工程力学课第14章 压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
简明工程力学14章压杆稳定
4π 2 EI F1cr Fcr ' ' = = 2 cos α l cos α
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
工程力学：14第十四章 压杆稳定
π2EI π2EI
Fcr 4l 2 2l2
w 1 cos x
2l
14-4 欧拉公式的适用范 围中小柔度杆的临界应力
1.临界应力和柔度
临界应力可用临界力Pcr 除 以横截面面积A 来求得。
cr
cr
2EI
l2
令
iy
Ιy , Α
iz
Ιz Α
式中，iy和iz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半 径。
s p
cr
2 2
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式： cr a b
压杆的临界应力图
s
a
b
s
经验公式的 适用范围：
s p
cr
cr s
s p
cr a b
cr
2 2
小柔度杆
S
欧拉公式
s p
实际是强度问题 cr s
一些常用材料的a、b值：
例14-1 截面为1220cm2,l = 7m,E = 10GPa,试求木柱的临
令 l
i
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
cr
cr
2EI
l2
cr
2Ε 2
2.欧拉公式的适用范围
cr
2 2
p
材料在线弹性范围内工作 压杆的临界应力图
比例极限的柔度值： cr
Ε p σp
s p
当 p时，欧
拉公式才适用。
这类压杆称为
大柔度杆或细 长杆。
欧拉公式
w Ak coskx Bksin kx
边界条件
x 0 w 0, w 0
xl w
积分常数 挠曲线近似方程
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
《工程力学》压杆稳定
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
建筑力学压杆稳定课件
由此可以计算压杆在保证稳定的前提下，能承受的最大轴压力，又称为压杆的临界荷载 或容许荷载。当施加的压力小于容许荷载时，构件不会发生失稳破坏，反之，构件将发生失
稳破坏。对于此类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系 数 ，再按照上式进行计算。
建筑力学压杆稳定
3. 对压杆进行截面设计
建筑力学压杆稳定
• 应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计 算：
• 1. 稳定校核 • 已知压杆的截面形状和尺寸，杆件长度及支承条件
，杆件的轴心压力，根据公式（9－16）即可以验证 压杆是否会发生失稳破坏，即验证其稳定性。
建筑力学压杆稳定
例 9－4 如图 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢，直径
立，由此可得的适用条件为：
cr
2E 2
p
令
p
2E p
则
p
（9－7） （9－8）
式(9-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度 p 时，才能
用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然， p 是应用欧拉公式的最小柔度。压杆的实
际柔度 λ 随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但 p 是仅由材料性质确定的值。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
建筑力学压杆稳定
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
建筑力学压杆稳定
第二节 临界力和临界应力 1、影响临界力的因素 实践表明，影响细长压杆临界力的主要因素是材料的特性、截面几何形状和杆件的长度， 以及压杆两端的约束条件。 （1）材料的特性 对于两个截面几何形状及杆件长度相同的木杆和钢杆，受轴向压力 作用，木杆会先失稳，即木杆的临界力比钢杆的小，说明弹性模量 E 小的材料，其临界力也 小。 （2）截面几何形状 当截面尺寸相同，而截面形状不同时，其临界力也会不相同。影 响临界力的截面参数是截面惯性矩，惯性矩越大，杆件就越不容易失稳，说明截面的惯性矩 大，临界力也大。 （3）杆件的长度 其他条件相同时，长杆比短杆更易失去稳定，故临界力要小些。 （4）压杆两端的约束条件 对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承 载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。当其他条件相 同时，一端固定、而一端铰支的压杆比两端铰支的更不容易失稳，说明两端支承越牢固，压 杆的临界力就越大。
工程力学精品课程压杆稳定.ppt
F
b y
解：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：
l
h
z
y
因为
h z
b
Iy Iz
所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲
(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆
1
(c) 计算临界压力。由欧拉公式
所以可用欧拉公式
d
A
1 d 2
4
4
l 4l 120
i
d
(b) 判别压杆的性质。
1
2 E 102 p
1
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。
(c) 计算临界应力。
Pcr
cr
A
2E 2
A
269 kN
(d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。
0.75120 90
2
a s
解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。
二。临界压力的欧拉公式
