向量的应用 教案
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
数学三年级下册教案：向量的基本概念及应用
在数学三年级下册中，我们将学习向量的基本概念及应用。
向量是一种有方向的量，它可以用一个箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
在学习向量的基本概念后，我们将学习向量的应用，包括向量的加、减、倍乘等操作，以及向量的点积和叉积。
下面，我们将一步步地介绍向量的基本概念及其应用。
一、向量的基本概念1.向量的定义向量表示的是一个有大小有方向的量，它被表示为一个有向线段，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度则表示向量的大小。
在二维坐标系中，一个向量可以用两个实数x、y来表示，我们将其表示为向量a=(x, y)。
2.向量的加法向量的加法是指将两个向量的起点相连接，其终点的连线就是两个向量相加的结果。
设向量a=(x1, y1)和向量b=(x2, y2)，则它们的和为a+b=(x1+x2, y1+y2)。
3.向量的减法向量的减法是指将一个向量的终点连接另一个向量的起点，所得的向量是两个向量的差。
设向量a=(x1, y1)和向量b=(x2, y2)，则它们的差为a-b=(x1-x2, y1-y2)。
4.向量的倍乘向量的倍乘是指将向量的长度乘以一个实数k，所得到的向量是原向量的k倍。
设向量a=(x, y)，则它的k倍为ka=(kx, ky)。
5.向量的模长向量的模是指向量的长度，也叫向量的模长，我们用|a|来表示向量a的模长。
在二维坐标系中，设向量a=(x, y)，则它的模长为|a|=\sqrt{x^2+y^2}。
6.向量的方向向量的方向是指向量的箭头指向的方向，也可以用与x轴的夹角来表示。
在二维坐标系中，设向量a=(x, y)，则它与x轴的夹角为θ，tanθ=y/x。
二、向量的应用1.向量的运算向量的运算包括加、减、倍乘等操作。
这些操作用向量的坐标来表示，更方便快捷。
在计算向量的运算时，我们只需要根据向量的坐标进行相应的运算即可。
2.向量的点积向量的点积是两个向量之间的一种乘积，它用点号来表示。
1.4 空间向量的应用(教案)-2022-2023学年高二数学教材配套教案(人教A版2019选择性必
1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）【教学目标】1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题；3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。
【教学内容分析和设计】一、概念和性质1.向量的基本概念及向量的相等和共线2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。
二、坐标法1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示；2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示；3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。
三、应用实例1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题；2.以向量为工具，解决机器人运动的问题；3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。
【课时安排】本次教学安排5课时。
【教学步骤设计】一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。
1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质；2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。
二、向量的表示及运算法则3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则；4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念；5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。
三、空间向量的坐标表示6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则；7.练习空间向量的坐标表示及计算。
四、应用实例8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题；9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用；10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。
五、课后作业11.引导学生进一步练习空间向量相关知识的应用，并完成相关课后作业题目。
【教学重点和难点】教学重点：掌握向量加、减、数乘、点积的定义和运算法则，掌握向量的坐标表示及应用。
向量的基本运算及应用教案
向量的基本运算及应用教案引言：向量是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
本教案旨在通过教授向量的基本运算和应用，让学生们深入理解向量的概念和运算法则，培养他们对向量运算的应用能力。
一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，在平面上可以表示为带有起点和终点的有向线段。
2. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法和分量表示法进行表示。
3. 向量的运算法则（1）向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。
（2）向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。
（3）向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个标量，得到新的向量。
二、向量的基本运算实例1. 向量的加法实例假设有向量 A(2, 3) 和向量 B(4, -1)，则它们的向量和为：A +B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)2. 向量的减法实例假设有向量 A(5, 7) 和向量 B(3, 2)，则它们的向量差为：A -B = (5-3, 7-2) = (2, 5)3. 向量的数量乘法实例假设有向量 A(3, 4)，要将其乘以 2，则结果为：2A = (2*3, 2*4) = (6, 8)三、向量的应用1. 向量的平移通过向量的加法运算，可以实现对向量的平移操作。
例如，将向量A(2, 3) 平移到点 (5, 7)，可以得到平移后的向量为：A' = A + (5-2, 7-3) = (3, 4)2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将多个向量按照一定比例相加的操作。
例如，向量 A(2, 3) 和向量 B(4, 1) 的线性组合可以表示为：cA + dB = (c*2, c*3) + (d*4, d*1) = (2c+4d, 3c+d)，其中 c 和 d 为标量。
