平面解析几何知识点总结

平面解析几何知识点总结
直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率
(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π
2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率
通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.
(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1
. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系
每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：
3．直线方程的五种形式
4．
说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直
设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式
点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(2)点到直线的距离公式
点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式
两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2
. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．
圆的方程
1．圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2. 圆的标准方程
(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22
＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22
＝D 2＋E 2
－4F
4
. (1) 当
D 2＋
E 2－4
F >0
时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2
为半径的圆；
(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2；
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．
4. 直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
5.
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2) 判断两圆位置关系的方法
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l
2)2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
椭圆
1．椭圆的概念
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
椭圆定义用集合语言表示如下：
P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．
在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质
－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相
等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2
n
2＝1(m 2≠n 2)的形式．
3．椭圆中的弦长公式
(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2
a
，最长为2a .
双曲线
1．双曲线的概念
把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
3．双曲线与椭圆的区别
(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；
(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；
(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |
d
＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．
注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。