刚体及其运动规律

一、刚体运动的基本形式
1. 平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
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2. 转动
刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴)作圆周运动。 a. 定轴转动 b. 定点转动 3. 平面运动 刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。 可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动。 如：车轮滚动。 4. 刚体的一般运动 可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。 如：门、 窗的转动等。 如：陀螺的转动。
[例] 计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。
解： O
[例] 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为 Jx、Jy，计算板对z 轴的转动惯量Jz。 解： z
O
y
称垂直轴定理 (仅适用于薄板)。
x
如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量：
[例] 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细 绳绕在滑轮上，一端挂一质量为 m 的物体。求(1)由静止 开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。 解：
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，), 中子星 的形成等。
[例] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角速 度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半 径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
M
m
[例] 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A 端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度 和角加速度。 c B A 解： O
(1) 方向：
(2)
A
c
B
O

[例] 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水 平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过 多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）
第三章 刚体及其运动规律
关键词：
刚体运动 刚体定轴转动定理 转动惯量的计算 刚体对定轴角动量守恒 力矩的功、刚体对定轴转动动能和动能定理
刚体运动的描述
刚体：既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽 略其形变的物体模型。 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离始终保持不变的质点系。
称为在 t0 到t 时间内作用在刚体上的角冲量。
[例] 定滑轮：m， r，J ，物体：m1， m2， 轻绳不能伸长， 无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。
解： 由于考虑滑轮的质量， 问题中包括平动和转动。 r
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a，β 。
[例] 均质细棒： m ， l ，对水平轴O： ，铅 直位置时，一水平力 F 作用于距 O为 l′ 处，计算在此瞬间 O 轴对棒的作用力(称轴反力)。
解： 设轴反力为 Nx，Ny。
由转动定律： 由质心运动定律：
O c
得： 讨论： 当 l =2l/3 时， Nx =0 。 l > 2l/3 时，Nx >0 ，l < 2l/3 时， Nx <0 。
[例] 半径为 R1 和 R2、转动惯量为 J1 和 J2 的两个圆柱 体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现将 小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着 转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相 反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？
适用于刚体，非刚体和物体系。
一、 刚体( J 不变)的角动量守恒
若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故 的 大小，方向保持不变。
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
x
可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是 关于某轴的转动惯量。
[例] 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 解：
(1) 圆环：
R
dm
(2) 圆盘：
o r
dm
二、平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量 Jc 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴 间距离 d 的平方。 Jc 证明： d c o J
关键词： 刚体运动 刚体定轴转动定理 转动惯量的计算 刚体对定轴角动量守恒 力矩的功 刚体对定轴转动动能和动能定理
刚体的定轴转动定理
刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：
一、刚体所受的力矩
取惯性坐标系
说明
，
1. 刚体是质点系，刚体所受关于原点O 的力矩 等于合外力矩。
2. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩 Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴 承上支承力的力矩所抵消（否则轴承会转动）。
由质点系的角动量定理： 对刚体的定轴转动，有： 而且 设转动过程中J不变， 则有： 刚体定轴转动定律： 刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。 得到：
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 推广到 J 可变情形(与 F = ma 推广到F dt= d(mv) 类似) ——刚体定轴转动的角动量定理
设第 i 个质元受外力
，并假定
垂直于转轴。
z
所受关于O点的外力矩为：
不必考虑！ x
y
刚体所受的关于定轴的合力矩：
质点系内力矩的矢量和为零!
