反比例函数中的面积问题专题课程教案
《反比例函数与图形面积问题》教学设计
教师引导学生观察这些矩形的共同特征，并引导学生得出结论。
结论1：过同一反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，与坐标原点构成的矩形的面积S为定值，即S=|k|
学生思考，根据上述问题结论回答这些矩形的面积都相等，都等于|k|
学生在教师引导下观察这些矩形的共同特征，自主总结结论，得出矩形面积不受点的位置的影响
反比例函数与图形面积问题教学设计
教学基本信息
课名
反比例函数与图形面积问题
是否属于
地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段
初中
年级
九年级
授课日期
2016.12.30
教材
书名：数学出版社：人民教育出版社出版日期：2014年10月
反比例函数与图形面积问题教学设计
一、教学指导思想及理论依据
本教学设计以《初中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以信息技术融入学科教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标。
学生思考，根据上述结论快速找出一对面积相等的三角形，再根据等量代换思想找出另外两对面积相等的图形
学生由反比例函数中k的值求出三角形的面积
学生根据三角形面积求出相应反比例函数的k的值，进一步求出反比例函数解析式
检测新知的掌握情况，时渗透等量代换思想
这几个题目为了让学生及时掌握反比例函数与三角形面积关系，加深印象，强化学生的数形结合能力。
2、教师引导学生观察这些三角形的共同特征，并引导学生得出结论。
结论2：
过同一反比例函数图象上任意一点作x轴(或y轴）的垂线，与坐标原点构成的直角三角形的面积S为定值，即S=
1、学生思考，根据上述问题结论回答这些三角形形的面积都相等，都等于
反比例函数中的面积问题(教案)
反比例函数中的面积问题探究与应用（一）教学目标一、认知目标：掌握反比例函数解析式中比例系数K的几何意义。
从而解决已知图形面积来确定反比例函数解析式，或已知函数解析式求相关的矩形、平行四边形、三角形等的面积问题。
二、能力目标：培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。
三、情感目标：通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。
教学的重点、难点一、教学重点：利用反比例函数解析式中比例系数K的几何意义解决一些图形面积问题。
二、教学难点：利用反比例函数解析式中比例系数K的几何意义，能够灵活解决一些图形面积问题。
并会进行比例系数K和面积之间的熟练转化。
教学设计一、情景创设1、让学生看一张20XX年伦敦奥运会上牙买加运动员博尔特打破100米记录的图片，用这图片让学生体会数学来源于生活，同时有服务于生活，从而引起学生的好奇心和兴趣。
再从最近几年的中考题而引入这节专题课.2、引言：由于反比例函数解析式 （k ≠0)及图象的特殊性，很多试题都将反比例函数与面积问题结合起来进行考察，这种考察既能考察函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合思想，可以较好地将知识与能力融合在一起。
二、探究面积性质：（1）设P(m,n)是双曲线x ky =（k ≠0）上任意一点过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是A 、B,则ＳOAPB 矩形=OA ∙AP=|m|∙|n|=|k|(如图所示）（2） 则垂足为轴的垂线作过有上任意一点是双曲线设,,:,)0(),(A x P k xy n m P ≠=||21||||2121k n m AP OA S OAP=∙=⋅⋅=∆k y x =三、知识应用 1、基础训练：（1）如上图,点P 是反比例函数xy 2=（x>0)图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .（2）.已知A 为反比例函数x ky =（k ≠X 轴于B 点，若三角形ABO 的面积是 2、提高训练：如图，在反比例函数的图象x y 2=们的横坐标依次为1,2，3,4中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s 1，s 2，s 3，S 4,则s 1+s 2+s 3+S 4= 。
反比例函数与面积问题教案
轴于点 N（3，0） ，与一次函数和反比例函数的图象分 别交于点 C，D ，求△ACD 的面积
2
知识反馈 课堂总结
学生在反思中整理知识、 整理思维，获得成功的体 验和失败的感受，积累学 习经验.
作业设计 对应课时作业以及知识反馈
学案设计 见学案文档 课后反思
3
示范例题
y kx 2 例 2：如图，一次函数
的图象都过点 A （1， m） ， 求： （1）一次函数解析式及 l 图象另一个交点 B 的坐 标； （2）△ABO 的面积； （ 3 ）若有条直线 ⊥ x
与反比例函数
学会在实际问题中应用 反比例函数上任一点作 x 轴或 y 轴的垂线形成的直 角三角形的面积的求法 去解决问题.
