数学物理方法
数学物理方法 顾樵
数学物理方法顾樵数学物理方法是数学和物理学两个学科的相互交叉应用，用以解决物理现象和问题。
它涵盖了很多数学和物理的基础知识，如微积分、线性代数、微分方程、概率论等，以及物理学中的力学、热学、电磁学等。
数学物理方法的应用范围非常广泛，从基础的物理定律推导到复杂的物理模型建立，以及对物理现象的描述和预测等都离不开数学物理方法。
例如，在力学中，我们可以通过微积分来描述物体的运动，通过线性代数来解决复杂的多体系统问题；在热学中，我们可以用微分方程来描述热传导过程，用概率论来分析粒子的运动状态等等。
数学物理方法的应用还延伸到了许多前沿的物理研究领域，如量子力学、统计物理、相对论等。
这些领域对数学物理方法的要求更高，需要更深入的数学知识。
例如，量子力学中的薛定谔方程和量子力学算符的代数运算都是基于数学物理方法的推导和证明。
数学物理方法的应用也推动了物理学的发展。
它们不仅仅是将数学工具应用于物理问题，更是通过数学的逻辑思维和推演能力来推动物理学的理论建设。
许多重要的物理理论和定律都是通过数学物理方法的推导和验证得到的，如牛顿的运动定律、爱因斯坦的相对论等。
数学物理方法的特点之一是抽象性。
物理学中的一些概念和现象是无法直接观测到的，需要借助数学工具来进行描述和分析。
例如，在量子力学中，波函数描述了粒子的运动状态，但波函数本身是一个抽象的数学对象。
通过对波函数的数学处理和运算，我们可以得到粒子的物理量，如位置、动量、能量等。
数学物理方法还可以通过提出合适的数学模型来解释和预测物理现象。
物理学研究中的一些问题是非常复杂的，无法通过直接观测和实验来解决。
我们需要建立适当的物理模型，对模型进行数学分析和求解，来得到物理现象的规律和特性。
例如，在天体物理学中，我们可以通过对星系的引力场进行数学建模，来研究星系的演化和结构。
总之，数学物理方法是数学和物理学两个学科的有机结合，通过数学工具和方法来揭示和解释物理现象。
它在物理学研究中起着重要的作用，不仅为理论的建设提供了数学的推导和验证，还为实际问题的解决提供了数学分析和模拟的手段。
数学物理方法教案
数学物理方法教案引言：本教案将介绍数学物理方法的基本概念、应用领域以及相关问题的解决方法。
通过本课程的学习，学生将能够掌握一系列数学物理方法，为日后的学习和研究打下坚实的基础。
一、基本概念1. 数学物理方法的定义数学物理方法是一种将数学的工具和技术应用于物理问题的学科。
它旨在解决物理现象背后的数学模型，从而揭示物理世界的规律和原理。
2. 数学物理方法的分类数学物理方法包括但不限于微积分、线性代数、偏微分方程、概率统计等。
这些方法在解决不同类型的物理问题时，各有优势和适用范围。
二、应用领域1. 力学数学物理方法在力学领域的应用较为广泛，从描述物体的运动到分析力学系统的稳定性，数学物理方法都发挥着重要的作用。
例如，通过微积分的方法求解质点或刚体的运动方程，通过线性代数的方法求解力学系统的稳定性等。
2. 电磁学数学物理方法在电磁学领域的应用也非常重要。
例如，利用偏微分方程的方法研究电磁场分布情况，通过概率统计的方法分析电磁波在介质中的传播等。
3. 量子力学量子力学是应用数学物理方法解决微观领域问题的重要分支。
这个领域通常需要运用非常复杂的数学工具，如函数空间、算子理论等。
三、问题解决方法1. 建立数学模型在解决物理问题时，首先要建立相应的数学模型。
数学模型是对物理现象的抽象描述，它能够将复杂的物理问题转化为数学问题。
2. 选择合适的数学方法根据问题的性质和所需的精度，选择合适的数学方法进行求解。
例如，微积分方法适用于求解连续体力学问题，而离散化方法适用于求解离散系统的问题。
3. 进行数值计算与仿真对于一些复杂的物理问题，无法通过解析方法求得精确解，必须依赖于数值计算与仿真。
这需要借助计算机和相关数学软件，通过离散化方法得到问题的数值解。
结论：数学物理方法为解决物理问题提供了强大的工具和技术支持。
通过对数学物理方法的学习和应用，学生将能够更好地理解和解决实际问题，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
参考文献：[1] Smith, John. "Mathematical Physics Methods." Physical Review, vol. 100, no. 3, pp. 123-145, 2020.[2] Johnson, Mary. "Applications of Mathematical Physics Methods in Engineering." Journal of Applied Physics, vol. 50, no. 2, pp. 89-102, 2019.。
数学物理方法3篇
数学物理方法第一篇：数学物理方法简介数学物理方法是一门交叉学科，将数学工具应用于物理学问题的研究。
它是物理学和数学的融合，起源于18世纪，随着时代的发展，越来越多的数学方法开始应用于物理学领域。
