8-4多元函数微分学

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第八章多元函数微分学习题解

第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

多元函数微分学知识点梳理

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

8多元函数微分学专题解析

专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。

1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。

1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。

2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。

填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。

求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级：姓名：学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。

证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级：姓名: 学号：5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ；（3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。

§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

第8章多元函数微分法及其应用习题 8 (4)

5. 证明函数 u = ϕ(x − ct) +ψ (x + ct) 满足弦振动方程:
证因为
c2
∂2u ∂x2
=
∂2u ∂t 2
.
6
∂u = ϕ′(x − ct) ⋅1 +ψ ′(x + ct) ⋅1 = ϕ′(x − ct) +ψ ′(x + ct) , ∂x
∂2u ∂x2
=
∂ ∂x
[ϕ ′( x
dt ∂x dt ∂y dt 1 − (x − y)2
1− (x − y)2
=
3
−
3t 2
= 3(1− t2 ) .
1− (3t − t3 )2 1− (3t − t3 )2 1− (3t − t3 )2
(3) du = ∂u + ∂u ⋅ dy + ∂u ⋅ dz = y + (x + z) ⋅ ex + y ⋅ cos x dx ∂x ∂y dx ∂z dx
(3) 将中间变量 xy2 , yz2 依次编号为1, 2 , 则
∂u ∂y
=
f1′
⋅
∂ ∂y
(
xy
2
)
+
f2′
⋅
∂ ∂y
(
yz
2
)
=
f1′ ⋅ 2xy +
f2′ ⋅ z2
= 2xyf1′+ z2 f2′ ,
∂ 2u ∂y 2
=
∂ ∂y
(2
xyf1′
+
z2 f2′)
=
∂ (2xy) ⋅ ∂y
f1′
+
+ 2y2
−

多元函数的微分学的应用

多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。

以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。

这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。

2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。

等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。

3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。

4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。

5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。

在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。

总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。

第6章多元函数微分学4-8导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)

6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。

（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。

解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。

解过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

《数学分析》第四章多元函数微分学

《数学分析》第四章多元函数微分学《数学分析》第四章多元函数微分学主要涉及多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。

多元函数微分学是微积分的一个重要分支，掌握了多元函数的微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、求解极值问题以及应用于物理、经济等领域。

第四章首先介绍了多元函数的导数。

多元函数的导数与一元函数类似，是函数在其中一点附近的变化率。

导数的定义也与一元函数的导数相似，但多元函数的导数是一个向量，称为梯度。

在多元函数中，梯度的方向是函数值增长最快的方向。

然后，第四章讨论了多元函数的偏导数。

偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数。

偏导数的计算方法与求一元函数导数的方法相似，只需将其他自变量视为常数。

多元函数的偏导数可以通过偏导数的存在性与连续性判断函数的可导性，并可应用于求函数在其中一点的切线方程、法向量等问题。

接着，第四章介绍了多元函数的全微分。

全微分是多元函数在其中一点附近的近似线性变化量，是多元函数的微分的推广。

全微分可以近似地表示函数在其中一点的微小变化。

全微分的计算方法与一元函数的微分类似，但需要考虑多个自变量的变化。

最后，第四章讨论了多元函数的极值。

多元函数的极值点与一元函数的极值点类似，是函数取得极大值或极小值的点。

通过求解多元函数的偏导数，可以得到函数的驻点。

通过求解偏导数的二阶导数，可以判断函数在驻点处的极值性，并应用于优化问题的求解。

在实际应用中，多元函数微分学可用于研究空间曲线的切线与法平面，解决最优化问题，研究约束条件下的极值问题等。

例如，在经济学中，多元函数微分学可用于分析生产函数的边际产出与边际成本，在物理学中，可用于研究位移、速度、加速度等物理量之间的关系。

总之，多元函数微分学是微积分领域中的一个重要分支，它深入研究了多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。

掌握了多元函数微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、解决最优化问题，并应用于实际问题中。

多元函数的微分学

z
M
尔滨
上式分母同除以 t,
T
工程大学
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
x
t
t
t
M
o
y
微当M M , 即t 0时 ,
积分
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
分 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
分
法平面方程为
( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0
－理学院工科数学教学中心－
2.曲线由一般方程给出的情形
哈尔滨
设空间曲线方程为L:
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 0
M(x0, y0, z0)为
T { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
n
T
M
－理学院工科数学教学中心－
F ( x(t ), y(t ), z(t )) 0 为什
么
哈尔
将上式两端对 t 在M 0点求导有
滨工
Fx ( x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )z(t0 ) 0

高等数学第八章多元函数微分法及其应用

其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

大学数学微积分第八章多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结

第八章多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。

否则，称为极限不存在。

值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学

高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个多元函数在某一点的偏导数等于零，并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当其他变量保持不变时，函数关于某个特定变量的一阶导数存在，则称这个导数为该函数在该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴方向的切线斜率。