年级 课题 授课时间
八下 反比例函数与面积问题
教师
梁宏耀
课型
教材分析
专题课
教学目标： 知识技能：理解并掌握反比例函数上任一点作 x 轴或 y 轴的垂线形成的直角三角形的面积的求法. 数学思考：通过探究反比例函数上任一点作 x 轴或 y 轴的垂线形成的直角三角形的面积，渗透数形结合的 思想，发展学生的数学能力. 解决问题：经历探究反比例函数上任一点作 x 轴或 y 轴的垂线形成的直角三角形的面积，增强探究意识. 情感态度：通过专题课的学习，增强探究意识，培养学习数学的兴趣. 教学重点:掌握基本型的面积的求法. 教学难点：基本型面积公式的推导 教学过程 教学步骤 复习引入 师生活动 设 P（m，n）是反比例 y (k 0)上任意一点， x 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 A， 1、求 S AOP 2、 若过 P 作 y 轴的垂 线，垂足为 B，求 S 矩形AOBP 设计意图 时间 分配
k
回顾旧的知识，体会反比 例函数上点的坐标与 K 的 关系以及用点的坐标表 示线段的长度需要注意 的绝对值的问题.
反比例函数中的面积问题专题课程教案
关系。
平行四边形面积与边长
03
平行四边形的面积与底和高有关，当面积一定时，底和高成反
比例关系。
面积与角度之间的反比例关系
扇形面积与圆心角
扇形的面积与圆心角的大小有关，当 面积一定时，圆心角的大小与半径的 平方成反比例关系。
三角形面积与夹角
三角形的面积与两边长及夹角有关， 当面积一定时，夹角的大小与两边长 的乘积成反比例关系。
题目3
已知反比例函数 y = m/x 与一次函数 y = kx + b 的图象都经过点(-2, -1)，且当 x = 1 时 ，这两个函数的函数值相等。求这两个函数的解析式。
拓展思维练习题
题目1
已知点 A、B 在反比例函数 y = k/x (k > 0, x > 0) 的图象上，且点 A、B 的横坐标分别为 a、2a，过点 A 作 AC ⊥ x 轴，垂足为 C，且 ΔAOC 的 面积为 S1；过点 B 作 BD ⊥ x 轴， 垂足为 D，且 ΔBOD 的面积为 S2。 试比较 S1 与 S2 的大小关系。
题目2
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象经过点 P(3, -2)， 求该反比例函数的解析式，并求出当 x = -6 时，y 的值以 及此时点 P 到 x 轴的距离。
题目3
已知 M(x1, y1)、N(x2, y2) 是反比例函数 y = k/x (k > 0) 图象上的两点，且 x1 < x2 < 0，试比较 y1、y2 的大小 。
提高难度练习题
题目1
已知点 A(-2, y1)、B(-1, y2)、C(1, y3) 在反比例函数 y = -1/x 的图象上。试比较 y1、y2 、y3 的大小关系。
反比例函数中的面积问题专题课程教案
教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。
现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。
二、知识讲解1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（1y kx xy k-==或）（k为常数，k____0）的函数叫做反比例函数．2．反比例函数的性质：反比例函数y＝kx（k≠0）的图象是___ ___．当k>0时，两分支分别位于第__ ___象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是直线__ _____．4．在双曲线y＝kx上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．5．因在反比例函数的关系式y＝kx（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝kx中即可求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式．,kyx=∴轴的垂线，所得矩形的面积结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k|。
结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|。
人教版九年级数学教案设计：26.2反比例函数与面积问题(公开课)
《反比例函数与面积问题》教案一、教学目标 （一）知识与技能1．理解和掌握反比例函数y=k/x （k ≠0）中k 的几何意义； 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。
（二）过程与方法1.让学生自己尝试在y=k/x 的图象上任取一点P(x 、y)，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
（三）情感态度与价值观 二、教学重点、难点1．重点：理解并掌握反比例函数 （k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题；2．难点：学会从图象上分析、解决问题。
三、教学过程（一）创设情境、导入新课1、由2个小问题复习反比例函数的解析式及性质？2、由反比例函数图像上一点，向x 轴、y 轴作垂线，如何表示垂线段的长。
3、由一般到特殊再到一般，得出垂线段与坐标轴围成的矩形或三角形面积。
本节课我们来探究反比例函数的比例系数K 的几何意义 （二）新课探究1、直线y=mx 与双曲线y=k/x 交于A 、B 两点，过点A （1，3）作PA ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM =2，则K 的值为（ ）。
A. 2B. m-2C. mD. 4xk y（第1题图）（第2题图）2、在平面直角坐标系中，过点M（-3，2）分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数 y= 4/x 的图像交于A、B两点，则四边形MAOB的面积（）。
3、两个反比例函数 y= 4/x和y= 2/x在第一象限的图像分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）。
（第3题图）（第4题图）4、已知反比例函数 y= 6/x在第一象限的图像如图所示，点A在图像上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB , AO=AB,则△AOB的面积为（）。
反比例函数图象中的面积问题微课程设计方案
理论讲授型 □推理演算型 □技能训练型 □实验操作型 答疑解惑型 □情感感悟型 □其他
制作方式 拍摄 录屏 □动画 □其他 （可多选）
预计时长 9 分钟
微课程设计
教学过程
设计意图
（以时间为序具体描述微课的所有环节，至少包含导课、主 （从教学方法、学习任务单、案例选取、内容编排呈现、互
体内容和小结三部分）
AOBP=__________
提问：从以上你发现了什么？
归纳：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所
得矩形的面积 S 为定值，即 S=|k|.