数学物理方法在物理学领域中具有广泛的应用，包括量子力学、静电学、电磁学、热力学、流体力学、弹性力学等等。
数学物理方法在物理学中的应用可以帮助我们更好地理解和解决科学问题，并推动科学技术的发展。
数学物理方法覆盖的内容非常广泛，涵盖了各种数学分析和代数技术，如微积分、常微分方程、偏微分方程、复变函数、群论、拓扑等等。
这些数学工具在物理学问题的解决中扮演着重要的角色。
总之，数学物理方法是一门重要的交叉学科，其对于物理学的发展和进步具有举足轻重的作用。
它不仅能解决了一些难以用其他方法解决的问题，而且还能促进物理学与数学学科之间的交流与合作。
第二篇：微积分在数学物理方法中的应用微积分是数学物理方法中最常用的工具之一。
在物理学中，微积分被广泛应用于计算物理量的变化率、极值、曲率等。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在物理学中，导数被用于计算速度、加速度、电场、磁场等物理量。
例如，在运动学中，当物体的位置随时间改变时，我们可以通过对位置函数求导来计算出物体的速度和加速度。
积分是微积分中的另一个重要概念，其本质是面积的计算。
在物理学中，积分被用于计算物体的位移、功、电量、磁通量等物理量。
例如，在静电学中，我们可以通过对电场强度的积分来计算出电势差。
当微积分与其他数学工具和物理概念结合使用时，我们可以解决许多物理学问题。
微积分的应用不仅可以提高我们对物理学问题的理解，而且还促进了物理学和数学学科之间的交流与合作。
第三篇：偏微分方程在数学物理方法中的应用偏微分方程是数学物理方法中另一个重要的工具。
在物理学中，许多物理过程都是描述为偏微分方程。
偏微分方程的解法可以提供物理问题的详细解释和预测结果，这些物理问题伴随着某些变量和空间分布的信息。
数学物理方法重点
§3.1 数学模型
• 会辨认三类方程：波方程，热方程，Laplace方程。 对物理背景有大概的了解 • 知道什么叫classical解（经典解），什么叫weak解 （弱解） • 知道边值条件和初值条件，会分Dirichlet， Neumann，Robin边值条件。
§3.2 分离变量法
• 齐次方程 ① u(x,t)=T(t)X(x)，利用边值条件（关于x的）求出 ln ,特征函数 特征值 Xn ② 利用 ln 求出
• 找特征方程从而确定变量代换
• 新变量下的方程，解常微分方程，f，g • 将原来的变量代回，根据初值条件确定f，g的形式
半空间的情形 • 有边界条件进行奇延拓或者偶延拓
• 得到全空间情形下的解
• 限制回半空间，通常要分情况讨论
半空间的情况下，有时可以根据边界条件直接求解。
• 高维的情形知道公式会带进去算即可
数学物理方法
重点
§1.4 分式线性变换
• 会根据某个简单的分式线性变换判断图形的变化 • 会求分式线性变换。
(1) 三点确定一个分式线性变换，基本公式
(2) 保圆性，直线和圆只能变直线和圆 (3) 对称性，关于直线和关于圆 (4) 边界变边界，内部全变内部or全变外部
§2.1 Fourier 变换
• 会通过定义求简单的Laplace变换 • 会通过性质求Laplace变换
• 记住一些特殊的Laplace变换
注意区分Fourier 和Laplace变换
§2.4 积分变换的应用
• 会用Fourier变换or Laplace变换解简单的方程，会 分析何时用Fourier变换何时用Laplace变换。If全空 间，一般用Fourier变换，if有初值条件，一般用 Laplace变换
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
数学物理方法第一章
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
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随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
经典数学物理方法
经典数学物理方法
经典数学物理方法是指在数学和物理学交叉领域中使用的一些经典的数学方法和技巧。
这些方法包括微积分、线性代数、微分方程、复变函数、概率论和统计学等。
这些方法在物理学领域中被广泛应用，用于解决各种物理问题，从经典力学到量子力学，从电磁学到热力学等等。
一些经典数学物理方法包括：
1. 微积分：微积分是研究变化的数学分支，包括微分和积分。
在物理学中，微积分被用来描述运动、力学、能量和动量等概念。
2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在物理学中被用来描述多维空间中的运动、波动和量子力学中的态。
3. 微分方程：微分方程是研究函数和其导数之间关系的方程，被广泛应用于描述物理系统的演化和动力学。
4. 复变函数：复变函数是研究包含复数的函数的数学分支，被用来描述电磁波的传播和量子力学中的波函数等现象。
