3.1.1 倾斜角与斜率
第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l 与x 轴相交；②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k ＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围)(0，＋∞)不存在(－∞，0)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313－3－1－33(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A ．0° B ．45° C ．60° D ．90° 3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5 B ．8 C ．132 D ．74．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( )A ．33 B ． 3 C ．1 D ．22直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α 跟踪训练2 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为 ．直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8) (2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2]例3 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．1．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________．(2)过点P (－2，m )，Q (m ，4)的直线的斜率为1，则m 的值为________．跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为()A．0 B．1 C．2 D．3命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150° 5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7) 6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 27．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．α B ．180°－α C ．180°－α或90°－α D ．90°＋α或90°－α 8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于 ．10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为()A．[33，3] B．[0，33]∪[3，＋∞) C．[33，＋∞) D．[3，＋∞)15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．3.1.2两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？思考2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．132．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．非以上情况3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．两直线平行的判定及应用【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)．1．已知l 1经过点A (－3，3)，B (－8，6)，l 2经过点M ⎝⎛⎭⎫－212，6，N ⎝⎛⎭⎫92，－3，求证：l 1∥l 2.跟踪训练2 已知A (1，－a ＋13)，B (0，－13)，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD平行．两条直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．例3已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．求证：△ABC是直角三角形．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．1．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值．跟踪训练2已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m 的值．1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？例4已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．引申探究本例中若将条件“四边形ABCD 为直角梯形”改为AC ∥BD ，AB ∥CD ，求A 点坐标．反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．一、选择题1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，那么直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．a C ．－1aD ．－1a或不存在3．若直线l 1的倾斜角为135°，直线l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．平行或重合4．已知点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或1D ．0或25．已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A ．20°，110° B ．70°，70° C ．20°，20°D ．110°，20°6．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 二、填空题7．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (4a ，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．8．已知A (2,0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为________．9．若点P (a ，b )与点Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为________．10．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝____________；若l 1∥l 2，则b ＝____________.11．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是______．三、解答题12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．四、探究与拓展13．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为______．14．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．。
3.1.1倾斜角与斜率ppt
o
x
思考4
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量
45°
前进量
3 m
坡度越大，楼梯越陡．
3 m
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
y
45°
升 高 量
前进量
o
α
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).
y
通常用小写字母k表示，即
解析：倾斜角为90° 的直线斜率不存在，故A，C错误；直 线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180° ，故D错误．
答案：B
例1
如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角. 分析：直接利用公式求解. 解：直线AB的斜率k AB 直线BC的斜率 1 1 2 1 k BC ; 0 (4) 4 2 直线CA的斜率 kCA
k tan ( 90 ).
注意：α= 90 时，k不存在.
o
α
o
x
倾斜角α 不是90°的直线都有斜率.
斜率与倾斜角的对应关系
图示 倾斜角(范 围) 斜率(范围) 0°<α <9 90°<α <180 90 ° α =0° α =___ 0° °
k=0 ____ k>0 ____
不存在
k<0 ____
Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1
y2 - y1 y2 - y1 所以k = tanα= = 0. x1 - x2 x2 - x1
3.1.1倾斜角与斜率教案
张喜林制[3. 1.1 直线的倾斜角与斜率【学习目标 】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题.【教学重难点】重点：倾斜角与斜率的概念难点：直线的斜率与倾斜角的关系【教学过程】一、课前准备（预习教材 82P ~ 86P ，找出疑惑之处）复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢? 复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、新课导学探究点一：①倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination ）.发现：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与轴x 平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度..思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系一条直线的倾斜角 α () 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k= tan .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 （1）α=0°时，则k （2）0°<α< 90°,则k （3）α= 90°，,则k（4）90 °<α< 180°，则k③ 已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)的直线的斜率公式：1212x x y y k --=.探究任务二：1.已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于 y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？ 三、典型例题分析例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴ 。
课件9：3.1.1 倾斜角与斜率
课堂探究 类型1 直线的倾斜角
例1 已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角 (0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾 斜角是多少？
解：由题意画出如下草图
由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°.