二、刚体定轴转动的角动量
计算刚体关于O 的角动量： z
Why? x y
对整个刚体：
称为刚体对转轴 z 的转动惯量。
为刚体关于转轴 z 的角动量。
三、刚体定轴转动定律
x
转动平面
2. 刚体的角速度 角加速度
角速度
的方向：
角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。
3. 线量与角量的关系：
j
r
匀角加（减）速转动：
匀加(减)速直线平动：
式中：
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。
台转过的角度：
三、物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的 力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
[例] 摩擦离合器 飞轮1：J1、 1 摩擦轮2： J2 静止， 两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。
解： 两轮对共同转轴的角动量守恒 2 1
[例] 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘面 转轴的转动惯量为J1 、 J2，开始 1轮以0转动，然后两 轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。 解： 两轮绕不同轴转动，故对两轴分 别用角动量定理：
——刚体的机械能守恒定律
[例] 均质细棒m， l ，水平轴O，开始棒处于水平状态，由 静止释放，求棒摆到竖直位置时： (1) 棒的角速度，(2) 棒 的转动动能，(3) 质心的加速度，(4) 轴的支反力。 解： (1)
(2)
(3) (4)
[例] 细杆A ： (m, L)可绕轴转动，水平处静止释放，在 竖直位置与静止物块B； (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1) vB ，(2) 2 ， (3) 细杆最高转动角θmax 。 解：
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
得 ——刚体定轴转动的功能原理 其中，M是除重力以外的其它外力矩。 若M=0，则
1. 刚体由分立的质点组成时：
2. 刚体为质量连续体时： 转动惯量取决于刚体本身的性质，即仅与刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置有关。
[例] 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒垂直。
解：(1)
O
dm dx x
dm
(2)
O
dx
二、定轴转动的描述 角量
研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上 各点具有相同的运动状态(速度和加速度)，因此，只要研 究刚体内某一垂直于转轴的平面(转动平面)上各点的运动， 就可了解整个刚体的运动。 转动平面内：取转心O，参考轴x， 1. 刚体的角位置与角位移 P点：角位置 角位移 O P
解：
dr
r o R
为其转过的角度。
关键词： 刚体运动 刚体定轴转动定理 转动惯量的计算 刚体对定轴角动量守恒 力矩的功、刚体对定轴转动动能和动能定理
刚体定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保 持不变。
解：（1）水平方向不受力， 故质心在水平方向不产生加速 度，质心原来静止，故质心水 平方向的速度为零。只有竖直 方向的速度。设任一时刻，质 l 心的位置为： yc cos
2
dyc l d l sin sin 则： vc dt 2 dt 2
（2）在杆下滑过程中，只有重力作功，故机械能守 恒，对任一夹角 ，有：
0
J1 , R1 J 2 , R2
o1
解：分别对 o1 轴和 o2 轴运用角动量定理。 设垂直于纸面向里为正向： o2
无相对滑动：
关键词： 刚体运动 刚体定轴转动定理 转动惯量的计算 刚体对定轴角动量守恒 力矩的功、刚体对定轴转动动能和动能定理
一、刚体的转动惯量及其计算
定义：
单位( SI )：
A
B 角动量守恒 能量守恒 碰后反方向转动。
A
B
[例] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动，小滑 块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速 度、圆锥体角速度。 解： 对竖直轴的角动量守恒：
h
R
系统机械能守恒：
u
长为l ，质量为 m的均匀杆， 在光滑桌面上由竖直位置自 然倒下，当夹角为 时（见 图），求： （1）质心的速度 （2）杆的角速度
l 1 1 2 mg (1 cos ) mvc J 2 2 2 2
由于： 代入后
l si n vc 2
ml 2 J 12
l2 l2 2 gl (1 cos ) sin2 2 4 12
经整理，得：
12g(1 cos ) 2 l (1 3 sin )
一、 刚体定轴转动的转动动能
由平行轴定理： o c
定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心（绕 定轴作圆周运动）的平动。
二、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不 变，一对内力做功之和为零。
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
1
2 得：
[例] 均质细棒：m1、 l ，水平轴O，小球：m2与棒 相碰，碰前 碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保 持竖直，求碰后棒的角速度。 O 解： 系统对O轴角动量守恒
注意：因为轴承处的外力不能忽略，所以系统总动量一般不 守恒。只当碰撞发生时，Nx=0，系统的水平平动量才守恒：
关键词： 刚体运动 刚体定轴转动定理 转动惯量的计算 刚体对定轴角动量守恒 力矩的功、刚体对定轴转动动能和动能定理