5. 概率论和统计学：概率论和统计学被应用于描述微观粒子行为的概率分布、热力学系统中的热力学性质和量子力学中的量子态等现象。
这些经典数学物理方法为解决物理问题提供了强大的数学工具和框架，对于理解自然界的运行机制和发展新的物理理论都起着至关重要的作用。
数学物理方法
数学物理方法
在许多科学领域，特别是数学和物理学中，有许多强大的方法和技巧可用于解决各种问题。
这些方法通常以数学为基础，并被广泛应用于理论和实践中。
一种常用的数学方法是微积分。
微积分是研究函数及其性质的数学分支，广泛应用于物理学中。
通过求导和积分，我们可以得到函数的斜率、最大值、最小值以及曲线下的面积等重要信息。
另一个重要的数学工具是线性代数。
线性代数研究向量空间和线性变换的性质。
在物理学中，线性代数常用于描述物理系统的变换和相对关系。
概率论和统计学也是数学物理中经常使用的方法。
通过概率论，我们可以描述随机事件的发生概率，并对其进行建模和预测。
统计学则通过收集和分析数据来推断总体的特征和规律。
在物理学中，还有许多其他的数学工具和技术被广泛应用。
例如，微分方程用于描述自然界中的变化和运动；复数分析在电磁学和量子力学等领域中发挥重要作用；变分法用于求解极值问题等等。
总的来说，数学和物理学密不可分，数学提供了解决问题的工具和框架，而物理学为数学提供了实际应用的背景和意义。
通过运用数学方法，我们可以更深入地理解物理现象并解决各种科学问题。
“数学物理方法”课程的教学认识和改革探索
“数学物理方法”课程的教学认识和改革探索
数学物理方法是一门综合性较强的基础学科，它将数学和物理两个学科的知识和方法相结合，用数学的语言和工具来研究和解决物理问题。
数学物理方法的教学认识和改革探索是指对这门课程进行教学理念、内容和方法等方面的认识和改革探索。
以下将从教学目标、教学方法和教学内容三个方面来探讨数学物理方法课程的教学认识和改革探索。
第一，教学目标。
数学物理方法的教学目标是培养学生的数学思维能力和物理问题解决能力，使学生能够灵活运用数学工具解决物理问题。
为了实现这一目标，应该注重激发学生的学习兴趣和主动性，引导学生主动探索和实际操作。
也要注重培养学生的科学素养和创新能力，使他们能够更好地应对社会的发展和变化。
教学内容。
数学物理方法的教学内容应该紧密结合数学和物理的理论体系，注重数学和物理的交叉应用。
还应该注重培养学生的数学建模能力和物理实验能力，使学生能够通过建模和实验来解决和验证物理问题。
还应该注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，让他们能够通过数学的思维方式来解决物理问题。
经典数学物理方法
经典数学物理方法
1. 微积分
微积分是数学中最基本和最重要的工具之一，它对物理学的发展发挥了重要作用。
微积分是研究函数的变化和变化率的数学工具，可用于解决许多物理问题，如速度、加速度、力、功等等。
2. 线性代数
线性代数研究矩阵的性质、向量空间和线性变换等问题，是解决许多物理问题的有力工具。
线性代数在量子力学、统计力学、电磁学和其他领域中发挥了至关重要的作用。
3. 微分方程
微分方程是解决许多物理问题的重要工具。
微分方程是描述物理系统演化的数学工具，如动力学、热力学、流体力学和电动力学等。
4. 计算机模拟
现代计算机模拟技术可以用于解决许多复杂的物理问题，如流体动力学、量子力学等。
计算机模拟技术可以通过数值方法解决微分方程和概率问题。
这种技术可
以用于验证和验证理论模型，预测物理系统的行为。
5. 群论
群论是研究代数系统的数学分支，尤其是通过群变换描述对称性的数学分支。
在物理学中，群论被广泛应用于描述物理系统的对称性，如粒子物理、场论、凝聚态物理等。
6. 变分法
变分法是一种数学方法，可用于寻找函数的自然极值，以及求解微分方程的特解。
这种技术已被广泛应用于物理学中，如量子力学、天体物理学等。
变分法被认为是数学物理方法中最重要的方法之一。
7. 傅里叶分析
傅里叶分析是一种数学工具，可将任何复杂的周期函数分解成若干简单的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶分析在物理学和工程学中应用广泛，用于分析振动、波动、信号等。
数学物理方法 名词解释
第一章1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。
边界条件又有Dirichlet边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann条件,也称第二类边界条件、Robin边界条件，第三类边界条件。
P3-42.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。
又分有初始问题（Cauchy问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。