综上，直线 l 转动前的倾斜角为αα＋－9900°°((09°0<°≤αα<<9108°)0，°).
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)
知识梳理
教材整理1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_正__向__与直 线l_向__上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_°_.
由于yx的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA＝2，kOB＝23， 所以可求得yx的最大值为 2，最小值为32.
课堂检测
1．斜率不存在的直线一定是( )
A．过原点的直线
B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线 D．垂直于过原点的直线
【解析】 只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°， 斜率不存在． 【答案】 B
CD 由 CA 逆时针方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有
交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA 增大到 kCB，
所以
k
的取值范围为
33，
3.
方法归纳 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－xy11(x1≠x2) 求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
3.1.1 倾斜角与斜率
思考1：求证A（1，1），B（ 2， 7）， C（0， 3）三点共线；（提示： P37练习5）
证1： kAB kAC 2; 证2： AB 3AC；
证3： AB AC CB;
证4： 设C' (0, y0 ),C'分 AB所成的比
为，求出y0 3。
(1)直线和x轴的交点； (2)直线按逆时针方向旋转；
旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ， (3)最小正角．
那么 就叫做直线的倾斜角。
x 特别地，当与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°。
由此定义，角的范围如何？
因此,倾斜角的取值范围是 0o≤α＜180o
Y
.p
Y
00 900
思考2：已知两点M（2， 3）、 N（ 3， 2），直线L过点 P（1，1）且与线段MN相交， 求直线L的斜率k的取值范围？
直线L的倾斜角的取值范围？
思考3：已知2x y 8,
当2 x 3时，求 y 的 x
最大值与最小值。
课外作业：
直线的倾斜角和斜率同步练习
顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。过去我们 在学习解直角三角形时，教科书上就说过：斜坡坡面的铅 直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度；如果把坡面与水平
• 现实世界中，到处有美妙的曲线．从飞 逝的流星到雨后的彩虹，从古代石拱桥 到现代立交桥……这些曲线都和方程息 息相关．
• 行星围绕太阳运行，人们要认识行星的 运行规律，首先就要建立起行星运行的 轨道方程．
• 在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱的 方程，然后才能进一步地设计和施工．
引言:
通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来， 使形和数结合，是研究几何图形的一种重要的方法， 这一方法是用代数方法研究几何问题的基础，它的 产生对于促进教学的发展起到了巨大的作用。
第十六课时§3.1.1倾斜角与斜率
数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组 数学必修二 第三章 直线与方程 青岛天龙中学高二数学备课组第 1 页 共 2 页第 2 页 共 2 页§3.1.1倾斜角与斜率一、学习目标：1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.二、学习重、难点重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.三、课前预习：1、阅读教材P82-86，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）,四、知识衔接：1：一次函数的图象的形状是2：确定一次函数的图象的条件是3：锐角正切函数的定义五、新课学习;1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是 特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .试画出y=tan α α∈（0，π）的函数图像注：（1）时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2 ,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k （2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论. 3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率 例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB 、BC 、CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L 1、L 2、L 3、L 4【当堂检测】1. 在下列叙述中：所有正确命题的序号是①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ； ②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°； ④直线y=1的倾斜角为45°。
学案4：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1倾斜角与斜率课标要求1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．核心扫描1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)新知探究新知导学1．倾斜角的概念和范围当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴或时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是≤α＜.温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：(1)直线与x轴相交；(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向2．斜率的概念及斜率公式本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？(2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？题型探究类型一直线的倾斜角与斜率的概念例1 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．[规律方法](1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．活学活用1 (1)已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A．135° B．90° C．45° D．30°(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1类型二求斜率及其范围例2 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[规律方法] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．