探究 2、如图已知点 P 是反比例函数 y —图3x 象上任意一点，过点 P 作PQ 丄 x 轴于点 Q,
S△POQ =______________
变式 2、如图已知点 P 是反比例函数 y k （k<0） x
图象上任意一点，过点 P 作PQ 丄 x 轴于点
Q, S△POQ =______________
提问：从以上你发现了什么？
归纳：过双曲线上任意一点作 x 轴(或 y 轴）的垂线， 所得直角三角形的面积 S 为定值，即 S=12|k|
小结： 反比例函数中的面积问题：“以形助数，用数 解形” 一个性质：反比例函数的面积不变性 两种思想：分类讨论思想和数形结合思想
在探究反比例函数 K 的几何意义过程中，由特殊到 一般，让学生自己发现、交流、总结出来。
通过课堂回顾和课后作业，让学生继续进行探 索。
自评等级 □优秀 ☑ 合格 □不合格
当 K＞0 时，图象在第一、三象限，在每个象限
内，y 随 x 的增大而减小；
当 K＜0 时，图象在第二、四象限，在每个象限
内，y 随 x 的增大而增大；
《反比例函数中的面积问题》教学设计
《反比例函数中的面积问题》教学设计一、教学目标1. 了解反比例函数的概念，能够计算反比例函数中的面积；2. 学习运用几何的思维，运用Fig（等腰三角形、正方形）去表示反比例函数中的区域；3. 加强对反比例函数的理解，能够实践上用文字描述反比例函数的性质。
二、内容(教学内容，课时安排)1. 课时一a. 引入反比例函数：重新定义如何以y 为函数的变量，以x 为函数参数，而y 又能表示成f(x/y）中某个函数b. 讨论由x/ y 组成的律2. 课时二a. 掌握计算反比例函数中的面积的方法：运用图形的基本知识（正方形、等腰三角形等），将反比例函数定义域分为几个基本5 形状，从而求出它们的面积b. 空间概念：让学生动手实验，观察反比例函数在x/y 平面上的表现，让学生逐层发现反比例函数的特性。
3. 课时三a. 总结反比例函数的性质，用文字描述反比例函数中面积的定义；b. 扩展知识：结合实际，运用几何思维探讨其它函数中的面积问题。
三、教学重点了解反比例函数的概念，理解反比例函数的性质，掌握计算反比例函数中的面积的方法。
四、教学难点扩展知识：结合实际，运用几何思维探讨其它函数中的面积问题。
五、教学方法探究式学习法、实验法、讨论法等。
六、过程:1. 复习：让学生复习函数的概念，让学生梳理函数的定义域、值域；2. 讨论：学生分组讨论反比例函数的性质探究；3. 探究：让学生进一步运用空间观念，将反比例函数定义域分成等腰三角形、正方形等等，使之能够分析反比例函数在空间中的表现；4. 练习：练习让学生熟练运用几何图形来表示反比例函数中的面积；5. 扩展：让学生用相似的方法去解决其它函数的面积问题。
反比例函数中的面积问题学案
反比例函数中的面积问题一、课前准备二、反比例函数中图形面积模型解读模型一：一点一垂线过反比例函数图象上一点，向x轴或y轴作垂线，结合原点，围成的三角形，其面积＝21|k|.练习1：如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于．练习2：如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接P A，PC，则△APC的面积为．怎么求解上图中各线段长度模型二：一点两垂线反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积＝|k|.练习：如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k的值为________模型三：两点一垂线反比例函数与正比例函数的两交点及由交点向x轴(或y轴)所作垂线围成的三角形面积＝|k|，反比例函数与一次函数的交点及坐标轴上任一点构成的三角形面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．练习1：如图，直线y＝mx与双曲线y＝(k≠0)交于点A，B，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM.若S△ABM＝1，则k的值是________练习2：如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为．模型四：两点与原点1.反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法．2.反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上，用加法．练习1：如右图，直线y ＝﹣x +4与双曲线y ＝x 4-交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积= ．练习2：如左图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．则△AOB 的面积=_____模型五：动点与面积例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝21x +2的图象与反比例函数y ＝的图象相交于点A （2，3），B （﹣6，﹣1），与x 轴交于点C （-4，0）。
初中面积求反比例函数教案
初中面积求反比例函数教案一、教学目标【知识与技能】1. 理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2. 学会如何根据实际问题建立反比例函数模型，并能解决相关问题。
【过程与方法】1. 通过实例让学生感受反比例函数在实际生活中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。
2. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。
【情感、态度与价值观】1. 培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重难点【重点】反比例函数的概念，反比例函数的性质。
【难点】如何根据实际问题建立反比例函数模型。
三、教学过程（一）导入新课1. 教师通过展示生活中的实例，如商场打折、广告宣传等，引导学生发现其中存在的一种特殊函数关系。
