集合难题汇总
集合问题17则
集合问题17则集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在实际生活中，我们经常会遇到集合问题，如何正确地解决这些问题，是我们需要思考的问题。
本文将介绍17个常见的集合问题，并提供解答思路，有助于读者更好地理解和掌握集合问题的解法。
问题一：集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体，这些元素可以是数字、字母、图形等。
在数学中，我们用大括号{}表示一个集合，集合中的元素用逗号隔开。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由1、2、3、4这四个元素组成的集合A。
问题二：集合的元素个数一个集合中元素的个数称为该集合的基数或元素个数。
用符号|A|表示集合A的元素个数。
例如，集合A={1,2,3,4}的元素个数为4，即|A|=4。
问题三：集合的子集如果一个集合A中的所有元素都是另一个集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
用符号AB表示集合A是集合B的子集。
例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3,4}的子集。
问题四：集合的补集集合A对于它所在的全集U而言，未包含在集合A中的所有元素所组成的集合称为集合A的补集。
用符号A'表示集合A的补集。
例如，如果全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，则集合A'={3,4}。
问题五：集合的交集两个集合A和B中共同存在的元素所组成的集合称为集合A和集合B的交集。
用符号A∩B表示集合A和集合B的交集。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和集合B的交集为{2,3}，即A∩B={2,3}。
问题六：集合的并集两个集合A和B中所有元素的集合称为集合A和集合B的并集。
用符号A∪B表示集合A和集合B的并集。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和集合B的并集为{1,2,3,4}，即A∪B={1,2,3,4}。
问题七：集合的差集集合A中除去与集合B的交集中的元素所组成的集合称为集合A 和集合B的差集。
高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》难题汇编及答案
【高中数学】《集合与常用逻辑用语》考试知识点一、选择题1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.3．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.4．14a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 将14a =-代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】 当14a =-时，2211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.5．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 【答案】B【解析】【分析】求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.【详解】当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a >令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以BA即314m +>，解得1m >故选：B【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.6．已知集合，则 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 所以，故选C. 【点睛】 本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[)2,1--B ．(],2-∞-C ．[]2,1--D ．[)1,-+∞【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围；【详解】因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题； 所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥.又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-.故选：B.【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．9．已知集合(){}2||lg 4A x y x==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<… 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y xB x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I .故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．10．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断．【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．因此4个命题均正确．故选D ．【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．11．给出如下四个命题：①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.【详解】①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()221f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-， 故命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误； ③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于A B π+<，必有2B A ππ<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误.综上，命题③正确.故选：A.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.12．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果.【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.13．已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】 由11b a a b ab--=，0ab >Q ，∴若11a b< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，0ab >Q ，110b a a b ab-∴-=<， 即11a b<成立， ∴“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14．已知集合{}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】 ∵集合{}2log ,1A y y x x ==∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|B x y ⎧==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2A B ⋂=故选A.15．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．16．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.【详解】 由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.17．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x +≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【解析】【分析】 分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。
集合最难练习题
集合最难练习题集合是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在集合理论中，有一些难题，需要我们动脑筋来解决。
本文将介绍集合最难练习题，并尝试解答这些题目。
一、集合问题的背景集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的定义和性质是数学的基本内容之一。
在解决集合问题时，我们需要掌握集合的运算、集合之间的关系，以及集合的基本性质。
二、集合最难练习题的挑战1. 难题一：康托尔对角线论证康托尔对角线论证是由德国数学家康托尔提出的一种证明方法。
它用来证明无限集中元素个数的差异性。
具体问题为：对于一个由实数构成的集合，是否存在一个实数，它与集合中的每一个实数都不相等？如果存在，该如何构造这样一个实数？2. 难题二：罗素悖论罗素悖论是由英国哲学家罗素提出的一种逻辑悖论，也被称为自指悖论。
该悖论的具体问题为：是否存在一个集合，该集合既不属于自身，也属于自身？如果存在这样的集合，会导致逻辑的矛盾。
如何解决这个悖论，成为了集合论的一个重要问题。
三、集合最难练习题的解答1. 康托尔对角线论证对于一个由实数构成的集合，我们可以通过康托尔对角线论证得出，不存在一个实数与集合中的每一个实数都不相等。
我们可以通过构造一个实数，使得它在小数点后的每一位都与给定的实数不相等。
这样，我们就得到了一个不属于给定集合的实数。
2. 罗素悖论为了解决罗素悖论，数学家们提出了限制公理系统的办法。
通过限制公理系统中的公理，我们可以避免出现自指悖论。
例如，限制公理系统中的自反性公理，即不存在一个集合同时既非自己的元素，又是自己的元素。
四、结论集合最难练习题，考察了我们对集合概念的理解和运用能力。
通过解答这些难题，我们可以更好地掌握集合论的基本原理和性质，提高数学思维能力。
在解决集合问题时，我们需要灵活运用集合的运算和性质，善于发现问题的规律和特点。
通过不断练习和思考，我们可以逐渐提高解决集合问题的能力，掌握集合理论的精髓。
高中数学经典高考难题集锦
《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。
然后，将这些值组成集合A。
2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。
3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。
二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。
解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。
因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。
2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。
解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。
当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。
3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。
解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。
当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。
高一上集合综合难题训练(含答案解析)
17．对于任意两个正整数 ，定义某种运算 ，法则如下：当 都是正奇数时， ；当 不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合 的真子集的个数是（）
A． B． C． D．
18．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
19．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围为________.
