七上绝对值竞赛专题

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人教版七年级上册数学绝对值专题

人教版七年级上册数学绝对值专题题目 1：已知x = 5，求x的值。

解析：因为x = 5，所以x = 5或x = -5。

题目 2：若a - 2 = 0，则a = _ ?解析：因为a - 2 = 0，所以a - 2 = 0，a = 2。

题目 3：计算- 3 = _ ?解析：- 3 = 3题目 4：如果m = 4，n = 6，且m < n，求m + n的值。

解析：因为m = 4，所以m = ±4；因为n = 6，所以n = ±6。

又因为m < n，所以当m = 4时，n = 6，m + n = 10；当m = - 4时，n = 6，m + n = 2。

题目 5：化简- ( - 5 ) = _ ?解析：- ( - 5 ) = 5 = 5题目 6：已知x - 1 + y + 2 = 0，求x，y的值。

解析：因为x - 1 ≥ 0，y + 2 ≥ 0，且x - 1 + y + 2 = 0，所以x - 1 = 0，y + 2 = 0，即x = 1，y = - 2。

题目 7：比较- 2 和- ( - 2 )的大小。

解析：- 2 = 2，- ( - 2 ) = 2，所以- 2 = - ( - 2 )题目 8：若x + 3 = 5，则x = _ ?解析：因为x + 3 = 5，所以x + 3 = 5或x + 3 = - 5，解得x = 2或x = - 8题目 9：绝对值小于4的整数有_ ? 个。

解析：绝对值小于4的整数有- 3，- 2，- 1，0，1，2，3，共7个。

题目 10：计算- 7 - - 4 = _ ?解析：- 7 - - 4 = 7 - 4 = 3题目 11：若a = 3，b = 2，且a > b，求a - b的值。

解析：因为a = 3，所以a = ±3；因为b = 2，所以b = ±2。

又因为a > b，所以当a = 3时，b = 2或b = - 2，a - b = 1或5；当a = - 3时，不符合a > b。

部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。

七年级数学竞赛题：绝对值

七年级数学竞赛题：绝对值绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数．3．绝对值常用的性质例1 已知a =5，b =3，且b a -=b －a ，那么a ＋b= .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路由已知求出a 、b 的值，但要注意条件b a -=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式p x -＋15-x ＋15--p x 在p≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A)30 (B)0 (C)15 (D)一个与P 有关的代数式解题思路设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x =0, 求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值.解题思路运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 1、x 2、x 3…x 2002、x 2003的值，注意21+n －2n 的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求a a +b b +c a +ab ab +ac ac +bc bc ＋abcabc 的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键．例5若a 、b 、c 为整数，且19ba -＋99ac -=1，试求a c -+b a -＋c b -的值．(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?l 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m=n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m<n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m 2=(-n)2。

七年级数学竞赛绝对值

新课标七年级数学竞赛培训第05讲：绝对值一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3分）（1）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c=_________．（2）已知a、b、c、d是有理数，|a﹣b|≤9，|c﹣d|≤16，且|a﹣b﹣c+d|=25，那么|b﹣a|﹣|d﹣c|=_________．6．（3分）若有理数x、y满足2002（x﹣1）2+|x﹣12y+1|=0，则x2+y2=_________．7．（3分）已知|a|=5，b=|3|，且|a﹣b|=b﹣a，那么a+b=_________．8．（3分）已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示：则|c﹣1|+|a﹣c|+|a﹣b|化简后的结果是_________．9．（3分）若a、b为有理数，那么，下列判断中：（1）若|a|=b，则一定有a=b；（2）若|a|＞|b|，则一定有a＞b；（3）若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|；（4）若|a|=b，则一定有a2=（﹣b）2．正确的是_________（填序号）16．（3分）若x＜﹣2，则|1﹣|1+x||=_________；若|a|=﹣a，则|a﹣1|﹣|a﹣2|=_________．17．（3分）能够使不等式（|x|﹣x）（1+x）＜0成立的x的取值范围是_________．18．（3分）设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c，则|a﹣b|+|b ﹣c|+|c﹣a|可能取得的最大值是_________．18．（3分）若a与b互为相反数，且，那么=_________．二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）2．（3分）如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可11．（3分）已知a是任意有理数，则|﹣a|﹣a的值是（）213．（3分）如图，有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，b﹣2a，|b|﹣|a|，|a﹣b|，|a+2|，﹣|b﹣4|中，负数共有（）19．（3分）使代数式的值为正整数的x值是（）20．（3分）如果2a+b=0，则+等于（）22．（3分）设a+b+c=0，abc＞0，则的值是（）三、解答题（共9小题，满分96分）3．（10分）如果|ab﹣2|+（b﹣1）2=0，试求：的值．4．（10分）化简：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．5．（10分）已知a为有理数，那么代数式|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．14．（10分）化简：（1）|3x﹣2|+|2x+3|；（2）||x﹣1|﹣3|+|3x+1|．15．（10分）求满足方程|a﹣b|+ab=1的非负整数a，b的值．23．（10分）有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0．设，试求代数式x19+99x+2000之值．24．（12分）若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．25．（12分）已知|x|≤1，|y|≤1，设M=|x+y|+|y+1|+|2y﹣x﹣4|，求M的最大值与最小值．26．（12分）已知|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+…+|x2002﹣2002|+|x2003﹣2003|=0，求代数式的值．。

苏科版七年级上册数学竞赛中含绝对值问题

比赛中含绝对值的问题绝对值是初中代数中的一个基本观点，在比赛中常常会碰到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用，掌握好方法，顺利解决这些问题．一、直接推理法例 1 ：已知 a b, a 0 ， ab a b ab 则等于（）b（A ） 2a 2b ab .（B ） ab .（C ） 2a 2b ab .（D ） 2a ab .解：因为 a 0，所以 a,b 同号 .又因为 a b ，即 a b 0，所以 a, b 一定同为负 .b所以 a b a b ab a b a b ab 2a ab .答案为 D.说明 : 此题是直接利用有理数加法法例和有理数乘法法例确立字母符号 .二、巧用数轴法例 2: 设有理数 a, b,c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示，化简 b a a c c b .解: 由图可知， a 0, b 0,c 0 ，且 c a b 0 .所以 b a 0, a c 0,c b 0 ．可得 b a b a, a c a c , c b b c ．所以原式 = a b a c b c a b a c b c 2c .说明 :此题是经过数轴，运用数形联合的方法确立字母的大小次序，从而达到去掉绝对值的目的 .三、零点分段法例 3: 已知 0 a 4，那么 a 2 3 a 的最大值等于（）（ A ）1.（B ）5.（C ）8.（D ）3.解： (1) 当0a 2时， a 2 3 a 2 a 3 a 5 2a a 2 3 a 2 a 3 a 52a ，在这一段内，当a0时 a 2 3 a获得最大值，最大值是5;(2)当2a3时，a 2 3 a a 2 3 a 1 ;(3)当3 a 4 时，a 2 3 a a 2 3 a 2a 5 ，在这一段内，当 a 4 时 a 2 3 a 获得最大值，最大值是3;综上可知，当 0 a 4时， a 2 3 a 的最大值是5.答案为 B.说明 :此题是求两个绝对值和的问题．解题的重点是怎样同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很简单的事．解这种题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确立怎样将字母的取值范围分段的零点.四、分类议论法例 4: 假如a, b, c, d为互不相等的有理数，且 a c b c d b 1，那么 a d 等于（）（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.解:已知b c ，可设 b c，因为a c b c ，所以a c与b c必互为相反数(否则 a b ，不合题意)，即a c b c , a b 2c .又因为b c，所以a c.因为 b c d b ，所以b c与d b 必相等(不然 c d ，不合题意)，即 b c d b ，进而得 2b c d .因为 b c ，所以 b d .所以有 d b c a .所以 a d a d a c c b b d 1 113.若设 b c ，同理可得 a d 3 .答案为C.说明 :本例的解法是采纳把 b ，c 分为b c和 b c 两种状况加以解决的，这种解法叫作分类议论法，它在解决绝对值问题时很常用．此题还能够分为 a b和 a b 两种状况进行议论，同学们不如试一试.初中数学试卷。

