滑轮专题

2m
m
17
2mg mg 1 g (1)、对系统，其加速度为 a 3m 3
2m第一次触地时
v1 at 10eg m / s
此后，因m的速度向上，2m停止，
2m
绳将小于自然长度，无力的作用 m作竖直上抛运动，当返回原位置时有：
m
v1eg (v1eg ) t1 2s geg
3
例1
如图所示, 一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2 的两根细线上, l1 的一端悬挂在天花板上, 与竖直方向夹角为θ, l2 水平拉直,物体 处于平衡状态。现将l2线剪断,求剪断瞬时物体的加速度
l1 l2 l2
l1

l1 突然绷紧，张力发生了变化
l1 来不及形变，张力不变
4
例2
如图示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h。轨道上有 有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接 物体A在下面的轨道上以匀速率v运动。在轨道间的绳子与轨道成30度角 的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，
vb 2 b : T mg m 3a
va 10ga va 12ga va 10ga va 7 ga
A B
c:
vc 2 T m 2a
vd 2 d : T mg m a
A:
vA2 T m a
D
d
4a
小球要能顺利通过最高点d还应满足：
d:
a
a
vd 2 mg m a
c
拉紧,如图所示,小车以v0 = 3 m/ s 的速度前进。 求: (1) m1 、m2 、m3 以 同一速度前进时,其速度的大小。(2) 物体在拖车平板上移动的距离 分析： 绳子被拉紧瞬间, m1 与m2 获得共同速度, m1 、m2 系统的动量守恒,但由于绳瞬间绷紧使系统有一部分机械能
m1
m3
m2
设A 到B 的距离也为H,车过B 点时的速度为v0
求出车由A 移到B 的过程中, 绳Q端的拉力对物体做的功？
H
v0
C B

H
A
8
同类型题型2
如图所示,套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮不可伸长的轻绳 与重物B相连，由于B的质量较大，故在释放B后， A将沿杆上 升至环与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 vA 0 ， 这时B的速度为 vB ，则
滑轮专题
许杰
一、定滑轮
1、定义 工作时，滑轮轴的位置不动称为定滑轮 定滑轮实质是等臂杠杆 定滑轮不省力
L1 L2
F F
定滑轮可以改变力的方向
G
2
2、绳
定滑轮绳子可看作轻绳，质量不计 轻绳各点的作用力大小相等,而作用力的方向始终沿着绳子(忽略重力) 定滑轮绳子可看作不可伸长 轻绳各点的速度不一定相等.但沿轻绳方向速度的分量却一定相等 所以速度可分解成沿轻绳方向和垂直于绳方向(正交分解) 轻绳作用力发生变化时，变化过程的时间不计(作用力发生突变) 系在物体上的轻绳从松弛到瞬间绷紧,出现了突变现象，结果 使系统的动能有一定损失,转化为内能(即沿绳绷紧方向的速度 降为0)，否则，系统只发生其它形式间的能量转化 绳突然绷紧时，与外力相比较，张力很大，可用近似动量守恒定律
小球刚到C 点时,有一个沿绳子方向的分速
A
1 2 度v2 ,这部分的动量使绳绷直,结果损耗了 mv2 2
的动能并转化为内能,而沿绳子方向的分速度v2 迅速减为零,但小球的切向速度v1 保持不变
O

