（X,y）在点（工0，光）可微;（C ）f（x,y）在点（Do）时微，则f（X, y）在点（x0o T0）处一阶偏导数存在;(A)若|（S =。
，的（》0，光）=0(A)点（0 , 0 ）是该函数的一个驻点;sin-2/-2r(2sin4r-6r)（D ） f （x ,y ）在点（m ）连续，则f （x,y ）在点（X 。
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)
多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。
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第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物面z y x =+ (2)圆锥面）(4222z y x =+(3) 椭球面）(19164222=++z y x (4) 圆柱面）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：⎩⎨⎧≥-≥0y x y即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---===≠≠+++综合①②可知函数极限不存在，证毕。
练习5.21.求下列函数的偏导数 ①;,,33yz x z xy y x z ∂∂∂∂-=求 解：23323,3xy x yz y y x x z -=∂∂-=∂∂ ②;,,)ln(yzx z xy z ∂∂∂∂=求解：[]1211ln()2z xy y x xy -∂=⋅⋅=∂[]1211ln()2z xy x y xy -∂=⋅⋅=∂ ③222ln(),,z z z x x y x x y∂∂=+∂∂∂求解：1ln()z x y x x x y∂=++⋅∂+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x xz x x z ++=+-+++=+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ∂∂∂∂==++=-=∂∂∂∂∂++++ ④;,3zy x ue u xyz∂∂∂∂=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y∂∂==+=+∂∂∂ 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z∂∂∂∂==+=+++∂∂∂∂∂∂∂=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++2．设yf y f ey x f y xy ∆-∆+=→∆)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +∆∆→∆→+∆--=∆∆未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +∆∆→⋅+∆⋅-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=∆→=+∆-'==⋅=∆3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1)1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y∂∂=+=∂∂求证: 证明：22221xxy y z e y e x y-∂=⋅=∂Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-∂=⋅⋅-=-∂Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---∂∂∴+=+⋅⋅-=-⋅+∂∂ = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=∆=∆y x解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-⨯=--+=∆f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=⨯+⨯-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ∂∂=+=+∂∂++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂ dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=2．计算下列各式的近似值（分析运用公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=∆==∆==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆01.0ln 1.010)2,10()2,10(12⋅+⋅+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=∆==∆=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+⋅34(1,1)1|(0.02)y -+⋅-= 0+005.002.04103.031=⨯-⨯ (3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππππ=∆=-=∆=则 原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ⨯+-+⋅= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
（1）.,.23,,ln 2yz x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===求而 解：22223122ln 3ln(32)32x z z u z v u x y u v x y x u x v x y v y x y ⋅∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂- 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x -+-= )23(2)23ln(2)2()(ln 2223222y x y x y x y x v u y x v u y v v z y u u z y z ----=-+-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (2) dtdze y e x x y z t t 求而,1,,2-===解:dt dy y z dt dx x z dt dz ∂∂+∂∂= )2(122tt e x e xy -+⋅-= 22211(2)t t t t t e e e e e-=-⋅+-=()t te e -=-+(3) dxdzx y y x y x z 求而,32,2-=+-=解：方法1：22222323()()2333(22)(33)(23)3(33)dz d x x d x x dx dx x x dx x x x x x x -+-+==+------+⋅=- 22)1(312---=x x x 方法2：dxdy y f x f dx dz ∂∂+∂∂= =222222)1(3122)()()()()()(2---=⋅+--+-++--+x x x y x y x y x y x y x y x x （4） 22,cos ,sin ,,z zz x y xy x u v y u v u v∂∂=-==∂∂而求解：uy y z u x x z u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 22(2)cos (2)sin ,xy y v x xy v =-+-2222(2cos sin sin )cos (cos 2cos sin )sin u v u v u v v u v u v u v v=⋅-+-⋅=23sin cos (cos sin ),u v v v v -z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ =22(2)(sin )(2)cos xy y u v x xy u v --+-=33332sin cos (sin cos )(sin cos )u v v v v u v v -+++2.求下列隐函数的导数或偏导数.