数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存有的条件,对这个方程的解实行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,所以,探求这种关系是解本例的关键,•使用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存有6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、水平拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

人教版七年级上册数学《绝对值》专题讲义(含答案)

绝对值1．掌握绝对值的概念与化简 2．绝对值的几何意义3．分类讨论思想在绝对值中的应用模块一绝对值的意义及其化简1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作a2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3. 绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩4. 绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有个，是【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义【答案】2个，2±例题精讲重难点【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有个，是【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星【解析】绝对值化简【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是【难度】2星【解析】绝对值化简【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值【难度】3星【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++.【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；x 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若31x -=，则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 112则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2PC B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE 之间1．4x-的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若42x-=，则x=．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或62．化简：212x x x-++-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x-=，20x+=，0x=，∴零点为1x=、2x=-、0x=∴可分四段讨论：2x<-、20x-≤<、01x≤<、1x≥①当2x<-时，则10x-<，20x+<∴11x x-=-+，22x x+=--，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+----=-+--+=2x-②当20x-≤<时，则10x-<，20x+≥∴11x x-=-+，22x x+=+，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+++--=-++++=4课堂检测③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3．化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：① ．② ． ③ ．1．化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -<∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x --②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2课后作业总结复习③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。

绝对值与最值-七年级数学竞赛

5.设有理数 a、b、c 满足 a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜
|b|＜|a|，则|x﹣ |+|x﹣ |+|x+ |的最小
值是（）
A．
B．
C．
D．
13.已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数 x
的取值范围是
．
6.在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的 x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（） A．1 B．2 C．3 D．4
切记，你的目标决定你的努力程度！---木木
2
木木竞赛数学.
五大板块―――1.重点，2.难点，3.考试易错点，4.提高能力点， 5.思想方法拓展点.
绝对值与最值问题
15.（1）对于式子|x|+13，当 x 等于什么值时，有最小值？最小值是多少？
1.已知 a，b 是异号的两个有理数，且|a+b|＝|a|﹣b 用
17.小聪和小敏在研究绝对值的问题时，遇到了这样一道 18.先阅读下面的材料，然后解答问题：
题：
在一条直线上有依次排列的 n（n＞1）台机床工作，
当式子|x﹣1|+|x+5|取最小值时，x 应满足的条件
我们要设置一个零件供应站 P，使这 n 台机床到供应
是
，此时的最小值是
．
站 P 的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比
A1 和 A2 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于 A1 到 A2 的距离．
小敏说：我明白了，若点 C 在数轴上对应的数为 x，
线段 AC 的长就可表示为|x﹣（﹣5）|，那么|x﹣1|

人教版初中数学七年级上册绝对值-“百校联赛”一等奖

导入新课：在这个例子中，我们用方向和距离来描述一个地方所处的位置。其中，方向我们在数轴上用正负来表示，那么距离在数轴中板书）。
看PPT上的案例情境；
画数轴；
思考并回答问题；
跟着老师的引导，说出数轴上-3和+2表示的实际含义。
创设学生容易理解而且较为熟悉的情境，学生就这一情境回答相关的数学问题，既巩固了学生所学知识，又可以引入将要学习的新知识，还可以让学生体会到数学知识来源于生活，服务于生活。
《绝对值》教学设计
课题：绝对值
科目：七年级数学
教学对象：七（2）班
课时：第一课时
教师：张波
单位：武汉西藏中学
一、教学内容分析
本节内容选自人教版九年义务教育七年级上册第一章第二节第四课时的内容。“绝对值”是数学中非常重要的概念，它的定义将“数”与“形（数轴）”结合了起来，而求一个数的绝对值又渗透了“从特殊到一般”、“分类讨论”、“从具体到抽象”等重要的数学思想。因此，学好它，可以促进学生对数轴、相反数概念的理解，也为有理数大小的比较、有理数的运算奠定基础，同时还有助于培养学生“数形结合”、“分类讨论”、“从特殊到一般”等数学思想。
（四）例题讲授，练习巩固，强化理解
例题讲解：求下列各个数的绝对值：
+6，，，0，-3，- ，
解：根据绝对值得定义及其规律，可得：
练习填空：在数轴上用A、B、C、D、E分别表示下列各个数，并根据数轴，填写表格。（，-2，0，2，3 ）
点
数
到原点的距离
绝对值
相反数
教师点评：判断正误，强化学生对绝对值定义的理解。
齐读课本上“绝对值”的概念；
跟着老师的引导，结合数轴，用绝对值表示小明家、学校和小丽家分别到学校的距离；