3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是向量运算中的两个重要概念。
（1）向量的内积：也称为点积，可以用来计算两个向量间的夹角。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。
高中数学教案设计——向量的应用
高中数学教案设计——向量的应用一、教学目标1.了解向量的概念，掌握向量的加减法、数量积、向量积等基本性质和计算方法。
2.掌握向量的几何应用，如点、直线、平面的位置关系、三角形重心、垂心、外心、内心等特殊点。
3.学会通过向量的知识解决实际问题，如平面几何、力、速度、位移等。
二、教学难点1.高中向量的综合应用能力培养。
2.向量的数量积、向量积的几何意义及应用。
3.向量的投影、角度及夹角。
三、教学重点1.向量加减法的基本概念、几何意义及运算规律。
2.向量的数量积、向量积的计算方法和几何意义。
3.向量的投影、夹角的计算方法及几何意义。
四、教学方法1.课堂讲授与对话演练相结合。
2.运用多媒体教学辅助工具进行教学。
3.拓展学生思维，激发学生兴趣。
五、教学内容及课时安排第一课时：向量的概念和基本性质1.向量的定义、运算法则及几何意义。
2.零向量、负向量的概念及性质。
3.向量的平移、相等概念及性质。
4.向量组的线性运算概念及性质。
第二课时：向量的数量积及几何应用1.向量的数量积的定义、性质及计算方法。
2.向量的数量积的几何意义和应用，如向量的夹角、向量的垂直、平行关系的判定。
3.向量的应用，如平面几何、力等。
第三课时：向量的投影及几何应用1.向量的投影的定义、计算方法及意义。
2.向量的几何应用，如平面几何角度、速度等。
第四课时：向量积及其几何应用1.向量积的定义、性质及计算方法。
2.向量积的几何意义及应用，如判断三角形面积，判断向量垂直、平行、夹角等关系。
第五课时：向量线性方程组及其几何应用1.向量线性方程组的概念及解的方法。
2.向量线性方程组的几何意义及应用。
3.向量几何问题的求解，如三角形内心、外心、垂心、重心等。
六、教学方式措施1.知识点的讲述及演示。
2.练习题的讲解及演示。
3.复习提醒、巩固测试。
七、教学评价1.学生从零基础开始逐步学习，由浅入深，能够渐进式的理解向量的相关知识。
2.利用多元化的教学方式，激发学生的学习热情，强化学习能力，让学生掌握向量知识的实际应用。
向量的教案5篇
向量的教案5篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
高中数学备课教案向量的平面向量几何应用
高中数学备课教案向量的平面向量几何应用高中数学备课教案：向量的平面向量几何应用一、引言在高中数学中，向量是一个重要的概念，它具有广泛的应用。
其中，平面向量几何应用是向量的一个重要应用领域。
本篇教案将重点介绍向量的平面向量几何应用，并针对备课内容进行详细讲解。
二、向量的概念回顾在开始讲解向量的平面向量几何应用之前，我们首先回顾一下向量的概念。
向量是由大小和方向共同决定的有向线段，通常用有向线段的起点和终点表示。
向量的大小可以通过向量的模、长度或大小来表示，向量的方向可以用角度、单位向量或方向角来表示。
三、平面向量几何应用1. 向量的共线与共面判定向量的平面向量几何应用中，一个重要的问题是如何判断向量的共线与共面关系。
对于两个向量，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线；如果三个向量在同一个平面内，则称这三个向量共面。
2. 向量的数量积向量的数量积是向量的一种重要运算。
通过计算两个向量的数量积，我们可以求得它们的夹角、判定两个向量是否垂直、求解平面向量的几何问题等。
通过具体的例题，我们将详细介绍向量的数量积的计算方法及其应用。
3. 平面向量的线性组合平面向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的向量。
线性组合在平面向量几何中具有重要的意义，可以用来表示平面上的任意向量。
4. 平面向量与几何图形的关系在平面向量几何中，向量和几何图形之间有着密切的联系。
例如，可以通过向量的平移、旋转、反射等操作来描述几何图形的变换关系。
通过分析几何图形的性质，我们可以通过向量解决一些与几何图形相关的问题。
5. 平面向量的共面条件在平面向量几何应用中，我们常常需要判断若干个向量是否共面。
通过理论推导和实例演示，我们将介绍平面向量的共面条件以及解决问题的方法。
四、结语通过本教案的学习和讲解，我们详细介绍了向量的平面向量几何应用。
平面向量几何应用是高中数学中一个重要的应用领域，它为我们解决几何问题提供了强有力的工具和方法。
平面向量应用教案设计
平面向量应用教案设计。
一、教案设计背景在进行平面向量的教学过程中，应该给学生提供一些实际的、具有应用意义的例子，让学生真正了解向量的物理意义和几何意义。
因此，在设计教案时，要注重培养学生的实际应用能力，帮助学生将理论与实践相结合。
同时，还要根据学生的实际情况，合理设置教学目标和教学内容，有针对性地进行教学。
二、教案设计目标1、了解平面向量的定义、性质及运算法则；2、了解平面向量的几何和物理意义；3、掌握平面向量的加、减、数乘等基本运算；4、理解平面向量在物理学中的应用；5、能运用平面向量解决相关问题。
三、教学内容设计1、平面向量的定义及其基本性质；2、平面向量的加、减、数乘及其性质；3、平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示；4、平面向量的应用：（1）向量叉积的物理意义及其应用；（2）向量叉积的计算方法；（3）摩擦力的向量分解；（4）向量投影的应用。
四、教学方法设计1、讲授法在平面向量教学中，讲授法是最基础的教学方法，通过以物理意义为主线的学习方法，结合具体的例子来进行讲解，可以让学生快速掌握向量的相关知识。
2、归纳法平面向量的定义、性质及运算法则较多，采用归纳法可以让学生快速记忆和理解，增加教学效果，提高教学质量。
3、实践法在教学中，可以通过让学生参与实际操作来达到教学效果的提高。
举个例子，通过让学生进行向量相加、相减、数乘等操作，能够有效增强学生的理解和记忆能力。
4、启发式教学法在解决向量应用问题时，可以采用启发式教学法，结合学生的实际情况，帮助学生提高解题的思维能力和应用能力。
五、教学资源准备1、教学材料：课件、示意图、多媒体资料等；2、教学实例：让学生自主选择实际应用实例，进行讨论和分析；3、计算机程序：使用计算机程序来帮助学生更快速、准确地进行计算，增强学生的实际操作能力和计算能力。
六、教学反思与评估在教学过程中，教师应时刻反思自己的教学方法是否合理、有效，及时进行调整和完善。
同时，要通过测试、问答、小组讨论等方式对学生进行评估，了解学生的掌握程度和反馈意见，为下一步的教学改进提供参考。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 让学生学会使用向量法求解空间角。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。
3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。
2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。
3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。
2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 实际问题案例库。