2. 学生尝试分析实例中的变量关系，教师引导学生总结出反比例函数的概念。
（二）新课讲解1. 教师讲解反比例函数的定义，引导学生理解反比例函数的基本性质。
2. 教师通过具体例子，讲解如何根据实际问题建立反比例函数模型。
3. 学生跟随教师一起，动手实践，尝试解决实际问题。
（三）课堂练习1. 教师布置一些有关反比例函数的练习题，让学生独立完成。
2. 学生之间互相讨论，共同解决问题，教师巡回指导。
（四）总结提升1. 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对反比例函数的理解。
2. 学生分享自己在解决实际问题时的心得体会，激发学习兴趣。
四、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 寻找生活中的反比例函数实例，下节课分享。
五、教学反思本节课通过实例导入，让学生感受反比例函数在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，注重引导学生自己发现、总结反比例函数的性质，培养学生的自主学习能力。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生在实际问题中运用反比例函数，提高学生的解决问题的能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
但在教学过程中，也要注意因材施教，针对不同学生的学习情况，给予适当的引导和帮助。
《反比例函数中的面积问题》优课教案
教学目标
集体备课教案
学科 数学 年级 九年级
时间
反比例函数中的面积问题
1. 掌握反比例函数中 K 的几何意义，进而求图形面积.
二次备课
学情分析
知识根底：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积 累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念 及反比例函数中 K 的几何意义。 学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察 图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。 学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间 的内在联系。 能力水平：处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进展抽象逻 辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。另外，学生参 与活动的积极性高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。
我的改良设想是：在上课过程中，要始终关注学生的情感。 因为学生的学习是认知和情感的结合，只有给了他们情感上的 极大满足，学生才会获得渴望成功的动力，我们的自主学习活 动才能收到应有的效果多留时间让学生提出问题，师生共同讨 论、交流，让学生的学习更富有主动性，这样能更大的激发学 生的探索热情。
不断学习新的教育理论，不断更新教学观念，使数学教育面 向全体学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必 需的数学，不同的人在数学上得到不同的开展。
教
学
板书设计
流 反比例函数中的面积问题
程
y=−2 x
y=−2 x
S矩形ACOB= ____
SABO = _____
性质:面积不变
中心对称图形
布置课后作业
批改情况记录
相关习题 4 道。
教学 反思
对学生的情感关注太少。本来想营造一种和谐的课堂气氛， 学生因为紧张答复下列问题不积极，不敢大胆发表自己的观点， 课堂气氛死气沉沉，没有焕发出学生的激情。如果在一开场就 用生动活泼激趣的语言导入课题，在教学过程中对少数同学的 答复能及时给予表扬和鼓励，不但能消除学生的紧张情绪，也 能激发学生的兴趣，坚决学习的信心。多媒体出现故障，没能 及时处理；而且细节处理时有欠缺。
反比例函数中的面积问题专题课程教案
反比例函数中的面积问题专题课程教案第一章：反比例函数的概念与性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义，即形如y = k/x (k ≠0) 的函数。
强调反比例函数中k 的作用，k 表示函数在x 轴和y 轴上的截距。
1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征，如双曲线、渐近线等。
探讨反比例函数的单调性、奇偶性等性质。
第二章：反比例函数图像的绘制2.1 绘制反比例函数图像的基本方法介绍利用坐标轴、点斜式等方法绘制反比例函数图像。
强调反比例函数图像的中心对称性和轴对称性。
2.2 利用尺规作图绘制反比例函数图像引导学生运用尺规作图的方法，绘制特定k 值的的反比例函数图像。
讨论不同k 值对图像形状和位置的影响。
第三章：反比例函数中的面积问题3.1 反比例函数图像的面积计算引入反比例函数图像中任意三角形、四边形的面积计算方法。
强调利用函数值和坐标轴围成的封闭区域的面积计算公式。
3.2 反比例函数图像与坐标轴围成的面积引导学生探讨反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积。
分析不同k 值对封闭区域形状和面积的影响。
第四章：反比例函数图像的交点问题4.1 反比例函数图像与直线交点的求解引导学生运用解析几何方法，求解反比例函数图像与直线的交点。
强调运用韦达定理、判别式等工具解题。
4.2 反比例函数图像与圆的交点问题探讨反比例函数图像与圆的交点个数和位置关系。
引导学生运用代数方法解反比例函数与圆的交点问题。
第五章：反比例函数图像的应用问题5.1 反比例函数图像在实际问题中的应用引入实际问题，如面积、距离、速度等，运用反比例函数图像解决。
强调反比例函数图像在实际问题中的直观性和实用性。
5.2 反比例函数图像的综合应用问题引导学生运用反比例函数图像解决综合应用问题，如平面几何、物理等。