部编数学七年级上册专题1.2绝对值(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题1.2 绝对值【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（）A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不对【思路点拨】根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可．【解题过程】解：∵|x|+|x﹣4|＝8，∴当x＞4时，x+x﹣4＝8，解得x＝6，当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8，解得x＝﹣2，故选：C．2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（）A．10B．11C．17D．21【思路点拨】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．【解题过程】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（）A．5B．6C．7D．8【思路点拨】通过对式子|a+c|＝3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所求之间的关系，再进行求解．【解答过程】解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，分两种情况讨论：①若a﹣b＝1，b+c＝2，则两式相加，得a+c＝3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，则两式相加，得a+c＝﹣3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．故选：C．4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：m=|a b|c+2|b c|a+3|c a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【解题过程】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，m=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b∴分三种情况说明：当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0．∴x＝3，y＝0，∴x+y＝3．故选：B．5．我们知道|x|=x，(x＞0)0，(x=0)−x，(x＜0)，所以当x＞0时，x|x|=xx=1；当x＜0时，x|x|=x−x=−1．下列结论序号正确的是（）①已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|的值为0或±2；②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则2a|a|+b|b|的值为±1；③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|=−1或3；④已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或﹣3；⑤已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0，则a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为0．A．①③④B．②③⑤C．①②④⑤D．①②④【思路点拨】关于绝对值化简的问题，就要严格利用绝对值的定义来化简，要考虑全面，有时可以用特殊值法．【解题过程】解：①因为ab≠0，所以有以下几种情况：a＞0，b＜0，原式值是0；a＞0，b＞0，原式值是2；a＜0，b＞0，原式值是0；a＜0，b＜0，原式值是﹣2．故①正确；②∵|ab|＝﹣ab，a，b是不为0的有理数，∴ab ＜0，有以下两种情况：a ＞0，b ＜0，此时原式值是1；a ＜0，b ＞0，此时原式值是﹣1，故②正确；③已知a ，b ，c 是有理数且a +b +c ＝0，abc ＜0，则b +c ＝﹣a ，a +c ＝﹣b ，b +c ＝﹣a ，∴原式化为−a |a|+−b |b|+−c |c|a ，b ，c 两正一负，有四种情况：a ＞0，b ＞0，c ＜0，原式值为﹣1；a ＞0，b ＜0，c ＞0，原式值为﹣1；a ＜0，b ＞0，c ＞0，原式值为﹣1；故③错误；④∵|abc|abc=−1，∴abc ＜0，分四种情况（同③）∴原式值是﹣1和3，故④正确；⑤分两种情况：当一正两负时，a |a|，b |b|.c |c|有一个1，两个﹣1，而abc ＞0，所以abc |abc|=1，此时和为1+1﹣1﹣1＝0；当一负两正时，a |a|，b |b|.c |c|有一个﹣1，两个1，而abc ＜0，所以abc |abc|=−1，此时和为﹣1+1+1﹣1＝0．故⑤正确．故选：C ．6．（2021秋•常州期末）已知x =20212022，则|x ﹣2|﹣|x ﹣1|+|x |+|x +1|﹣|x +2|的值是 20212022　．【思路点拨】根据x 的值，判断x ﹣2，x ﹣1，x +1，x +2的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案．【解题过程】解：∵x=20212022，即0＜x＜1，∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0，∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2＝x=2021 2022，故答案为：2021 2022．7．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是　2021　．【思路点拨】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解题过程】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．8．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝　0或2　．【思路点拨】因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．【解题过程】解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，则a﹣b＝±1，a＝c，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，故答案为：0或2．9．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大值为　34　．【思路点拨】根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，a+b＜0，∴|a|＞|b|，∵|a|＜10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9，∴|b|≤8，∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，故答案为：34．10．（2021秋•雁塔区校级期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，则a﹣b的最大值等于　﹣2　．【思路点拨】根据题意可得|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，此时﹣3≤a≤2，4≤b≤7，可求得﹣10≤a﹣b≤﹣2，即可求解．【解题过程】解：|a +3|+|a ﹣2|≥5，|b ﹣4|+|b ﹣7|≥3，∴|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|≥8，∵|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|＝8，∴|a +3|+|a ﹣2|＝5，|b ﹣4|+|b ﹣7|＝3，∴﹣3≤a ≤2，4≤b ≤7，∴﹣10≤a ﹣b ≤﹣2，∴a ﹣b 的最大值等于﹣2，故答案为：﹣2．11．（2021秋•江岸区校级月考）设有理数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，这里ac ＜0且|c |＜|b |＜|a |，则|x−a b 2|+|x−b c 2|+|x +a c 2|的最小值为 2a b c 2　．【思路点拨】根据ac ＜0可知a ，c 异号，再根据a ＞b ＞c ，以及|c |＜|b |＜|a |，即可确定a ，﹣a ，b ，﹣b ，c ，﹣c 在数轴上的位置，而|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac ＜0，∴a ，c 异号，∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，又∵|c |＜|b |＜|a |，∴﹣a ＜﹣b ＜c ＜0＜﹣c ＜b ＜a ，又∵|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，当x 在b c 2时距离最小，即|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|最小，最小值是a b 2与−a c 2之间的距离，即2a b c 2．故答案为：2a b c 2．12．（2020秋•海曙区期末）已知a ，b ，c 为3个自然数，满足a +2b +3c ＝2021，其中a ≤b ≤c ，则|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣a |的最大值是　1346　．【思路点拨】根据绝对值的性质化简式子，再确定a，b，c的值，由此解答即可．【解题过程】解：由题意知b≥a，则|a﹣b|＝b﹣a，b≤c，则|b﹣c|＝c﹣b，a≤c，则|c﹣a|＝c﹣a，故|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+c﹣b+c﹣a＝2（c﹣a），上式值最大时，即c最大，且a最小时，（即c﹣a最大时），又a+2b+3c＝2021，2021＝3×673+2，故c的最大值为673，此时a+2b＝2，a≤b，且a，b均为自然数，a＝0时，b＝1，此时a最小，故2（c﹣a）的最大值即c＝673，a＝0时的值，即：2×（673﹣0）＝1346．故答案为：1346．13．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是（填序号）．【思路点拨】依据绝对值的几何意义，|x﹣1|可以看成是x与1的距离，|x+1|可以看出是x与﹣1的距离，这样y可以看成两个距离之和，即在数轴上找一点x，使它到1和﹣1 的距离之和等于y．要从三个情形分析讨论：①x 在﹣1的左侧；②x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）；③x在1的右侧．【解答过程】解：∵|x﹣1|是数轴上x与1的距离，|x+1是数轴上x与﹣1的距离，∴y＝|x﹣1|+|x+1|是数轴上x与1和﹣1的距离之和．∴当x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）时，y的值总等于2．如下图：当x在﹣1的左侧时，y的值总大于于2．如下图：当x在1的右侧时，y的值总大于于2．如下图：综上，y有最小值2，且此时﹣1≤x≤1．∴①③不正确，②正确．∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25两个值，∴④正确．故答案为②④．14．有理数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为，最小值为．【思路点拨】将|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分开来看，从而分别得到他们的最值小均为3，而根据已知知道，它们的和为6，从而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均为3，从而得到a和b的取值范围，进而可以求出a2+b2的最大值和最小值．【解答过程】解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∵|a+1|表示a到﹣1的距离，|2﹣a|表示a到2的距离，∴|a+1|+|2﹣a|≥3，又∵|b+2||表示b到﹣2的距离，|b+5|表示b到﹣5的距离，∴|b+2|+|b+5|≥3，又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，此时﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，∴a2的最大值为4，最小值为0，b2的最大值为25，最小值为4，∴a2+b2的最大值为29，最小值为4．故答案为：29，4．15．（2021秋•梁子湖区期中）已知|ab ﹣2|与|b ﹣2|互为相反数，求b 1a 1−b 2a−2+b 3a 3的值．【思路点拨】根据绝对值的非负性求出a ，b 的值，代入代数式求值即可．【解题过程】解：根据题意得|ab ﹣2|+|b ﹣2|＝0，∵|ab ﹣2|≥0，|b ﹣2|≥0，∴ab ﹣2＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝1，b ＝2，∴原式=32−4−1+54=32+4+54=274．16．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 对应的数分别为a ，b ，c ，d ，e ，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a ﹣c ＜　0，b ﹣a ＞　0，b ﹣d ＜　0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |；（3）若|a |＝|e |，|b |＝3，直接写出b ﹣e 的值．【思路点拨】（1）根据数轴得出a ＜b ＜c ＜d ＜e ，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b 、e 的值，再代入求出即可．【解题过程】解：（1）从数轴可知：a ＜b ＜c ＜d ＜e ，∴a ﹣c ＜0，b ﹣a ＞0，b ﹣d ＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |＝﹣a +c ﹣2（b ﹣a ）﹣（d ﹣b ）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．17．（2021秋•铜山区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，请回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为　4　；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d为　|x+5|　；（3）若x表示一个有理数，且x大于﹣3且小于1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　；（4）若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3|＞1，则有理数x的取值范围为　x＜﹣2或x＞﹣3　．【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算；（2）根据数轴上两点间距离公式列式；（3）根据绝对值的意义进行化简计算；（4）根据绝对值的意义和数轴上两点间的距离进行分析求解．【解题过程】解：（1）d＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，∴数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为4，故答案为：4；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，故答案为：|x+5|；（3）∵﹣3＜x＜1，∴x﹣1＜0，x+3＞0，∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故答案为：4；（4）|x+2|+|x+3|表示数轴上数x到数﹣2和数﹣3的距离之和，∵﹣2﹣（﹣3）＝1，且|x+2|+|x+3|＞1，∴x＜﹣2或x＞﹣3，故答案为：x＜﹣3或x＞﹣2．18．x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？【思路点拨】利用绝对值的几何意义分析：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，进而分析得出最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|求出即可．【解题过程】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤1997时，|x﹣1|+|x﹣1997|有最小值1996；当2≤x≤1996时，|x﹣2|+|x﹣1996|有最小值1994；…当x＝999时，|x﹣999|有最小值0．综上，当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|能够取到最小值，最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|＝998+997+996+…+0+1+2+998=(1998)×9982×2＝997002．19．（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）8|8|=　1　．−3|−3|=　﹣1　（2）a|a|=　1或﹣1　（a≠0），a|a|+b|b|=　2或0　（其中a＞0，b≠0）（3）若abc≠0，试求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．【解题过程】解：（1）8|8|=1，−3|−3|=−1，故答案为：1，﹣1；（2）当a＞0时，a|a|=1；当a＜0时，a|a|=−1；当b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2；当b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0；故答案为：1或﹣1，2或0；（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1＝4，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1+1+1﹣1＝0，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1﹣1﹣1+1＝0，④当a＜0，b＜0，c＜0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，综上所述，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为±4，0．20．（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料．我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．∴|x+1|+|x﹣2|=−2x+1(x＜−1)3(−1≤x＜2)2x−1(x≥2)，通过以上阅读，解决问题：（1）|x﹣3|的零点值是x＝　3　（直接填空）；（2）化简|x﹣3|+|x+4|；（3）关于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接写出x+y的最小值为　﹣5　．【思路点拨】（1）根据零点值的概念领x﹣3＝0，求解；（2）仿照材料例题分x＜﹣4；﹣4≤x＜3；x≥3三种情况结合绝对值的意义化简求解；（3）仿照材料例题，分原式为|x﹣3|+|x+4|与|y﹣2|+|y+1|两部分进行分析求其最小值．【解题过程】解：（1）令x﹣3＝0，解得：x＝3，∴|x﹣3|的零点值是x＝3，故答案为：3；（2）令x﹣3＝0，x+4＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，①当x＜﹣4时，原式＝3﹣x﹣4﹣x＝﹣2x﹣1，②当﹣4≤x＜3时，原式＝3﹣x+x+4＝7，③当x＞3时，原式＝x﹣3+x+4＝2x+1，综上，|x﹣3|+|x+4|=−2x−1(x＜−4) 7(−4≤x＜3)2x+1(x＞3)；（3）令x﹣3＝0，x+4＝0，y﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，y＝2，y＝﹣1，由（2）可得，当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣2x﹣1，又∵x＜﹣4，∴﹣2x＞8，则﹣2x﹣1＞7，当x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝2x+1，又∵x＞3，∴2x＞6，则2x+1＞7，∴当﹣4≤x＜3时，|x﹣3|+|x+4|取得最小值为7，同理，可得当﹣1≤y＜2时，|y﹣2|+|y+1|取得最小值为3，∴当|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10时，﹣4≤x＜3，﹣1≤y＜2，∴此时x+y的最小值为﹣4+（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．。