1 两端铰支压杆的临界压力
y
P
xv
l
v xP
P
M x
P
压杆距支座x处截面上的弯矩是
M Pv
代入挠曲线的近似微分方程
d 2v dx2
M EI
Pv EI
令： k 2 P
则有:
EI
d 2v k2v 0 dx 2
以上微分方程的通解是
z b
y
y
x z
h
解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。
iy
Iy A
1 hb3
12
hb
b 12
y
1l
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
工程力学教学课件模块14压杆稳定
压杆在临界力的作用下，其截面上的正应力称为
临界应力，用σcr表示。
2
σcr= =
()2
利用惯性半径i=
（14-2）
，可将式（14-2）写成
2
σcr= ()2
2
令λ= ，则压杆临界应力的欧拉公式为
2
σcr= 2
（14-3）
19
14.2.2 临界应力和柔度
为了方便计算，现将各种常用材料的折
减系数φ列于表14-3中以备查用。
36
14.4.1 压杆稳定条件的内容
37
14.4.1 压杆稳定条件的内容
在不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式（如抛物线公式）计算临界应力，
读者可自行查阅相关的设计规范，这里不做详细介绍。
30
14.3.3 临界应力总图
由以上讨论可知，细长杆、中长杆、短粗杆三
类不同的柔度压杆需要分别应用不同的公式计
算临界应力。对于柔度不小于λp的细长杆，可
应用欧拉公式来计算临界应力，以解决其稳定
能力均应为FP=σbA=40×30×5=6 000 N。
5
14.1.1 压杆的稳定性与失稳
但是，当对两根杆缓慢施加压力时会发现，图14-1
（a）所示的杆在加到30 N时就会突然发生弯曲，
如果继续增加压力，杆会折断；而图14-1（b）所
示的杆能承受的荷载可达到近6 000 N，并且直到
破坏前，杆都能保持直线的形状。可见，细长压杆
只适用于应力小于比例极限的情况，即
π2E
σcr= 2 ≤σp。由此可知，使临界应力公式成立
λ
的柔度条件为
λ≥π
E
σp
临界应力，用σcr表示。
2
σcr= =
()2
利用惯性半径i=
（14-2）
，可将式（14-2）写成
2
σcr= ()2
2
令λ= ，则压杆临界应力的欧拉公式为
2
σcr= 2
（14-3）
19
14.2.2 临界应力和柔度
为了方便计算，现将各种常用材料的折
减系数φ列于表14-3中以备查用。
36
14.4.1 压杆稳定条件的内容
37
14.4.1 压杆稳定条件的内容
在不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式（如抛物线公式）计算临界应力，
读者可自行查阅相关的设计规范，这里不做详细介绍。
30
14.3.3 临界应力总图
由以上讨论可知，细长杆、中长杆、短粗杆三
类不同的柔度压杆需要分别应用不同的公式计
算临界应力。对于柔度不小于λp的细长杆，可
应用欧拉公式来计算临界应力，以解决其稳定
能力均应为FP=σbA=40×30×5=6 000 N。
5
14.1.1 压杆的稳定性与失稳
但是，当对两根杆缓慢施加压力时会发现，图14-1
（a）所示的杆在加到30 N时就会突然发生弯曲，
如果继续增加压力，杆会折断；而图14-1（b）所
示的杆能承受的荷载可达到近6 000 N，并且直到
破坏前，杆都能保持直线的形状。可见，细长压杆
只适用于应力小于比例极限的情况，即
π2E
σcr= 2 ≤σp。由此可知，使临界应力公式成立
λ
的柔度条件为
λ≥π
E
σp
工程力学精品课程压杆稳定.ppt
第 10 章
压杆稳定
Stability of columns
一。稳定性概念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象， 即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为 屈曲失效。
内燃机配气机构中的挺杆
磨床液压装置的活塞杆
细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的 临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是 压杆保持微曲平衡的最小值。
b
经验公式: cr a b
其中，a，b是由杆件材料决定的常数
2）小柔度杆的临界应力
小柔度杆或短杆： λ < λ2 此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即
cr s
或
b
3） 临界应力总图
σ σcr=σs
σs σp
σcr=a-bλ σcr=π2E/λ2
O
λ2
λ1
可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度λ无关，而中、长杆的临界应力则随柔度 λ的增加而减小。
例10-4图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其
外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模 量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
1m A
1m B
F 解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力
1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承 载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。
压杆稳定
Stability of columns
一。稳定性概念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象， 即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为 屈曲失效。
内燃机配气机构中的挺杆
磨床液压装置的活塞杆
细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的 临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是 压杆保持微曲平衡的最小值。