C
v2
B
v1
vCHale Waihona Puke Baidu
21
例8
质量为m 的小球, 用轻软绳系在边长为a 的正方形截面木柱的顶角A 处 (木柱水平, 图中斜线部分为其竖直横截面, 如图所示) , 软绳长为4a, 软绳 所能承受最大拉力为T = 7m g , 软绳开始时拉直并处于水平状态. 问此时 应以多大的初速度竖直下抛小球才能使绳绕在木柱上且小球各段均做圆 运动最后击中A 点? (不计空气阻力) 分析：
经过时间
4 s 9
，2m第四次触地，触地速度 v3
10 m/s 27
所以系统停止运动的总时间为：
1 1 T T1 T2 ... 4(1 2 ...) 6s 3 3
20
例7
如图所示, 质量为m 的小球, 用不可伸长的轻绳系在O 点,绳子长为l , 拉直在图中的位置,由静止释放,求当小球到达最低点时绳的拉力 解：
va 2ga
C
所以初速度为： 2ga va 7ga
b
23
例9
在光滑水平面上, 有一质量m1= 20 kg 的小车, 通过一根几乎不可伸长的 轻绳与另一质量m2 = 25 kg 的拖车连接,一质量m3 = 15 kg 的物体放在拖
车的平板上,物体与平板间的动摩擦因数μ=0. 2。 开始时,拖车静止,绳未
7
同类型题型1
如图所示,一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体, 绳的P 端拴在车后的挂钩上, Q端拴在物体上。设绳的总长 不变, 绳的质量、定滑轮的质量和尺寸滑轮上的摩擦都忽略不计。 开始时, 车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的, 左侧绳长为H1 提升时, 车加速向左运动, 沿水平方向从A 经过B 驶向C
m3的速度仍为零,对m1 、m2组成的系统应用动量守恒定律可得：
Teg t2 2mv2eg 0
2v1 2s a
2m
所以经 t1 t2 4s
10 v2 m / s 2m第二次触地，触地速度 3
m
19
(2)、2m的物体第二次触地时速度为 v2
10 m/s 3 9
10 m/s 同样地方法类推，得到经过时间 4 s ，2m第三次触地，触地速度 v3 3
转化为内能,所以这个阶段系统的机械能不守恒, m3 的速度仍为零
绳子拉紧后,在摩擦力作用下m3 加速, m1 与m2 减速, m3 与m2 间有相对滑动 直至三者速度相等,一起运动。 此阶段系统动量守恒, 机械能不守恒 但可由动能定理求解 24
解： 设三者的共同速度为v , 对m1 、m2 、m3 组成的系统 应用动量守恒定律可得： m1v0 (m1 m2 m3 )v 由于绳子被拉紧时,作用时间极短, m1 、m2具有共同速度v′时,
m

M
N
T
ma0
mg sin M 2m(1 cos )
a
mg
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练习
如图所示的系统中，有半径相同的两个定滑轮和一个动滑轮组成的滑轮系，
用不可伸长的轻绳悬挂三物体。求三个物体加速度之间的关系。
l x1 2x2 x3 3 R
运动中，l和3πR不变化：
0 v1 2v2 v3
0 a1 2a2 a3
m1
m3
m2
x
16
其中速度和加速度均为代数值，竖直向下为正，向上为负
例6
如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量为2m和m的重物，从静止开始运动3s后， 2m的重物将触地无反弹，试求从2m的重物第一次触地后，
(1)、经过多少时间，2m的重物将第二次触地？
(2)、经过多少时间，系统停止运动？
14
例5
如图所示，木块的质量为m，光滑楔形体的质量为M，倾角为θ， 滑轮和绳子的质量不计，求楔形体M的加速度
a0 解： 设M有水平向右且相对地的加速度为 a ，方向沿斜面向下 m相对于M的加速度为
绳不可伸长，必有 a a0 m相对于M有：mg sin ma0 cos T ma 对m，M整体有： T Ma0 m(a0 a cos ) 有：a
此后，m将拉动2m，但m速度为0时，2m又拉动m，直到触地，冲量定理 18
设绳子的平均张力为T，m的速度由 忽略重力冲量，对m有： 对2m有： 求得： t2
v1eg 变化成 v2eg ，2m第二次触地 Teg maeg
Teg t2 mv2eg mv1eg
O
M
O
v
vm v v cos