七年级数学上册人教版绝对值专题(课堂学案及配套作业)(解析版)

期末复习绝对值专题（解析版）第一部分教学案类型一利用绝对值的性质求值例1（2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5，（1）由于x＜y时，有x＝3，y＝5或x＝﹣3，y＝5，代入x+y即可求出答案；（2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y即可求出答案．解：由题意知：x＝±3，y＝±5，（1）∵x＜y，∴x＝±3，y＝5，∴x+y＝2或8；（2）∵xy＜0，∴x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，∴x﹣y＝±8．总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．变式训练1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若x＞y，求x﹣y的值．思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y即可求解；（2）根据条件求得x、y，进而求解即可．解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，∴x＝±3，y＝±7，∵x＜y，∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7，当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4；当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10，∴x+y的值为4或10；（2）∵x＞y，∴x＝﹣3，y＝﹣7或x＝3，y＝﹣7，当x ＝﹣3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝﹣3+7＝4，当x ＝3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝3+7＝10， ∴x ﹣y 的值为4或10．总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的x 、y 是解答的关键．类型二利用绝对值的性质去绝对值例2 已知a ＜﹣b ，且ab ＞0，化简|a |﹣|b |+|a +b |+|ab |＝．思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．解：∵a ＜﹣b ，且ab ＞0，∴a +b ＜0，a ，b 同号，都为负数，则原式＝﹣a +b ﹣a ﹣b +ab ＝﹣2a +ab ．故答案为：﹣2a +ab总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a ，b ，c 在数轴上面的位置如图所示：化简|a +b |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝．思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可．解：由图可知b ＜0＜a ＜c ，则a +b ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0， ∴原式＝﹣a ﹣b ﹣c +a ﹣b +c ＝﹣2b ．故答案为：﹣2b ．总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．变式训练1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等．（1）化简|a ﹣c |﹣|b ﹣a |﹣|b ﹣d |．（2）若|a |＝|c |，b ﹣d ＝﹣4，求a 的值．思路引领：（1）根据数轴得到a＜b＜c＜d，得到a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，根据绝对值的性质和去括号法则计算；（2）根据题意得到B点为原点，即b＝0，根据数轴的概念解答．解：（1）由图可知：a＜b＜c＜d∴a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，∴原式＝﹣（a﹣c）﹣（b﹣a）﹣[﹣（b﹣d）]＝﹣a+c﹣b+a﹣d+b＝c﹣d；（2）∵|a|＝|c|，a＜c，AB＝BC∴B点为原点，∴b＝0，∵b﹣d＝﹣4，∴d＝4，∴a＝﹣2．总结提升：本题考查的是数轴和绝对值，掌握绝对值的性质，数轴的概念是解题的关键．2．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a﹣c0，b﹣a0，b﹣d0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．思路引领：（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．总结提升：本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e是解此题的关键．类型三利用绝对值的非负性求值例4（2009秋•新华区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求a和b的值．思路引领：直接根据非负数的性质进行解答即可．解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3．总结提升：本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的性质得出a+2＝0，b﹣3＝0是解答此题的关键．变式训练1．（2020秋•洪山区校级月考）已知|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，求代数式2a﹣b+c﹣abc的值．思路引领：利用绝对值的代数意义，非负数的性质确定出各自的值，代入原式计算求出值．解：∵|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，∴a﹣1＝3或a﹣1＝﹣3，|b﹣（c+1）2＝0，解得：a＝4或﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，原式＝2×（﹣2）﹣3+（﹣1）﹣（﹣2）×3×（﹣1）＝﹣14．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型四aa类型问题例5（2022秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|={x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1．且当x＞0，y＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=．（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|=．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值．思路引领：（1）根据“当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1”进行计算即可；（2）分三种情况进行解答，即a、b同正，同负，一正一负进行解答即可；（3）由a+b+c＝0可得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，进而将原式变为−a|a|−b|b|−c|c|，再根据（1）的解法进行计算即可．解：（1）∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴a|a|=a−a=−1，又∵b＞0，∴|b|＝b，∴b|b|=bb=1，∴a|a|+b|b|=0；故答案为：0；（2）当a＞0，b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2，当a＞0，b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=−1+1＝0，当a＜0，b＜0时，a|a|+b|b|=−1﹣1＝﹣2，故答案为：﹣2或0或2；（3）∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴原式=−a|a|−b|b|−c|c|，又∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中有一个负数，两个正数，∴原式=−a |a|−b |b|−c |c|＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1，答：b+c |a|+a+c |b|+a+b |c|的值为﹣1．总结提升：本题考查绝对值，理解“当x ＞0时，x|x|=x x=1，当x ＜0时，x|x|=x −x=−1”是解决问题的关键．变式训练1．（2017秋•邛崃市期末）设a +b +c ＝0，abc ＞0，则b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是．思路引领：由a +b +c ＝0，abc ＞0，可知a 、b 、c 中二负一正，将b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c 代入所求代数式，可判断−a |a|，−b |b|，−c |c|中二正一负．解：∵a +b +c ＝0，abc ＞0， ∴a 、b 、c 中二负一正，又b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c ， ∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|=−a |a|+−b |b|+−c |c|，而当a ＞0时，−a |a|=−1，当a ＜0时，−a |a|=1，∴−a |a|，−b |b|，−c |c|的结果中有二个1，一个﹣1，∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是1．故答案为：1．总结提升：此题考查的知识点是绝对值，判断a 、b 、c 的符号是解题的关键．类型五多绝对值问题例6 （2020秋•恩施市月考）已经知道|x |的几何意义是数轴上数x 所对应的点与原点之间的距离，即|x ﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x 与数0之间的距离，这个结论可以推广为，|x 1﹣x 2|表示数x 1与数x 2对应点之间的距离．例1：已知|x |＝2，求x 的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x 的值为2或者﹣2．例2：已知|x ﹣1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x 的值为3或者﹣1．根据两个例子，求解：（1）|x﹣1|＝5，求x．（2）|x+1|＝5，求x．（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．思路引领：通过对例题的理解，根据数轴的性质，找到在数轴上对应的点，即可求解．解：（1）在数轴上与1对应的点的距离为5的点表示的数为﹣4和6，所以x的值为﹣4或者6；（2）在数轴上与（﹣1）对应的点的距离为5的点表示的数为4和﹣6，所以x的值为4或者﹣6；（3）在数轴上与（﹣3）对应的点的距离加上在数轴上与3对应的点的距离之和为6，因为（﹣3）到3的距离为6，所以x只有在（﹣3）与3之间可以满足表达式，x可以取：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．总结提升：本题主要考查了数轴结合绝对值的应用，绝对值性质在数轴上双向表示方法是解决问题的关键．类型六绝对值最值问题例7（2018秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：（1）|2﹣（﹣1）|＝；如果|x﹣1|＝2，则x＝．（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，计算x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．思路引领：（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到﹣4和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3，|x﹣1|＝2，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2x＝3或﹣1故答案为：3，3或﹣1；（2）∵|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到4与2的距离之和，∴当x 在2与4之间的线段上（即2≤x ≤4）时，|x ﹣2|+|x ﹣4|的值有最小值，最小值为4﹣2＝2，此时x 的取值范围为：2≤x ≤4．（3）因为x ﹣2＝0，x +4＝0时，x ＝2或﹣4，y ﹣1＝0，y ﹣6＝0时，y ＝1或6．当x ＜﹣4时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x ﹣x ﹣4＝﹣2x ﹣2；当﹣4≤x ≤2时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x +x +4＝6；当x ＞2时，|x ﹣2|+|x +4|＝x ﹣2+x +4＝2x +2；当y ＜1时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝1﹣y +6﹣y ＝﹣2y +7；当1≤y ≤6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+6﹣y ＝5；当y ＞6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+y ﹣6＝2y ﹣7；当x ＜﹣4，y ＜1时，x +y 取最小值，此时（﹣2x ﹣2）+（﹣2y +7）＝20 x +y =−152当x ＞2，y ＞6时，x +y 取最大值，此时（2x +2）+（2y ﹣7）＝20 x +y =252所以x +y 的最大值是252，最小值是−152．（4）由已知条件可知，|x ﹣a |表示x 到a 的距离，只有当x 到1的距离等于x 到2018的距离时，式子取得最小值． ∴当x =1+20182=1009.5时，式子取得最小值，此时，|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2017|+|x ﹣2018|＝|1009.5﹣1|+|1009.5﹣2|+|1009.5﹣3|+…+|1009.5﹣2016|+|1009.5﹣2017|+|1009.5﹣2018| ＝2（1008.5+1007.5+…+2.5+1.5+0.5）＝2×[0.5×1009+（1+2+3…+1008）] ＝2×（504.5+1008(1+1008)2）＝1018081．总结提升：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．变式训练1．（2022秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 两点之间的距离可表示为|a ﹣b |．（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；（2）利用数轴探究：①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是，②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的取值在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是；（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|+|x|≥a对任意有理数x都成立，求a的最大值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|＝（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，要使|x ﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2、4．