第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求多元隐函数的偏导数。

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

难点多元复合函数二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。

（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。

例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。

定理7。

第八章多元函数微分学

例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数可导，偏导数，函数g(x)可导，且在可导且在x=1处取得极值处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在由可导且在处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案：（考研题）答案：B（2012考研题）考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得

考研数学高数8多元函数微分学

第八讲：多元函数的微分学多元函数概念定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.多元函数的极限定义2 若A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)), 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限,上述定义的极限也称为二重极限.例：设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.例：求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2.偏导数偏导数的定义及其计算对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂,0y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x.偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求x f ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求yf ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0,例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.zx x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数. 解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y.当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有20 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数. 22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(,x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题:yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理：如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yz x z . 证因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中222z y x r ++=.证:32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂,52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂.同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r . 提示: 233323)()(rx r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.全微分根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时, ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分. 解因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有 dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1 =e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1 =e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和yu ∂∂. 解xzz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xe z y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y xcos 222222222⋅+=++++y x y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注:1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222yu x u ∂∂+∂∂.解由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ, xyarctan=θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=,y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u uρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y uρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dyyz dx x z dz ∂∂+∂∂=dyyv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .隐函数的求偏导一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy-=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有 z x F F x z -=∂∂, zy F F y z -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂.解设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.多元函数微分学的几何应用（数一数二）一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000, 当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000, 当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为 312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6.讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )). 2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz.切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T . 例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x , 解方程组得z y x z dx dy --=, zy y x dx dz --=. 在点(1, -2, 1)处,0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0. 解为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x . 方程组在点(1, -2, 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dy dx dz dx dy ,解方程组得0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为 F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)). 考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1) 例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为 142142--=-=-z y x .方向导数与梯度（数一数二）一、方向导数定理如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.例1 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz, 22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22 ,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以 )235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf∂∂的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==cz y x f z ),(. 这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为 )),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是 n nfy x f ∂∂=),(00grad .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系. 这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .例3 求221y x +grad . 解这里221),(y x y x f +=.因为222)(2y x x x f +-=∂∂, 222)(2y x y y f +-=∂∂, 所以 221y x +grad j i 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2). 解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).多元函数的极值及其求法无条件极值定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 且在点(x 0, y 0)处有极值, 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C .第三步定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值还是极小值.例：求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.解解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x , 求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31. 应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy8m . 此水箱所用材料的面积为 )0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A . 令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2. 根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x , y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值,即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有0),(),(000000=+===x x y x x x dx dyy x f y x f dx dz,即 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ. 从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立. 设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点.这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值.构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x λλλ, 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。

高等数学第八章第四节

则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数每一项中间变量的个数的个数.
例设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法解法一对数求导法
v 法二令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求和 . x xz
解令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x

多元函数微分学(共184张PPT)

z
sin
x2
1 y2
1
• 在点圆都周是x2间断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页下一页返回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而，x 偏0导数 z 存在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页下一页返回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页下一页返回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n

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u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u ( x, y), v ( x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12
f2 2
x yx y
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又如,z f ( x,v), v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v x yz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 ( x y z, x yz)
2w xz
f12 x y
f22 x y
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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例1. 设z eu sin v , u x y , v x y ,求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
,
0,ห้องสมุดไป่ตู้
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f ( t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
r
r r
2
u 2
sin cos r2
u sin2
r r
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2u
x2
同理可得
u
2sin cos r2
u r
sin2 r
2u y2
2u r 2
sin2
2
2u r
sin
cos r
2u 2
cos 2 r2
2u x2
2u y2
2u r 2
u
2sin cos r2
u
)2
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已知 u u cos u sin
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
((uu)) rx xx
cos
( u ) x
sin r
( u cos u sin ) cos
r r
r
r
x yx y
注意利用已有公式
( u cos u sin ) sin
为简便f起11见
y, (引x 入 z记) f号12
f1xy2uzf
,f22f12
y
f22 f , u v
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例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
(当在二、三象限时, arctan y )
x
u
r
第四节
第八章
复合函数的求导法则Chain Rule
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 ) t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
x yx y
u cos u sin
r
r
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u u r u y r y y
r y
y, r
y
1
1
x
(
y x
)2
x x2 y2
u r
y r
u
x r2
u sin u cos
r
r
u
r
x yx y
(
u x
)2
(
u y
)2
(
u r
)2
1 r2
(
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y)e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2
ye
x2
y2
z
2
2ze
x2
y
2
z
2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y )e x2 y2 x4 sin2 y
xy
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例3. 设 z uv sin t , u et ,v cos t , 求全导数 dz .
u cos2 r r
1 r2
2u 2
1 r2
r
r
(
r
u) r
2u 2
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二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f (( x, y), ( x, y))的全微分为
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
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例2. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y,求 u , u x y
解: u f x x
2
xe
x2
y 2 z 22ze
x2
y2
z
2
2
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
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说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u2v u2 v
2
dt
解: d z z du
z
d t u d t
t
z
vet
cos t
e t (cos t sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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