3.1.1 倾斜角与斜率

(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率
k AB
1 2 4 3
1 7
;
B
直线BC的斜率
kBC
11 0 (4)
y
P1(x1, y1)
O
P2 (x2 , y2 )
x
三、斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式
公式特点：
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 ).
(1)与两点坐标的顺序无关.
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点
的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.
l3是过原点及点A3（1，2）的直线，
l4是过原点及点A4（1，-3）的直线． y A3 l3 l1 l1 A1
O
x
l l4 A2
2
A4
1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x
等于( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解：选C.因为 kAB
=
7-5 4-3
=
2,kAC
=
x-5 -1 - 3
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
wenku.baidu.com
且x1 x2 , y1 y2
在Rt P2 P1Q中，
o x1
x2 x
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 y1 0.
x2 x1
结论：当 0o 90o时，斜率k≥0.
若α为钝角，α= 180o -θ（设∠P2P1Q=θ）,且x1 > x2,y1 < y2，
2.斜率k与倾斜角 之间的关系：
k tan ( 90o).
3.斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
或k
y1 y2 x1 x2
( x1
x2 ).
“几何问题代数化”的思想.
l
y
O
l
l
P
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直线 的倾斜程度？
一、直线的倾斜角
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
yl
α
o
规定：当直线l和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°.
直线倾斜角α的范围为：
x
0o 180o.
思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都
tanα= tan(180o -θ)= -tanθ.
y
y2
P2 (x2, y2 )
在RtΔP2QP1中，tanθ=
P2Q P1Q
= y2 - y1 ， x1 - x2
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
所以k
=
tanα=
-
y2 x1
- y1 - x2
=
y2 x2
-
y1 x1
0.
o x2 x1 x
有确定的倾斜角;
y l
②倾斜程度不同的直线有不同的倾
斜角; ③倾斜程度相同的直线其倾斜角 O
相同.
l"
l'" l
P
x
思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要
素是什么？
y
l
P
α
o
【提示】直线上的一个定点及它 的倾斜角二者缺一不可．
x
3m
3m
坡度越大，楼梯越陡．
升 高 45° 量
前进量
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
y
α
o
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率
(slope).
y
通常用小写字母k表示，即
k tan ( 90o).
α
o
注意：α= 90o时，k不存在.
x
倾斜角α不是90°的直线都有斜率.
思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？
y
如图，若α为锐角，
y2
P2 (x2, y2 ) P2P1Q,
当135°≤α＜180°时，为α－135°
3.请标出以下直线的倾斜角.
y
y
y
O
x
O
x
O
x
4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点
的直线的斜率及倾斜角.
(1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c).
(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).
解：(1)kAB
=
c b
=
-
x - 5,又A，B，C
4
三点共线，所以kAB=kAC，即
x
4
5
2，解得：x=-3.
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标
原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1 的倾斜角为( D )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；
结论：当 90o 180o时，斜率k＜0.
思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，
k y2 y1 还适用吗？为什么？ x2 x1
适用
y
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
O
x
k y2 y1 0 x2 x1
思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公
式还适用吗？ 不适用，因为分母为0， 斜率不存在.
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
笛卡儿（1596-1650）：法国数 学家、物理学家和哲学家，堪称 17世纪以来欧洲哲学界和科学界 最有影响的巨匠之一，被誉为 “近代科学的始祖”.
几何问题 代数化
观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？
思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确 定吗？ 不确定.过一个点有无数条直线.
-
c a
=
0,α=
0o.
(2)直线CD的斜率不存在,α= 90o.
（3）kPQ = 1,α= 45o.
5.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线. 解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点； 斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.
y
2
-1 O 1
x
1.直线倾斜角的定义及其范围： 0o 180o.
2 4
1; 2
y
A
O C
x
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 0 及 kCA 0 知，直线AB与CA的倾斜角均为
锐角；由 kBC <0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角.
同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，