b
经验公式: cr a b
其中，a，b是由杆件材料决定的常数
2）小柔度杆的临界应力
小柔度杆或短杆： λ < λ2 此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即
cr s
或
b
3） 临界应力总图
σ σcr=σs
σs σp
σcr=a-bλ σcr=π2E/λ2
O
λ2
λ1
可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度λ无关，而中、长杆的临界应力则随柔度 λ的增加而减小。
例10-4图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其
外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模 量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
1m A
1m B
F 解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力
1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承 载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。
理论力学14压杆稳定
I y > I z λ y = λz
16
压杆稳定
两根中心受压杆的材料和支撑情况相同，若两杆的所有 尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆的临界应力如何？
πE σ cr = 2 λ 答：相等。
2
λ=
μl
i
i=
I A
非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界应力，其结果 σ比实际大还是小？
cr
σ cr = a − b λ
压杆稳定
折减系数法
[σ ]st = ϕ [σ ]
σ ≤ ϕ[σ ]
ϕ = ϕ (λ ) 称为折减系数
强度许用应力
19
例
2
一连杆尺寸如图，材料为Ａ３钢， E = 200GPa ，
σ p = 200MPa ，σ s = 240MPa ， F = 110kN ，[n]st = 3
试校核连杆的稳定性。
y
26
压杆稳定
本章小结
压杆稳定的概念
压杆的临界力
Fcr =
π EI
2
π EI
Fcr = ( μl ) λ ≥ λp
欧拉公式
2 min
l
2
2
压杆的临界应力
大柔度杆或细长杆
πE σ cr = 2 λ
2
27
压杆稳定
λs ≤ λ < λ p 直线公式 σ cr = a − bλ
中柔度杆或中长杆 小柔度杆或短粗杆
σ cr = a − bλ
πE 2
σcr = 2 λ
λ
λs
λp
临界应力总图表示临界应力随柔度的变化。
15
压杆稳定
思考：
两压杆为管状薄壁容器式细长杆，管两端封闭，且为 铰支座。ａ杆无内压，ｂ杆有内压，其他条件相同。则两 杆临界应力的关系如何？
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
工程力学第14章答案
习题14-2图习题14-3图P F P F P F P F 0PF P -F 2F -2F 2F -2F 0000000P F P F PF P -F P-F P -F P F P F P F P F 0P F P -F 2F -2F 2F -2F 0000P F PF P F P-F P -F P -F 00习题11-2解图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=；（D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。
正确答案是 A 。
解：各杆内力如解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A ）。
14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。
关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。
（A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>；（D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。
《压杆稳定教学》课件
临界载荷法：通过临界载荷 计算，判断系统稳定性
稳定性图解法：通过稳定性 图解，判断系统稳定性
压杆稳定实验方法
第五章
实验目的
验证压杆稳定理论 掌握压杆稳定实验的基本操作 学习压杆稳定实验数据分析方法 提高压杆稳定实验的实践能力
实验原理
压杆稳定实验是研究压杆在受力作用下的稳定性问题
实验原理基于欧拉-伯努利梁理论，通过测量压杆在不同载荷下的变形和应力分布，分析 压杆的稳定性
第二章
课件背景
压杆稳定是工程力学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解压杆稳定的原理和应用 课件包括理论讲解、实例分析、习题练习等环节 课件适用于工程力学、土木工程等专业的学生
教学目标
掌握压杆稳定的 基本概念和原理
学会分析压杆稳 定问题
掌握压杆稳定计 算的基本方法
提高学生的工程 实践能力
适用对象
工程力学专业的学生
结构工程专业的学生
土木工程专业的学生
机械工程专业的学生
相关领域的研究人员 和工程师
内容结构
压杆稳定理 论基础
压杆稳定设 计方法
压杆稳定分 析方法
压杆稳定实 验与验证
压杆稳定实 例分析
压杆稳定发 展趋势
压杆稳定基本概念
第三章
压杆定义
压杆：承受轴向压力的杆件 压杆的种类：直杆、曲杆、斜杆等 压杆的受力：轴向压力、剪切力、弯矩等 压杆的稳定性：压杆在受力作用下的稳定性能，包括临界载荷、临界应力等。
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汇报人：PPT
案例总结与启示
案例背景：某建筑工程中，压杆稳定性问题 案例分析：通过理论分析和实验验证，确定压杆稳定性的影响因素 案例启示：在实际工程中，应充分考虑压杆稳定性的影响因素，确保工程安全 案例应用：在工程设计中，采用压杆稳定性分析方法，提高工程安全性能
