场论_5
场论2.1-2.5
第1-17页
■
矢量分析与场论
2.3
矢量场的通量及散度
1. 通量 (Flux)
以流速场为例，考虑流量：
Q vS
Q vS vS cos
v
Q v S
S Sn
Q v ( x, y, z ) dS
S
第1-18页
■
矢量分析与场论
（1）定义：若矢量场A分布于空间 中，在空间中存在任意曲面S，则
u u u gradu ( x, y, z ) u i j k x y z
竖琴（nabla）
◆方向导数等于梯度在该方向上的投影。
u u u u cos cos cos l x y z
u u u ( i j k ) (cos i cos j cos k ) x y z
矢量分析与场论
第二章 场论
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 场 数量场的方向导数与梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场
第1-1页
■
矢量分析与场论
2.1
1. 场的概念
场
什么是场？重力场、温度场、电磁场、…… a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数 值规定了该区域内一个特定量的特性。 比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场 b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空 间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有 能量的。
1 2 2 cos , cos , cos 3 3 3
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , 而 x z y z z z2
数量场u在l 方向的方向导数为 u u u u 1 2x 2 2 y 2 x2 y 2 cos cos cos l x y z 3 z 3 z 3 z2
电磁场 第5章场论和路论的关系
等位面，两端面之间的电压降为：
vv
U l E dl
通过任意横截面S的电流为：
l
vv
vv
I
S Jc dS
E dS
S
vv
根据定义可得到两端面 间导电媒质的电阻R为：
★
RU
E dl lv v
I S E dS
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例 1：有一扇形导体，电导率为 ，厚度为 d ，圆弧半径分别
需给出外导体的内自感 Li 。
利用能量关系也可方便地算出：
Li
0
2π
[
c4 ln c b
(c2 b2 )2
b2 3c2 4(c2 b2 )]
(H/m)
此时，同轴线单位长度的总电感为: L Li L0 Li
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例5：一非常长的非磁性圆柱的半径为a，每单位长度上紧密 缠绕 n 匝线圈，形成空心电感器(螺线管)，若通过线圈的电 流 I是恒定的。求该电感器单位长度上的电感。
I
JcS
E0 (r22
2
r12 )
扇形导体
厚度方向的电阻为：
R
U I
2d (r22
r12
)
()
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向
流过的电流为 I，则其间任意弧面S上的电流密度为：
v Jc
I S
aˆr
I
d r
aˆr
B
A
r2
vv
又因为： Jc E
P UI
P I2R
2. 功率损耗的含义 导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程
场论中的常用基本公式
∂Σ
∫ Φ ⋅ ds .注意到给定诱导定向后,曲
′ cos )′是 Σ 上的单位法向量,并记 dS 是 面 Σ 也就指定了方向,因此若记 n = (cos ′, cos ,
曲面 Σ 的面积微分,那么(5)式可以写为
∂Σ
∫ Φ ⋅ ds = ∫∫
Σ
cos ′ cos ′ cos ′ ∂ ∂ ∂ dS ∂x ∂y ∂z P Q R
∂ ∂ ∂ ∂x , ∂x ∂y P′ P ′ Q ′
证毕.
公式 2
∇ × ( ∇ ) = 0 ( rot ( grad ) = 0 )
证明:由于 ∈ C 2 Ω ,因此混合偏导数相等,故
(20)
( )
∂ ∂ ∂ ∇ × ( ∇ ) = ∇ × , , ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x = , , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x
1. ∇ 与 ∆
3 3 设 Ω 是 R 中有界开集,我们在 C Ω 上定义一个取值于 R 的算子 ∇
1
( )
∂ ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y ∂z
并称该算子为 Nabla 算子,显然该算子和梯度算子是一回事,即若 ∈ C Ω ,那么
1
( )
∂ ∂ ∂ ∇ = , , = grad ∂x ∂y ∂z
D
∂Q
∂P
(3)
若记 = (cos , cos ) 是 ∂D 上的与诱导定向同方向的单位切向量,用 ds 表示 ∂D 上的弧微 分,那么弧微分向量 ds = ds .若再用 dS = dxdy 表示面积微分,那么我们可以把(3)改写为
数学分析ch14-5场论初步
曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值 grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是场中一点。如果在 M 0
点有旋涡，流体以角速度 旋转（这里 在旋涡的轴线上，且方向与
场论习题答案
场论习题答案习题33-1．求数量场2322u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2423=-+的⽅向导数。
解：因()MMlxi xy j z k i k 242343=-+=+，其⽅向余弦为.53cos ,0cos ,54cos ===γβα在点)1,0,2(-M 处有,1223,04,422223=+=??==??-==??y z x zuyz y u xz x u 所以4125300)4(54=?+?+-?=??l u 3-2．求数量场223u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线23,,x t y t z t ==-=朝t 增⼤⼀⽅的⽅向导数。
解：所求⽅向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同⼀⽅向的切线⽅向导数。
曲线上点M 所对应的参数为1=t ,从⽽在点M 处沿所取⽅向，曲线的切向⽅向导数为33,22,1121==-=-====t Mt MMt dtdz tdtdy dtdx ，其⽅向余弦为.143cos ,142cos ,141cos =-==γβα⼜5)23(,1,7)6(2=+=??-=-=??=-=??MMMMM Mz x zu xyu y xz xu 。
于是所求⽅向导数为14241435142)1(1417)cos cos cos (=?+-?-+?=??+??+??=??MMz u y u x u lu γβα3-3．求数量场23u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个⽅向的⽅向导数最⼤？解：因()uu l u lθ0grad grad cos ?=?=?，当θ0=时，⽅向导数最⼤。
,1244)32()(u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u MMM +--=++=??+??+??=即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=⽅向的⽅向导数最⼤最⼤值为114176ugrad ==M。
场论
，称之为数量场 u( M ) 在
u u u u cos cos cos l x y z ˆ (cos ,cos ,cos ) l
例题
例1 求函数 u
x y z 在点M (1,0,1)处沿
2 2 2
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
当div A 0，表示该点为无源场。
散度(Divergence)的表达式 定理 设矢量场A(x, y, z )
重 点
则 A ( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
将s分成许多足够小的面元ds ，
于是
θ
v
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
定义 向量场
v ds
s
A沿选定方向的曲面S的面积分
称为
S ( 定侧 )
A dS
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
推论2
若处处散度为0，则通量为0.
