多元函数的极值及其-求法

第十一讲 二元函数的极值

要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相

类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．

一．二元函数的极值

定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有

),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值．

函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．

例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点

)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．

例2．函数2

243y x z +=在点)0,0(处有极小值．

因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．

从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．

定理1（必要条件）

设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的

偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．

几何解释

若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点)

,,(000z y x 处的切平面方程为

))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-

是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．

类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为

0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z

说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即

只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0

000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点．

注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点．

怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题．

定理2（充分条件）

设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又

0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，

令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则

（1）当02

>-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值，且当0

大值00(,)f x y ，当0>A 时，有极小值00(,)f x y ；

（2）当02<-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值；

（3）当02=-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，

还要另作讨论．

求函数),(y x f z =极值的步骤：

（1）解方程组0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，求得一切实数解，即可求得一切驻点 ),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯；

（2）对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =，求出二阶偏导数的值C B A ,,；

（3）确定2B AC -的符号，按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值，是极大值还是极

小值；

（4）考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．

例3．考察22y x z +-=是否有极值．

解 因为22y x x x z +-=∂∂，22y x y y z +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在，但是对所

有的)0,0(),(≠y x ，均有0)0,0(),(=

注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？

例4．求函数x y x y x y x f 933),(2

233-++-=的极值．

解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=063096322y y f x x f y x ，求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(--， 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ，0=xy f ，66+-y f yy ．

在点)0,1(处，0726122

>=⨯=-B AC ，又0>A ，所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(-=f ；

在点)2,1(处，0722

<-=-B AC ，所以)2,1(f 不是极值；

在点)0,3(-处，0722<-=-B AC ，所以)0,3(-f 不是极值；

在点)2,3(-处，0722>=-B AC ，又0

二．函数的最大值与最小值

求最值方法：

⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出；

⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值；即分别求一元函数1(,())f x x ϕ，2(,())f x x ϕ的

最值；

⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值．

实际问题求最值

根据问题的性质，知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得，而函数在D 内

只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值．

例4．求把一个正数a 分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．

解 设y x ,分别为前两个正数，第三个正数为y x a --，

问题为求函数 )(y x a xy u --=在区域D ：0>x ，0>y ，a y x <+内的最大值． 因为)2()(y x a y xy y x a y x

u --=---=∂∂，)2(x y a x y u --=∂∂， 解方程组⎩⎨⎧=--=--0

202x y a y x a ，得3a x =，3a y =． 由实际问题可知，函数必在D 内取得最大值，而在区域D 内部只有唯一的驻点，则函