强调运用反比例函数图像解决问题的方法和技巧。
第六章：反比例函数图像的变换6.1 反比例函数图像的平移讲解反比例函数图像如何通过平移实现变换，包括上下左右平移。
反比例函数中的面积问题专题课程教案
反比例函数中的面积问题专题课程教案一、教学目标1. 让学生理解反比例函数的定义及其图像特征。
2. 培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握反比例函数中的面积计算方法。
二、教学内容1. 反比例函数的定义及图像特征2. 反比例函数在实际问题中的应用3. 反比例函数中的面积计算方法4. 反比例函数综合练习三、教学重点与难点1. 重点：反比例函数的定义，反比例函数的图像特征，反比例函数中的面积计算方法。
2. 难点：反比例函数在实际问题中的应用，反比例函数中的面积计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究反比例函数的性质及其应用。
2. 利用多媒体课件辅助教学，清晰展示反比例函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问，及时解答学生心中的疑惑。
4. 组织小组讨论，培养学生的合作意识，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：以实际问题引入反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解反比例函数的定义，引导学生绘制反比例函数的图像，分析其图像特征。
3. 实例分析：选取生活中的实例，让学生运用反比例函数解决问题，体会反比例函数的应用价值。
4. 面积计算：讲解反比例函数中的面积计算方法，引导学生进行相关练习。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 采用课堂问答、练习题和小组讨论等方式，及时了解学生对反比例函数的理解程度和应用能力。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程，鼓励学生发表自己的观点，提高学生的逻辑思维能力。
3. 定期进行课堂小测，了解学生对反比例函数知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
七、教学拓展1. 引导学生探究反比例函数与其他函数的联系与区别，提高学生的整合能力。
2. 介绍反比例函数在实际工程、物理等领域的应用，拓宽学生的知识视野。
3. 组织学生进行反比例函数的课题研究，培养学生的研究意识和创新能力。
《反比例函数与图形的面积》教案设计
中考专题复习《反比例函数与几何图形的面积》教案-------绥阳县实验中学何洪忠教学课题：反比例函数与几何图形的面积教学目标：知识与能力目标：1、了解反比例函数式中的K的几何意义。
2、理解反比例函数与几何图形面积的内在联系。
3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。
过程与方法目标：1、通过探索反比例函数与几何图形面积的内在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。
2、在解决问题的过程中，体会数形结合、转化思想在数学应用中的重要地位。
3、经历探索反比例函数与几何图形面积的内在联系，体会数学模型思想在数学问题中的运用。
情感态度与价值观：1、在小组交流学习活动中学会与人合作获得成功的体验，培养学生的合作意识和乐于探究的良好品质。
2、在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学转化和数学模型思想。
感悟数形结合思想和从特殊到一般的数学方法。
3、在问题变式中感受数学变化的乐趣，激发学生学数学的兴趣。
欣赏和感悟，体验数学的价值。
教学重点：探索反比例函数式中的K与几何图形的面积联系。
教学难点：分析图象中信息来确定K与图形面积的关系，并能在实际问题中找到模型加以应用。
教具准备：课件、学生导学练，多媒体白板，三角板学具准备：三角板，铅笔（作辅助线用）教师教法：递进探究法，变式教学法，多媒体辅助教学法，引导观察法，归纳总结法学生学法：合作交流法，自主探究法，归纳总结法教学流程：1、情境导入2、考点透视3、合作探究探究类型一：反比例函数与矩形的面积探究类型一：反比例函数与直角三角形的面积4、综合运用5、中考链接6、反思小结一、情景引入叙述反比例函数与几何图形相结合考察的重要性，展示遵义市考试题（图形展示）师简述题设计意图：让学生感受遵义市中考考题的方向，揭示探究课题二、考点透视1、引领分析考题模式，突出用数解形、以形助数（学生体会数学结合的思想）2、展示探究类型：类型一：反比例函数与矩形的面积类型一：反比例函数与直角三角形的面积设计意图：让学生了解考题的两种呈现模式，明确探究的方向。
反比例函数中的面积问题教学设计
《反比例函数中的面积问题》教学设计遵义县尚嵇中学余德强设计理念反比例函数中的面积问题在很多老师和同学的印象中，计算繁琐、思维抽象、思路难寻。
实际上数学是一门具有丰富内容并且与现实世界联系非常密切的学科。
本节就体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想。
教师以学生需要创设问题情境，能激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性。
让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、分析问题和解决问题的能力。
教材分析本节课是总复习中“反比例函数”专题复习。
是在学生学习了平面直角坐标系、反比例函数的概念、函数的图象和性质及相关空间与图形知识的基础上，使学生进一步体验反比例函数在现实生活中的无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实生活中的实际问题的背景下进行的。
我选择了遵义市2010年和2011年考的这部分知识，因为反比例函数中的面积问题是全国各地近几年的命题热点，较易进入各地命题专家的视线，同时通过问题的解决能加深学生与教师的情感，培养学生的感恩意识，更重要的是培养学生的语言表达能力、与人合作的意识及解决问题的能力。