推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点 （或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常 数。
电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量， 等于其内各点电荷的代数和。
高斯定理
s
场论_预备知识
《流体力学》相关数学知识点补充和复习1. 场论概念场: 物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，如温度场、密度场、引力场、电场、磁场等。
如果形成场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场；如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场称为非定常场。
在实际中，一般的场都是非定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。
从各种场的取值性质来看可以分成两大类，一类是每个点对应一个数量，这种场统称为数量场，如温度场、密度场。
另一类是每一个点对应着一个向量，这种场称为向量场，如引力场、梯度场、电场、磁场。
场本身的性质与坐标选择无关，对各种场的分析和计算应该选择适当的坐标系，以简化分析和计算。
对矢量场A u v，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。
力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即0A d r ⨯=u v v, 称为力线的微分方程式。
式中d r v为力线切向的一段矢量。
在直角坐标内，力线的微分方程式可写成，0xy z xyzij k dx dy dz A d r A A A A A A dx dydz⨯==⇒==v v v u v v2. 数量场(标量场)的方向导数和梯度1) 方向导数定义00()()limM M M u M u M u lM M→-∂=∂,M l ∈2) 计算公式cos cos cos u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂方向: cos cos cos l i j k αβγ=++v v v v3) 梯度定义梯度是一矢量场,grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂4) 梯度的主要性质a. 梯度grad u 描述了场内任一点M 邻域内，函数的变化状况，它是标量场非均匀性的量度；b. 梯度grad u 是与标量场u 相关联的一个矢量场，即用标量场来描述矢量场；c. 梯度grad u 的方向与u 等势面的法线重合，且指向u 增大的方向，大小是n v,方向导数un∂∂v ；d. 梯度矢量grad u 在任一方向l上的投影等于该方向上的方向导数，(grad )uu l l∂=∂v v g ； e. grad u 的方向,即等势面的法线方向,是u 变化最快的方向, -grad u 是u 下降最快的方向;f. 梯度矢量grad u 满足grad du d r u = ,反之,如du d r A v u v g =,则grad A u =; g. 若grad A u = ,则0LA d l =⎰ ,反之,若0LA d l =⎰ ,则grad A u =;h. 梯度矢量的定义与坐标系的选择无关. 5) 运算公式a. grad 0c =;b. grad()grad cu c u =;c. grad()grad grad u v u v ±=±;d. grad()grad grad uv v u u v =±;e. 21grad()(grad grad )uv u u v v v=-;f. grad ()()grad f u f u u '=;3. 矢量场的通量及散度a. 通量定义cos n SSSSA dS A d S A d S Pdydz Q dzdx Rdxdy θΦ====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，A P i Q j R k =++，cos(,)cos(,)cos(,)d S n d S dS n x i dS n y j dS n z k dydzi dzdx j dxdy k ==++=++ , θ为A与d S 的 夹角,通量Φ可能为正负或零,取决于法向的选择,通量是个标量。
场论
第一节场的概念场是物理中的概念，例如在真空中点处放置一点电荷，则在点周围产生一个静电场，再在异于点的任一点处放置一单位正电荷（图11-1），由实验可知，这个单位正电荷受到力的作用，在处单位正电荷上所受到的力E，称为此静电场在点处的电场强度（简称场强），上述静电场内每点都有一个确定的场强E，静电场不仅可以用场强这个量来描述，也可以用单位正电荷从点处移到无穷时，场强E所作的功来描述，称为静电场的电位或电势.图11-1由上例可知，所谓静电场，是客观存在的，可以通过场强或场电位来刻划其特征，数学中所研究的场，是考察客观存在的场的量的侧面.设空间区域上确定了该物理量的场.场论的目的确是阐明场中物理量的一般变化规律.由于物理量有数量与矢量之分，所以场也可分为两类：如果这个量是数量，则这样的场就称为数量场，例如，静电位场、温度场等都是数量场；如果这个量是矢量，则这样的场就称为矢量场，例如，静电场E、引力场、磁场等都是矢量，如果场不随时间而变化，则称这类场为稳定场；反之，称为不稳定场.我们只讨论稳定场.根据数量场与矢量场的定义，可知数量可用点的数量函数或，来表示，这里是某个空间区域，矢量场可用点的矢量函数或.来表示，这里是某个空间区域，，，表示在直角坐标轴上的投影.设给定一数量，，是单值的连续函数，且具有连续偏导数.