半角模型课件电子教案
初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90° 夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）角）（2）外夹（90°角不完全包含45°（1）内夹（120°角完全包含60°角）角）（2）外夹（120°角不完全包含60°A【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M, N分别是直线CB、DC上的动点，ZMAN=45°。
(1)当ZMAN交边CB、DC于点H、N (如图①)时，线段B\I、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；(2)当ZMAN分别交边CB, De的延长线于点M/N时(如图②)，线段BH, DN和MN 之间的乂有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
MΛr(2)DN一BAI = MN.理由如下：如图，在DC上截取DF = BM ,连接AF.VAB=AD,Bxf =^ADF = 90ΛI・・・ ^ABM^^ADF(SAS)：.AM = AF t ZAfAB = ZFAD・・・.ΔMA13 + ZZ?/IF = ΔFAD ^BAF = 9O c .即 ZMAF = ZBAD = 9(『・又 ZMTIN = 45。
，.∖^NAF = ΛMAN = 45∖・・・AN = AN J・・・ΔFAN・・・.MN = FN I即 MN = DN 一DF = DN- BM；在厶MDN 与厶EDy 中： (D-W = DE< ZΛ∕D.V 二 AEDN t I DN = DN 所以V 空I)X(SAS)-所以对.\「= NE = .VC+ 〃対・ Δ.43∕.V 的周长 Q = AM + AN + MN=AM + AN + (NC+ ΠM)=(∕LV/ + BM) + (/LV + NC) =AB+AC =2A1L而等边△ ABCm 长L = 3.4B.因为= CD I S. DC = 120°所以 ZDBC =厶 DCB = 30° 又因为Δ.1BC 是等边三角形， 所以 ΛMΓ3D= ZLNCD = 90°.在厶MBD 与厶ECD 中：(BM = CE< Δ∖il3D - AECUI BD = Dc所以△ MliL) ≤ ^ECD(SAS)- 所以 D.” = DE^BDM = ACDE 1 所以ZEZZY =乙BDC-ZA/P.V = 60°例2、在等边AABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、X, D 为AABC 外一 点，且ZMDN 二60° , ZBDC=I20o, BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移 动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AAMN 的周长Q 与等边AABC 的周长L 的关 系. (I) 如图1,当点M 、N 边AB 、Ae 上，且DM 二DN 时，BM 、NC. MN 之间的数量关 系是 _______ ; 此时—= ____________ ; L (II) 如图2,点M 、\边AB 、AC ±,且当DM≠DN 时，猜想(I)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明; (IlI)如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=Λ,则Q 二(用八L 表示)•(3)如图,当M-V 分别在AB. CT 的延长线上时,若.LV = z,SMQ = 2了+話(用八Z 表示)・3解:⑴如图,BAf 、NC 、M 之间的数屋关系DM + NC =此时Q=?L 3(2)猜想:结论仍然成立.证明:如图,延长.1C 至&使CE= I3M.连接DE【课堂练习】1、如图，正方形ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和CD 上的点，AG 丄EF 于G,若Z EAF=45o ,求证：AG=ADO延长CD 到使DM=BE I 连接AM I ∙.∙四边形ABCD^AE 方形，・•・ AB=AD y ΔB= ZADF = ^ADM = ZBAD = 90° r ・・・ZEAF = 45° . .∖ΛBAE+^DAF = 45QT在MBE 和ZXADF 中AB=AD^B=ΔADF BE=DF.∖ΔABE 丝 ΔADF I••• ZDAM = ZBAE t AE = AM ,・•・ ZFAM = ZDAF + ZDAM = ZjDAF + ΔBAE = 45° = Z.EAF^ΔEAF 和 ZkMAF 中 AE=AMLEAF = AMAF AF=AF.∖ΔEAF ^ΔMAF t.∙∙ EF = MF, SbEAF= SIMAFF{{.∖^EF×AG≈^MF× AD t Z 厶.∖AG=AD.2、已知：∆ABC 是等边三角形，ΔBDC 是等腰三角形，其中ZBDC=I20° ,过点 D 作ZEDF=60° ,分别交AB 于E,交AC 于F,连接EF.(1) 若BE 二CF,求证：①Z ∖DEF 是等边三角形；②BE+CF 二EF.(2) 若BE≠CF,即E 、F 分别是线段AB, AC 上任意一点，BE+CF=EF 还会成立吗？ΛA NBD^∙FCD (SAS), /-DN=DF r ZNDB=ZFDC r ∙.zEDB=ZFDC ZΛZ EDB=Z BDN=Z FDC,∙.zBDC=120o f ZEDF=60%ΛZ EDB÷Z FDC=60% ΛZ EDB÷Z BDN=60% 即ZEDF=ZEDN, 在AEDN 和、ED F 中ΛΔ∈D N^EDF (SAS),.∙.EF=EN=BE+BN=BE+CF,请说明理山.IZNBD = ZFCD = 90°BN = CFBD = DC(1)证明：延长AB到N•使BN=CF Z连接DN,VMBC是等边三角形，∙∙.Z ABC=ZACB=60。