（2）若 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
38．已知集合 ,
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
39．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
12．定义集合运算: .设 , ,则集合 的所有元素之和为（）
A．0B．2C．3D．61来自．用列举法表示集合 ＝________．
14．已知集合 ， ，定义集合 ，则 中元素的个数为（）．
A．77B．49C．45D．30
15．已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
16．设 ， ，若 ，求实数 组成的集合的子集个数有
25．已知非空集合 满足以下两个条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，
则有序集合对 的个数为
A． B． C． D．
26．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）
A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}
高一数学集合较难题(完整资料)
此文档下载后即可编辑高一数学集合较难题一、选择题：1．全集U R =，集合{|112},{|21,},M x Z x N x x k k N +=∈-≤-≤==+∈则图1中阴影部分所示集合的元素共有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．无穷多2．设全集U={2，3，2a +2a-3}，A={|a+1|，2}，A C U ={5}，则a 的值为（ ）A 、2B 、-3或1C 、-4D 、-4或23. 已知集合{1,2}{21}M N a a M ==∈-，，则M N ⋂＝（ ）A ．}1{B ． }2,1{C ． }3,2,1{D ．空集 4.记全集},,111|{N x x x U ∈<≤=则满足}9,7,5,1{}10,97531{=⋂P C U ，，，，的所有集合P 的个数是（ ）A.4B.6C.8D.165．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ）A ．{}1,AB y y => B.{}2A B y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<<D. {}21A B y y y ⋃=<>-或6.设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ）A. R B A R C =B. R B A R C =C. R B A R R C C =D. R B A =7.设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)8.已知不等式8.03)1(4)54(22>+-+-+x k x k k 对任何实数x 都成立，则关于x 的方程0108)2(2232=-+-+k x k x （ ）A.有两个相等的实根B. 有两个不等的实根C.无实根 有无实根不确定9.满足)3,}(,,,,,{},{132121≥∈⊂⊆-≠n N n a a a a a P a a n n 21,a a 21,a a 的集合P 共有（ ） A.123--n 个 B. 122--n 个 C. 121--n 个 D. 12-n 个10. 设集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，{|||2,}.B x x b x R =->∈若,A B ⊆则实数a,b 满足A. ||3a b +≤B.||3a b +≥C. ||3a b -≤D. ||3a b -≥二、填空题：1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________.2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。
难题集合(有答案)
1.一个工程队铺一条公路，每天上午工作3小时，共铺路180米，每天下午多工作2小时，每小时少铺路10米，这个工程队在一天里面平均每小时铺路多少米2.王林和陈红家上月收入钱数之比是8:5，本月开支钱数之比8:3，月底王林家结余720元，陈红家结余810元，上月两家收入各多少元？设王林的收入是X，那么陈红的收入就是5X/8设王林的开销是Y，那么陈红的开销就是3Y/8。
月底结余和收入的关系:王林家是X-Y=720，陈红家是5X/8-3Y/8=810，5X-3Y=810*8=6480这就是二元一次方程组啊，好久以前的功课了。
X=720+YX=(6480+3Y)/5720+Y=(6480+3Y)/5720+Y=6480/5+3Y/5Y-3Y/5=6480/5-7202Y/5=1296-720=576Y=1440（王林家开销）现在就可以算出：王林家收入=1440+720=2160陈红家收入=2160*5/8=13503.编号为1—10 的十个果盘里面，每盘有有水果，共盛放100个，其中第一个盘子里面有16个，平且编号相邻的三个水果盘中水果的和相等，第8个果盘最最多可能有多少个水果第八盘中的水果最多可能是11个解题如下：1，根据第一盘里有16个,并且编号相邻的三个水果盘中水果数的和相等，可以推出1盘数+2盘数+3盘数=2盘数+3盘数+4盘数，因为2盘数和3盘数不变，所以1盘数=4盘数，如此类推1盘数=4盘数=7盘数=10盘数=16. 2盘数=5盘数=8盘数。
3盘数=6盘数=9盘数。
2.又根据编号为1至10的十个水果盘中,每盘都盛有水果,共盛放100个.可以得出100-16乘于4（就是1盘数+4盘数+7盘数+10盘数）=36，3.又根据刚才1推出的结果可以知道，2盘数+3盘数=5盘数+6盘数=8盘数+9盘数中（是三组）=36/3=12.所以8盘数+9盘数=12。
如果8盘数是1，那么9盘数就是11,8盘数是2，那么9盘数是10，因此有很多答案4，再根据问第8盘中水果最多可能是多少个？中的最多那就是114.6个评委给五年级一班团体打分，去掉一个最高分和最低分，平均分得9.64分，如果去掉一个最高分 ，平均分为9.55分，如果只去掉最低分，平均得分9.71，求最高分和最低分各是多少？假设最低分为x ，最高分为y 。
集合逻辑难题突破
集合逻辑难题突破一、单选题1．已知数列{}n a 为正项等比数列，且m n p q +=+，则“m n p q a a a a +≥+”是“2222m n p q +>+”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若集合C A B = 且A B ⋂=∅，则称,A B 构成C 的一个二次划分.任意给定一个正整数2n ≥，可以给出整数集Z 的一个n 次划分[[0],1],,[1]n n n n - ，其中()[]01n i i n ≤≤-表示除以n 余数为i 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合[[{}/0],1],,[1]n n n Z nZ n =- ，称作模n 的剩余类集.模n 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如[2][1][2(1)][1],[0][2][0(2)][2],[][][][]n n n n n n n n n n n n n n n n k l k l j +-=+-=--=--=⨯=⨯=，（其中j 为k l ⨯除以n 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过[1]n 定义倒数就可以了，但不是所有/Z nZ 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）A ．/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数B ．[][]55534[2]÷=C ．/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少）D ．[][]77726[3]÷=3．设集合{}1,2,,2022A = ，集合S 是集合A 的非空子集，S 中最大元素和最小元素的差称为集合S 的长度，那么集合S 所有长度为73的子集的元素个数之和为（）A ．722381949⋅⋅B ．7421949⋅C ．732371949⋅⋅D ．702761949⋅⋅4．已知命题:p 不等式()3ln 10x a x -- 恒成立，命题()324:33x q f x bx =-+在(),5c c +上存在最小值，且()()11f x f x +='-'(其中()f x 的导数是())f x '，若()p ⌝或()q ⌝为假命题，则c a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、多选题5．已知函数()()22,R f x x mx m n m n =+-+∈，若非空集合(){}0A x f x =≤，()(){}24B x f f x =+≤，且A B =，则下列说法中正确的是（）A ．n 的取值与m 有关B ．n 为定值C ．0m ≤≤D ．02m ≤≤-6．设数集{},,,S a b c d =满足下列两个条件：（1）,,x y S xy S ∀∈∈；（2）,,x y z S ∀∈，若x y ≠则xz yz ≠.则下论断正确的是（）A ．a b c d ,,,中必有一个为0B ．a ，b ，c ，d 中必有一个为1C ．若x S ∈且1xy =，则y S∈D ．{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z==7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数．例如：[]3.54-=-，[]2.12=．则下列命题中正确的是（）A ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y +>+B ．若，()[]f x x =，()[]g x x x =-，则方程()()0f g x =的解集为RC ．对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件D ．设{}[]x x x =-，则函数(){}21h x x x x =--的所有零点之和为-18．对于正整数集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =L 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集”，则下列说法正确的是（）A ．{}1,3,5,7,9不是“可分集”B ．集合A 中元素个数最少为7个C ．若集合A 是“可分集”，则集合A 中元素全为奇数D ．若集合A 是“可分集”，则集合A 中元素个数为奇数三、填空题9．我们称正有理数n 为“友好数”，当且仅当16n n -化为最简分数a b 时，a ，b 为奇数.则在集合{}=+=1000,1,2,,999i A i j i j ∈⋅⋅⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭中优好数的个数为______.10．从集合{}123,,,,n U a a a a =⋅⋅⋅的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①∅､U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇.则选法有___________种.参考答案：1．A【分析】取特殊值m n p q ===易证不具有充分性，由2222m n p q +>+，及m n p q +=+得0m p q n -=-≠，判断m n p q a a a a +--的符号可得具有必要性.【详解】m n p q +=+，m n p q a a a a +≥+，当m n p q ===时，2222m n p q +=+，所以不具有充分性；m n p q +=+，所以m p q n -=-，又2222m n p q +>+，则()22()22m n mn p q pq +->+-，所以mn pq <，所以0m p q n -=-≠，不妨设0m p q n -=->因为数列为正项数列，所以设公比为x ，则0x >，()1m n p q m n p q a a a a a x x x x x+--=+--，()()()()111m n p q p m p n q n m p p n x x x x x x x x x x x ---+--=-+-=--当1x >时，1m p x ->，p n x x >，所以()()10m p p n xx x --->，m n p q a a a a +>+，当1x =时，()()10m p p n x x x ---=，m n p q a a a a +=+；当01x <<时，1m p x -<，p n x x <，所以()()10m p p n xx x --->，m n p q a a a a +>+，所以m n p q a a a a +≥+，所以具有必要性，综上，m n p q a a a a +≥+是2222m n p q +>+的必要不充分条件.