具有同一函数值的点的集合所形成的曲面：（是常数）称为等值面或等位面.由的单值性知，对于中任一点，有且只有一张等值面通过.例如:由物理学知，放置在坐标原点的点电荷所产生的电位场为其中*，它的等位面方程为或，这是一族以原点为中心的球面.若数量场是给定在平面区域上，即，则一般说来，为一曲线，它称为等值线或等位线.第二节无源场和势量场§2.1无源场我们知道，在由点电荷所产生的静电场中，除去点电荷所在的原点外，处处有，即除去原点以外，处处无源也无汇，一般有下述定义：定义给定一个矢量场，，如果在内处处有，则称为无源场.上面说的是一个无源场，又如通过无限长直导线的电流产生的磁场,也是一个无源场（请读者自证）.在矢量场中，若曲线上每上点处的切线方向与的方向一致，则称为矢量场的矢线（或流线）.如果在矢量场院中，取一条封闭曲线（不是矢线），通过上的所有点作矢线，则其全体组成一根管子，这管子称为矢量场的矢量管. 无源场具有下列性质：定理1设无源场其中，和在场中面单连区域内具有一阶连续偏导数.为中矢量管的任意两个截面，则其中的单位法线矢量方向如图11-2所示.即在定理条件下场通过矢量管的任意一下截面的流量是一定的，这个常数称为矢量管的强度.证取截面以及与之间的一段矢量管，作为封闭曲面，设是的外法线单位矢量，在这管的侧面上有.在上的各点有.在上的各点有，在上的各点有，对与其包围的区域上应用高斯公式得（注意到是面单连区域，故全在区域内，因此可以在上应用高斯公式）11-2而所以有.§2.2势量场我们知道这种矢量场是一个数量的梯度场，实际上，这样的矢量场是大量存在的，是一类重要的矢量场，下面就来研究这种矢量场.定义设有矢量场，如果存在单值函数，使得，（1-1）则称场为势量场或保守场，称为场的势函数.例如:在由点电荷所产生的静电场中，其电场强度与电位有以下关系因而E是一个势量场，是它的一个势函数. （1-1）式即为或. （1-2）由（1-2）式容易知道：场是势量场的充要条件是表达式为某一单值函数的全微分，即既然“场为势量场”与“为全微分”等价，由上一章的讨论，有下述重要定理.定理2设矢量场，，，在场中线单连区域内具有连续的一阶偏导数，则在内，下述四个断语是等价的：1o;2o, 是内任意一条封闭曲线;3o线积分与路径无关;4o是一个势量场.当矢量场是势量场时，势函数可以由公式（1-3）求得，其中定点（）可以任意取定，在这里因线积分与路径无关，故常取平行于坐标轴的直线段（如图11-3）作为积分路径.例1证明为势量场，并求其势函数.解因为图11-3，所以A是一个势量场.是它的一个势函数，取积分路线如图11-4，得还可以用以下方法来求，被积表达式可写成, 于是例2证明中心场是一个势量场，其中是具有连续导数的函数，并求其势函数.解由假设，因而图11-4由于同样…，因此.由于所讨论的区域是原点除外的整个空间，这是一个线单连区域，即知是一个势量场，其势函数为,其中.例如引力场是一个中心场，因而它是一个势量场.第三节算子和算子§3.1 算子为方便计，我们引入倒三角形算子，它也称为哈密顿（Hamilton）算子，“”读作那布拉，只是一个运算符号（即是一个微分子运算符号，又是一个矢量运算符号），当数量函数或矢量函数从右方“乘”（数乘、点乘、叉乘）时，就有完全确定的意义，即规定：这样，梯度、散度、旋度就可以分别简记为，，算子有好多条运算规则，利用这些规则来推导有关梯度、散度、旋度的恒等式是比较方便的，关于这方面的基本内容可参看本章第四节.将作用到数量函数和矢量函数，其运算仅包含一阶微分运算，因而是一阶微分算子.下面我们对数量函数和矢量函数两次使用算子.对函数两次使用算子只有以下五处情况：1o2o3o4o5o其中2o和4o可以验证=0，=0. 特别重要的是1o，我们有§3.2 算子我们引入二阶微分算子，称为拉普拉斯（Laplace）算子，其运算规定如下：称为 U的调和量，其中表示这样，1o就可以写成另外，3o和5o还具有关系式：§3.3 调和场最后我们提一下调和场的概念，设矢量场既是势量场又是无源场，则称为调和场. 因为是调和场，按定义必存在势函数，使得，而又是无源场，则有于是势函数满足，或，即这就是著名的拉普拉斯方程，也就是说，调和场的势函数满足拉普拉斯方程.例如:电场（）是一个调和场，是它的势函数，它满足拉普拉斯方程第四节算子的运算在讨论梯度、散度、旋度时，我们引进了算子而，，在前面一些章节和习题中我们证明了不少有关梯度、散度、旋度的恒等式.例如：（1）div ，（2）rot ,等，这些等式我们都是利用梯度、散度、旋度的表达方式进行计算而得到的，计算常较复杂，所得的结果也难于记忆，现在我们归结出几条算子的运算法则，以供参考.注意到是一个符号矢量，又是一个微分算子，这就决定了在运算中的二重性，既要当做一个矢量来进行矢量运算，又要进行微分运算.1、加法规则，，（其中、是常量）.2、乘法规则，，，,，.这里记号“”表示中的微分运算只作用在上，同样规定记号，…的意义，例如3、的作用方式一定要作用在一人数量函数或矢量函数时才有实际意义，其作用方式有三种：，读作“乘”，，读作“点乘”，，读作“叉乘”注意到“”的后面必需是数量函数，而“”“”后面必需矢量函数才有意义.不然，如，或是没有意义的.实际上，加法规则中的三个等式，我们在习题中利用梯度、旋度、散度的表达式已证明过，对于乘法规则中的几个等式，在这里只证明其中的一个，其他的读者可自行证明之.现在来证明证明可以看到，加法规则和乘法规则与导数的运算法则相似. 在 的运算中时常要用到下列公式：， (3.1) , (3.2) (3.3)这里举一个例子说明这些公式的用法. 例1 写出的表达式.可利用公式（7.1），注意到这公式右方第一项还可写成：,,,但将这公式用到 上情况就不一样了，将所有可能采取的各种次序写在下面：，，，，由于在中， 要受到前面两个 的作用，因此只能写成.对公式右边第二项情况也是类似的.于是有，即另外为了方便起见, 我们定义算子：，并规定由定义知，和的意义是完全不相同的.例2上述式子中，例如“”，因只作用在上，看成常矢量而可提到的前面来，又如“”因只作用在上就不必写成了，记成即可.