活学活用2 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．类型三 斜率公式的应用例3 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[规律方法] 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．活学活用3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错示例 求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [错解] 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.[错因分析] 未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m ＝1情况． [正解] 当m ＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.[防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件，对k ＝tan α注意α≠90°；对k ＝y 2－y 1x 2－x 1注意x 1≠x 2，对不满足公式适用条件的可能情况，要多加考虑，不可忽略.感悟提升课堂达标1．下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为________．4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5 C．－1 D．－55．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线P A的倾斜角为60°.课堂小结1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解k ＝tan α(α≠90°)在0°≤α＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.参考答案新知探究新知导学1．正方向 向上 平行 重合 0° 180° 2．正切值 tan α k ＝0 k ＞0 k ＜0 不存在 互动探究探究点1 提示 是．探究点2 提示 (1)90° 不存在 (2)无关题型探究类型一 直线的倾斜角与斜率的概念 例1 60°或120° 【解析】有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 活学活用1 (1)C (2)A【解析】(1)如图，因为直线l 不经过第四象限，故当直线l 处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.(2)设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k 1＜k 2＜k 3，选A.类型二 求斜率及其范围例2 【解】根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°， 故斜率的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞， 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 活学活用2 【解】如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间， 又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 类型三 斜率公式的应用例3 【解】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.活学活用3 【解】由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,2)，B (－1,4)．则k P A ＝2－－31－－2＝53，k PB ＝4－－3－1－－2＝7.∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为53. 感悟提升课堂达标1．D【解析】对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D. 2．C【解析】直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°＜α＜180°. 3．－2【解析】由过两点的直线的斜率公式，知直线AB 的斜率为4－20－1＝－2.4．D【解析】由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.5．【解】①当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k ＝0－2a －1＝－2a －1.又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1.解得a ＝1－233.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0.②当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．。
人教高一数学教学设计之《3.1.1倾斜角与斜率》
人教高一数学教学设计之《3.1.1倾斜角与斜率》一. 教材分析《3.1.1倾斜角与斜率》是高中数学人教版必修二的第一节，本节课主要介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以及它们之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握它们的计算方法，并能运用它们解决一些实际问题。
二. 学情分析高一的学生已经具备了一些几何的基础知识，例如直线的倾斜角和斜率的概念，他们对于新的知识有较强的接受能力。
但是，对于如何运用这些知识解决实际问题，他们可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握它们的计算方法。
2.过程与方法：通过观察和操作，培养学生的空间想象能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使他们能够主动探索和发现。
四. 教学重难点1.重点：直线的倾斜角和斜率的定义，它们的计算方法。
2.难点：如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物和图片，引导学生观察和思考。
2.问题驱动法：通过提问和讨论，激发学生的学习兴趣。
3.实践操作法：通过动手操作，培养学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备一些直线的倾斜角和斜率的实例，用于讲解和演示。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图片，如直线、斜坡等，引导学生思考：直线的倾斜角和斜率是什么？它们有什么关系？2.呈现（10分钟）讲解直线的倾斜角和斜率的定义，以及它们的计算方法。
通过实物和图片，让学生直观地理解这两个概念。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试计算一些直线的倾斜角和斜率。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
教师选典型题目进行讲解，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题？出示一些实例，让学生分组讨论和解答。
3.1.1倾斜角与斜率
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 堂 互 动 探 究
为差的形式.
课 前 新 知 初 探
2.利用斜率公式解决代数问题的步骤: (1)将所求的代数式化成
y1 y 2 的形式. x1 x 2
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
(3)(3, 3 ),(3, 7 );
课 堂 互 动 探 究
(4)(0,-3),(2,0).
【审.