故答案为：﹣2，4；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x ﹣2|取得最小值，这个最小值是2；故答案为：4；不小于0且不大于2；2；4，2；（3）由分析可知，当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式＝1+0+3＝4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|），要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x ﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x＝0代入原式，得|x﹣3|+|x ﹣2|+|x+1|+|x+2|＝3+2+1+2＝8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）＝﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2＝8．总结提升：本题考查了列代数式、数轴、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．第二部分配套作业1．（2020秋•江汉区校级期末）下列说法：①|a|＝﹣a，则a为负数；②数轴上，表示a、b 两点的距离为a﹣b；③|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0；④|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4思路引领：根据绝对值的性质，数轴的概念计算，判断即可．解：|a|＝﹣a，则a为非正数，①错误；数轴是表示a、b两点的距离为|a﹣b|，②错误；|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0或a＝0，b＝0，③错误；|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．④正确；故选：A．总结提升：本题考查的是数轴的概念，绝对值的性质，掌握绝对值的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2022秋•江岸区校级期中）下列说法正确的个数为（）①如果|a|＝a，那么a＞0；②使得|x﹣1|+|x+3|＝4的x的值有无数个；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2000；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据绝对值的性质可判断①，②，利用四舍五入法可直接求解判断③，根据有理数乘法的性质可判断求解④．解：①如果|a|＝a，那么a≥0，故原说法不符合题意；②当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故x的值有无数个，故原说法符合题意；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2.0×103，故原说法不符合题意；④几个非0的数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正，故原说法不符合题意．故有1个．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的乘法，绝对值的性质，近似数，掌握相关性质是解题的关键．3．（2021秋•涪城区校级月考）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若1a=a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，其中正确说法的有．思路引领：各式利用相反数，绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可．解：①若a为有理数，且a≠0，则a不一定小于a2，说法错误；②若1a=a，则a＝1或﹣1，说法错误；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数，说法正确；④若|a|＝﹣a，则a≤0，说法错误；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，说法正确．故答案为：③⑤．总结提升：此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，倒数，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键．4．（2022秋•蒲江县校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝3且a＞b，求a+b的值．思路引领：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a＝2时，b＝﹣3或a＝﹣2时，b＝﹣3，所以a+b＝﹣1或a+b＝﹣5．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵a＞b，∴当a＝2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣1．当a＝﹣2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣5．总结提升：本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．5．（2022秋•安岳县校级月考）（1）已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，求a﹣b的值；（2）已知|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，求式子a﹣2b﹣（﹣c）的值．思路引领：（1）根据绝对值的意义，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据绝对值的和为零，可得每个绝对值为零，根据代数式求值，可得答案．解：（1）由|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，得a＝5，b＝±3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8；（2）由|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，得a+2＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0．解得a＝﹣2，b＝4，c＝5．当a＝﹣2，b＝4，c＝5时，a﹣2b﹣（﹣c）＝﹣2﹣2×4﹣（﹣5）＝﹣2﹣8+5＝﹣5．总结提升：本题考查了代数式求值，利用绝对值的意义得出a、b、c的值，再利用代数式求值．6．（2021秋•新洲区期中）已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，若x+y≥﹣5，求x﹣y的值．思路引领：根据条件求出x，y的值，根据x+y≥﹣5，分三种情况分别计算即可．解：∵|x+1|＝4，（y+2）2＝4，∴x+1＝±4，y+2＝±2，∴x＝﹣5或3，y＝0或﹣4，∵x+y≥﹣5，∴当x＝﹣5，y＝0时，x﹣y＝﹣5；当x＝3，y＝0时，x﹣y＝3；当x＝3，y＝﹣4时，x﹣y＝7；综上所述，x﹣y的值为﹣5或3或7．总结提升：本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，根据x+y ≥﹣5，分三种情况分别计算是解题的关键．7．（1）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|（2）已知a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，化简：|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．思路引领：（1）由题意可得c＜a＜0＜b，则a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0，根据绝对值的定义化简可得．（2）由题意可得b＜0，c是非负数，则a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，再根据绝对值的定义化简可得．解：（1）由题意可得c＜a＜0∴a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|＝a+b﹣2b+2c+a﹣c+a+c＝3a﹣b+2c（2）∵a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，∴b＜0，c是非负数∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b+a+b﹣c+b+c﹣a＝b总结提升：本题考查了数轴和绝对值，利用|a|＝a（a＞0），|a|＝﹣a（a＜0），|a|＝0（a ＝0）化简是本题的关键．8．（2021秋•西城区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求式子1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)的值．思路引领：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可．解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，∴b＝1，a＝2，∴1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)=12×1+1(2+1)(1+1)+1(2+2)(1+2)+⋯+1(2+2021)(1+2021)＝1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023＝1−1 2023=2022 2023．总结提升：本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出1n(n+1)=1n−1n+1，以及抵消法的运用是解题的关键．9．阅读材料：我们知道：|x|的几何意义为数轴上表示数x的点到原点的距离，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是，x的值为；（3）若|x﹣3|＝|x﹣5|，求x的值；（4）求式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据|x1﹣x2|的几何意义求解可得；（3）先去绝对值，再解方程即可求解；（4）由题意知|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．解：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7．故答案为：7；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是表示到数2的距离为3的点，x的值为﹣1或5．故答案为：表示到数2的距离为3的点，﹣1或5；（3）|x﹣3|＝|x﹣5|，x﹣3＝±（x﹣5），解得x＝4．故x的值为4；（4）式子|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当x＜1时，原式＝﹣x+1﹣x+3＝﹣2x+4＞2，当1≤x≤3时，原式＝x﹣1﹣x+3＝2，当x＞3时，原式＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4＞2，故式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．10．（2022秋•安阳期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是．（3）说出|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．（4）结合数轴求|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为．此时符合条件的整数x 为．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可；（4）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5．故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3．故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为4﹣（﹣2）＝6．故答案为：6．（4）|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．故答案为：7，1或0．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义．11．（2022秋•祁阳县校级期中）我们知道，在数轴上，|a|表示a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|利用此结论．回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是；（3）式子|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3|，故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为﹣（﹣2）＝6，故答案为：6．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．13．（2020秋•公安县期中）探究活动：【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．【探索】（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝．（2）数轴上表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是，如果AB＝3，那么x的值为．（3）若|x﹣2|+|x+3|＝7，试求x的值；（4）当x为何值时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是多少．思路引领：（1）根据数轴上两点间的距离求法求解即可；（2）由题意可得|x+2|＝3，求解x即可；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，当﹣3≤x≤2时，（3）|x﹣2|+|x+3|的值最小为5，结合题意可知，当表示x的点在表示2的点的右边时，x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，x的值为﹣4；（4）|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x 的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，﹣2020≤x≤1时，距离之和最小是2021．解：（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是|﹣1﹣（﹣5）|＝4，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5，AB＝|a﹣b|，故答案为：4，5，|a﹣b|；（2）表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵AB＝3，∴|x+2|＝3，解得x＝1或x＝﹣5，故答案为：|﹣2﹣x|，﹣5或1；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，∵表示x的点在表示2和﹣3的两个点之间时，距离之和为5，∴当表示x的点在表示2的点的右边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为﹣4；∴x的值为3或﹣4；（4）∵|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，当表示x的点在表示﹣2020和1的两个点之间时，距离之和最小，∴当﹣2020≤x≤1时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是2021．总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．。

