单自由度系统自由振动)

根据固有频率的定义来求
运动微分方程 J mgS sin 假定角不大，有sin mgS 0
J 可以通过周期计算转动惯量
由等效质量和等效刚度来求
应用能量法来求
T：动能；U：势能
对振动系统：T U 常数
d (T U ) 0，可由此建立振动微分方程 dt
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法
五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
一、单自由度振动系统 1、单自由度系统及其振动微分方程建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解
在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大 小成正比，始终指向静平衡位置。
④简谐振动的合成
（2）周期振动的谐波分析
f (t) f (t nT) n 0, 1, 2,
2
基频
T
一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。
（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在；
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f mx f mx 0 M J M J 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
b2
a2
d2
mlx
l
cx
l
k1
p
sin
pt)
频率不相等的简谐运动之和，一般不再是简谐振动。
Δ
X
1
X 0 (1 2 )2 (2 )2
放大因子，它代表稳态振幅X与激 振力幅F0静止作用于弹簧上的静位 移之比。
λ=1时的放大因子称为品质因子
Q 1 p
2
单位谐函数法是指作用在系统上的激励为复数形式的单位
幅值简谐激振力， fc (t) eit cost i sin t
（2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。
f
(t)
a0 2
a1
cos t
a2
cos 2t
b1 sin t b2 sin 2t
=
a0 2
a j
j 1
cos(
jt) bj
sin(
jt)
a0 2
j 1
Aj
sin(
jt j )
其中
a0
2 T
T
f (t)dt
0
2
aj T
T
f (t) cos( jt)dt
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
拉压刚度 弯曲刚度 扭转刚度
kD
EA l3
3EI
kB l13
kC
GI p l2
弹簧的串、并联
ke k1 k2
1 11
ke k1 k2
串联弹簧的刚度 并联弹簧的刚度
11 1 k k1 k2
k k1 k2
（2）等效质量
通常用能量法求复杂系统的等效质量，即按实际系统要转化的质量的 动能与等效系统质量动能相等的原则来求系统的等效质量。
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
ke i2k1 Je i2 J1
（3）等效阻尼 在工程实际中，往往根据在振动一周期内实际阻尼所耗散的能量与
粘性阻尼所耗散的能量相等来求系统的等效粘性阻尼。
系统作简谐振动时，粘性阻尼在振动的一周期内所作的功
x X sin(t )
x X cos(t )
Wc
T
0 Fc xdt
2
c2 X 2 cos2 (t )dt c X 2
0
库仑阻尼
ceq
4mg X
流体阻尼
ceq
8 A 3
结构阻尼
ceq
a
（4）外界激励 单自由度系统的振动方程的一般形式
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
ml
圆频率 p a k lm
假定摆球的微幅振动为简谐振动 Asin( pt ) 则max A， Apcos(pt )，max Ap
0
bj
2 T
T
f (t)sin( jt)dt
0
Aj
j
a
2 j
arctan
ba2jj bj
例题1－1 对方波信号
f (t) FF00
0tT 2
T tT 2
进行谐波分析。
f (t) 4F0 sin jt
j1,3,5,
j
4F0
sin t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
（3）振动的频谱分析 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
故
X
F0
k m 2
F0 k
1
1 2
其中 ，称为频率比
p
完整解
x
x1
x2
B sin
pt
D cos
pt
F0 k
1
1 2
sin t
将初始条件 x0，x0代入，即得
x
x0 p
sin
pt
x0
cos
pt
F0 k
1
1 2
(s in t
p
sin
pt)
若 x0 0，x0 0有
x
F0 k
1
1 2
(s in t
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
当外界激励为零（即 F(t) 0 ）时，系统仅在开始时受到外界干 扰即初始干扰（如初始位移或速度），靠系统本身的固有特性而进行振 动，即自由振动。
如果系统受到外界持续激励（即 F (t) 0 ），就会从外界不断地 获得能量，补充阻尼所消耗的能量，使系统保持等幅振动。这种由外界 持续激励引起的振动即是受迫振动或强迫振动。
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
i(t )
Ae 2
x A2ei(t) A e2 i(t )
arctan
px0 x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数H (（) 频响函数）
物理特性
模态特性
响应特性
力学模型: 质量、刚度、阻尼
模态模型: 固有频率、模态矢量 模态质量、刚度、阻尼
响应模型: 位移、速度、加速度
时域模型：微分方程描述
频域模型：传递函数描述 频率特性描述
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励
法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。
将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。 引入频谱分析的重要性在于：
①可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加 的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信 号。 ②对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求 出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
m
通解 x1 B sin pt D cos pt
Asin( pt )
特解可设为 x2 X sin t
将x2代入原方程有
(m 2 k) X sin t F0 sin t
同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振 动会逐渐衰减，直至完全消失。振系中阻力有各种来源，如干摩擦、流体 阻力、电磁阻力、材料内阻力等，统称阻尼。
在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数 学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的 阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻 尼来处理。
A2
k2b2
A2
mgcA2
)
由于 Tmax U max
可得
p
k1a2 k2b2 mgc mc2
求固有频率
令 p2 k m
n c 2m
n
p
相对阻尼系数
x Be( 2 1) pt De ( 2 1) pt
x (B Dt )e pt
例题 质量m=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支承在 四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均 为λst=15cm。为了能迅速地减少汽车上下振动，在四 个支承处均安装了减振器，由实验测得两次振动后振 幅减小到10%，即A1/A3=10，试求： 1）振动的减幅系数和对数衰减率 2）衰减系数和衰减振动的周期 3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数
三、 汽车上的振动问题 四、简谐振动、谐波分析及频谱分析
1、简谐振动 2、谐波分析 3、频谱分析
（1）简谐振动 ①函数表示法
x Asin(t ) Asin(2 t ) Asin(2ft )
x
A cos(t
)
T
A sin(t
)
2
x A 2 sin(t ) A 2 sin(t )
Tm a x
1 2
m(cm a x ) 2
1 2
mc2 A2 p2
U
1 2
k1(a )2
1 2
k2 (b )2
mgc(1 cos )
1 2
k1 (a
)2
1 2
k2 (b )2
mgc2 sin2
2
U max
1 2
k1 (a m a x) 2
Fra Baidu bibliotek
1 2
k2 (bmax)2
mgc
m
2 ax
2
1 2
(k1a 2
系统运动微分方程为
••
•
m xc c xc kxc eit
频率响应函数
B、D由初始条件确定（t 0时，x x0
B x0 D x0 p
x
x0
cos
pt
x0 p
sin
pt
x x0 ）
单自由度系统的无阻尼 自由振动是一种简谐振 动
固有频率是系统本身的 性质，与初始条件无关
速度、加速度也是简谐 振动
可将解写为 x Asin( pt )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
由此可见，单自由度系统的振动分析问题就是二阶常系数线性微分 方程数学求解问题
x k
m
mx kx
p2 k m
x p2x 0
设解为x est，则x s2est，方程变为 s2 p2 0
解为s ip，其中i 1，方程的通解为
x c1eipt c2eipt c1(cos pt i sin pt) c2 (cos pt i sin pt) (c1 c2 ) cos pt (c1 c2 )i sin pt B cos pt D sin pt
l
k2 x 0
②能量法
T+U=常数
d T U 0
dt
例题2-2 （教材例题2.11）
半径为r、重力为 mg的圆柱体在半径为R 的圆柱面内滚动而不滑 动，如图所示。试求圆 柱体绕其平衡位置作微 小振动的微分方程。
2g 0
3(R r)
2、等效振动系统及外界激励
在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便 当作运动坐标方向上只存在一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量 和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。
二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理