例3求，，并验证：，解将公式（7.1）用到上，在这里只作用在上，对不起作用，因而得到的等式右方一项为，而第二项为，即有（*）同理而（**）由（*）及（**）两式即有例4 验证 ，其中a 是常矢量，证明 由斯托克斯公式 在其中取 ，即有而,故有，例5 验证，（3.4）(3.5)证明由高斯公式，在其中取，即有，. 同理有(3.4)减去(3.6)即得(3.5)式.(3.4)，(3.5)两式分别称为第一，第二格林公式，在数学物理方程中要用到.现在将常用的一些公式写在下面以备查用（有些没有证明过的留待读者在习题中加以证明）., ，，，，，，，，，，，, , .高斯公式.斯托克斯公式.格林公式.其中，格林公式中的是平面上的封闭曲线.第五节梯度、散度、旋度和调和量在柱面坐标系及球面坐标系中的表达式§5.1在柱面坐标系中的表达式在柱面坐标系中，通过不在轴上每一点都可以作三张坐标面：，以轴为中心轴的圆柱面.，从轴引出的半平面.，垂直于轴的平面.这三张坐标面两两相交于三条坐标线（图11-5）：与的交线叫曲线，沿在变化，和都不变.与的交线叫曲线，沿曲线只有图11-5在变化，和都不变.与的交线叫曲线，沿曲线只有在变化，和都不变.在点切于坐标线，并相应地指向，，增加方向的单位矢量，分别记为，，，显然，，，，是两面正交的.对于给定的数量函数及矢量函数，有以下的表达式：，，,§5.2 在球面坐标系中的表达式在球面坐标系中，通过不在轴上的每一点都可以作三张坐标面：以原点为中心的球面，，以原点为顶点以轴为对称轴的圆锥面，，从轴引出的半平面. 这三张坐标面两两相交于三条坐标线（图11-6）：与=C 3的交线叫ρ曲线；的交线叫ψ曲线；ρ=C1与ψ=C2的交线叫θ曲线.在P点切于坐标线，并相应地指向ρ，ψ，θ增加方向的单位矢量分别记为，，，显然，，，是两两正交的.对于给定的数量函数和矢量函数，有以下的表达式：图11-6..。
量子场论讲义
第一章 预备知识§1 粒子和场以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。
电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。
场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。
按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。
场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。
1. 四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。
四种相互作用的比较见表1.1 1010介子 胶子Z W W -+电磁相互作用的强度是以精确结构常数2317.2973104137.036e cαπ-===⨯来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p ）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。
2. 粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。
最重要的属性有：质量m ，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E 和动量→P 的关系为42222c m c p E =-电量Q ，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。
自旋S ，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。
平均寿命τ，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。
由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果0N 个相同粒子进行衰变，经过时间t 后还剩下N 个，则teN N τ10-=，式中τ即为粒子的平均寿命。
第二章 场论
r 推论2： 推论 ： 则 若在封闭曲面 S 内处处有 div A = 0， r r ∫∫ A⋅ d S = 0
S
r r 推论3： 推论 ： 或 若在矢量场 A内某些点上有 div A ≠ 0，
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
r r 而在其他点上 div A = 0， 则穿出包围 div A不存在，
例2. 求矢量场 r r r r A = (3x2 − 2yz) i + ( y3 − yz2 ) j + (xyz − 3xz2 ) k 所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1) 的梯度。
r ∂P ∂Q ∂R 2 2 解: div A = = 6x + 3y − z + xy − 6xz + + ∂x ∂ y ∂z r 令 u = div A v ∂u v ∂u v ∂u grad u = i +j +k ∂x ∂y ∂z v v v = (6 + y − 6z)i + (6y + x) j + (−2z − 6x)k v v v grad u M = −i − 4 j −14k
r r r r 例1. 设由矢径 r = xi + y j + z k
z
H
构成的矢量场中， 有一由圆锥面
x2 + y2 = z2 及平面 z = H (H > 0) r 所围成的封闭曲面S, 试求 r从S内
r r
o x
y
穿出S的通量. 解: 由奥-高公式 r r Φ = ∫∫ r ⋅ d S
S
= ∫∫ x d y d z + y d x d z + z d x d y
场论第二章2-5..