学情分析学生已经有了一定的知识储备，但由于他（她）们都是农村学生，信息掌握程度不高，知识面较窄，语言表达能力较差。
因此，在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题。
教学目标知识目标：进一步利用反比例函数解决面积问题。
数学思考：在运用反比例函数解决面积问题的过程中进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。
解决问题：让学生经历“实际问题→数学建模→拓展应用”的过程，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
情感态度：运用反比例函数解决面积问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的意识。
教学重难点：重点是建立反比例函数模型来解决面积问题。
难点是把实际问题利用反比例函数转化为数学问题加以解决。
反比例函数与面积教学设计浙教版八年级数学下册
反比例函数与面积教学设计学习目标：1、能理解反比例函数图像中具有一定特征的矩形和三角形的面积不变性2、能熟练运用反比例函数中矩形和三角形的“面积不变性”解决实际问题。
学习重点：能熟练运用反比例函数中矩形和三角形的“面积不变性”解决实际问题。
学习难点：能灵活运用反比例函数中矩形和三角形的“面积不变性”解决实际问题。
教学过程:一、感受模型 1、如图,点P 是反比例函数 图象上的一点,PA ⊥△POA 的面积为 2、如图,点P 是反比例函数 图象上的一点,PA ⊥x 轴于A.B 点为y 轴上的动点，则△PBA 的面积为 .二、发现模型(0)k y k x =≠的三角形、矩形的面积不变性注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论三、变式模型 1、如图：反比例函数 与一次函数 交于A 、B 两点，AC 垂直于x 轴，BC 垂直于y 轴，则 变1：若一次函数为 ，则 变2：对于反比例函数 ，则 _______ 变3：四边形ACBD 的面积为_______四、应用模型 1、在 的图象中，阴影部分面积是3的是2.如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 向x 轴作垂线,若 , 则这个反比例函数的关系式是 .变：若去掉如图结果呢？ 3.如图，已知双曲线 经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，求四边形OEBF 的面积.4.反比例函数 与 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，求△AOB 的面积.五、模型之憾反比例函数 与 的图象如图所示，AC 、AB 分别垂直于x 轴和y 轴连接BC ，求△ABC 的面积.求面积的方法：x y 2=x y 4-=x y 2-==∆ABC S )0<=m mx y （=∆ABC S )0≠=k x k y （=∆ABC S x y 2=x y 4=1、直接求2、间接求3、利用模型求六、模型之美 定义：在同一平面坐标系中，反比例函数 的图象称为“美丽四曲线k ”.而顶点在“美丽四曲线k ”的各个分支上，且两组对边分别与坐标轴平行的矩形称为该“美丽四曲线k ”的“伴随矩形”.应用：若点 在“美丽四曲线n ”上，求n 的值. 探究：试求“美丽四曲线8”的“伴随矩形”的面积.七、归纳总结解决反比例函数图像中的面积问题要理解k 的几何意义，另外还要明白反比例函数图像中，具有怎样特征的矩形的面积为k ，具有怎样特征的三角形的面积为k 21。
人教版初三数学下册专题——反比例函数中的面积问题 学案
《专题——反比例函数中的面积问题》学案【学习目标】1．掌握反比例函数中k 的几何意义，会根据函数的解析式求相关的三角形面积问题； 2．通过自主探究、合作交流，从中体会数形结合、转化等数学思想的优越性； 3．让学生感受“一题多变”、“一图多用”、“由简单到复杂”的学习过程． 【学习重点、难点】利用反比例函数中k 的几何意义能够灵活解决一些几何图形面积问题，并会进行比例系数k 与面积之间的熟练转化． 【学习过程】一、知识梳理 反比例函数)0(≠=k xky 中k 的几何意义： 1． 过双曲线上的任意一点P （x ，y ）分别作x 轴，y 轴的垂线， 垂足分别为点A 、B ，则S △AOP = ，S △BOP = ； 2． 过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于 ．二、知识应用例1（课时P 16T 5改编）：如图1，一平行于x 轴的直线分别交反比例函数x y 2=和xy 4=于A 、B 两点．（1）求△OAB 的面积；（2）如点C 在x 轴上运动，则△ABC 的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC 的面积；若改变，请说明理由．图1yx变式（课时P 11T 7）：如图2，点P 在y 轴正半轴上运动，点C 在x 轴上运动，过点P 且平行于x 轴的直线分别交函数x y 2=和xy 4-=的图象于A 、B 两点，求△ABC 的面积．三、知识拓展例2：如图3，函数)0(≠=m mx y 与)0(≠=k xky 的图象交于A 、B 两点，过点A （1，2）作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，求△ABC 的面积．变式：如图4，函数)0(≠+=m b mx y 与)0(≠=k xky 的图象交于点A （1，4）、点B （-4，n ），（1）求△AOB 的面积．图2图3图4（2）如图5，若点B 关于原点的对称点为点C ，求△OAC 的面积．（3）（课时P 7T 11、P 11T 11改编） 在（2）的条件下，若点P 为x 轴上的一个动点，5=∆APC S ，求点P 的坐标；若点P 在y 轴上，此时P 点的坐标又是多少呢？四、课堂小结谈谈本节课你有哪些收获？五、课后作业1．整理本节课所学内容，并在归纳本上做好归纳； 2．完成《课时作业本》第10-11页第4课时．