八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。
案例二：求解空间四边形的对角线夹角。
案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。
十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。
十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。
2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。
十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。
高中数学空间向量应用教案
高中数学空间向量应用教案
教学目标：
1. 了解空间向量的定义和性质。
2. 能够应用空间向量进行问题的解答。
3. 培养学生的空间思维能力和数学解决问题的能力。
教学重点：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 能够应用空间向量解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入空间向量的概念，让学生了解空间向量在数学中的重要性和应用。
2. 导入空间向量的概念并展示一些实际问题，引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解（20分钟）
1. 空间向量的定义和性质。
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算。
3. 解决一些简单的空间向量问题，让学生加深对空间向量的理解。
三、练习（15分钟）
1. 给学生一些空间向量的练习题，让他们独立完成并互相交流讨论。
2. 老师在一边指导学生解题思路和方法。
四、应用（10分钟）
1. 设计一些实际问题让学生应用空间向量进行解答，培养学生的空间思维。
2. 学生展示解题过程和答案，进行讨论和总结。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相应的空间向量练习题作业，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生积极思考和总结今天的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间向量有了更深入的理解，能够熟练应用空间向量解决相关问题。
同时，通过实际问题的应用，培养学生的空间思维和解决问题的能力。
在以后的学习和生活中，学生能够更好地运用空间向量解决实际问题。
教案：向量的应用安丘一中王伟
3.已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，b＝( 3，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是( A．4,0 C．2,0 B．16,0 D．16,4
→ → → → AB AC → AB AC 1 → → ＋ 4．在△ABC 中，已知向量AB与AC满足 · BC＝0 且 · ＝ ，则 → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| △ABC 为( )． B．直角三角形 D．三边均不相等的三角形
)．
【规律总结】 【变式训练】1.设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与
b 不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b· c|的值一定等于( )．
A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 C．以 a，b 为两边的三角形的面积 D．以 b，c 为两边的三角形的面积
题型二：平面向量与三角函数的交汇
π 3π 例 2:已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈2， 2 . → |＝|BC → |，求角 α 的值； (1)若|AC →· → ＝－1，求2sin α＋sin 2α的值． (2)若AC BC 1＋tan α
A．向东南走 3 2 km B．向东北走 3 2 km C．向东南走 3 3 km D．向东北走 3 3 km → → → → → 2．平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)· (AB－AC)＝0，则△ABC 的 形状是( )． B．等腰直角三角形 D．无法确定 )．
A．直角三角形 C．等腰三角形
2
【规律总结】 【变式训练】
x x 3 3 π π 2.已知向量 a＝ cos 2x，sin 2x，b＝cos 2，－sin 2，且 x∈－3，4. (1)求 a· b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a· b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值．
高中数学向量及其应用教案
高中数学向量及其应用教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念和表示方法；
2. 掌握向量的运算规则和性质；
3. 能够应用向量解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：
1. 向量的概念及表示方法；
2. 向量的运算（加法、减法、数量积、向量积）；
3. 向量的性质和运算规则；
4. 向量在几何和物理中的应用。
三、教学过程：
1. 引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法；
2. 讲解向量的加法和减法，进行相关练习；
3. 讲解向量的数量积和向量积，进行相关练习；
4. 总结向量的性质和运算规则；
5. 应用向量解决几何和物理问题，如力的合成、平面向量几何等；
6. 汇总课程内容，进行综合练习和讨论，巩固所学知识；
7. 布置作业，让学生练习和应用向量的知识。
四、教学方式：
1. 讲授教学法，结合实例讲解向量的概念和运算规则；
2. 分组讨论和练习，提高学生的合作能力和解决问题的能力；
3. 案例分析和应用实践，引导学生将所学知识应用到实际问题中。
五、教学资源：
1. 教科书和教辅材料；
2. 多媒体教学工具；
3. 实验器材和实际问题的案例。
六、评价与反思：
1. 考察学生的学习效果和掌握程度；
2. 认真听取学生的反馈意见，及时调整教学方法和内容；
3. 总结教学经验，不断改进教学方式，提高教学效果。
通过以上教学范本，相信能够帮助教师更好地设计和实施高中数学向量及其应用的教学活动，提升学生的学习效果和能力。
希望教师们能够根据实际情况，灵活运用这一模板，更好地开展教学工作。
平面向量的应用(教案)(教师版)
