复合导数运算法则

跟踪训练1 (1)y＝ln
指出下列函数由哪些函数复合而成： x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x；
(2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.
变式训练 1 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ； 1＋3x5 π (2)y＝sin(x －6)；
2
(3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e
2x2＋1
.
1 解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u5＝u－5， ∴y′x＝y′u· u′x＝－5u 6· 3
－
15 ＝－15u ＝－ . 1＋3x6
－6
π (2)令u＝x －6，则y＝sinu，
2
∴y′x＝y′u· u′x π π 2 ＝cosu· (x － )′＝2xcosu＝2xcos(x － )． 6 6
2
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u· u′x 11 1 ＝ ·＝ . u x xlnx (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u· u′x＝eu· 4x ＝4x· e
2x2＋1
.Leabharlann Baidu
例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u· u′x进行求导．
解 (1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16 ∴y′＝(x4－8x2＋16)′ ＝4x3－16x. 方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′ ＝2(x2－4)· 2x ＝4x3－16x.
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ 1 ＝ 2 · (2x2＋3x＋1)′ 2x ＋3x＋1ln2 4x＋3 ＝ 2 . 2x ＋3x＋1ln2 (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)· cos(ax＋b)· (ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)· esin(ax＋b)．
•第3课时 导数的运算法则及复合函数的导数
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．