组合数学课件第二章第三节关于线性常系数非齐次递推关系

an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1= hmn, km+bk= hm,
k hm mb
m等于-b时无效
m是特征方程的根时无效
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1+can-2 =hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1+ckmn-2= hmn,
形式： an=fn+对应的线性常系数齐次递推关系的解。
证明：fn是特解，设sn 是一个解
令tn=sn-fn
则序列{ti}是线性常系数齐次递推关系的解
sn=tn+fn
证毕
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
一阶、二阶线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1=c(n) an+ban-1+can-2=c(n)
称为k阶线性递推关系，其中若 c1,c2,…,ck都是常数，则称为常系数线性递 推关系，若bn=0，则称为是齐次的，否则 为非齐次的。
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2.10任意阶齐次递推关系
设r1,r2,…,rs是线性常系数齐次递推关系
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
两边同除 以4n-2：
c(4246)542,得 c40 3
404n,
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特征方程 x2x6(x3)x(2)
ank13nk2(2)n4 3 04n
40 k1 k 2 3 5
3k1 2k 2
160 3
(1)右端项为常数h (2)右端项为hmn,h为常数，m为已知整数。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。 (1) 猜解法:
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
猜an解的可能情况?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解源自办法。 (1) 猜解法:的不同的特征根，并设hi是ri的重根 数，i=1,2,3,…,s。则
an (A0 A1n...Ah11nh11)r1n (B0 B1n...Bh21nh21)r2n ... (T0 T1n...Ths1nhs1)rsn
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2.1 递推关系
Fibonacci递归算法:
解：递推关系：an=an-1+2an-2 a1=1,a2=3
特征方程x2-x-2=0的根r1=-1，r2=2
anA(1)nB2n
an
1(-1n)22n
3
3
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
定理1 若fn 是线性常系数非齐次递推关系的特 解，则这个线性常系数非齐次递推关系的解有如下
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k1

13
2 5
k2

76 15
a n 6 5 7 3 n 1 7 5 6 ( 2 )n 4 3 0 4 n
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
例2 a n a n 1 6 a n 2 3 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为：c×3n ,代入递推关系。
c 3 n c 3 n 1 6 c 3 n 2 3 n
32c3c6c32
无解！对于 这种情况怎 么处理?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
(2)划为高阶齐次递推关系，通过比较推测递 推关系的特解
an-ban-1=hmn, an-1-ban-2=hmn-1,
an-ban-1=hmn,
第2章递推关系与母函数
2.1递推关系
2.2母函数(生成函数)
2.3Fibonacci数列
2.4优选法与Fibonacci序列的应用
2.5母函数的性质
2.6线性常系数齐次递推关系
2.7关于常系数非齐次递推关系
2.8整数的拆分
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 如下面的递推关系：
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
km2+bkm+ck= hm2,
k

m2
hm2 bmc
分母为零时无效 m是特征方程的根时无效
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
例1 a n a n 1 6 a n 2 5 4 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为： c4n,
c 4 n c 4 n 1 6 c 4 n 2 5 4 n
int fibonacci(int n) {if (n=1||n=2) return(1); else return(fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)); }
时间复杂性：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
若b≠m,则解为: an=k1bn+k2mn, 若b=m,则解为: an=(k1+k2n)mn,
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
分别讨论如下： (a)若b≠m,则an-ban-1=hmn 的解必可写成如下形 式。an=k1bn+k2mn, 定理1可知，非齐次递推关系的解可表示为齐次递 推关系的解加上特解fn。 比较可得：fn=k2mn,k2是待定系数，
对应的齐次递推关系。
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
如果序列xn和yn满足非齐次递推关系，
则序列zn=xn-yn满足其对应的齐次递推关系。 证明：略
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特解与一般解:
例2：某人有n元钱，一次可买1元的矿泉水，也 可以买2元的（啤酒、方便面）的一种，直到所 有的钱花完为止(买东西的顺序不同，也算不同 方案)，求n元钱正好花完的买法方案数。
(1)
man-1-mban-2=hmn,
an-(b+m)an-1 +bman-2 =0 （2）
故导致二阶齐次递推关系，（1）式的解必然 是（2）式的解，但（2）式解不一定是（1） 式的解。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
（2）式的特征方程是：x2-(b+m)x+bm=0, 它有两个特征根b和m。