3.2常系数线性齐次递推关系

A1 0 1 A2 A3 3 A 4 2

因此所求递归的解为
n n n a n n cos 2 3sin 2 2n sin 2
3.2.3 递推(3.2.1)的解

定理3.2.1 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) x＝q(非零复数)

an＝qn

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.3 递推(3.2.1)的解

定理3.2.2 h1(n),h2(n),…,hk(n)解

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.4 特征根互不同

例3.2.2 解递归 a 1=1, 2=0 a
a n =a n-1 a n-2

解 递推推关系an＝an-1－an-2 (＊)
(＊)的特征方程为x2－x＋1＝0
1+ 3i i (＊)的特征根x1 2 e 3 ,
3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 代入an＝xn (x≠0)得 xn＝c1xn-1＋c2xn-2＋…＋ckxn-k
xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2)
递推关系(3.2.1)的特征方程 递推关系(3.2.1)的特征根

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.3.5 特征根有重根

例3.2.3 解递归 a0=0,a1=1, 2=2, 3=3 a a a n =-2a n-2 a n-4

解 递推推关系an＝－2an-2－an-4 (＊) (＊)的特征方程为x4＋2x2＋1＝0 (＊)的特征根x1＝x2＝i , x3＝x4＝－i (＊)的通解
x1n－ 2 x2n＝pnsinnө
1
3.2.4 特征根互不同

定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2)
有k个不同复根x1＝peiө,x2＝pe-iө,x3 …,xk
an＝A1pncosnө ＋A2pnsinnө ＋A3x3n ＋…＋Akxkn通解
3.2常系数线性齐次递推关系


3.2.1 递推关系(3.2.1)
3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程 3.2.3 递推(3.2.1)的解
3.2.4 特征根互不同
3.3.5 特征根有重根
3.2.1 递推关系(3.2.1)

常系数k阶线性齐次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 其中c1,c2,…,ck是实数常数， ck≠0
n n n n a n= A1cos 2 + A2ncos 2 A3 sin 2 + A4n sin 2
3.3.5 特征根有重根

把a1＝0, a2＝1,a3＝2, a4＝3代入通解得
A1 0 A3 A 4 1 A1 2 A 2 2 A3 3 A 4 3
3.2.4 特征根互不同

把f0＝0, f1＝1代入通解
A1 A2 0 1 5 1 5 A1 2 A2 1 2
5 A1 5 5 A2 5

因此所求递归的解
5 1 5 5 1 5 fn 5 5 2 2

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 线性组合A1h1(n)＋A2h2(n)＋…＋Akhk(n)解
3.2.4 特征根互不同

定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 有k个不同复根x1,x2,…,xk
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn是通解
A1 1 3 A2 3

因此所求递归的解为
n 3 n a n cos 3 3 sin 3
3.3.5 特征根有重根

Байду номын сангаас
定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) q(q≠0)是m(m≥2)重根
an＝ntqn(t＝0,1,2,…,m－1)是解

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.4 特征根互不同

f 0=0, 1=1 f 例3.2.1 解递归 f n =f n-1+f n-2

解 递推推关系fn＝fn-1＋fn-2 (＊) (＊)的特征方程 x2－x－1＝0
1+ 5 1- 5 (＊)的特征根 x1＝ , x2＝ 2 2 n n 1 5 1 5 (＊)的通解 f n= A1 + A 2 2 2
1- 3i i x2 2 e 3
(＊)的通解
n n a n= A1cos 3 + A2 sin 3
3.2.4 特征根互不同

把a1＝1, a2＝0代入通解得
A1 cos 3 A 2 sin 3 1 A cos 2 A sin 2 0 2 1 3 3

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.3.5 特征根有重根

定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 不同根x1,x2,…,xt-1,xt(xt为m重根)
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋At-1xt-1n
＋Atn0xtn＋At+1n1xtn＋ …＋Aknm-1xtn通解
n n




3.2.4 特征根互不同

xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 共轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө x1n＝pneinө，x2n＝pne-inө

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
1 2
x1n＋ 2
1
n＝pncosnө， 1 x2 2