故选：A.【点睛】作差m n p q a a a a +--判断+m n a a 与p q a a +大小关系，将式子写成指数式，注意正项等比数列公比大于0，根据公比与1的大小进行分类讨论.2．D【分析】先证明出A 选项正确，从而说明C 选项正确，BD 选项根据定义求解即可.【详解】/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，理由如下：当n 为素数时，除0外，1,2,3,,1n - 均与n 互素，此数记作x ，对于[]()11,N n x x n x ≤≤-∈，考虑[]()11,N n xi i n i ≤≤-∈，若[][]n n xi xj =，则()xi xj x i j -=-为n 的倍数，而n 为素数，故11x n ≤≤-，故i j -为n 的倍数，即[][]n n i j =，故存在i ，使得[][]1n n xi =即可定义除法.当/Z nZ 能构成素域，若n 是不素数，则,1,1n xy x n y n =<<<<，故对于[]n x ，存在[]n z ，使得[][]1n n xz =，故1xz -为n 的倍数，故存在整数k ，使得1xz kn kxy -==，故()1x z ky -=，但1x n <<，且z ky -为非零的整数，故()1x z ky -=不成立，故n 是素数.综上：/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，A 正确；因为[][][]555544[16]1==⨯，所以[][][][][][]5555553434122=⨯==÷，B 正确；根据A 选项，由于2为最小的素数，[][]{}22/20,1Z Z =有2个元素，元素个数最少，所以/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少），C 正确；因为[][][]777766[36]1==⨯，所以[][][][][][]7777772626125=⨯==÷，D 错误；故选：D.【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A 选项的证明是解题的关键.3．A【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为74的情况：{}1,74只有一种情况；{}1,,74a ，273a ≤≤且Z a ∈，共有172C 种情况；{}1,,,74b c ，2,73b c ≤≤且,Z b c ∈，共有272C 种情况；以此类推{}1,2,3,73,74 ，有7272C 种情况，所以此类满足要求的子集元素个数之和012717272727272722C 3C 4C 73C 74C M =+++++ ，计算可得：72382M =⨯，再考虑可以分为{}1,,74 ，{}2,,75 ，{}3,,76 ， ，{}1949,,2022 等1949类，可得本题答案【详解】当最小元素为1，最大元素为74时，集合有如下情况：集合中只含2个元素；{}1,74，只有1种情况；集合中含有3个元素；{}1,,74a ，273a ≤≤且Z a ∈，共有172C 种情况；集合中含有4个元素；{}1,,,74b c ，2,73b c ≤≤且,Z b c ∈，共有272C 种情况；以此类推集合中含有74个元素；{}1,2,,73,74 ，有有7272C 种情况；所以此类满足要求的子集元素个数之和：012717272727272722C 3C 4C 73C 74C M =+++++ ①7271107272727274C 73C 3C 2C M ∴=++++ ②727272C C r r -= ，072,Z r r ≤≤∈②两式相加可得：0171727272727272276(C C C C )762M =++++=⨯ 72382M ∴=⨯同理可得：{}2,,75 ，{}3,,76 ， ，{}1949,,2022 ，所有子集元素个数之和都是72382⨯∴集合S 所有长度为73的子集的元素个数之和为722381949⋅⋅.故选：A4．D【分析】由复合命题为假得出命题,p q 都是真命题，然后由两个命题是真命题分别求参数的值或范围．不等式恒成立转化为函数的最大值0≤，利用导数求得函数最大值后，还需要用导数最大值对应的函数的单调性与极值，得出参数值．函数在开区间在有最小值，则函数的极小值点必须在此区间内，由导数得出极小值点后可得参数范围．【详解】()p ⌝或()q ⌝为假命题，则p ⌝和q ⌝都是假命题，所以,p q 均为真命题．命题p 为真，不等式()3ln 10x a x -- 恒成立，设()3ln (1)g x x a x =--，0x >，3()g x a x'=-，0a ≤时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，()g x 递增，1x >时，3ln 0x >，(1)0a x -≤，3ln (1)0x a x -->，()0g x ≤不可能恒成立，舍去，0x >时，3()ax g x x-'=，30x a <<时，()0g x '>，()g x 递增，3x a >时，()0g x '<，()g x 递减，所以max 33()(3ln 33(ln 3ln )(3)g x g a a a a a==-+=---，设()3(ln 3ln )3x x x ϕ=--+，33()1x x x xϕ-'=-+=，当03x <<时，()0x ϕ'<，3x >时，()0x ϕ'>，即()ϕx 在(0,3)上递减，在(3,)+∞上递增，所以min ()(3)0x ϕϕ==，所以()0x ϕ≥，()0g x ≤恒成立，即max ()0g x ≤恒成立，所以max ()3(ln 3ln )(3)0g x a a =---=，3a =．命题q 为真，()32433x f x bx =-+在(),5c c +上存在最小值，2()2f x x bx '=-，因为(1)(1)f x f x ''+=-，所以()y f x '=的图象关于直线1x =对称，所以1b =，即2()2f x x x =-'，()=00f x x '⇒=或2，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，()f x 的极小值是(2)0f =，极大值是4(0)3f =，又32(1)4(1)(1)033f --=--+=，所以()f x 在(,5)c c +上存在最小值，则12,52c c -≤<⎧⎨+>⎩，解得12c -≤<，综上，3a =，12c -≤<，所以1233c a -≤<．故选：D ．【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查用导数研究函数的单调性与极值、最值，不等式恒成立．解题基础是掌握导数与单调性的关系，由单调性得函数的最值，而不等式恒成立就是转化为函数的最大值0≤，还需利用导数研究最大值表达式中参数的取值．5．BD【分析】令()2f x m +=，从而化(()2)4f f x +£为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，可得{}2()2B x a f x b =-＃-|，由A B =≠∅，从而得2b =，且min ()2f x a ³-，化简(){}0A x f x =≤≠∅，解得0m ≥或8m ≤-，又(),a b a b £是方程()4f x =的两个根，利用韦达定理可得2a m =--，则故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.6．BCD【分析】根据（1）（2）得到0S ∉，1S ∈，A 错误，B 正确；再分1a =，1a ≠，两种情况，经过推理得到C 正确；在C 选项的分析基础上，得到若1a ≠，此时求出{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，若1a =，推理出,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D 正确.【详解】由（1）得：数集S 中必有1或0，由（2）得：0S ∉，故1S ∈，A 错误，B 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个，不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，下面证明C 正确，因为x S ∈，若x b =，则y cd =，由（1）知：y cd S =∈，满足要求，同理若x c =，则y bd S =∈，满足要求，若x d =，则y bc S =∈，满足要求，若x a =，因为1S ∈，若1a =，则1y S =∈，满足要求，若1a ≠，则,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =，由（1）知：ac S ∈，又因为1a ≠，1c ≠，所以ac a ≠，ac c ≠，故ac d =，同理可得ad c =，所以相乘得ab ad dc ⋅=，解得：21a =，因为1a ≠，所以1a =-，故取1y S =-∈，满足要求，综上：若x S ∈且1xy =，则y S ∈，C 正确；下面证明D 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个，不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，若1a ≠，则1abcd ≠，因为,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =，根据C 选项的分析可知：ac d =，ad c =，1a =-，则d c -=，故21cd d =-=，故i d =，i c =-，若i d =-，i c =，此时{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，D 正确；若1a =，则1abcd =，1bcd a ==，由（1）知：cd S ∈，若1cd a ==，则b bcd a ==，不可能，若cd c =，则1d a ==，不可能，若cd d =，则1c a ==，不可能，所以cd b =，故2b bcd a ==，同理可得：22,c a d a ==，因为a 的平方根有且只有2个，所以,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，故不存在1a =即1abcd =的情况，故{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.7．BCD【分析】对于A ，根据高斯函数的定义，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，求[]x y +，根据参数的取值范围，可得答案；对于B ，根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案；对于C ，根据充分不必要条件，同A ，设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性；对于D ，分x 是否为整数进行讨论，可得函数{}[]x x x =-的性质，进而化简函数()h x 或研究其奇偶性，可得答案.【详解】对于A ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，则[][]x y x y a b +=+++，所以[][][][][][]x y x y a b x y a b ⎡⎤+=+++=+++⎣⎦，因为01,01a b ≤<≤<，所以02a b ≤+<，所以[]0a b +≥，则[][][]x y x y +≥+，故A 错误；对于B ，因为当01x ≤<时，()[]0f x x ==，所以方程()()0f g x =等价于()01g x ≤<，又因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]01x x ≤-<恒成立，即对任意x ∈R ，()01g x ≤<恒成立，所以方程()()0f g x =的解集为R ，故B 正确；对于C ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，由[][]x y =，则x y a b -=-，易知1a b -<，设 1.5, 2.4x y ==，则 1.5 2.40.91x y -=-=<，但[][]1,2x y ==，故对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当x 为整数时，{}[]0x x x =-=；当x 不是整数时，设x 的整数部分为c ，小数部分为d ，则x c d =+，当0x >时，c d c +≥，则[]x c =，此时0x -<，则()()1x c d c -=-+≥--，即[]1x c -=-+，故[][]1x x +-=，则{}{}[][]()1x x x x x x +-=-+---=.当x 为整数时，()1h x x =--，令()0h x =，解得=1x -，此时函数()h x 的零点为1-；当x 不是整数时，()(){}(){}(){}()2121121h x x x x x x x x x x h x -=⋅-----=--+-=--=，故函数()h x 为偶函数，则若存在零点，此时函数()h x 的所有零点之和为0.