图5备用图六、思维提升一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象交于点A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C 、E ；过B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F 、D ，AC 与BD 交于点K ，连结CD ． （1）若点A 、B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图6，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN =BM ． （2）若点A 、B 分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图7，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图6 图7。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较； 2、相交时所围成的三角形的面积问题。
现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。
、知识讲解k1 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（y kx 1或xy k ）（ k 为常数， k __________________________________ 0）的x 函数叫做反比例函数．k 2．反比例函数的性质：反比例函数y＝k（ k≠0）的图象是 ___ ___ ．当 k>0 时，两分x支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y随 x 的增大而；当 k<0时，两分支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而．3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为 _ ；反比例函数还是___ 图形，它有两条 ___ ，分别是直线 __ ________ ．k4．在双曲线 y ＝k上任取一点 P 向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于xk5．因在反比例函数的关系式y＝k（ k≠0）中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也x就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组 x、y 的值或图象上任意一点的坐标，然后代入 y＝k中即可求出__ 的值，进而确定出反比例函数的关系式．xk6、利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题。
设 P 为双曲线y k 上任意一x点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的k的矩形 PMON的面积为 S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy| y k, xy k,s k 。
从而得：x结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值|k| 。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论 2：在直角三角形 ABO中，面积 S= 。
2结论 3：在直角三角形 ACB中，面积为 S=2|k| 。
结论 4：在三角形 AMB中，面积为 S=|k| 。
考点 /易错点 1反比例函数与一次函数的结合: 一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。
考点 /易错点 2反比例函数图像对称性（轴对称与中心对称）的应用，能相应的得到一些点的坐标的结论时要注意坐标符号的变化。
三、例题精析题型归类：题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ）【例题 1 】k【题干】如图，直线OA与反比例函数y （k 0）的图象在第一象限x交于A点，AB⊥ x 轴于点B，△ OAB的面积为 2，则k＝．答案】 k=4k解析】 由图象知 ,k>0, 由结论及已知条件得 2， ∴ k=42BC 的中点 F 、 E ，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 k【答案】 k=2【解析】 连结 OB ，∵E 、F 分别为 AB 、BC 的中点∴kk k而s OCE s OAF ，由四边形 OEBF 的面积为 2 得2 ，解得 k=2 。
22 2评注：第①小题中由图形所在象限可确定 k>0 ，应用结论可直接求 k 值。
第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。
题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积例题 3 】题干】 在反比例函数 y 4的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ）x例题 2 】题干】 如图，已知双y k（k 0）（ x 0）经过矩形x答案】 B【解析】 因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故S=4，对于 B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故于 D ： S=4 故选（ B ） 题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论例题 4 】题干】 k已知一次函数 y=kx+b （k ≠o） 和反比例函数 y= 的图象交于点 A （1，1）． 2x （1） 求两个函数的解析式；（2） 若点 B 是 x 轴上一点，且△ AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标．【答案】 解：k（ 1）∵点 A （1， 1）在反比例函数 y 的图象上，∴ k=2，∴反比例函数的解析式为： 1y 。
