第三章 三角函数、解三角形

cos αsinα＋β－sin αcosα＋β ＝2⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α⇒sin β＝ sin α 2sin α， 所以 sin2β＋2cos 2α＝4sin2α＋2(1－2sin2 α)＝2.
[点评] 本题的关键是要化简已知条件，用两角和与差
的正、余弦公式化简条件，得到sin β＝2sin α，再代入所求
πx 0≤x≤1 时，不等式 sin 2 ≥kx 成立，即当 0≤x≤1 时，函数 y πx ＝sin 2 的图象在函数 y＝kx 的上方，作出两函数图象后比较即 可轻易得出 k≤1.
2．化归与转化思想 化归与转化思想体现在三角函数中，主要是利用切化弦、 统一角、统一函数名、换元等手段处理求值(域)、最值、比较
围或参数的范围展开有序的讨论．
[例 5] sin x－k)．
已知 a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，k)，c＝(－2cos x，
1 (1)若 f(x)＝a· (b＋c)， f(x)的最小正周期及方程 f(x)＝2的解集； 求 3 (2)若 g(x)＝(a＋b) · c，求当 k 为何值时，g(x)的最小值为－2.
[解]
(1)所求的函数的解析式为 f(x)＝
π 2sin2x＋6.
(2)在同一坐标系中画出 y＝2sin
π 2x＋ (0<x<π)和 6
y＝m(m∈R)
的图象，如图所示，由图可知，当－2<m<1 或 1<m<2 时，直线 y＝ m 与曲线有两个不同的交点， 即原方程有两个不同的实数根， 所以 m 的取值范围为－2<m<1 或 1<m<2. 4π π 当－2<m<1 时，两根之和为 3 ；当 1<m<2 时，两根之和为3.
数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题
一、三角函数中的数学思想 1．数形结合思想 体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角 函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、 讨论方程解的个数、比较大小等．
[例 1] ________．
[解析] 如图所示．
2 6 7 sin 5π，cos 5π，tan 5π 从小到大的顺序是
k 对称轴 t＝－ 3＝－3. 2×2 k ①当－3<－ 2，即 k>3 2时， 3 3 3 g(x)min＝h(－ 2)＝2×(－ 2)2＋k(－ 2)－k2－2＝－k2－ 2k＋2， － 2± 14 3 3 2 由－k － 2k＋2＝－2，得 k ＋ 2k－3＝0.所以 k＝ .因为 2
[解] (1)b＋c＝(sin x－2cos x，sin x)， f(x)＝a · (b＋c)＝sin x(sin x－2cos x)＋cos xsin x＝sin2 x－sin xcos x 1－cos 2x 1 1 1 ＝ －2sin 2x＝2－2(sin 2x＋cos 2x) 2 π 1 2 ＝2－ 2 sin 2x＋4， π 2π 1 1 2 所以f(x)的最小正周期为T＝ 2 ＝π.由f(x)＝ 2 ，得 2 － 2 sin 2x＋4 ＝ π 1 2x＋ ＝0. 4 2，所以sin π kπ π 所以2x＋4＝kπ(k∈Z)．所以x＝ 2 －8(k∈Z)． kπ π 1 所以方程f(x)＝2的解集为xx＝ 2 －8k∈Z .
大小等问题．
sin2α＋β [例 3] 已知 sin α －2cos(α＋β)＝2， 试求 sin2β＋2cos 2α 的值． sin2α＋β sin[α＋α＋β] [解] 由 sin α ＝ ＝ sin α
sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β cos αsinα＋β ＝cos(α＋β)＋ ， sin α sin α cos αsinα＋β 则 条 件 转 化 为 － cos sin α (α ＋ β) ＝ 2 ⇒
式子．
3．函数与方程思想
体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方
程的思想求值、证明等问题．
[例 4]
已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，
π ω>0，|φ|<2)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式； (2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实
数m的取值范围以及这两个根的和．
2 6 7 设 a＝sin5π，b＝cos 5π，c＝tan 5π，
可知 b<0<a<c， 6 2 7 ∴cos 5π<sin 5π<tan 5π.
[答案]
6 2 7 cos 5π<sin 5π<tan 5π
[点评] 本题中所涉及的角都不是特殊角，求出值来再比较
大小很不方便，而利用单位圆上的三角函数线则很容易将它们 各自函数值的大小区分出来．
[点评]
本题将方程的根的问题源自文库化成两个函数图象
交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解．从函 数图象上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y＝ m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数 根，这也体现了函数与方程思想的具体应用． 4．分类讨论思想 体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范
(2)a＋b＝(2sin x，cos x＋k)， g(x)＝(a＋b)· c＝－4sin xcos x＋(cos x＋k)(sin x－k)＝－ 3sin xcos x＋k(sin x－cos x)－k2. π 令 t＝sin x－cos x＝ 2sinx－4， 则 t∈[－ 2， 2 ]，且 t2＝sin2x＋cos2 x－2sin xcos x＝1 －2sin xcos x， 1－t2 所以 sin xcos x＝ 2 . 1－t2 32 2 所以 g(x)可化为 h(t)＝(－3)· 2 ＋kt－k ＝2t ＋kt－k2－ 3 2，t∈[－ 2， 2]，
[例 2] πx 当 0≤x≤1 时，不等式 sin 2 ≥kx
πx πx 作出 y1＝sin 2 与 y2＝kx 的图象，要使不等式 sin 2
恒成立，则实数 k 的取值范围是________．
[解析]
≥kx 成立，由图可知，需 k≤1.
[答案] (－∞，1]
[点评]
本题将不等式转化成两个函数图象的位置关系，当