Pdx Qdy Rdz
下面证明这个u(x,y,z)满足 A gradu,只要证明 P ux , Q uy , R uz
u u( x x, y, z ) u( x , y, z )
( x x , y , z )
( x0 , y0 , z0 ) ( x , y ,z )
若 A( M )为有势场, 则存在势函数v, 它满足
A gradv
对于任意常数C， grad(v C ) gradv A 所以v+C也是有势场 A( M )的势函数, 因此有势场 A( M ) 的势函数有无穷多个.
又若v1和v2均为 A( M )的势函数，则有
gradv1 gradv2 或
第五节 几种重要的矢量场
1、有势场 2、管形场 3、调和场
一、有势场
1、有势场的定义 2、有势场的判定 3、势函数的求法
三维空间里单连域与复连域的概念
（1）如果在一个空间区域G内的任何一条 简单闭曲线l,都可以作出一个以l为边界且全 部位于区域G内的曲面S, 则称此区域G为线单 连域;否则称为线复连域. 例如空心球体是线单 连域,而环面体则是线复连域.(见下图)
1.有势场的定义
设有矢量场 A( M ),若存在单值函数 u( M ) 满足
A gradu
则称此矢量场为有势场； 令 v u , 并称v为这个 场的势函数.
矢量 A与势函数v之间的关系是： A gr数有无穷多个,它们之间 只相差一个常数.
3.势函数的求法
在场中选定一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ), 用公式
u( x, y, z )
( x , y ,z ) ( x0 , y0 , z0 )
场论第二章2-5
证 [必要性]
设 A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 如果 A 为有势场， 则存在函数u( x, y, z )满足
A gradu,
即
P ux , Q uy , R uz
i rot A x P
j y Q
而全体势函数为
v sin y x 2 yz 2 c
例1. 证明矢量场
A 2 xyz i ( x z cos y) j 2 x yzk
2 2 2 2
为有势场，并求其势函数. 例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势 函数.
例3. 若A P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 为保守场，则存在函数 u( M )使
1.有势场的定义
设有矢量场 A( M ),若存在单值函数 u( M ) 满足
A gradu
则称此矢量场为有势场； 令 v u , 并称v为这个 场的势函数.
矢量 A与势函数v之间的关系是： A gradv
说明： （1）有势场是一个梯度场；
（2）有势场的势函数有无穷多个,它们之间 只相差一个常数.
空心球体
环面体
（2）如果在一个空间区域G内的任一简单 闭曲面S所包围的全部点,都在区域G内(即S内 没有洞),则称此区域G为面单连域;否则称为面 复连域. 例如环面体是面单连域,而空心球体则 是面复连域.
有许多空间区域既是线单连域,同时又是 面单连域.例如实心的球体、椭球体、圆柱体、 平行六面体等,都既是线单连域,又是面单连域.