4 1 1 Mv 2 mvm 2 2 2
v
v
vm
MgR 2mgR
m
10
例3
如图所示，质量为m的重球B与细绳相连，A端固定，C端绕过滑轮 并以匀速v拉动，试求图示位置时BC绳的张力 (不计绳和滑轮的质量以及滑轮的摩擦)
解： B绕A点做圆周运动， 所以B点的速度方向与AB垂直
vB 2 BC径向： TC TA cos( ) mg sin m rBC vB v vB sin[ ( )] v cot( ) 2
A

B

C
v
mg cos mv 2 cos( ) cos( ) 1 TC [ ] 4 sin( ) sin ( ) rBC rAB
A

B

C
v
同时，B绕C点做螺线运动 B点的速度与BC夹角为： ( ) 2
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vB 2 T AB径向： A TC cos( ) mg sin m rAB
B点的速度又可分解在BC方向及其垂直方向
v vB / / v vB cos[ ( )] vB 2 sin( )
OA 、OB 与水平方向的夹角分别为30°和60°
当物体处于静止状态时，试求绳的拉力大小？ 如图，若用质量不计的动滑轮替换后绳的拉力大小又为多少？
T G
60 0
B
TOB TOA
A
30 0
T G
60 0
B
A
30 0
TOA
O
TOB
O G G sin 300
0
G
TOA
TOB G cos 30
TOA TOB G
vB v tan
θ是绳子和轨道的夹角
vP v tan vP
B
P
O
若设绳子转动的角速度为ω，则有
BO , vB BO 2vP 2 3 13 求得： arctan vP v 6 12 vP
/6
A
v
水滴速度与水平方向的夹角为
设绳子长BO远大于滑轮直径，求：
B
/6
P
(1)、小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向 (2)、小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间
5
O
A
v
定滑轮上绳子不可伸长，沿绳方向的各点速率相等，但速度的方向可能不同 速度方向据极坐标知识可知分解成绳和垂直于绳的两个方向 对B： vB// v, 对P： vP// v,
2 2
T 25 N
A
O
B
C
B'
(1)
A端缓慢左移时， T 相当于重力不变，两绳间夹角越大，张力相就增大
(2)
B端缓慢上移时， , T 相当于重力不变，滑轮位置改变使两绳间夹角不变，张力也保持不变 13
比较例4、例5
如图所示,用OA 、OB两条绳子将重为G的物体悬挂起来,

6
arctan
3 6
6
水滴离开绳后做斜下抛运动，它的竖直初速度为：
vpy 0 v sin vp cos v / 4
斜抛运动，可分解成沿切向的匀速运动和竖直下抛运动，因此
1 1 1 h vt gt 2 2 4 2
求得
t
1 ( v 2 16 gh v) 4g
12
例4
如图所示,在水平天花板与竖直墙壁间通过不计质量的柔软绳子和光滑的 轻小滑轮悬挂重物G，绳长为5m，OA=3m，G重40N，求绳中张力大小， 并讨论：(1)当B点位置固定、A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ (2)当A点位置固定，B端缓慢上移时，绳中张力如何变化
2T cos mg
OB ' cos AB ' AB ' OA AB '
A. B.
C. D.
vA vB vA vB
vA vB vB 0
D
A B
9
同类型题型3
质量为M 和m 的两个小球由一细线连接( M > m) ,将M 置于半径为R
的光滑半球形容器上口边缘, 从静止释放(如图 所示) ,求当M 滑至容
器底部时两球的速度,两球在运动过程中,细线始终处于绷紧状态.
d
D
A B
4a
绳没有突然绷紧现象，沿绳方向
a
a
无动能损失，机械能守恒。小球 做半径变化的圆周运动绳子所受 的拉力大小不仅与速度有关 而且 还与小球做圆周运动的半径有关
c
C
b
22
解：
a b: b c: cd: d A:
1 1 mva 2 mg 4a mvb 2 2 2 1 1 mva 2 mvc 2 mga 2 2 1 1 mva 2 mga mvd 2 2 2 1 1 mva 2 mv A 2 2 2