综上所述，函数()h x 的所有零点之和为1-，故D 正确.故选：BCD.8．ABD【分析】选项A 根据“可分集”性质进行判断即可.选项C ，D ，根据“可分集”性质可知“可分集”元素之和减去任意一个元素一定为偶数，根据此特性分类讨论集合A 中元素为奇数和为偶数时的情况即可.根据选项C ，D 结论，分类讨论A 中元素个数分别为3，5，7时是否可以为“可分集”即可.【详解】根据“可分集”性质可知，当集合为{}1,3,5,7,9时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A 错误.设集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ 所有元素之和为M .由题意可知，(123...)i M a i n -=,,,,均为偶数，因此(123...)i a i n =，，，，同为奇数或同为偶数.(Ⅰ)当M 为奇数时，则1,2,3,...,)(i a i n =也均为奇数，由于12...n M a a a =+++，所以n 为奇数.(Ⅱ)当M 为偶数时，则1,2,3,...,)(i a i n =也均为偶数，此时可设2i i a b =，因为{}()*12,,,N ,3n a a a n n ∈≥ 为“可分集”，所以{}()*12,,,N ,3n b b b n n ∈≥ 也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n 也为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数.故C 错D 对.由上述分析可知集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ 中元素个数为奇数，不妨假设：当3n =时，显然任意集合{}123,,a a a 都不是“可分集”;当5n =时，设集合{}12345,,,,a a a a a ，其中12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有5134a a a a =++ ①或5341a a a a +=+ ②;将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534++=a a a a ③或5234=++a a a a ④由①，③可得12a a =，矛盾；由①，④可得12=-a a ，矛盾；由②，③可得12=-a a ，矛盾；由②，④可得12a a =，矛盾.因此当5n =时，不存在“可分集”；当7n =时，设集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，去掉元素1，35791113+++=+；去掉元素3，19135711++=++去掉元素5，91313711+=+++；去掉元素7，19113513++=++去掉元素9，13511713+++=+；去掉元素11，3791513++=++去掉元素13，1359711+++=+，所以集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集”.因此集合A 中元素个数n 的最小值是7，故B 正确.故选：ABD【点睛】1.本题“新定义”题，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题.2.本题考查了考生分类讨论的能力，考生需要做到讨论情况涵盖所有情况，还需要能将讨论思路转换为数学语言的能力.3.对于全称命题型的选项考生可考虑通过举反例的方式排除.9．906【解析】略10．3323n n -⋅+【分析】分析出当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，(),1n - 个元素，所以共有()()121C C C C C 22n m m n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯- 种选法；再进行求和即可.【详解】因为∅､U 都要选出；故再选出两个不同的子集，即为M ，N ，因为选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇，故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数多的子集包含元素个数少的子集，当一个子集只含有1个元素时，另外一个子集可以包含2，3，4()1n - 个元素，所以共有()()111221111C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；当一个子集只含有2个元素时，另外一个子集可以包含3，4，()1n - 个元素，所以共有()()221232222C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；当一个子集只含有3个元素时，另外一个子集包含4，5，()1n - 个元素，所以共有()()331243333C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；……当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，(),1n - 个元素，所以共有()()121C C C C C 22n m m n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯- 种选法；……当一个子集有()2n -个元素时，另外一个子集包含()1n -个元素，所以共有()22C 22n n -⨯-种选法；当一个子集有()1n -个元素时，另外一个子集包含有n 个元素，即为U ，不合题意，舍去；故共有()()()()122122C 22C 22C 22C 22n n n m m n n n n n ----⨯-+⨯-++⨯-++⨯- ()1122122C 2C 22C C C n n n n n n n n---=⋅++⋅-+++ ()()122212223323n n n n n n n =+------=-⋅+.故答案为：3323n n -⋅+【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解.。
高中数学集合难题
高中数学集合难题集合在高中数学中是一个重要的概念，它是数学中的一个基础部分，也是解决问题的关键。
本文将介绍一些高中数学中的集合难题，帮助学生更好地理解和应用集合概念。
问题1：设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合B={5,6,7,8,9,10,11,12,13}，求A∪B和A∩B。
解析：A∪B表示集合A和集合B的并集，即包含了A和B中所有的元素，不重复计算。
而A∩B表示集合A和集合B的交集，即A和B中共有的元素。
对于本题，集合A中的元素为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合B中的元素为{5,6,7,8,9,10,11,12,13}。
所以A∪B的结果为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}，A∩B的结果为{5,6,7,8,9}。
问题2：设集合A={x | -3 ≤ x ≤ 3, x∈Z}，集合B={x | -1 ≤ x ≤ 4, x∈Z}，求A∪B和A∩B。
解析：题目中的集合A和集合B都是由条件表达式定义的集合。
集合A表示满足-3 ≤ x ≤ 3的整数集合，集合B表示满足-1 ≤x ≤ 4的整数集合。
要求A∪B，即找出满足条件-3 ≤ x ≤ 3或-1 ≤ x ≤ 4的整数集合。
可以将两个条件合并为-3 ≤ x ≤ 4，所以A∪B的结果为{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}。
要求A∩B，即找出同时满足条件-3 ≤ x ≤ 3和-1 ≤ x ≤ 4的整数集合。
可以将两个条件合并为-1 ≤ x ≤ 3，所以A∩B的结果为{-1,0,1,2,3}。
问题3：集合A={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}，集合B={c, d, e, f, g}，集合C={f, g, h, i, j}，求(A∩B)∪C。
解析：首先求A∩B，即集合A和集合B的交集。
集合A中的元素为{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}，集合B中的元素为{c, d, e, f, g}。
集合难题讲解
集合难题讲解
集合难题是指一些涉及集合论的复杂问题，这些问题往往涉及到多个概念和技巧的运用，需要深入的思考和分析才能解决。
以下是一些常见的集合难题讲解：
1. 子集与超集问题：给定两个集合A和B，判断A是否是B的子集或超集。
如果是子集，则A中的所有元素也一定在B中，但B中的元素不一定在A 中；如果是超集，则A中的元素一定在B中，但B中的所有元素不一定在
A中。
这个问题的关键在于理解子集和超集的定义和性质，并能够正确地应用它们。
2. 集合的交、并、差运算问题：给定两个集合A和B，要求计算它们的交集、并集和差集。
交集是指同时属于A和B的元素组成的集合；并集是指属于
A或属于B（或两者都属于）的元素组成的集合；差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合。
这个问题的关键在于理解交、并、差运算的定义和性质，并能够正确地应用它们。
3. 集合的等价关系问题：给定两个集合A和B，判断它们是否等价。
如果两个集合等价，则它们的元素完全相同，即A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A。
这个问题的关键在于理解等价关系的定义和性质，并能够正确地应用它们。
4. 集合的基数问题：给定一个集合A，要求计算它的基数（即元素个数）。
这个问题的关键在于理解集合基数的定义和性质，并能够正确地应用它们。
5. 集合的证明问题：给定一个集合A和B，要求证明A中的所有元素都属
于B或者不属于B。
这个问题通常涉及到对集合的元素的性质进行深入分析，以及正确地应用集合的性质和定理。
以上是几个常见的集合难题讲解，对于这些问题的解决需要深入理解集合论的基本概念和性质，并且需要具备一定的逻辑思维和分析能力。
高考数学压轴专题专题备战高考《集合与常用逻辑用语》难题汇编及答案
数学高考《集合与常用逻辑用语》试题含答案一、选择题1．已知集合*4x M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40xN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( )A ．M N =B ．N M ⊆C ．20xM N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D ．*40xM N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】【分析】【详解】由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数，而集合N 表示能被40整除的整数，据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40xM N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭，本题选择D 选项.2．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}0.5,1x B y y x ==>，则A B =U （ ）A ．()0.5,+∞B ．[)0,+∞C ．()0,0.5D ．[)0,0.5【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可.【详解】0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥1111,0,|0222xx B y y ⎛⎫⎧⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭Q1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩⎭故选B【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.3．已知p ，q 是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】 由充分必要条件及命题的真假可得：“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，得解.【详解】解：因为“p q ∧是真命题”则命题p ，q 均为真命题，所以p ⌝是假命题，由“p ⌝是假命题”，可得p 为真命题，但不能推出“p q ∧是真命题”，即“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，故选：C ．