定理3. 在面单连域内矢量场 A为管
形场的充要条件是：它为另一个矢量场
场论和宏观场论-概述说明以及解释
场论和宏观场论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下信息：场论是物理学和数学中的一个重要分支，它研究的是各种物理量的时空分布，并描述它们随时间和空间的变化规律。
场论的引入使我们能够更好地理解自然界中的各种现象，并为我们提供了解释和预测宏观世界的新方法。
本文将重点介绍场论以及它在宏观领域的应用，即宏观场论。
场论作为一种研究方法，可以广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学等多个领域。
它的核心思想是将物质和能量视为场的传播和相互作用，从而揭示了宏观世界中复杂现象背后的规律。
在场论中，我们将物理量视为场，即空间中的标量场、矢量场或张量场。
这些场可以是连续的、定态的，也可以是随时间和位置变化的动态场。
而场的性质和特点则决定了它们所描述的物理现象的行为和规律。
宏观场论则是将场论的方法应用于大尺度、大体积的系统中，以研究其宏观性质和行为。
宏观场的概念引入了统计物理的思想，通过对大量微观粒子的平均行为进行描述，从而揭示宏观系统的宏观行为和宏观规律。
宏观场论在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用。
在物理学中，它被用来描述电磁场、引力场、量子场等各种场的相互作用和传播规律。
在化学中，它被用来研究物质的相变、反应动力学等宏观性质。
在生物学中，它被用来分析生物体内的电信号传导、化学信号传递等过程。
通过本文的研究，我们将深入探讨场论和宏观场论的重要性，并展望未来的发展方向。
希望通过对场论和宏观场论的探索，我们能够更好地理解和解释自然界中的各种现象，为人类社会的发展提供新的思路和方法。
文章结构部分的内容可以描述文章的整体框架和各个章节的内容安排。
可以参考以下内容：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述场论和宏观场论的相关内容：第一部分：引言在引言中，我们将首先概述场论和宏观场论的背景和发展，介绍它们在物理学、社会科学和生物学等领域的应用。
然后，我们将简要叙述本文的结构，概括各个章节的内容，以便读者对全文有一个整体的了解。
2012电磁场与电磁波06_矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类
South China University of Technology
❖ 下面通过例题说明算子的运算规则。 【例】证明 (uv)u vv u ❖ 证明：应用乘积函数的微分运算规则
(u v) (u cv) (u vc)
➢ 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标c。
则矢量场Fr 称为域内V的无旋有散场。
r
由
F 0
u 0
r Fu
2u
其中，u为
r F
的标量位函数，ρ是
r F
的标量源函数（散度
源或通量源）
根据ρ的分布，由泊松方程求出u， 继而求出 。Fr
泊松方程
School of Electronics and Information Engineering
矢径的性质
a ˆR R a ˆR 1 a ˆR s1 in R
r
R
aˆR
R R
r
11RR
R R2
R3
gR rR12
(R2R)3 R
South China University of Technology
R ra ˆRs1 in Ra ˆR 1 R0
r
r
r
[f(R )R ] f(R )Rf(R ) R
❖ 应用矢量恒等式： (ku)ku（k为常数）
❖有
(uv)u vv u
❖ 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。
School of Electronics and Information Engineering
【例】证明
rr r rr r • ( A B ) B • ( A ) A • ( B )
场论
行向量 a ax
ax 列向量 a a y a z
ay
az
y
a b ax bx i ay by j az bz k
6
（3）向量的点乘积（数量积，内积） 向量 a 与 b 的数量积，记作 a b a b cos
pxxqxx pxyqyx pxzqzx pyxqxy pyyqyy pyzqzy pzx qxz pzy qyz pzz qzz
~ ~ ~ ~ P :Q Q: P
11
向量运算符号规定
单位向量
坐标分量 向量 a ax
i, j, k
x, y , z
e1, e2 , e3
~
~ ~ ~ a *，若 a a *
，
1 0 0 ~ I 0 1 0 0 0 1
若无特殊说明，此处均指 二阶张量。
9
（6）二阶张量与向量的右向内积 ~ 二阶张量 P 与向量 a 的右向内积为一个向量 c ，
p xx ~ c P a p yx p zx p xy p yy p zy p xz a x p xx a x p xy a y p xz a z p yz a y p yx a x p yy a y p yz a z p zz a z p zx a x p zy a y p zz a z
12
（2）克罗内克（Kronecker）d符号
任意两个正交(坐标轴)单位向量的点乘积：
1 i j ei e j d ij 0 i j
(i, j 1, 2, 3)
式中，i, j是自由指标，表示坐标方向，可写作
以太场论（五）---什麼是以太力场
