《双曲线》教学设计

《双曲线》教学设计

教学目标：

1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.

2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化.

数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.

3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.

教学重点与难点

双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.

定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.

教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法

教学用具：CAI课件、演示教具

课时安排：一课时

教学过程：

一、课题导入

师：椭圆的定义是什么?

(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF

1

｜+｜

PF

2｜=2a(常数)（2a>｜F

1

F

2

｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一

个实验：

（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）

师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）

二、定义探究

师：我们知道满足几何条件｜PF

1｜+｜PF

2

｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭

圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？

（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：

｜PF

1｜-｜PF

2

｜=2a或｜PF

2

｜-｜PF

1

｜=2a）

师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.

(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)

师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果

｜PF

1｜＞｜PF

2

｜,则得到曲线的右支，如果｜PF

2

｜＞｜PF

1

｜则得到曲线的

左支.

能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？

（引导学生思考，此时只需在|PF

1|-|PF

2

|=2a 左边加上绝对值

师：作为此时差的绝对值2a与|F

1F

2

|大小关系怎样？

（结合图像，学生分析：应该有2a（|F

1F

2 |)

(在上述讨论的基础上引导引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）

三、方程推导

师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？

（学生口述教师板书椭圆的标准方程）

师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.

(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)

建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y),｜F

1F

2

｜=2c，并

设F

1(-c,0),F

2

(c,0).

由两点间距离公式，得

｜PF

1

｜=2

2

)

(y

c

x+

+,｜PF2｜=2

2

)

(y

c

x+

-

由双曲线定义，得

｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即

22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a

化简方程

22)(y c x ++=±2a+22)(y c x +-

两边平方，得

(x+c)2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x-c)2+y 2 化简得

cx-a 2=±22)(y c x +- 两边再平方，整理得 (c 2

-a 2

)x 2

-a 2y 2

=a 2

(c 2

-a 2

)

(为使方程简化，更为对称和谐起见) 由2c-2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0 设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得 b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2 也就是 x 2/a 2-y 2/b 2=1

师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.

师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y 轴上，这是双曲线的标准方程形式又怎样呢？

（引导学生类比椭圆得到焦点在y 轴上时双曲线的标准方程：y 2/a 2-x 2/b 2=1此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）

师：如何记忆这两个标准方程

（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）