【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题．4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.5．已知下列四个命题1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-3P ：若1()1f x x x =++则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.【详解】解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成立；命题正确，3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+=++-=-=++…， 当且仅当111x x +=+，即2(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题. 则正确的命题的个数是2，故选：B .【点睛】此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.6．已知集合(){}2||lg 4A x y x==-，{}2|43B x y x x ==-+-，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<… 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}22|lg 4(2,2),{|43}[1,3]A x y xB x y x x ==-=-==-+-=， 所以{|12}A B x x =≤<I .故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．7．设，则"是""的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案. 【详解】，当时，，充分性； 当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<< 【答案】C【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð.【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．给出如下四个命题：①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.【详解】①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()221f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-， 故命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误； ③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于A B π+<，必有2B A ππ<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误.综上，命题③正确.故选：A.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．下面说法正确的是（ ）A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”【答案】A【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该选项错误.【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】 由11b a a b ab--=， 0ab >Q ，∴若11a b < 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，0ab >Q ，110b a a b ab-∴-=<， 即11a b<成立， ∴“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.13．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()C A B ⋃⋃=（ ）A ．∅B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】先求C A ⋃，再根据并集定义求结果.因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C.【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．15．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧ 【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m <<若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题所以选C【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.18．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤【答案】C【解析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C.20．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞ 【答案】B【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞本题选择B选项.。
集合难题讲解
集合难题讲解
集合难题是指在集合论中涉及到的一些复杂或具有一定难度的问题。
下面以两个具体的集合难题为例来进行讲解。
一、鸽巢原理/抽屉原理问题：
问题描述：有10个苹果要放到9个抽屉里，问至少有一个抽
屉中放几个苹果？
解答：根据鸽巢原理（也称为抽屉原理），当n+1个苹果放
到n个抽屉时，必然存在一个抽屉中会有至少两个苹果。
因此，当10个苹果放到9个抽屉里时，至少有一个抽屉中放至少两
个苹果。
二、奇偶难题：
问题描述：有两个集合A和B，A中有100个数，B中有99
个数，且A和B的数互不相同。
问这两个集合的交集和并集
的元素个数之差是多少？
解答：首先，集合的交集是指同时属于两个集合的元素组成的新集合。
集合的并集是指两个集合中的所有元素组成的新集合。
根据集合的基本性质，两个集合的交集和并集的元素个数之差等于两个集合中元素个数的差。
根据问题的描述，集合A中有100个数，集合B中有99个数，且这两个集合的数互不相同。
因此，交集中的元素个数为0
（因为两个集合没有共同的元素），并集中的元素个数为100+99-0=199。
所以，这两个集合的交集和并集的元素个数之差为199。
集合经典填空题难题(含答案)(可编辑修改word版)
12 6 - x b 1. 已知集合 A= ⎧x ∈ N ∈⎫用列举法表示集合 A= ⎨N ⎬,⎩⎭2. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：明文 加密密钥密码密文 发送 解密密密文钥密码 明文， a 63”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为 3. 已 知 A={x ||x -1|<c c >0}, B={x ||x -3|>4} 且 A ∩ B=φ 则 满 足 条 件 的 c 的 集 合 为 . 4. 设集合 A={5,log 2(a +3)},集合 B={a,b }.若 A ∩B={2},则 A B = . 5. 点(x,y )在映射f 下的象是(2x-y ,2x+y ),点(4,6)在映射f 下的原象为.6. 设集合A = {x || x |< 4}, B = {x | x 2 - 4x + 3 > 0}则集合{x | x ∈ A 且x ∉ A B } =.7. 已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 4}, B = {x | x < a}, 且满足A B ≠ ∅, 则实数a 的取值范围是.8. 若P = {x |1 < x < 4},Q = {x | x > 3 或x < 1},则P Q =.P Q =9. 设U = R, M = {x | x ≤ 1 + 2, x ∈ R}, N = {1,2,3,4}, 则(C U M) N =10. 设 集 合 A = {x | a x 2 + b x + c = 0}， B = {x | a x 2 + b x + c = 0}， 则 方 程111222(a x 2 + b x + c ) (a x 2 + b x + c ) = 0 的解集为。
11122211. 已知一个 4 元集合 S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于 16040， 则 S 的元素之和等于 .12. 已知集合 A ＝{x |x 2＋x －6＝0}, B ＝{x |mx ＋1＝0}. 若 B ⊆ A, 则实数 m 所能取的一切值构 成的集合为 .13. 设 U 为全集，集合 A = {x | -1 ≤ x < 2}, B = {x | x > a }，若A (C u B ) ≠ ∅ ，则 a 的取值范围是.14. 设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x <1 或 x >3}，则集合{x |x ∈A 且 x ∉A ∩B}＝ 。
集合的概念难题汇编(附答案)
.2013年9月犀利哥的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V 是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} 3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4B．3C．2D．16．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．837．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．259．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18 D．2710．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A．﹣1 B．1C．0D．±111．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q二．填空题（共14小题）12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和_________ ．13．（2011•上海模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是_________ ．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是_________ ．15．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是_________ ．（写出所有“融洽集”的序号）16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确的结论的序号是_________ ．17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是_________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．18．已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A={2，4，8，16}，则card（T A）= _________ ；②若a i+1﹣a i=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）= _________ ．19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是_________ ．20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是_________ ．21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为聚点的集合有_________ （写出所有你认为正确结论的序号）．22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）_________ ．23．设，则A∩B用列举法可表示为_________ ．