以太场论（五）---什麼是以太⼒场以太场论(五)---什麼是以太⼒场发了⼏个贴, 有些⼈仍好像不太明⽩, 我所说的以太⼒场, 跟笛卡尔所说的,有⼀定的分别,第⼀点亦是最⼤的分别,是他认为以太是粒⼦.⽽我,认为以太是⼒场.第⼆点他当时所能接触的宇宙观,因未有太空望远镜,他的视界被限制了,不能完全写出宇宙设计论的形成原因⽽在运作观点上, 我跟他⼀致的认为:1. 以太⼒场是光的介质2. 以太⼒场是引⼒的形成原因3. 以太⼒场形成”引⼒”的观感后,从⽽使物质拥有了质量4. 微尘在以太⼒场内旋转形成电场(他形容的相当贴切----以太旋涡----不就是微尘在转了?如果他知道以太实际上是作⽤⼒的设定场,那他就完成了完整的以太论了)5. 电磁场就是依靠以太⼒场运作的以上的是笛卡尔的观点以太⼒场---整套理论都不是从他的资料⽽来, 因为,最⼤的分别就是什麼是⼒场!*************************************先引导⼀下, 爱因斯坦的E=MC2, 是完全错误的. 要辩论的⼈, 我以后另开⼀贴.C2只表⽰有很⼤能量,但爱因斯坦找不出能量为什麼有这麼⼤的原因,就硬塞C2来代表, ⽽且其实, 能量关光速什麼事?以太⼒场下, 能量的公式为:能量=”因以太⼒场形成的质量”X当时被消耗(或被增加)的以太⼒场密度⽆论, 何种作⽤⼒, 所有的能量形式(或质量形式),公式都是这样⼀致的我看, 所有看到的⼈都会⽴即吐⾎. 没事,我会好好解释.*************************************到底什麼是以太⼒场1. 宇宙由以太⼒场及微尘(ADOT)的互相作⽤下形成2. ⼒场----故名思义的就是设定作⽤⼒的场所,所有的⾃然⼒的⽣成场所,⽽设定其⾃然⼒的能量⼤⼩,则是由该⼒的⽣成”场所”到底距离微尘有多少.越近微尘,以太⼒场密度越⾼,产⽣的作⽤⼒就越⼤; 反之, 越远微尘,以太⼒场密度越低,产⽣的作⽤⼒就越⼩.3. 以太⼒场相对微尘的作⽤⼒之运作⽅式如下:A) 電磁⼒的構成1.以太⼒場於宇宙內擴張2.以太⼒場⾸次接觸微塵時, 使微塵旋轉, 產⽣電場. 電場在以太⼒場內的旋轉效應, 形成了電磁波(這是所有物質的發光源頭),3.電場當溫度越⾼時, 電場”有效距離”離微塵越遠, 對應的當時的以太⼒場密度, 電場能級跟以太⼒場能級相同. 越近微塵, 電場能級越⾼, 越遠離微塵, 電場能級越弱.4.以太⼒場於微塵四周產⽣了作⽤⼒, 越近微塵, 以太密度越⾼, 對應產⽣的作⽤⼒的能級越⾼, 對應光的傳播速度越慢.B) 引⼒的構成:两个微尘中的以太⼒场密度A-B中, 因平均密度会⽐C-D及E-F⾼, A-B互相吸引, 形成引⼒,因以太充满了整宇宙, 所以⽆论A-B相距多远, 或微尘质量的⼤少, A-B⼒场密度⽐C-D及E-F永远较⾼, 所以A-B是永远会互相存在影响⼒, 形成A-B间的引⼒.在以太⼒场下, 所有微尘都被以太⼒场包围(因以太⼒场充满了现有宇宙),越近微尘,以太⼒场密度越⾼;反之就越低.每两颗微尘的直线中⼼的以太⼒场密度相对该两颗微尘的上下以太⼒场密度必然较⾼,所以作⽤⼒会因此⽐较⼤,所以形成”⾛在⼀起”的情况.以太⼒场密度亦是微尘为什麼拥有质量的原因.C) 物质的温度----当微尘”被外⼒施加作⽤⼒,使其温度改变时,电场的”有效距离”会⼀起改变,⽽因该有效距离改变,从⽽使其在以太⼒场的”场所”有不同,因此电场的”作⽤⼒”会因应当时的电场”有效距离”对应微尘的距离⽽改变.电场的”有效距离”越远,“作⽤⼒”越少. 因⽽产⽣了物质的3态.此亦解释了为何超低温度时,会出现超导体的强磁现象.亦解释了物质为何有”弹性”.…..等等.其能量⼤⼩等同当时的以太⼒场密度.D) 强互相作⽤-----当微尘与微尘受外⼒影响⽽互相靠近⾄趋向0距离时,因微尘与微尘间A-B的以太⼒场密度趋向⽆限⼤,所以产⽣了强互相作⽤,微尘之间会相紧贴在⼀起了.因⽽产⽣了新的”元素”,但该新的”元素”由两个独⽴的以太场密度形成,所以其质量的改变值,需计算该两个以太⼒场的密度改变多少⽽订定.E) 弱互相作⽤----微尘与微尘结合后, 原本的电场及微尘⾃旋依然是独⽴於原本的微尘⾃旋来运作.所以,两个微尘之间,就⼀直的存在微尘”独⽴⾃旋”及”独⽴电场”相斥效应.成为了弱互相作⽤的源能量.这亦触发了微尘的震动基础.F) 光的运动⽅式----这是簡單解釋的部份, ⽇後寫何謂光時再作更深⼊討論1. “光在以太⼒场内的运动, 以太⼒场密度越⾼, 光速越慢;以太⼒场密度越低,光速越快.”2. “红移现像为由密度较低的以太⼒场, ⾛向密度较⾼的以太⼒场,使得光由快减慢的原因;”3 “蓝移现像为由密度较⾼的以太⼒场, ⾛向密度较低的以太⼒场,使得光由慢变快的原因(****这段有多少问题,我⽇后再修改******);”4. “所有发光, 都能在同⼀介质下(以太⼒场),作直线傅播,当该介质的密度转变时,光速同时转变了,密度越⾼,光速越慢; 密度越低,光速越快.要光”显影”,必须在不同的以太⼒场密度的交接处,光才会作出折射,反射,吸收等情况”5. “光只在有”显影”时有反应, 没”显影”时,光没有反应”6. “發光”是電場與以太⼒場的交互效應, 電場”有效距離”離微塵越遠, 電場的”轉速”越快, 電磁波頻率越⾼, 形成”發光”7. 光速為0時, 光的能量被微塵吸收, 微塵受熱, 使溫度上升, 使電場的”有效距離”加⼤, 從⽽使電場的”轉速”加快, 電場轉動⽅向及”轉速”會順應光的照射⽅向有所影嚮, 形成”光電互相作⽤”. 光的頻率越低, 光波越⾧, 亦即等於在以太⼒場內的”照射有效範圍”距離微塵越遠, 光的能級越低; 光的頻率越⾼, 光波越短, 亦即等於在以太⼒場內的”照射有效範圍”距離微塵越近, 光的能級越⾼G) 以太⼒場的運動機制----以太⼒場只”點對點”的對微塵發⽣”互相作⽤”, ⽽無論微塵與微塵之間的距離到底有多遠. ⼀切⼒的相對強度, 均以距離成反⽐. 