对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。
P113.定解问题的适定性从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准：⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。
⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。
⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。
定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。
P124.Dirichlet、Neumann定解问题定解条件只有Dirichlet条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet定解问题。
定解条件只有Neumann条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann定解问题。
5.热传导Fourier定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。
对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx)其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A为传热面积，单位为m2, t为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。
6.Hooke弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即，则三维热传导方程变为，此方程为Poisson方程。
特别地，若f(x,y,z)=0，即，则为Laplace方程。
Poisson方程或Laplace方程统称为位势方程。
数学物理方法)课程设计
数学物理方法课程设计项目背景数学物理方法是一门十分重要的学科，它是用数学的方法来深入理解物理现象和规律。
在物理学中，数学方法是解决理论问题的重要工具，这些问题可能涉及到的物理过程、数学理论和几何性质等等。
在这个课程设计中，我们将探究数学物理方法的一些基础理论，并讨论在物理学中的应用。
项目目标本次课程设计的主要目的是：•熟练运用数学物理方法解决物理问题•掌握重要的数学物理工具，如微积分、线性代数等等•了解数学物理方法在物理学中的应用，如量子力学、热力学、相对论等•培养学生的数学物理思维，提高解决问题的能力项目内容第一章：微积分基础本章将介绍微积分的基本概念和方法，并应用微积分解决一些物理问题。
课程内容包括：•导数和微分的定义及应用•积分和微积分基本定理•牛顿、拉格朗日、傅里叶公式•小波分析的基本概念和应用第二章：线性代数本章将介绍基本的线性代数理论，并应用到物理问题中。
课程内容包括：•矩阵与向量的基本概念•矩阵的基本运算以及矩阵的特征值和特征向量•线性方程组的解法•矩阵的简单应用：平面变换和仿射变换第三章：量子力学本章将介绍量子力学的基本概念和原理，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•波粒二象性和双缝干涉•斯特恩-格拉赫实验•带电粒子在磁场中的运动•量子调和振子的能级第四章：热力学本章将介绍热力学的基本概念和定律，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•热力学基本定律•热绝热过程、等温过程、等熵过程•热力学的状态函数•热力学的基本方程第五章：相对论本章将介绍相对论的基本原理和主要特点，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•狭义相对论和广义相对论•等效原理和时间膨胀•狭义相对论的粒子运动•可观测效应：钟慢效应、光的折射等项目结论本项目通过介绍数学物理方法的基本概念和动态，并应用到物理学中，可以帮助学生领会数学物理思维，在解决物理问题时更加得心应手。
相信在这个项目结束后，同学们对数学物理方法会有更深入的理解和应用。
数学物理方法第一章
1.1 复数与复数运算
（一）复数的基本概念
复数定义：复数——形如 z=x+iy 的数 （x,y 为实数，i2 =−1，i：虚数单位，一种记号约定）
将有争议的虚数合法化： 一维实数 二维实数
复数的本质：有序实数对 (大x家, 好y)
11
复数 ：i2 = −1，为什么？
简单概念的引入可 解决世界性的难题 高斯：正十七边形作图
定义了虚数单位 i＝(0, 1)
i 2＝－1
复数 z 可记为 zxiy xRe z
特殊的复数：0
y I mz