设一次函数的解析式为： y=2x+b ，∵点 A （ 1， 1）在一次函数y=2x+b x 的图象上，∴b=-1 ，∴一次函数的解析式为 y=2x-1 。
（2）如图，∵点 A （ 1， 1）， ∴∠ AOB=45°，∵△ AOB 是直角三角形，∴点 B 只能在 x 轴 正半轴上，①当∠ OB 1A=90°时，即 B 1A ⊥OB 1，∵∠ AOB 1=45°，∴ B 1A=OB 1，∴ B 1（ 1，0）；② 当∠ OAB 2=90°时，∠ AOB 2=∠ AB 2O=45°， ∴B 1起 OB 2的中点，∴ B 2（2，B 、C 、D 的面积易求。
对于 A ：43 6 ；对于 C ：S=4，对学习必备欢迎下载0），综上可知， B 点坐标为（ 1， 0）或（ 2，0）。
例题 5 】k题干】 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 M 、N 两点． x （1） 求反比例函数和一次函数的函数关系式．（2） 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．k【答案】 解：（ 1）∵ y 的图象经过 N （﹣ 1，﹣ 4），∴ k=xy= ﹣ 1×（﹣ 4）=4．∴反比例x44函数的解析式为 y 。
又∵点 M 在 y 的图象上， ∴ m=2．∴ M （ 2，2）．又∵直线y=ax+bxx题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积例题 6 】 【题干】如图，已知 A （ 4, n ）, B （2, 4）是一次函数 y kx b 的图像和反比例函数 y 的 x 图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及三角形 AOB 的面积．图象经过 M ， N ，∴一次函数的解析式为 y=2x ﹣2；2）由图象可知：反比例函数的值>一次函数的值的 x的取值范围是 x<﹣ 1 或 0<x< 2．学习必备 欢迎下载( 2) 是 直 线 与 轴 的 交 点 ， 当 时 ， 点评注：对于例 4、例 5、例 6 类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数 解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。
难度属中档题。
题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题例题 7 】【题干】 已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数 y (x>0)图象上五个整数点(横、纵坐x标均为整数) ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作 四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形(阴影部分) ，则这五个橄榄形的面 积总和是(用含 π 的代数式表示)【答案】∵ x,y 为正整数， ∴x=1,2,4,8,16 ，即 A 、B 、C 、D 、E 五个点的坐标为 (1,16) 、(2,8) 、(4,4) 、(8,2) 、 (16,1) ，因五个橄榄形关于 y=x 对称，故有答案】解：(1) B(2, 4) 在 y m上m 8 ． 反比例函数的解析式为：点 A( 4,n)在 y 8上x，解之得A( 4,2) 。
经过一次函数的解析式为：S= =13π-26 。
【答案】 解：（ 1） y=-x+8 与 y=k/x 联立已知 k>0， x2 -8x+k=0 ， 64-4k>0 ，得 0<k<16。
（2）设两个交点横坐标为 x 1 和 x 2 ，根据 x 2-x 1=6 以及 x2-8x+k=0 ，（ x 2+x 1）2-4x1x 2=36，由 韦达定理 x 1+x 2 =8； x 1x 2=k 解得 k=7。
例题 8 】题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等 例题 7 】题干】 如图，一次函数 y=－ x+8 和反比例函数 ky （x>0 ）的图象在第一象限内有两个不同的公共点 A （x 1，y 1） 、B （x 2，y 2）． （1） 求实数 k 的取值范围． （2） 若△ AOB 的面积 S △ AOB =24，求 k 的值．题干】如图，已知：一次函数：y x 4 的图像与反比例函数：y 2(x 0) 的图像分x别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x 取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x 的取值，试比较S1、S2的大小．2答案】解：(1) S1 x( x 4) x24x =（2）∵S2 2，由S1 S2可得：x24x 2 ，x24x 2 0，∴ x 2 2。
通过观察图像可得：当x 2 2 时，S1 S2。
当0 x 2 2或x 2 2 时，S1 S2 ；当2 2 x 2 2 时，S1 S2 。
四、课堂运用基础】例 1 、2 变式k1.如图，矩形ABOD的顶点A 是函数y （k 0）与函数y x （k 1）在第二象限的交x点，AB x轴于B，AD y轴于D，且矩形ABOD的面积为 3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y 轴上一动点，且，求点P的坐标．答案解：（ 1）由图象知 k<0，由结论及已知条件得 -k=33∴反比例函数的解析式为y ，一次函数的解析式为yx 2x（ 3）设点P 的坐标为（ 0，m）直线与y 轴的交点坐标为M（ 0，2），PM9 1 9 1∴ m 92或m 12，∴点P的坐标为（ 0，29）或（ 0，12）。
分析依据图象及结论求 k 值是本题的关键，只k 代值，才能通过解方程组求 A、C 两有求出点的坐标，然后才能解决第③小问。