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
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(d) 式(d)为二阶常系数线性微分方程，其通解为 w A sin kx B cos kx (e) 式中 A、 B 和 K三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定。 边界条件： 当 时x=0， w=0，代入式(e)，得 。式(e)为 (f) w A sin kx 当 时x=l， w=0 ，代入式(f)，得 A sin kl 0 (g) 满足式(g)的条件是 A=0，或者 sin kl 0 。若 A=0 ，由式 (f)可见 w=0 ，与题意(轴线呈微弯状态)不符。因此，只有
第二篇 材料力学
第14章 压杆稳定
第14章 压 杆 稳 定 14.1压杆稳定的概念 在前面几章中讨论了杆件的强度和刚度问题。在工程实际中，杆件 除了由于强度、刚度不够而不能正常工作外，还有一种破坏形式就 是失稳。什么叫失稳呢？在实际结构中，对于受压的细长直杆，在 轴向压力并不太大的情况下，杆横截面上的应力远小于压缩强度极 限，会突然发生弯曲而丧失其工作能力。因此，细长杆受压时，其 轴线不能维持原有直线形式的平衡状态而突然变弯这一现象称为丧 失稳定，或称失稳。杆件失稳不仅使压杆本身失去了承载能力，而 且对整个结构会因局部构件的失稳而导致整个结构的破坏。因此， 对于轴向受压杆件，除应考虑强度与刚度问题外，还应考虑其稳定 性问题。所谓稳定性指的是平衡状态的稳定性，亦即物体保持其当 前平衡状态的能力。
根据杆端约束情况，杆在临界力 作用下的挠曲线形状如图 14.3 Fcr 所示，最大挠度 发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意 x 截面上的弯矩为 M ( x) Fcr ( w) (a) 式中， w为 x截面处杆的挠度。将式(a)代入杆的挠曲线近似微分 方程，即得 (b) EIw M x Fcr ( w) 上
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
Fcr k2 EI
sin kl 0 (h) kl n ( n 1,3,5, ) Fcr kl l 其最小非零解是 n=1的解 (i) EI 即得 2 EI Fcr 2 （14-1) l 式(14-1)即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力 Fcr的计算公 式。由于式(14-1)最早是由欧拉( L.Enlen)导出的，所以称为欧 拉公式。 将式(i)代入式(f)得 w A sin x (j)
14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力 如图14.3所示，一下端固定、上端自由并在自 由端受轴向压力作用的等直细长压杆。杆长为 l， 在临界力作用下，杆失稳时假定可能在xy 平面内 维持微弯状态下的平衡，其弯曲刚度为 EI， 现推导其临界力。
图14.3 一端固定，一端自由的压杆
如图14.1所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果 是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持 直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯 曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于 稳定的平衡状态(如图14.1(a)所示)。当轴向压力达到某一值时 ，加干扰力杆件变弯，而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡， 不再恢复到原来的直线状态(如图14.1(b)所示)，说明压杆处于 不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值 时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态 下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 Fcr 表示。它 是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一个具体的压杆( 材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 Fcr 是一个确定的 数值。压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受 的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的 平衡状态是稳定的还是不稳定的。
现以两端铰支，长度为 l 的等截面细长中心受压(如图14.2(a)所 示)为例，推导其临界力的计算公式。假设压杆在临界力作用下轴 线呈微弯状态维持平衡 (如图14.2(b))。 此时，压杆任意 x截面沿 y方向的 挠度为 w该截面上的弯矩为
图14.2 两端铰支的压杆
M ( x) Fcr w (a) 弯矩的正、负号按第11章中的规定，挠度 w 以沿y 轴正值方向为 正。 将弯矩方程 M ( x ) 代入式(14-1b)，可得挠曲线的近似微分方程 为 EIw M ( x) Fcr w (b) 其中， I为压杆横截面的最小形心主惯性矩。 将上式两端均除以 EI，并令 Fcr k 2 (c) EI 则式(b)可写成如下形式
l
将边界条件 x l
， w ( 为挠曲线中点挠度)代入式(j)，
得 将上式代入式(j)可得挠曲线方程为 w sin x (k) l 2 一端固定、一端自由细长压杆的 临界力
14.2 理想压杆临界力的计算 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳 ”临界力的概念都是针对这一力学模型而言的。 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力