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是_________ ．（填序号）25．用列举法表示集合：= _________ ．三．解答题（共5小题）26．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，a k（k≥2）}，其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}．（1）设x1=，x2=，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？30．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？2013年9月犀利哥的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V 是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的考点：元素与集合关系的判断．专题：压轴题；阅读型；新定义．分析：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．解答：解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确故选A．点评：此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}考点：元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．解答：解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B点评：本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组考点：元素与集合关系的判断；集合的表示法；等差数列；等比数列．专题：计算题．分析：首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列，先求出2010是此数列中的第几项，然后按第n组有2n 个偶数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出解答：解：正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2，4，6…2n2n=2010，n=1005由第一组{2，4}的元素是2个第二组{6，8，10，12}的元素是4个第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个…第m组的元素是2n个2+4+8+…+2n==2m+1﹣22m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512所以，m=9，故选C．点评：此题表面是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，否则容易出错．4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；压轴题．分析：本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么，然后严格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可．当然，如果按照“孤立元”出现的情况逐一排查亦可．解答：解：“孤立元”是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元”是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元”是3的集合：{3}；“孤立元”是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元”是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4B．3C．2D．1考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题；新定义；分类讨论．分析：根据A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）．解答：解：|x2+ax+1|=1⇔x2+ax+1=1 或x2+ax+1=﹣1，即x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，∵A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选B．点评：此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．6．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）A．78 B．76 C．84 D．83考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．解答：解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的个数C93﹣1=83．故选D．点评：本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．7．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：集合的含义．专题：计算题．分析：（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情况．解答：解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合{y|y=x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y=x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选A点评：本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查．8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．25考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；压轴题；新定义．分析：先找出具有伙伴关系的元素：﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，利用组合知识求解即可．解答：解：具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C41+C42+C43+C44=15故选A点评：本题考查集合的子集问题、排列组合等知识，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力．9．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18 D．27考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：首先根据题意，求出A⊗B中的元素，然后求出（A⊗B）⊗C中所含的元素，最后求和即可．解答：解：由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．故选C点评：本题考查元素与集合关系的判断，通过集合间的关系直接判断最后求和即可，属于基础题．10．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A．﹣1 B．1C．0D．±1考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；新定义．分析：根据若a∈A，则，依据定义令a=代入进行求解，依次进行赋值代入进行化简，把集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它们的乘积．解答：解：由题意知，若a∈A，则，令a=，代入==；令a=代入==，令a=，代入==a，A={a，，，，}，则所有元素的乘积为1，故选B．点评：本题主要考查集合的应用，题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一定的难度，主要对集合元素的理解．11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：据集合中元素具有集合中元素的属性设出x0，y0，求出x0+y0，x0•y0并将其化简，判断其具有Q，P中哪一个集合的公共属性．解答：解：∵x0∈P，y0∈Q，设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P，x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q．故a∈P，b∈Q，故选A．点评：本题考查集合中的元素具有集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．二．填空题（共14小题）12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和14 ．考点：集合的含义．专题：新定义．分析：由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B中所有元素的和．解答：解：∵A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，2+3+4+5=14．故答案为：14．点评：本题考查集合的概念，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用．13．（2011•上海模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；转化思想．分析：根据集合，且2∈A，3∉A，知道2满足不等式，3不满足该不等式，即，解此不等式组即可求得实数a的取值范围．解答：解：∵，且2∈A，3∉A，∴，解得：．故答案为．点评：此题是个中档题．考查了元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题．分析：由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．解答：解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为6．点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们要根据定义列出满足条件列出所有不含“孤立元”的集合，及所有三元集的个数，进而求出不含“孤立元”的集合个数．（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，15．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={偶数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是①③．（写出所有“融洽集”的序号）考点：集合的含义．专题：压轴题；新定义；对应思想．分析：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．解答：解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取，满足要求，∴③符合要求；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，∴④不符合要求；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中正确的结论的序号是②③⑤．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：明确闭集合的定义，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．解答：解：对于①：集合A={﹣4，﹣2，0，2，，4}；例如﹣4+（﹣2）=﹣6∉A，故不是闭集合，故不正确；对于②：任意a，b∈A，有a+b∈A，所以正整数集是闭集合，正确．对于③：由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3 的倍数，故③是闭集合，故正确；对于④：假设A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，故错．对于⑤：设集合A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=2k，k∈Z}都为闭集合，但5∉（A1∪A2）．故⑤正确．正确结论的序号是②③⑤．故答案为：②③⑤．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得总结和归纳．