课 前 新 知 初 探
【规范解答】(1)存在, k 2 2 0 ; (2)存在, k 3 2 5 ;
课 堂 互 动 探 究
课 前 新 知 初 探
【例3】已知某直线l的倾斜角α =45°,又P1(2,y1),P2(x2,5), P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值. 【审题指导】题中直线的倾斜角已知,且三点在同一条直线
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(1)当0°≤α <90°时,随α 的增大,k在［0,+∞)范围内增
第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
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二、斜率的概念及斜率公式 1．定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值 叫作这条直线的斜率． 2．记法：斜率常用 k 表示，即 k＝tanα ．
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3．斜率与倾斜角的对应关系
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图示
倾斜角 α＝0° 斜率 k＝0
0°＜α＜90°
[答案] 60°或 120°
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求直线倾斜角的方法及关注点：
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1．设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为________． 解析：如图：
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[解析] 如图所示，由题意可知， 4－0 2－0 kPA＝ ＝－1，kPB＝ ＝1. －3－1 3－1 (1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1]∪ [1，＋∞)． (2)由题意知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间．又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，所以 α 的取值范围是[45°，135°]．
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1．已知直线经过点 A(0，4)和点 B(1，2)，则直线 AB 的斜率为( A．3 B．－2 C．2 D．不存在
)
4－2 解析：kAB＝ ＝－2. 0－1
答案：B
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人教版高中数学必修二 第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0 k＞0 不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
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第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
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第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
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第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
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第三章
直线与方程
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第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
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第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
3.1.1 倾斜角与斜率
第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率基础达标A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α＜180°C ．90°≤α＜180°或α＝0°D ．90°≤α≤135° 解析 倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．答案 C2．(2012·临沂一中期末)已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为 ( )．A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° 解析 当两直线互相垂直时，两直线的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°，知l 2的倾斜角为150°.答案 D3．斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为 ( )．A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3 解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.答案 C4．如果过点(－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．解析 由斜率公式知4－m m ＋2＝1，解得m ＝1. 答案 1 5．(2012·济南高一检测)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________．解析 由题意得1＋a ＝2a ，∴a ＝1.答案 16．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________． 解析 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．答案 [0，2]7．(1)已知直线l 1的倾斜角为α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1和l 2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l 2的斜率k 2.(2)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．解 (1)设直线l 2的倾斜角为α2，如图所示，可知α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°.∴k 2＝tan α2＝tan 135°＝－1.∴直线l 2的斜率为－1.(2)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解得x 2＝7，y 1＝0.水平提升8．(2012·温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()．A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°解析由倾斜角的取值范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图所示)，故选D.答案 D9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．解析①当过A、B、C三点的直线斜率不存在时，即1－a＝a＝0，无解．②当过A，B，C三点的直线斜率存在时，即k AB＝2a－（－5）a－（1－a）＝k BC＝2a－（－a）a－0，即2a＋52a－1＝3，解得a＝2.综上，A，B，C三点共线，a的值为2.答案 210．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解法一设Q(0，y)，则由题意得k QA＝－k QB.∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－1 3.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。