初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。
（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。
2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 课件
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
几何模型——半角模型
9
精选课件ห้องสมุดไป่ตู้
10
精选课件
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，
相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓
你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏
识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使
8
精选课件
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
半角模型课件
2、如图，有一块三角形空地，AC=BC，∠ACB=90°，
∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，那么这块三角形空地
的面积为
.
C
A
D
E
B
学习交流PPT
16
学习交流PPT
17
解答：
学习交流PPT
18
五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
学习交流PPT
19
六、链接中考 实战模型
4
一、探究规律 创建模型
A
45°
1
F′ B E
D 解：延长CB，使BF'=DF，连接AF'。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF,
F∴△ADF≌△ABF′ ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF
∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF
学习交流PPT
14
四、当堂检测 巩固模型
1、如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°的等
腰三角形，DB=DC，以D为顶点作一个60°角，角的两
边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则BM、CN、
MN之间的数量关系为
。 BM+CN=MN.
A
N M
B
C
D
学习交流PPT
15
四、当堂检测 巩固模型
2
则BD、CE、DE之间的数量关系为 BD+CE=D。E
A
B D
C E
学习交流PPT
9
三、拓展提高 延伸模型
【变式一】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边
专题3.1 半角模型-2021年中考数学第二轮总复习课件(全国通用)
∴DE=GF=b-3,CE=7-b.
4.在Rt△BCE中求出b=25/7
E
DБайду номын сангаас
拓展提高
2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90º,D是AB上一动点,连接CD,以
CD为直径的⊙M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交⊙M于点
G,连接BE.
(1)求证：点B在⊙M上；
(2)当点D移动到使CD⊥BE时,求BC:BD的值； 2 +1
A
【思路点拨】
D
先将△ADF绕点A旋转得△ABF´
再证△AEF≌△AEF´
F
结论：EF=BE+DF
F´
BE C
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
当堂训练一
2.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,
A
点D,E在BC上,且满足∠DAE=45º. E´
求证:DE2=BD2+CE2
【思路点拨】
【一】将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连
F´
EB
C
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
F
类型2 小角不全在大角内部
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180º,E,F分别是BC，
CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系
是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明.