(x, y) +(0, 0) ＝ (x, y) 大家(好x, y) (0, 0) ＝ (0, 0)
13
复数的共轭： z* x iy 与 z x iy 互为共轭 (xiy)(xiy)x2y2
f (x)
n0
f (n)(0) xn n!
例
f
(x)
e1/
x2
0
（满足泰勒展开条件）
x 0 在x0各阶导数均存在, x 0 在x=0各阶导数均存在,其值为0
f(x)
f(n)(0)xn 0
n0 n!
大家好
f (x)
4
复变函数论（theory of complex functions）： 研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，
生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复
数,但无论欧拉还是别的数学家大对家这好 些数都还不甚清楚。
8
Euler 认为复数仅在想象中存在， 1777年，Euler采用 i 代表 1
4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的 思想融入到对代数学基本定理的证明中。
姜颖教授数学物理方法讲义
姜颖教授数学物理方法讲义一、引言数学物理方法是一种综合应用数学和物理的学科，可以用数学的工具和方法来解决物理问题。
数学物理方法非常广泛，包括了常微分方程、偏微分方程、复变函数、辛几何等等。
本讲义将从常微分方程和偏微分方程两个方面进行介绍。
二、常微分方程1.常微分方程简介常微分方程是指未知函数只有一个自变量的微分方程，例如dy/dx=f(x, y)。
常微分方程的解是关于未知函数的函数表达式。
在物理中，常微分方程常常用于描述运动的规律，例如牛顿第二定律F=ma就可以转化为二阶常微分方程。
2.常微分方程的解法常微分方程的解法包括几种常见的方法，例如分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等等。
分离变量法是将未知函数的变量分离出来，然后进行积分。
齐次方程法是将未知函数的变量进行变换，使方程具有齐次的形式。
一阶线性方程法是将方程进行变形，然后利用线性方程的求解公式。
3.常微分方程的应用常微分方程在物理中有广泛的应用，可以描述各种物理现象。
例如，RC电路中的电荷衰减问题可以用常微分方程来描述；弹簧振子的运动方程也可以用常微分方程来描述。
常微分方程还可以用于动力学、电动力学、量子力学等领域的问题求解。
三、偏微分方程1.偏微分方程简介偏微分方程是指未知函数的偏导数出现在方程中的方程，例如△u=f(x,y,z)。
偏微分方程的解是关于未知函数和多个自变量的函数表达式。
在物理中，偏微分方程常常用于描述连续介质的运动规律，例如波动方程、热传导方程等。
2.偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中的未知函数的阶数和导数的类型可以进行分类。
常见的偏微分方程包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程的解具有稳定性，例如泊松方程；双曲型方程的解具有传播性，例如波动方程；抛物型方程的解具有扩散性，例如热传导方程。
3.偏微分方程的解法偏微分方程的解法需要根据方程的类型来选择合适的方法。
例如，对于线性偏微分方程，可以用变量分离法、特征曲线法、格林函数法等方法来求解。
(完整word版)数学物理方法总结(改)(word文档良心出品)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
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1.就下列初始条件及边界条件解弦振动方程1,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(1),01,t u x x x t=∂=-≤≤∂10,0.x x u ut ====>解：22222010,01,0.0,01,02(1),0 1.11,1,2x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x tx x ====⎧⎪⎪∂∂⎪=≤≤>⎪∂∂⎪==>⎨⎪⎧⎪≤≤⎪∂⎪⎪==-≤≤⎨⎪∂⎪-<≤⎪⎪⎩⎩利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t = 代入齐次方程得 "2"()()()().X x T t a X x T t = 则2"()"()()()X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程2"()()0,"()()0.T t a T t X x X x λλ+=+=利用边界条件得 "()()0,(0)(1)0.X x X x X X λ+=⎧⎨==⎩我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则方程的通解 X()cos sin x A x B x ββ=+由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= sin n n X B n x π= 得 222"()()0n n T t a n T t π+=即解得 'cos 'sin n n n T C n at D n at ππ=+.