3.1.1倾斜角与斜率
斜率存在)主要利用斜率公式；
2．斜率是个比值，斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次
序可以同时调换，即 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)或 k＝xy11－－xy22(x1≠x2)．
3．如果
y2＝ y1， x2≠ x1，则直线与
x
轴平
行或重合，k＝x2－0
＝ x1
0；如果
y2≠ y1， x2＝
x1，则直线与 x 轴垂直，倾斜角等于 90°，斜率 k 不存在．
4．若 kAB＝kAC，此时直线 AB 与直线 AC 的倾斜角相同，即三点 A、B、C 共线，因此
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知识要点一：直线 的倾斜角 直线 l 的倾斜角也可以这样定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线， 把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和已知直线重合时所转过的最小正角称为这 条直线的倾斜角．当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0°，因此，倾斜角 α 的取值范围是{α|0°≤α＜180°}． 关于理解直线倾斜 角应注意的几点： 1．清楚定义中含有的三个条件：(1)直线向上方向；(2)x 轴的正方向；(3)小于平角的正 角． 2．从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直 线重合时所成的最 小正角．
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知识要点二：直线 的斜率 关于理解直线斜率 的几点说明： 1．仅用倾斜角这 个几何概念来刻画直线方向是不符 合解题思想(即用代数的方法研究几 何问题)的．由此想到三角函数，因为 tan α∈R，可设 k＝tan α，这样，就可以从代数的角 度去刻画直线对于 x 轴正方向的倾斜程度； 2．当倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(或平行于 y 轴或与 y 轴重合)； 3．所有的直线都有 倾斜角，但不是所有的直线都有斜率 ； 4．直线的斜率也反映直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度．当 α＝90°时，斜率不存在， 即直线与 x 轴垂直；当 α＝0°时，斜率 k＝0；当 0°<α<90°时，斜率 k>0，随着 α 的增大，斜 率 k 也增大；当 90°<α<180°时，斜率 k<0，随着 α 的增大，斜率 k 也增大．
3.1.1倾斜角与斜率
练习
ห้องสมุดไป่ตู้课本 86页
练习 1、2、3
3、已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点 直线的倾斜角 （1）A(a，c)，B(b，c) （2）C(a，b)，D(a，c) （3）P(b，b+c)，Q(a，c+a)
课后作业： 课本89习题3.1 1， 2， 3、4 课时练习册P113 1－8题
知识小结 倾斜角
直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角， 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同． 已知直线上的一个点不能 确定一条直线的位置；同样已 知直线的倾斜角α．也不能确定 一条直线的位置． 但是，直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线．
l
y
l
l
O
x
确定平面直角坐标系内一条直线位置的几何要素是： 直线上的一个点和它的倾斜角。
思考：日常生活中，我们还有没有表示倾斜程度的量？
α 斜坡（2）
升 高 量
α
斜坡（1） 前进量 坡面与地面的夹角 ———斜坡的倾斜角α
升高量 坡度(比) ＝tanα 前进量
斜率
定义：直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜 率（倾斜角不为90°） 直线的斜率通常用k表示,即k=tanα 问题1：一条直线的倾斜角α为45°、60°、150° 时直线的斜率分别是多少？一条直线的斜率 为0时直线的倾斜角分别是多少？ 问题2：倾斜角能不能为90°? (由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率k不一定存在 )
如何用直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）来表 示斜率k (x1≠x2) 当P1P2的方向向上时 y P2 （x2，y2）过点P1作x轴的平行线 过点P2作y轴的平行线,两 线相交于点Q， P （x1，y1） Q
3.1.1倾斜角与斜率
二、斜率公式
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 : 1 y2 − y1 k= ( x1 ≠ x2 ) x2 − x1
公式的特点: 公式的特点:
(1)与两点的顺序无关 与两点的顺序无关; 与两点的顺序无关 (2) 公式表明 直线对于 轴的倾斜度 可以通过 公式表明,直线对于 轴的倾斜度,可以通过 直线对于x轴的倾斜度 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 直线上任意两点的坐标来表示 而不需要求出直 线的倾斜角; 线的倾斜角 (3)当x1=x2时,公式不适用 此时直线与 轴 当 公式不适用,此时直线与 公式不适用 此时直线与x轴 垂直,α=900 垂直
o
o
a = 60 ⇒ k = tan 60 = 3
o
o
当a = 90 时
o
y
k =?
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a = 90 ⇒ tan a (不存在)
o
即k不存在
下列哪些说法是正确的（ 下列哪些说法是正确的（ E、F） A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 任一条直线都有倾斜角， B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 、直线的倾斜角越大， C 、平行于 轴的直线的倾斜角是 或π 平行于x轴的直线的倾斜角是 轴的直线的倾斜角是0或 D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 两直线的倾斜角相等， E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 两直线的斜率相等， F 、直线斜率的范围是 直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。 、过原点的直线，斜率越大，越靠近 轴
.