C
=AB＋AC=2
D
E
基础训练
4.如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45º,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,
过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG． 求证:△AGE≌△AFE;
旋转的应用-半角模型教案鲁教版(五四制)数学八年级上册
《旋转的应用—半角模型》教学设计【教学目标】结合数学课程标准和学科德育一体化要求，围绕“目标—--评价—--教学”一致性原则，确定本课教学目标如下：半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
2．在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
3. 通过讨论交流、合作探究等活动，积累数学活动经验，培养数学学科的严谨思维和理性精神。
【教学重点】明确半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。
【教学难点】在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。
【教学过程】之前,我们学习过图形的变换主要有哪些形式?平移、旋转和轴对称。
其中旋转式我们解决几何问题的一大利器。
今天我们就来探究如何利用旋转来解决半角模型问题（板书课题）。
教学目标1、认识半角模型，能在复杂的图形当中找到半角模型；2、会利用旋转的知识解决半角模型的相关问题。
知识回顾△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中是，旋转角等于°AD与AP的夹角是°△ADP是三角形。
设计意图：同学们通过这道题的练习，熟悉旋转的性质，为后续的探究夯实基础。
典例探究在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC上的点，且∠EAF=45°，探究BE、FD、EF三条线段的数量关系。
（1）大胆猜测，独立思考，找出解决问题的方法。
（2）小组讨论，各抒己见，让思维撞击出火花。
（3）集体讨论，质疑问难，探讨解决问题的方案。
（4）几何画板演示旋转的意义所在，教师语言要注意引导半角模型的特点。
设计意图：教育本质是一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂。
通过个人探究、小组讨论和集体讨论，激发学生对问题的深入思考。
几何画板的动态演示直观的展示了旋转的过程中，变与不变的量，变与不变的关系，加深学生对利用旋转解半角模型题目的认知。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 微专题 半角模型 教学课件
微专题 半角模型
解法二：
证明：如解图②，将△ABD和△ACE分别沿AD，AE翻折，使得AB，AC
重合在AH上．
由折叠的性质得，BD＝DH，CE＝HE.
∵△ABC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠AHD＝∠AHE＝45°，∴∠DHE＝90°.
例2题解图②
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DH2＋EH2＝DE2，
AB AD, ABE ADG , BE DG,
∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.
G
例1题图
微专题 半角模型
∵∠BAE＋∠EAD＝90°， ∴∠DAG＋∠EAD＝90°，即∠EAG＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠EAF＝45°. 在△AFE和△AFG中，
微专题 半角模型
例1
一题多解法 如图，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上
的点，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF. 解法一：
一题多解 证明：如解图①，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到
△ABG，使AD与AB重合． ∵四边形ABCD是正方形，
例1题图
∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABM＝90°.
E
在△ABM与△ADE中，
AB AD, ABM D , BM DE,
∴BD2＋CE2＝DE2.
微专题 半角模型
例3 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是四边形
ABCD的边BC，CD上的点，其中AB＝AD，∠BAD＝120°，∠EAF＝
60°，求证：EF＝BE＋DF.
半角模型ppt课件
精品课件
21
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
8x
E
4
B
C
精品课件
14
２、（１）探究：
如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上， 且—∠——D—C—E—=— 45—°——,探——究— BE、DF、EF三条线段之
———————
间的数量关系.
AD
精品课件
E
B
15
１３
D′
AD
E
Ｂ
结论： D2E A2 D B2E
பைடு நூலகம்
A
D
EB
18
C
D′
A
D
E
B
结论： 当AD=BE时，线段DE、AD、EB
能构成一个等腰三角形且顶角
∠DFE为120°.
精品课件
19
（3）应用：
在探究问题的条件下，如果AB=10，求 BD·AE的值．
AD
E
精品课件
20
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征： ①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
———————————————
CD上的点，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、
————————
EF三条线段之间的数量关系.
A
D
人教版九年级数学上册《半角模型专题探究》优质课教案_10
通过上面两道题的解决,变式(2)学生可以轻松的猜想出结论.
基本模型（2）——等腰直角三角形内含半角
如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D、E在斜边BC上，且∠DAE=45°,探究BD、DE、EC三条线段之间的数量关系,并对你的猜想给予证明.
∠BDC=120°,BD=DC.
求证：BM+CN=MN
分析已知条件,此题是120°夹60°问题,而且题中也有一组有公共端点的线段,因此此题仍可以使用截长补短法或旋转法解决.