七年级数学上册绝对值专题练习

．
2．已知 a 5 ， b 3 ，且 a b b a ，那么 a b =
．
3．已知有理数 a、b、c 在数轴上的对应位置如图所示：
则 c 1 a c a b 化简后的结果是
．
4．若 a、b 为有理数，那么，下列判断中：(1)若 a b ，则一定有 a b ； (2)若 a b
思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出 a、b 的值．
【例 4】化简
(1) 2x 1 ；
(2) x 1 x 3 ；
(3) x 1 2 x 1 ．
思路点拨 (1)就 2x 1 0，2x 1 0 两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点 1，3 在同一数轴上表示出来，就 x 1，1≤x<3，x≥3 三种情况进行讨论；(3)由 x 1 0，x 1 2 0
思路点拨 (1)由已知条件求出 a、b、c 的值，注意条件 a b c 的约束；(2)若注意到 9+16＝25 这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对 x ， y 的取值进行
分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把 5 拆分成两个正整数的和入手．
【例 2】如果 a、b、c 是非零有理数，且 a b c 0 ，那么 a b c abc 的所 a b c abc
【例 6】已知 ( x 1 x 2 )( y 2 y 1)( z 3 z 1) 36 ，求 x 2 y 3z 的最大
值和最小值．
思路点拨解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．
基础训练
1．若有理数 x 、 y 满足 2015(x 1)2 x 12 y 1 0 ，则 x 2 y 2
取式子的最小值．
链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段 a 、 a 2n 是非负数的两种重要形式，非负数有如