（3，2）
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 在平面直角坐标系中， 分别为1 分别为1，-1，2和-3的直线 l1 , l 2 , l 3 及 l 4 。
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l
y
O
l
l
P
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直线 的倾斜程度？
一、直线的倾斜角
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
yl
α
o
规定：当直线l和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°.
直线倾斜角α的范围为：
x
0o 180o.
思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都
-
c a
=
0,α=
0o.
(2)直线CD的斜率不存在,α= 90o.
（3）kPQ = 1,α= 45o.
5.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线. 解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点； 斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.
y
2
-1 O 1
x
1.直线倾斜角的定义及其范围： 0o 180o.
结论：当 90o 180o时，斜率k＜0.
思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，
k y2 y1 还适用吗？为什么？ x2 x1
适用
y
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
O
x
k y2 y1 0 x2 x1
思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公
式还适用吗？ 不适用，因为分母为0， 斜率不存在.
2.斜率k与倾斜角 之间的关系：
k tan ( 90o).
3.斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
或k
y1 y2 x1 x2
( x1
x2 ).
“几何问题代数化”的思想.
当135°≤α＜180°时，为α－135°
3.请标出以下直线的倾斜角.
y
y
y
O
x
O
x
O
x
4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点
的直线的斜率及倾斜角.
(1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c).
(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).
解：(1)kAB
=
c b
2 4
1; 2
y
A
O C
x
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 0 及 kCA 0 知，直线AB与CA的倾斜角均为
锐角；由 kBC <0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角.
同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，
tanα= tan(180o -θ)= -tanθ.
y
y2
P2 (x2, y2 )
在RtΔP2QP1中，tanθ=
P2Q P1Q
= y2 - y1 ， x1 - x2
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
所以k
=
tanα=
-
y2 x1
- y1 - x2
=
y2 x2
-
y1 x1
0.
o x2 x1 x
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率
k AB
1 2 4 3
1 7
;
B
直线BC的斜率
kBC
11 0 (4)
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
且x1 x2 , y1 y2
在Rt P2 P1Q中，
o x1
x2 x
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 y1 0.
x2 x1
结论：当 0o 90o时，斜率k≥0.
若α为钝角，α= 180o -θ（设∠P2P1Q=θ）,且x1 > x2,y1 < y2，
=
-
x - 5,又A，B，C
4
三点共线，所以kAB=kAC，即
x
4
5
2，解得：x=-3.
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标
原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1 的倾斜角为( D )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；
y
α
o
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率
(slope).
y
通常用小写字母k表示，即
k tan ( 90o).
α
o
注意：α= 90o时，k不存在.
x
倾斜角α不是90°的直线都有斜率.
思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？
y
如图，若α为锐角，
y2
P2 (x2, y2 ) P2P1Q,
y
P1(x1, y1)
O
P2 (x2 , y2 )
x
三、斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式
公式特点：
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 ).
(1)与两点坐标的顺序无关.
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点
的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
笛卡儿（1596-1650）：法国数 学家、物理学家和哲学家，堪称 17世纪以来欧洲哲学界和科学界 最有影响的巨匠之一，被誉为 “近代科学的始祖”.
几何问题 代数化
观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？
思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确 定吗？ 不确定.过一个点有无数条直线.
有确定的倾斜角;
y l
②倾斜程度不同的直线有不同的倾
斜角; ③倾斜程度相同的直线其倾斜角 O
相同.
l"
l'" l
P
x
思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要
素是什么？
y
l
P
α
o
【提示】直线上的一个定点及它 的倾斜角二者缺一不可．
x
3m
3m
坡度越大，楼梯越陡．
升 高 45° 量
前进量
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
l3是过原点及点A3（1，2）的直线，
l4是过原点及点A4（1，-3）的直线． y A3 l3 l1 l1 A1
O
x
l l4 A2
2
A4
1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x
等于( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解：选C.因为 kAB
=
7-5 4-3
=
2,kAC
=
x-5 -1 - 3