让学生自由选择方法解决此题,发现多数学生采用的仍是旋转法,因为他们发现旋转法可简化证明步骤,但仍需注意要证明三点共线.
由于时间有限,课堂上我们不能把所有的半角模型题都练到,但通过前面几道题的探究此时请学生来总结:
学生B;旋转法
对于学生在叙述过程中出现的问题需要及时纠正,对于学生可能会犯的错误要特别注意,如旋转的三要素,三点共线的证明.
之后通过课件演示动画,展示两种解决方法,使学生能更直观的体会两种方法的优缺点.
变式(1)：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC的延长线上的点，且∠EAF＝45°.
猜想:线段BE,DF,EF之间有什么关系并证明.
将基本模型(1)进行变式,首先让生猜想结论,继续探究解决方法.
学生A:截长法.
学生B:旋转法.
通过两道题的训练,学生能够体会,解决此类半角问题,采用截长补短法或旋转法.但对于半角模型的特征还没有明确掌握.
变式（2）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝45°.
基本模型（1）——正方形内含半角
已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D 解：延长CB，使BF'=DF，连接AF
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF,
F∴△ADF≌△ABF′ ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF
∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF
C ∴EF'=EF ∴BE+DF=BE+BF′=EF′=EF
一、探究规律 创建模型
E'
A
D
A
D
F
F
F' B
E
C
B
E
C
辅助线方法一
辅助线方法二
一、探究规律 创建模型
【探究二】 如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD， 点E、F分别在边BC、CD上，∠BAD=120°，∠EAF=60°， 猜想BE、EF、DF之间有什么关系？ BE+DF=EF
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
NF M
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
小组合作要求； 1、先独立思考。 2、小组内互相交流方法、思路、疑惑，互相帮助。 3、选出代表，向全班同学展示。
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
A
D
NF M
B
E
C
N' B
NF M
E
C
三、拓展提高 延伸模型
A
D
A
D
F
NF
M N'
F' B
E
C
B
E
C
★总结：对于正方形中的半角模型存在那些数量关系？
四、当堂检测 巩固模型
1、如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°
的等腰三角形，DB=DC，以D为顶点作一个60°角 ，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则BM、CN、MN之间的数量关系为 BM+CN=。MN.
试着说明理由。
D
A
F
D
A
F
BE
C
F'
B
E
C
一、探究规律 创建模型
A
D
D
F
A
F
F' B
E
C
F'
B
E
C
★观察以上两个题目，你发现了什么？
二、一试身手 体验模型
【从特殊到一般】1、如图，已知AB=AC，在∠BAC内部∠BAC 共顶点的一个角∠DAE= 1∠BAC，并且有∠B+∠C=180°.
2
则BD、CE、DE之间的数量关系为BD+CE=DE。
学习重点：“半角”模型的辨别（一）及灵活应 用
学习难点：辅助线的添加及说明能力（一）。
一、探究规律 创建模型
【探究一】 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.
A
D
F
B究规律 创建模型
A
45°
1
F′ B E
A
N M
B
C
D
四、当堂检测 巩固模型
2、如图，有一块三角形空地，AC=BC，∠ACB=90°，
∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，那么这块三角形空地
的面积为
.
C
A
D
E
B
解答：
五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
六、链接中考 实战模型
A
B D
C E
三、拓展提高 延伸模型
【变式一】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在 边BC、CD上，∠EAF=45°.若正方形边长为2， 则△FEC的周长为 4 .
A
D
F
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、
商河县郑路中学
杨春利
学习目标:
（1）理解掌握“半角”模型，明确符合半角模型的特征(一)； （2）用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”（二）、
“分类”、 “化归”的研究思想，发展自己观察、比较、分析 推理能力（一二三）； （3）明确辅助线的构造原理（一），进一步培养综合 运用知识 解决问题的能力。