平面向量的应用(教案)【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、 垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、新知探究 探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ． 证明：法一：设AD →＝a ，AB →＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0． 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F在同一直线上．证明：设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ． 所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长． 解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度． 因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ． 因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦）， W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15） ＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ） A ．（－1，－2） B ．（1，－2） C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ． 证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB →＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）]＝AB →＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB →， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ． （2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去．故选D ． 答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． （2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°． 答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 探究点3： 判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． （2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2． ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结 1．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． （2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________． 解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？ 二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°． 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102． 因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角． （2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： （1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°； （2）a ＝2，c＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：判断三角形的形状：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B ＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°， 由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）． 答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ． 解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°． 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）． 答案：1006 互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知， ∠CBE ＝75°，BC ＝3002， 所以CE ＝BC ·sin ∠CBE＝3002sin 75° ＝3002×2＋64＝150＋1503．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截． （1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10， 所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°， 在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56． 所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ， 又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°， 所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°， 所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝⎛⎭⎫－12， 所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离． （2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解． 三、课堂总结 1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线 实际测量中的有关名称、术语南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C ．如图所示．2．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（ ）A ．1002米B ．50（3＋1）米C ．100（3＋1）米D ．200米解析：选C ．设AB ＝x 米，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°， 所以BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，则BD ＝3AB ＝3x ． 因为BD －BC ＝CD ，所以3x －x ＝200， 解得x ＝100（3＋1）．故选C ．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（ ）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos （α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°， 在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在物理中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。