（1）.,0ln ln dxdyx y xy 求=-+ 解：①两边同时对x 求导110,y xy y y x''++-= 11()y x y y x '+=-11y x y x y-'=+22y xy x x y -=+②(,)ln ln F x y xy y x =+-令1x F y x '=- 1y F x y '=+ 11x y y F dy x dx F x y-'=-=-'+22y xy x x y -=+ （2）dxdy xy e y x 求,0sin 2=-+解： 两边同时对x 求导2cos 20x y y e y xyy ''+--=2(cos 2)xy y xy y e '-=- 2cos 2y y y xy'=-3.已知方程222(,)0(,).F x y z x y z z f x y ++++==所确定的函数,z zF x y∂∂∂∂且的两个一阶偏导数存在，求解：①令222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则两边同时对x 求偏导，0u x u z x v x v z x F u F u z F v F v z ''''''''''⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= 11220u u x v v x F F z F x F z z ''''''⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=即22u v x u v F xF zz x F zF ''+∂'==-''∂+ 两边同时对y 求偏导，0u y u z y v y v z y F u F u z F v F v z ''''''''''⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=11220u u y v v y F F z F y F z z ''''''⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=即22u v y u v F yF zz y F zF ''+∂'==-''∂+ ②令222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则122u v u v F F u F v F F x F xF x u x v x∂∂∂∂∂''''=+=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 2u v F F u F vF yF y u y v y∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂ 2u v F F u F v F zF z u z v z∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂ 22u v u v FF xF z x F x F zF z∂''+∂∂=-=-∂''∂+∂ 22u v u v F F yF z yF y F zF z ∂''+∂∂=-=-∂''∂+∂ ③222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则两边同时求微分： 0u v F du F dv ''+=222()()0u v F d x y z F d x y z ''+++++=2220u u u v v v F dx F dy F dz xF dx yF dy zF dz ''''''+++++=2222u v u v u v u v F xF F yF dz dx dy F zF F zF ''''++=---''''++22u v x u v F xF z z x F zF ''+∂'==-''∂+ 22u v y u vF yF zz y F zF ''+∂'==-''∂+练习5.51. 229620z x xy y x y =-++-+求二元函数的极值解：29042601x y z x y x z x y y '=-+==-⎧⎧⎨⎨'=-+-==⎩⎩解得 (4,1)20,(4,1)1,(4,1)2xx xy yy A z B z C z ''''''=-=>=-=-=-=Q 又 03412<-=-=-=∆AC B 是极小值1|)1,4(-=∴-Z226012022515z x y x xy y x y =+---+=2.求二元函数 在条件下的极值解：22(,,)60120225(15)F x y x y x xy y x y λλ=+---++-604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ'=--+=⎧⎪'=--+=⎨⎪'=+-=⎩解得 6918x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩因为只有唯一的一个驻点，且2222()(30)(230)230z x y x y =-+----+⋅应有极大值，故极大值855|)9,6(=z121122121212123.,,82,102532,,Q Q x x Q P P Q P P C Q Q P P x x P P =-+=+-=+1212设分别为商品,的需求量而它们的需求量为总成本函数为,其中为商品,的价格.试问价格取何值时可使利润最大?121122(,)R P P PQ P Q =+解: 2211122122821025PP PP P PP P =-+++- 121212(,)3(82)2(1025)C P P P P P P =⋅-+++- 22121212714544L R C P P P P PP =-=+--+-利润函数 12121221724063/214141040P PL P P P P L P P '=-+=⎧=⎧⎪⎨⎨'==-+=⎩⎪⎩解得为唯一驻点 11126363142014422P P P P A L B L ''''==-<==Q （，）（，） 2221263141040,263,142P P C L B AC L P P ''==--=-<==（，）有极大值.故在时利润最大.练习5.6221.,(,)64244321464440403248024(40,24)40x y xx x y L x y x x xy y y x y x y x y L x y x L x y y A L =-+-+-'=-+==⎧⎧⎨⎨'=+-==⎩⎩''==-<Q 某公司生产两种商品和利润函数为其中,表示商品,的产量,求,各为多少时,所获利润大?最大为多少?解:得又(40,24)4(40,24)8xyyy B L C L ''''====-()()2160,40,2440,241650.B AC L ∴-=-<=故在取得极大值,即为最大值最大值()()()3222.13(,)71341225024x yC x y xy xy x y =+-+++某公司同时销售煤气和电力，煤气的销量为单位:万米,电力的销量为单位:千瓦，总成本函数为单位:万元(),4360.,4360x y x y C x y x y +-=+-=其中满足问应如何安排销售,才能使总成本最低?解:条件极值问题,实际中有最小值,即求在条件下的极值.解：()2213(,,)71341225043624F x y x y xy x y x y λλ=+-+++++-令 ()()37134403138871202814360x yF x y F y x x y F x y λλλ'=-++=⎧⎪⎪'=-++==⎨⎪'=+-=⎪⎩382解得=万米千瓦即为销售安排.81()22,6202f L K L K L K =+--3.设某企业和生产函数为 L K 其中表示生产力,表示资本投入.如果这两种生产要素的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.f L K 解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求在条件4+8=88下的极大值.()()22,,62024888L K L K L K L K λλ=+--++-令F62402048048880(6,8)32L KF L F K F L K L K f λλλ'=-+=⎧⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩∴=解得=6,=8,根据实际意义有最大可能生产量.所求最大生产量习题五 1．选择题（1）D ，（2）C ，（3）B ，（4）A ，（5）C ，（6）D ，（7）C ，（8）C ，（9）D ，（10）A ，（11）A ，（12）D ，（13）A ，222(,)()f xy x y x y xy x y xy +=++=+-Q2(,)f x y y x ∴=- 2(,)()1x x f x y y x ''=-=-2(,)()2y y f x y y x y ''=-=（14）D ，（15）A ，（16）D ，（17）D ，（18）B ，（19）C ，（20） C 。