以下是”點對點”的解釋例⼦:以磁場作的解釋:来个⼩实验, 磁⽯A的N跟磁⽯B的N相对, 请问,1. 磁⽯A跟磁⽯B的磁⼒相对强度为何?2. 磁⽯A跟磁⽯B的磁场, 我很清楚是以太⼒场的成因, 那你可能认为是什麼⼦在传播吧? OK, 问问你, 磁⽯A跟磁⽯B中间有没有"东西"或"任何⼒"存在?以太⼒场的解释:1. 磁⽯A跟磁⽯B的相对强度为, A-B越近, 电场作⽤⼒越强; 越远, 电场作⽤⼒越弱2. 磁⽯A跟磁⽯B中间不会存在任何"东西"或"任何⼒", 因为, 所有作⽤⼒的作⽤, 直接对著微尘本⾝. 所以A跟B的"磁⼒"发⽣作⽤, 只直接在他们两者的元素内的微尘⽣效.以光作出的解釋:當光源A照射到受光體B再反射到觀測者C上時:1.光源A的發光源在對應A的微塵附近的以太⼒場內(電場及以太⼒場的交互作⽤產⽣了電磁波);2.受光體B的反光是因為以太⼒場密度的運作原理(以太⼒場密度越⾼, 光速越慢, 使光形成了折射, 反射, 或吸收), 折射及反射出光源A的光, 所以運作源理亦在微塵附近的以太⼒場內.3.觀測者C之所以觀測到光, 亦是光在觀測者C的微塵附近的以太⼒場發⽣了”光電互相作⽤”, 才觀測到光.來個⼩實驗, 解釋”光只在對應微塵時有反應”以現今最強⼤激光系統約達500萬億⽡, 理論說什麼都能”溶掉”(原理為”光電效應”內的微塵溫度上升, 使電場對應微塵的有效距離加⼤)如果”光是粒⼦”, 作連續不斷的”發射”, 其影響的加熱範圍, 將會是整個”光的途經直線空間”. 理論上以500萬億⽡來把室內加熱,裡⾯所有的設備及⼈將舜間燒光光.實際上當然沒有, 因為以太⼒場的運作基制, 所有”⾃然作⽤⼒”均”微塵對應微塵”, 所以激光的”⽬標”物, 在”照射”的舜間被燒毀, ⽽周邊的⼀切物, 包括被照物的被照範圍以外附近(因熱的傳遞關係, 可能有少少影響)都沒有被燒毀.這才是真正的光的本質強互相作⽤, 基本就是微塵內的以太⼒場互相作⽤, “點對點”不⽤解釋吧?弱互相作⽤, 亦是微塵內, 兩個微塵的”點對點”相斥作⽤.引⼒互相作⽤, 就是點對點的以太⼒場密度作⽤, 這清楚不過了的.………待续。
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主要内容：
场论
场的概念、数量场的等值面、矢量场的矢量线 数量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度 几种矢量场 哈密顿算子
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12
§5 哈密顿算子
2013年8月3日星期六
§5 哈密顿算子
一、哈密顿算子( 算子) 是由哈密顿（ W . R . Hamilton ）引进的一个矢性微分算 子： 记号 可读作“那勃勒(Nabla) ”或“代尔(del) ” ，是一种微 分运算符号，同时又被看作是矢量，它在运算中具有矢量 和微分的双重性质。其运算规则是：
复变函数：
复数的定义：表示方法、区域的概念、复变函数的极限和连续性 解析函数：概念、充要条件、初等解析函数 复变函数的积分：积分的算法、柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、 柯西积分公式、高阶导数、调和函数 级数：收敛圆、收敛半径；泰勒级数、洛朗级数展开 留数：孤立奇点、留数的计算、在定积分中的应用 共形映射：解析函数的导数、分式线性映射、幂函数和指数函数的映 射
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4
§5 哈密顿算子
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度和旋度正好可用 哈密顿算子表示为：
gradu = u , divA = A , rot A= A
从而，与此相关的一些公式，也就可通过哈密顿算子来表示。
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西安电子科技大学通信工程学院
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场论与复变函数
岳安军
2013年8月3日星期六
教学安排及方式
总学时 46 学时，讲课 40 学时，习题课 6 学时
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西安电子科技大学通信工程学院
2
场
论
§1 场、数量场的方向导数和梯度
§2 矢量场的通量及散度
§3 矢量场的环量及旋度
§4 几种重要的矢量场
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9
§5 哈密顿算子
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西安电子科技1、填空题：28分/7 2、计算题：56分/7
3、证明题：16分/2
满分100分，复变函数84分，场论16分；其中例题、习题40分 主要内容：
5
§5 哈密顿算子
二、一个数性微分算子：
它既可作用于数性函数，又可作用于矢性函数，如：
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6
§5 哈密顿算子
三、常见公式：
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7
§5 哈密顿算子
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8
§5 哈密顿算子