得 (,)()()[cos sin ]sin n n n u x t X x T t C n at D n at n x πππ==+ 通解 11(,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞∞====+∑∑由初始条件(1)t ux x t=∂=-∂=1sin n n D n a n x ππ∞=∑⇒ 14424[(1)1](1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=⎰ 再由01,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ ⇒ 1/21221/242sin 2(1)sin sin 2n n C x n xdx x n xdx n ππππ=+-=⎰⎰ ∴2244144[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a ππππππ∞=--=+∑2．3就下列初始条件及边界条件解弦振动方程1,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(1),01,t u x x x t=∂=-≤≤∂10,0.x x u ut ====>解：22222010,01,0.0,01,02(1),0 1.11,1,2x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x tx x ====⎧⎪⎪∂∂⎪=≤≤>⎪∂∂⎪==>⎨⎪⎧⎪≤≤⎪∂⎪⎪==-≤≤⎨⎪∂⎪-<≤⎪⎪⎩⎩利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t =代入齐次方程得 "2"()()()().X x T t a X x T t = 则2"()"()()()X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程2"()()0,"()()0.T t a T t X x X x λλ+=+=利用边界条件得 "()()0,(0)(1)0.X x X x X X λ+=⎧⎨==⎩我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则方程的通解 X()cos sin x A x B x ββ=+由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= sin n n X B n x π= 得 222"()()0n n T t a n T t π+= 即解得 'cos 'sin n n n T C n at D n at ππ=+.得 (,)()()[cos sin ]sin n n n u x t X x T t C n at D n at n x πππ==+ 通解 11(,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞∞====+∑∑由初始条件(1)t ux x t=∂=-∂=1sin n n D n a n x ππ∞=∑⇒ 14424[(1)1](1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=⎰ 再由01,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ ⇒ 1/21221/242sin 2(1)sin sin 2n n C x n xdx x n xdx n ππππ=+-=⎰⎰ ∴2244144[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a ππππππ∞=--=+∑4题目：在扇形区域内解下列定解问题：⎧⎪⎨⎪⎩222222110(,0)(,)0(,)()u u u u u u u a f ρρρρθρραθθ∂∂∂∇=++=∂∂∂=== (,0)(0)o R R ρθαρ<<<<<< (1)(2)(3)参考答案：解：令(,)()()u R ρθρφθ=，有2'''"()()()()()R R R ρρρρφθλρφθ+==--即有2"'()()()0R R R