2. 教学难点：向量在物理中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。
2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。
五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。
2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。
4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。
5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。
6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。
2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。
3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。
七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。
2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。
3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。
八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。
2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。
3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。
九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。
步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。
2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。
3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。
步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。
2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。
步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。
2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。
步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。
2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。
四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。
2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。
五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。
六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。
同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
空间向量基本定理(教案)的应用
空间向量基本定理(教案)的应用
一、引言
空间向量是描述空间中的点、线、面和体的数学工具，空间向量基本定理是空间向量运算中的重要定理之一。
本教案将介绍空间向量基本定理的应用。
二、空间向量基本定理简介
空间向量基本定理是指若有三个非零向量a、b、c，且满足c = a + b，则向量c可以由向量a和向量b线性组合得到。
三、空间向量基本定理的应用
空间向量基本定理的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 平面上的向量运算
在平面空间中，可以利用空间向量基本定理进行向量的加法、减法和数乘运算，从而实现向量的线性组合。
2. 空间中的力的合成
在物理学中，力可以用向量表示。
根据空间向量基本定理，可以将多个力的向量进行线性组合，从而求得合力的向量。
3. 平面几何问题的解决
在解决平面几何问题时，常常需要进行向量的加法、减法和数乘运算。
通过空间向量基本定理，可以将向量问题转化为线性方程组的求解问题，进而得到几何问题的解答。
4. 空间图形的描述与分析
在描述和分析空间图形时，可以用向量表示空间中的点、线、面和体，并通过空间向量基本定理进行运算，从而研究图形的性质和变化规律。
四、总结
空间向量基本定理是空间向量运算中的重要定理，广泛应用于几何学、物理学等领域。
通过掌握空间向量基本定理的应用，我们可以更好地理解和解决与空间向量相关的问题。
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向量的应用
邻水县九龙中学姜文勇
一、考纲解读
1、会用向量的几何运算与坐标运算解决向量与函数、数列、不等式、三角函数、解析几何等的交汇问题；
2、会将向量的几何表示转化为坐标表示，从而更加有效地解决一些圆锥曲线问题；
3、强化“转化与化归思想”的运用，提高综合运用知识解决问题的能力.
二、复习指导
1、重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算；
2、重视平面向量体现出的数形结合思想方法；
3、体验向量在解题中的工具性特点.
三、教学方法
讲练结合
四、教学辅助工具
多媒体
五、教学过程
1、知识梳理
理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力；同时完成复习书知识点部分.
温馨提示
许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.
2、基础自测
完成复习书上的基础自测部分，然后我们看答案，对个别题进行点拨.
3、例题解析 类型一、向量与函数
例1、已知向量()()t x b x x a ,1,1,2-=+=，若函数()b a x f ⋅=在区间（-1,1）上是增函数，求t 的取值范围
审题视点：由向量的坐标表示可以转化出函数的解析式，根据函数的单调性运用函数的导数分析，将问题转化为恒成立问题，进一步转化为最值问题求解
解析：由定义得：()()()t tx x x x t x x x f +++-=++-=23211 ∴()t x x x f ++-='232 ∵()()1,1-在x f 上是增函数 ∴()()1,1-0在≥'x f 上恒成立 ∴()1,1-232在x x t -≥上恒成立 ∵在()()5231,1-2<-=x x x g 上
∴5≥t 即t 得取值范围是[)+∞,5
方法总结：利用函数的点调性分离参数，以及运用基本函数的性质分析和解决问题.