七年级绝对值经典练习专题

5
③如图 4，点 A、B 在原点的两边，︱AB︱＝︱OA︱＋︱OB︱＝︱a︱＋︱b︱＝a＋（－b）＝︱a－b︱．综上，数轴上 A、B 两点之间的距离︱AB︱＝︱a－b︱．（2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是__________，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是__________，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是 __________； ②数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是__________，如︱AB︱＝ 2，那么 x 为__________； ③当代数式︱ x ＋ 1 ︱＋︱ x － 2 ︱取最小值时，相应的 x 的取值范围是 __________．
四、掌握命题动态 1、（2006 年成都） 2 的倒数是（ A、2 B、） D、－2
1 2
C、
1 2
2、（2005 年济南）若 a 与 2 互为相反数，则|a＋2|等于( A、0 B、－2 C、2
3
)
D、4
3、（2005 年广东深圳）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|- a 的结果是
b O a
A、2a-b
B、b
C、-b
D、-2a+b
二、把握命题趋势 1、（信息处理题）已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数，的值. abc
2 、 ( 章节内知识点综合题 ) 有理数 a、b、 c 在数轴上的位置如图所示，化简
a b 0 c
6
）
C、正数或零
2、下列说法中正确的个数有（
）
①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②绝对值等于本身的数只有正数； ③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

七年级上册数轴动点绝对值问题

七年级上册数轴动点绝对值问题一、数轴动点绝对值问题题目。

1. 已知数轴上点A表示的数为 -2，点B表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。

- 当t = 2时，求PQ的长度。

- 求当t为何值时，PQ=(1)/(2)AB。

解析：- 当t = 2时，点P表示的数为-2 + 1×2=0，点Q表示的数为6-2×2 = 2。

- 所以PQ=|0 - 2|=2。

- 因为AB=| - 2-6| = 8，点P表示的数为-2+t，点Q表示的数为6 - 2t。

- 则PQ=|(-2 + t)-(6 - 2t)|=|3t - 8|。

- 当PQ=(1)/(2)AB = 4时，即|3t - 8|=4。

- 当3t-8 = 4时，3t=12，t = 4。

- 当3t - 8=-4时，3t=4，t=(4)/(3)。

2. 数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且| a+2|+(b - 1)^2 = 0，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

- 求AB的长。

- 若点P到点A和点B的距离相等，求x的值。

- 数轴上是否存在点P，使PA+PB = 5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

解析：- 因为| a + 2|+(b - 1)^2 = 0，| a+2|≥slant0，(b - 1)^2≥slant0。

- 所以a=-2，b = 1，则AB=| - 2-1|=3。

- 因为点P到点A和点B的距离相等，所以x=(a + b)/(2)=(-2 + 1)/(2)=-(1)/(2)。

- 当点P在点A左侧时，PA=-2 - x，PB = 1 - x，则-2 - x+1 - x=5，-2x=6，x=-3。

- 当点P在点B右侧时，PA=x + 2，PB=x - 1，则x + 2+x - 1 = 5，2x=4，x = 2。

3. 已知数轴上有A、B两点，A点表示的数为 -1，B点表示的数为3。

七年级数学上册《绝对值》专项训练(教师版)

肃七年级数学上册《绝对值》专项训练辑一.选择题妍1,若」^1= — 1,则a为（）a蝇A. a> 0 B. a<0 C. 0v av 1 D. Tvav0菜考点：绝对值。

妨分析：根据―个负数的绝对值是它的相反数”求解.敢解答：解：<上」二—1,a鬟|a|=- a,着,「a是分母，不能为0,肃. . a v 0.聿故选B.蜗点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.噩2.若ab>0,贝U占+4+_^_的值为（）Ib| |b| |ab|蒙A. 3 B. - 1 C. 土或i3 D.3 或—1衿考点：绝对值。

票分析：首先根据两数相乘，同号得正，得到a, b符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论.肄解答：解：因为ab>0,所以a, b同号.辐①若a, b同正，贝U &+&+_^_=1+1+1=3 ；lb I |b| |ab|薄②若a, b 同负，贝U -r^T+~r^T+ ।」＞=—1 — 1 + 1= — 1 .lb I |b| |ab|荽故选D.藏点评：考查了绝对值的性质，要求绝对值里的相关性质要牢记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.该题易错点是分析a, b的符号不透彻，漏掉一种情况.筮3.已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c| 等于（）展A.TB.0 C. 1 D.2薇考点：有理数的加法。

薄分析：先根据有理数的相关知识确定a、b、c的值，然后将它们代入a+b+|c|中求解.腿解答：解：由题意知：a=1, b= - 1, c=0;犀所以a+b+|c|=1 — 1+0=0 .覆故选B.蜜点评：本题主要考查的是有理数的相关知识.最小的正整数是1,最大的负整数是-1,绝对值最小的有理数是0.蔻4.已知|a|=3, |b|=5,且abv0,那么a+b的值等于（）袁A. 8 B. - 2 C. 8 或—8 D. 2 或—2莆考点：绝对值；有理数的加法。

七年级数学上册《绝对值》竞赛讲义 (新版)苏科版

《绝对值》【图解考点】【技法透析】1．绝对值的基本性质在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a 、b 为有理数，则：(1)非负性：①a ≥0；②若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0；(2)若a ＝b ，则a ＝±b ；222a a a == (3)ab a b =∙；a a b b=（b ≠0）；④a b a b a b -≤±≤+．特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0．2．去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：(1)由已知条件去绝对值．(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值．(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可．3．绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下：①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ，②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0，③当a<0时，方程无解．(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点．②根据未知数的取值范围分类讨论．③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程．特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法．4．绝对值的几何意义在生活中的应用在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+- ，则：(1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值；(2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤12n a +时取最小值．【名题精讲】赛点1 绝对值的化简例1 1111111111201720162016201520152014322-+-+-++-+- ＝_______．【切题技巧】脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a ＝－a ．【规范解答】原式=1111111-----12017201620162015201520142---- （）（）（）（）=12016-+120172017= 【借题发挥】绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断．去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a 1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的．【同类拓展】1．有理数a ，b 的大小关系如图，则1212a b a b a b a b -++-+-++的值是( D )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3赛点2 绝对值的分类讨论例2 若abc<0，a ＋b ＋c>0，且x ＝a b c a b c++，试求代数式(1－2x)2016－2016 x ＋2016的值．【切题技巧】解决本题的关键是对a 、b 、c 的符号的所有可能情况进行分类讨论，由abc<0可知a 、b 、c 中有一个或三个全为负数，又由a ＋b ＋c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以a 、b 、c 中有一个负数，两个正数．【规范解答】由abc<0，可知a 、b 、c 中有一个负数或三个全为负数，又由a ＋b ＋c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以可得a 、b 、c 中有一个负数，两个正数，依x 的轮换性，不妨设a>0、b>0、c<0．则：1a b c x a b c=++=-．所以原代数式的值为：(1－2×1)2016－2016×1＋2016＝1－2016＋2016＝1．【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用已知条件去掉绝对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法．在分类讨论时，分类要全面、准确、不失一般性．【同类拓展】已知有理数x ，y ，z 满足xy<0，yz>0，且x ＝3，y ＝2，12z +=，求x ＋y ＋z 的值．－2赛点3 求1232016x x x x -+-+-++- 的最小值．【规范解答】由绝对值的几何意义知1x －a 1在数轴上表示数x 与数a 两点之间的距离，故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x 的点，使它到1，2，3，…，2015，2016的点的距离和最小．【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到1，2，3，…2016的点的距离之和最小，可看出当1008≤x ≤1009时，原式的值最小，把x ＝1008代入原式中得：原式＝10081100821008310082016-+-+-++-=1007+1006+1005+...+1+0+1+2+3+ (1008)=2（1+2+3+…1007）+1008【借题发挥】 (1)由绝对值的几何意义可知如图①当a ≤x ≤b 时，x a x b -+-的值最小，如图②当x ＝b 时，x a x b x c -+-+-的值最小．(2)一般地，设a 1，a 2，a 3…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，若n 为奇数，则当x ＝12n a +时，12n x a x a x a -+-++- 的值最小；若n 为偶数，则当a 2n a ≤x ≤12n a +时，12n x a x a x a -+-++- 的值最小．(3)在实际牛活中，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题．如某公共汽车运营线路AB 段上有A 、B 、C 、D 四个汽车站，如图所示，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处最好？求最小路程总和，即求M 到A 、B 、C 、D 的距离和最小，不妨设A 、B 、C 、D 四点在数轴上且分别表示为数a ，b ，c ，d(a<c<d<b)，点M 表示的数为工，则点M 到A 、B 、C 、D 四点距离和为x a x b x c x d -+-+-+-由绝对值几何定义可求解．【同类拓展】 3．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数．一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调出的电脑总数最小数目为12台．赛点4 绝对值方程例4 解方程22110x x -++=【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x －2＝0，2x ＋1＝0，分别得到x ＝2，x ＝－12用2，－12将数轴分成三段：【规范解答】【借题发挥】对于含有多重绝对值符号的方程，可用零点分段法，从内向外逐个去掉绝对值符号，只是在分类讨论时要注意未知数的取值范围，以免出错，如解方程：21x x -+＝3，解题时运用“零点分段法”从内向外，根据绝对值的代数定义、性质去简化方程．【同类拓展】 4．已知21951x x y y ++-=----，求x ＋y 的最大值和最小值．－3．。