17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是①③④（把你认为正确的命题的序号都填上）．考点：元素与集合关系的判断．专题：压轴题；新定义；综合法．分析：根据定义中所给的规则（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c，对四个命题逐一进行验证，得出正确命题．解答：解：①由（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0，0∈A，故①正确；②由（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，则（1⊕1）⊕1=1，故②不正确；③当a=0时，若a∈A，且a⊕0=a，则a=0显然成立，当a≠0时，若若a∈A，且a⊕0=a，则在（3）中令c=0，发现此时（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c无意义，故a=0，③正确；④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正确；综上①③④正确故答案为①③④点评：本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本题，关键是掌握并理解新定义中所给的规则，以及灵活选用规则判断命题是否正确．本题比较抽象，应好好总结做题规律．18．已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A={2，4，8，16}，则card（T A）= 10 ；②若a i+1﹣a i=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）= 2n﹣3 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；新定义．分析：对于①若A={2，4，8，16}，直接计算出T A={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；②若a i+1﹣a i=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得card（T A）=2n﹣3．解答：解：①若A={2，4，8，16}，则T A={6，10，18，12，20，24，4，8，16，32}，∴card（T A）=10；②若a i+1﹣a i=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则T A={3，4，5，…，2n﹣1}，由于（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴T A中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若a i+1﹣a i=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=2n﹣3．故答案为：10；2n﹣3．点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是11 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数．解答：解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为：11．点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：这是一个分段函数，从x0∈A入手，依次表达出里层的解析式，最后得到1﹣2x0∈A，解不等式得到结果．解答：解：x0∈A，即，所以，，即，即f（x0）∈B，所以f[f（x0）]=2[1﹣f（x0）]=1﹣2x0∈A，即，解得：，又由，，所以．故答案为：（，）点评：本题考查元素与集合间的关系，考查分段函数，解题的关键是看清自变量的范围，代入适合的代数式．21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为聚点的集合有（2）（4）（写出所有你认为正确结论的序号）．考点：元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a ∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；（3）中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点；（4）集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点故答案为（2）（4）点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）{（x,y)|xy＞0,且．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性．解答：解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣或0，0≤y≤1}={（x，y）|xy＞0且﹣1}故答案为：{（x，y）|xy＞0，且}点评：本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对．23．设，则A∩B用列举法可表示为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）} ．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：欲求出A∩B中的元素，只须求解方程组的解．将方程组的解用列举法写出来即得答案．解答：解：∵求解方程组的解，或或由此可知集合A∩B用列举法可表示为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}故答案为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}点评：本题考查集合的表示法、集合的性质和应用，解题时要注意不重复、不遗漏．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是①③④．（填序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：通过a，b取值直接判断①②，是否正确，通过化简③④，确定a，b的值判断③④是否满足题意．解答：解：对于①，显然a=0，b=1，满足题意；对于②；显然a=3，b=π，π是无理数，所以②不满足题意；对于③==3+2，所以a=3，b=2满足题意；对于④==4，a=4，b=0，满足题意．是集合M的元素是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力，逻辑推理能力．25．用列举法表示集合：= {﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9} ．考点：集合的表示法．专题：计算题．分析：首先根据，对m值进行分析，当为整数时记录m的值，最后综合m的值构成集合M解答：解：∵；m=﹣11时，；m=﹣6时，=﹣2；m=﹣3时，=﹣5；m=﹣2时，=﹣10；m=0时，=10；m=1时，=5；m=4时，=2；m=9时，=1；∴M={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}故答案为：{﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}点评：本题考查集合的表示方法，根据已知题意进行分析，通过对m值的分析为解题的关键，属于基础题．三．解答题（共5小题）26．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，a k（k≥2）}，其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．考点：元素与集合关系的判断；集合的含义．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a∉A，得到0∉A得到（a i，a i）∉T；当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）∉T，求出T中的元素个数．（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a i，a j）共有k2个．因为0∉A，所以（a i，a i）∉T（i=1，2，，k）；又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A，所以当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）∉T（i，j=1，2，，k）．从而，集合T中元素的个数最多为，即．（III）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立，故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，由（1）（2）可知，m=n．点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．考点：元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．解答：解：（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．当m，n同分别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数（m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分）（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；2，6，10，14，∉A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）点评：本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想方法进行归纳出集合元素的性质的结论，考查了分析和解决问题的能力．28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}．（1）设x1=，x2=，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．考点：元素与集合关系的判断．专题：证明题．分析：（1）经过分母有理化、开方、平方化简即可判断出x1，x2，x3是否属于集合A．（2）经过计算可判断出是否属于集合A．解答：解：（1）∵===﹣﹣．∴x1∉A．∵==．∴x2∈A．∵=19﹣6．∴x3∈A．（2）设，m，n∈Z，，c，d∈Z，则x1+x2=（m+c）+（n+d），∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x1+x2）∈Z．。
集合经典大题及解析 -回复
集合经典大题及解析一、集合的基本概念1.1 集合与元素问题：什么是集合？什么是元素？它们之间的关系是什么？解析：集合是由一组具有共同特征的元素组成的整体。
这个整体称为集合，而组成这个整体的每一个元素称为元素。
元素是集合的一部分，且必须满足集合的定义。
1.2 集合的子集问题：什么是子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的子集？解析：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
判断一个集合是否为另一个集合的子集，可以通过将两个集合进行比较，检查前者是否包含在后者中。
1.3 集合的并集与交集问题：什么是并集和交集？如何计算两个集合的并集和交集？解析：并集是将两个集合的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
交集则是从两个集合中选出共同的元素组成一个新的集合。
计算并集和交集可以通过简单的数学运算来实现。
1.4 集合的补集问题：什么是补集？如何计算一个集合的补集？解析：补集是指在一个集合中去掉所有属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
计算补集可以通过先找出不属于另一个集合的元素，然后将这些元素组成一个新的集合。
二、集合的关系2.1 子集与真子集问题：什么是真子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的真子集？解析：真子集是指在一个集合中去掉所有不属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
判断一个集合是否为另一个集合的真子集，可以通过比较两个集合的大小来确定。
2.2 集合相等问题：什么是集合相等？如何判断两个集合是否相等解析：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等。