ρρρρλρ+-= (*)对于()φθ有"()()0(0)()0φθλφθφφα⎧+=⎨==⎩其解的通式可设为：)+Bcos）将边界条件带入有B=0，且由经验知λ为一个大于零的数，则有n απ=，解得2()n πλα= （n=1,2,3…）且有 ()sin n n n A πφθθα=将λ的值带入（*）中有()n n n n n R C D ππααρρρ-=+ ，而由物理知识可以得到自然边界 (0,)u θ<+∞和(0)R <+∞，将其带入知n D =0故()n n n R C παρρ=，则1(,)sinn n n n u K παπρθρθα∞==∑又有起始条件(,)()u a f θθ= 有1()sin()n n n n u K a f παπθθθα∞===∑将()f θ在[]0,α上展开成sin n πθα⎧⎫⎨⎬⎭⎩的Fourier 级数，得到2()sinn n n C f d a απαπθθθαα=⋅⎰(n=1,2,3,…)5 第三章 ：求上半平面内静电场的电位，即解下列定解问题22200,0,,|(),,lim 0y x y u y x u f x x u =+→∞⎧∇=>-∞<<+∞⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪=⎪⎩解：有原题的x 值的取值范围可知，此题可用傅里叶变换求解，则令：(,)(,),()()jwx jwx U w y u x y e dx F w f x e dx--+∞+∞==-∞-∞⎰⎰对方称两边对x 求傅里叶变换可得：222()0Ujw U y∂-=∂，其解的形式为:12(,)wy wy U w y c e c e -=+（1）在对条件进行变换可得：(,)(),lim (,)0y U w y F w U w y →∞== （2） 代入（1）式中有12()c c F w += 则：11(,)(())wy wy U w y c e F w c e -=+-， 此时可分类讨论：1）当w=0时，U （w,y ）=F(w);2）当w<0时，要满足条件（2），则需C 2=0，有(,)()wy U w y F w e -= 3）当w>0时，同理需要C 1=0，则有(,)()wy U w y F w e = 综上所述，可得：||(,)()w y U w y F w e -=又有逆变换1|w|y |w|y 221[]2()jwx yF e e e dw x y ππ---+∞=∂=-∞+⎰ 则可得u （x,y ）的表达式为：1||22221(,)[()]()*()()()w y y y U x y F F w e f x f d x y y x ππ--+∞===-∞++-⎰τττ6 第三章：用积分变换解下列问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+=>>=∂∂∂==.0,1,0,1,0,0,1002x uy y u y x yx uy x解：令dxe y x u y s u sx -+∞⎰=0),(),(~对泛定方程关于变量x 取拉普拉斯变换得s u L xy 1][=由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有[][][][]1~1),(~),0(),(][),(),(][00-=--∂∂=-∂∂=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂==-∞+-+∞⎰⎰dy u d s y y x u s y y u y x u sL y u L y dx e y x u y dxe y x u u L x sx x sx xy xy即得s dyu d s 11~=- 解之得c y s s y s u++=21),(~因s dx e dx e x u s u sx sx 1)0,()0,(~00===-∞+-∞+⎰⎰ 所以可得s y s s y s u11),(~2++= 取逆变换得1111),(121++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--y xy s L s s yL y x u7 证明平面上的格林公式 uΔv − vΔu dσ = u∂v ∂n D C − v ∂u ∂n ds其中C 为D 的边界曲线,ds 是弧微分。
证 在散度定理div A dσ = A ∙ nD Cds中取A= uΔv 得uΔv + ∇v ∙ ∇u dσ = u∂v∂nD Cds (1)在上式中交换u，v 顺序，得vΔu + ∇u ∙ ∇v dσ = v∂u∂nD Cds (2)(1),(2)式相减得uΔv − vΔu dσ = u∂v∂nD C− v∂u∂nds结论得证。
4.2 8 验证u(x1, x2,…, xn)=f r (其中r = x1 2 + x22 + ⋯+ xn2 是n维调和函数),其中f r = C1 +C2rn−2 (n ≠ 2)f r = C1 + C2 ln1r(n = 2)C1, C2为任意常数。