数学竞赛专题讲座七年级第4讲解读绝对值(含答案)

第四讲解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②ba ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a； ④222a a a ==；⑤ba b a +≤+；⑥ba b a b a +≤-≤-．3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知1=a ，2=b ，3=c ，且c b a >>，那么c b a -+＝． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知d c b a 、、、是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，那么=---c d a b ． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知5=x ，1=y ，那么=+--y x y x _________．（北京市“迎春杯”竞赛题）（4）非零整数m 、n 满足05=-+n m ，所有这样的整数组),(n m 共有______组．（首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x ，y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．【例2】如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abcabc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或1-C ．2或2-D ．0或2- (山东省竞赛题) 思路点拨根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键．【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)a ≥0，即非负数有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．（“希望杯”邀请赛试题）思路点拨解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．基础训练1．若有理数x 、y 满足+-2)1(2002x 0112=+-y x ，则=+22y x ． 2．已知5=a ，3=b ，且a b b a -=-，那么b a += ． 3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是．（湖北省选拔赛题) 4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，1-，那么1+a 表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对),(b a 的值． (全国初中联赛题) 11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ． 12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是． l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c cb b a -+-+-可能取得的最大值是． (江苏省竞赛-232ba1-1题) 15．使代数式xx x 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-bab a 等于（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的代数式 18．设0=++c b a ，0>abc ，则cba b a c a c b +++++的值是（）． A ．3- B ．1 C ．3或1- D ．3-或1 19．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设ba c ac b cb a x +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-ac b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ，求代数式20032002212222x x x x+--- 的值．答案：1. 37362.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式=351()2325()23251()3x xx xx x⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩(2)原式=43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x xx xx xx xx x--<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得||1a bab-=⎧⎨=⎩或||01a bab-=⎧⎨=⎩11.-2-x、-1 12.x<-1 提示:因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.13. 425提示:ab=-b2=-│b│2=-42514.16 15.D** 提示:原式= 17.C 18.B19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即ab c+=-1,bc a+=-1,ca b+=-1,所以||ab c+,||bc a+,||ca b+中必有两个同号,另一个符号与其相反,•即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………①或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②,由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1;由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1,无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1,故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7;当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,故M的最大值为7,最小值为3.22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2=22002(2-1)-•22001-…-22+2=22002-22001-…-23-22+2=24-23-22+2=6.提高训练1．计算：214131412131---+-=______． (重庆市竞赛题)2．代数式131211++-++x x x 的最小值为______．（北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知c b a <<<0，化简式子：c b a c b a b a -+--++-2得______．4．若a 、b 、c 、d 为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a 那么=-d a ___． 5．设a 是有理数，则a a -的值（）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数（广东省中考题） 6．已知m m -=，化简21---m m 所得的结果是________． 7．若3=a ，5=b ，那么b a b a --+的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数a 、b 、c 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（）． A ．0>++c b a B ．c b a <+ C ．c a c a +=- D ．a c c b ->-9．已知abcabc cc bb aa x +++=，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知a 、b 、c 满足0))()((=+++a c c b b a ，且0<abc ，则代数式ccb b a a ++的值为______．（四川省竞赛题） 11．若有理数m 、n 、p 满足1=++pp nn mm ，则mnpmnp32=______．cb a（“希望杯”邀请赛试题） 12．设a 、b 、c 是不为零的有理数，那么ccb b a a x -+=的值有（）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种（“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，那么原点O 的位置在（）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若2-<x ，则x y +-=11等于（）．A ．x +2B ．x --2C ．xD ．x - (四川省竞赛题) 15．已知a 、b 、c 、d 是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，求c d a b ---的值．（“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．（山东省竞赛题）B C A cba。

七年级数学竞赛第6讲绝对值

第 6 讲绝对值
知能概述：从数轴上看，|a|表示数 a 的点到原点的距离，|a−b|表示数 a，数 b 的两点间的距离。解与绝对值相关最
值问题，借助数轴形象而直观。去掉绝对值符号是解绝对值问题的出发点，分类讨论法是去掉绝对值符号的关键，而分类讨论法有丰富
内涵，常随着问题不同(如多元、多个绝对值等)呈现不同的讨论方式。
11．已知 a，b，c 均为整数，且满足|a−b|10+|a−c|10 =1，则|a−b|+|b−c|+|c−a|=(
A．1
B．2
C．3
D．4
). (全国初中数学联赛题)
12．已知 x，y 都不等于 0，若|x +y|=||x|−|y||，则( ).
A．x>0，y>0
B．x<0，y<0
C．xy<0
17．已知 a，b，c，d 是有理数，|a −b|≤9，|c−d|≤16，且|a−b−c+d|=25，求|b−a|−|d−c|的值。 (“希望杯”邀请赛试题)
18．将 1，2，…，200 这 200 个数任意分为两组，每组 100 个数，将一组按由小到大的顺序排列(记为 a1<a2 <…<a100)，另一组按由大到小的顺序排列(记为 b1>b2>…>b100)，试求|a1−bl|+|a2−b2|+…+|a100−bl00|的值。
A．0
B．−4，0，4
C．−4，−2，0，2，4
D．−4，−2，2，4
解题思路：根据 a，b，c 的符号的所有可能情况讨论。
)。 (美国数学竞赛题)
例 3．（1）巳知|ab−2|与|b−1|互为相反数，试求代数式