判断两个集合是否相等，可以通过比较两个集合中的每一个元素来确定。
2.3 空集问题：什么是空集？空集有哪些性质？解析：空集是指没有任何元素的集合。
空集具有以下性质：(1) 空集是任何非空集合的真子集；(2) 任何元素都属于空集；(3) 空集的补集也是空集。
三、集合的运算性质3.1 集合的并运算问题：什么是并运算？如何计算两个集合的并运算？解析：并运算是指将两个或多个集合合并成一个新集合的操作。
集合难题整理
【实力教育集合整理】3．已知集合{}2|10,A x x A R φ=++== 若，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4<m B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（ ）A ．N M= B ．M NC ．N MD ．M N φ=7．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B = （ ）A ．0B ．{}0C ．φD ．{}1,0,1-8、定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．69、方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（ ）A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-。
10、如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．B ．C ．D ．11、若M={Z n x n x ∈=,2}，N={∈+=n x n x ,21Z}，则M ⋂N 等于（ ） A 、φ B 、{φ} C 、{0} D 、Z8．已知集合M={x │01xx ≥-} N={y │y=3x 2+1，x ∈R }，则M ∩N= 9．已知集合}*,52008|{Z a N aa M ∈∈-=，则等于 .10{}|,,x x a a Q b Q=+∈∈已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B = _________。
13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。
14．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B = ，则x = 。
请根据集合的基本运算练习题,给出10个不同的问题。
请根据集合的基本运算练习题，给出10个不同的问题。
集合是数学中的一个概念，在集合中，没有重复的元素，并且没有规定元素的顺序。
集合有许多基本运算，包括并集、交集和差集，下面是10个基于这三种运算符的问题：1. 如果 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$，求 $A$ 和$B$ 的并集和交集。
2. 如果 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$，求 $A$ 和$B$ 的差集。
3. 如果 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，$C = \{3, 4, 5\}$，求 $A \cup B \cup C$。
4. 如果 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，$C = \{3, 4, 5\}$，求 $A \cap B \cap C$。
5. 如果 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，$C = \{3, 4, 5\}$，求 $A - B$。
6. 如果 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，$C = \{3, 4, 5\}$，求 $(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$。
7. 如果 $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 10\}$，$B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \geq 3 \text{ 且 } x \leq 8\}$，求 $A \cup B$。
8. 如果 $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 10\}$，$B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \geq 3 \text{ 且 } x \leq 8\}$，求 $A \cap B$。
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高一数学必修1集合经典题训练
2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠
，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k
R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是
7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q
-等于
9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是
17、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2<x <10}，C ={x | x <a }，全集为实数集R .
(1) 求A ∪B ，(C R A )∩B ；
(2) 如果A ∩C ≠
，求a 的取值范围。
19、(14分)集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A
B φ≠，,A
C φ=求实数a 的值。
20、(15分)记关于x 的不等式01
x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． (Ⅰ)若3a =，求P ；
(Ⅱ)若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
15、(15分)已知集合A ={}
2320,.x ax x a R -+=∈
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
17、(14分)设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A
B B =，求实数a 的
取值范围。
18、(16分)已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，
(1)若}2{=B A ，求实数a 的值；
(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围；
19、(14分)已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B ={x|2<x +1≤4}，设集合}0|{2
>++=c bx x x C ，且满足φ=⋂⋃C B A )(，R C B A =⋃⋃)(，求b 、c 的值。
20、(18分)已知方程02
=++q px x 的两个不相等实根为βα,。
集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值？
高一数学集合难题训练
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a
[ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a
C x a
D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 11 例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
例4 解下列不等式
(1)(x －1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2
(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2
-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()() 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x
[ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x
--32[ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．
≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1
[ ] A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12
121212
例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2
≤，若，求的范围．0}B A a ⊆
例13 (全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．
一元二次不等式
例1：解下列不等式：
(1)04432>++-x x ； (2)0424
12≥++x x ； (3))2(3)3)(12(2
+>-+x x x ； (4)⎪⎩⎪⎨⎧>++<++-0120222x x x x
1、不等式022≥+--x x 的解集为（ ）
A 、{}12≥≤x x x 或
B 、{}12<<-x x
C 、{}
12≤≤-x x D 、φ
2、不等式01442
≤++x x 的解集为（ ） A 、φ B 、R C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21x x
3、不等式0122<+-x x 的解集为（ ）
A 、φ
B 、R
C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121x x
D 、⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠41x x
4、已知集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则集合N M =（ ）
A 、{}2-<x x
B 、{}3>x x
C 、{}21<<-x x
D 、{}32<<x x
5、设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )
A ．{x |－7<x <－5}
B ．{x |3<x <5}
C ．{x |－5<x <3}
D ．{x |－7<x <5}
6、函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( )
A ．{x |x <－4或x >3}
B ．{x |－4<x <3}
C ．{x |x ≤－4或x ≥3}
D ．{x |－4≤x ≤3}
7、已知集合{}20<≤=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则N M =（ ）
A 、{{}10<≤x x
B 、{{}20<≤x x
C 、{{}10≤≤x x
D 、{{}20≤≤x x
8、不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为( )
A ．{x |x <－72，或x >5}
B ．{x |0<x <72，或x >5}
C ．{x |－52<x <－5，或x >7}
D ．{x |x <－5，或x >5}
9、设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －1a )<0的解集为( )
A ．{x |x <a ，或x >1a }
B ．{x |x >a }
C ．{x |x >a ，或x <1a }
D ．{x |x <1a }
10、已知集合{}0232<--=x x x A ，{}0<-=a x x B ，且A B ⊄，则a 的取值范围为（
） A 、1≤a B 、21≤<a C 、1>a D 、2≤a
13、函数181222-+-=x x y 的定义域为 。
14、不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是 。
15、不等式2≤x 2－2x <8的整数解集是________ ．
16、不等式(3x －4)(2x ＋1)
(x －1)2<0的解集为________ ．
17．已知集合}034|{},016|{22>+-=<-=x x x B x x A ，求B A =。