变式1、设b a ,是两个非零向量，如果函数()⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=b x a b a x x f
的图像是一条直线，则必有 （ ）
A 、⊥
B 、∥
C =≠ 评析：先将函数()x f 表示为曲线方程形式，在根据方程所表示的曲线特征知0=⋅，从而得出结果 答案：A
类型二、向量与三角函数
例2、已知向量()()θθcos ,1,1,sin ==，2
2
π
θπ
<
<-
（1） 若b a ⊥，求θ
（2） 的最大值
审题视点：1、由向量与向量的关系建立出等式，从而求出θ 2、先将所求代数式用θ表示出来，在借助函数的思想求
解出最大值
解析：（1）、由b a ⊥得0cos sin =+θθ ∴1tan -=θ ∵2
2π
θπ
<
<-
∴4
π
θ-=
（2）、由题意的()θθcos 1,1sin ++=+
()()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=++=+++=+4sin 223cos sin 23cos 11sin 22πθθθθθ
∴当14sin =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πθ取得最大值
∴当4
π
θ=
+取得最大值12+
方法总结：通过向量的坐标运算，将向量问题转化为三角函数问题，再借助于三角函数求最值的思想求解.
变式2、设向量()()()0,1,sin ,cos 1,sin ,cos 1=-=+=ββαα.其中
()()ππβπα2,,,0∈∈，c a 与的夹角为1θ，c b 与的夹角为2θ，且6
21π
θθ=
-，
求4
sin
β
α-的值.
评析：
①利用=1cos θ得出αθ与1的关系，类似得出βθ与2的关系是
解决此题的关键；
②进一步得出21-θθβα与-的关系，从而求解 答案：2
1
- 类型三、向量与解析几何
例3、已知抛物线2x y =上两点B A ,满足PB AP λ=,0>λ,其中点p 的坐标为()1,0，OB OA OM +=,O 为坐标原点；
求：（1）AOB ∠的大小；
（2）四边形OAMB 的面积S 的最小值.
审题视点：1、将角用向量来表示：>=<∠AOB ,,再利用
>=
<,cos 求AOB ∠
2、先确定四边形OAMB 的形状，若特殊便直接求解，若不
特殊就划分成若干个特殊的或便于求解的图像求解.
解析：（1）由PB AP λ=得B P A 、、三点共线
设直线方程为：1+=kx y ()211,x x A ，()222,x x B
∴由⎩⎨⎧=+=2
1
x
y kx y 得012=--kx x ∴k x x =+21，121-=⋅x x
∵011222121=+-=+=⋅x x x x ∴OB OA ⊥ 即2
π
=
∠AOB
（2）由+=得OAMB 是平行四边形 又由（1）得2
π
=
∠AOB
∴四边形OAMB 为矩形
∴()()2221214222412111x x x x x x x x S ++-=++== ()()22122122122214221k x x x x x x x x +=-++=+++= ∴当0=k 时，2min =S
方法总结：1、注意挖掘向量语言中蕴含的几何条件 2、向量的坐标运算可以将几何问题代数解决
变式3、已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A 、()1,0
B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0
C 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,0 D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 评析：注意向量语言即可以转化为坐标语言，也可以转化为图形语言 答案：C 规律方法小结：
⒈充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用.
⒉利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题.
⒊树立和加强运用向量解题意识，尤其是与几何相关的问题，特别是
垂直和平行关系，利用向量法解决往往会更简单一些.
⒋向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①的坐标表示及加、减法，数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等.
⒌需要掌握一些重要结论，并灵活运用结论解题.比如：向量的共线定理、平面向量基本定理、三角形四心（没有包含旁心）与向量有关的常见结论等.
板书设计
反思：学生能够掌握这三类题型并灵活运用，最好在黑板上板书一题。