工程力学第16章(压杆稳定问题)
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
工程力学第16章压杆稳定问题
（为什么A 、B 不能同时等于0 ？）
sinkl 0
kl n
n22EI
F l2 (n1,2,...)
由于临界载荷是F 的最小值，所以取n = 1
两端铰支细长压杆的临界载荷
Fcr
2EImin
l2
当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样时
应取Imin的方向计算。
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
解：在正视图平面（xy 平 面）内失稳，A 、B 处可自 由转动，即两端为铰链约束
1
iz
Iz A
bh3/12 h
bh 2 3
z izl
12.32 3 60103 132.8
在俯视图平面（xz 平面）内失稳，A 、B 处不可自由转动，即两 端为固定约束
0.5
iy
Iy A
hb3/12 b
bh 2 3
y
l 0.52.32
iy
40103
399.6
z y
压杆在正视图平面内失稳定
z 132.8P 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
F c rc r A 2 z 2 E b h 2 1 2 3 0 2 5 .8 2 1 0 9 4 0 6 0 1 0 6 2 7 5 k N
解：根据欧拉公式
2 E I 3 E d 4 3 2 0 0 1 0 9 2 0 4 1 0 1 2
F c r (l) 2 6 4 (l) 2 6 4 ( 1 0 .8 ) 2
2 4 .2 k N
此时横截面上的正应力
F A cr 4 2 2 4 0 .2 2 1 1 0 0 3 677M P aP
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
工程力学：第16章 压杆稳定
IminI z 3.8910 8 m4
(4545 6)
等边角钢
图(b)
FPcr
2 Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
12.2.3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
FPcr A
2.细长压杆的临界应力： cr
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡:在平衡状态受扰动后无法回复到原状态
2. 稳定平衡:在平衡状态受扰动后物体将回复到原状态
3. 稳定性：构件在何在作用下保持其原有平衡状态（构形）的能力
4. 稳定性判据：构件丧失稳定性的条件 5. 失稳或屈曲：构件丧失稳定能力的现象 5. 临界荷载（屈曲荷载）：构件由稳定平衡状态转化为不稳 定平衡状态时荷载
cr 235 0.006682 MPa <c 123
对于16Mn钢（E=206MPa， s=343MPa ），有
cr 343 0.014472 MPa <c 109
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰
支，压力F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式
A 3.35103m2, imin 21.2mm
所以，若选用No.20a工字钢作立柱，其柔度及横截面的工作应力 分别为
l
imin
0.6 3 21.2 103
84.9
F A
250 103 3.55 103
70.4 106 Pa
查表12-3查得，对应于=84.9 的折减系数为
1
0.731
0.731 0.669 10
工程力学压杆稳定ppt
0
铸铁 331.9 1.453
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
——直线型经验公式 细长压杆。
ls
lP
临界应力总图[a]
细长杆—发生弹性屈曲 (llp) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (ls l< lp) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (l< ls)
——直线型经验公式
B=0 sinkl • A =0
y FN
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
B=0 sinkl • A =0
若 A = 0，则与压杆处于微弯状态 的假设不符，因此可得：
sinkl = 0
（n = 0、1、2、3……）
y Fcr
临界载荷:
屈曲位移函数 :
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最 小的轴弯曲。
l=50cm,
求临界载荷 .(已知
)
F
解: 惯性半径:
柔度: A3钢:
可查得
因此
l0 l< lp 可用直线公式.
例:截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量
E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。
解: 在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可 视为铰支端(图a)；
若在垂直于屏幕平面内（xz）失稳时， 柱的两端可视为固定端(图b)。
最小临界载荷:
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
二、支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
两端固定
临界载荷欧拉公式的一般形式:
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。
压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。
而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。
我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。
这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。
那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。
这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。
只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。
对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。
例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。
对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。
欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。
也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。
如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。
欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。
杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。
当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。
欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。
在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。
通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
《工程力学》第十六章 压杆稳定
力，称为压杆的临界应力，并以σlj表示。 则细长压杆的临界应力为
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
建筑力学压杆稳定课件
由此可以计算压杆在保证稳定的前提下，能承受的最大轴压力，又称为压杆的临界荷载 或容许荷载。当施加的压力小于容许荷载时，构件不会发生失稳破坏，反之，构件将发生失
稳破坏。对于此类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系 数 ，再按照上式进行计算。
建筑力学压杆稳定
3. 对压杆进行截面设计
建筑力学压杆稳定
• 应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计 算：
• 1. 稳定校核 • 已知压杆的截面形状和尺寸，杆件长度及支承条件
，杆件的轴心压力，根据公式（9－16）即可以验证 压杆是否会发生失稳破坏，即验证其稳定性。
建筑力学压杆稳定
例 9－4 如图 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢，直径
立，由此可得的适用条件为：
cr
2E 2
p
令
p
2E p
则
p
（9－7） （9－8）
式(9-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度 p 时，才能
用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然， p 是应用欧拉公式的最小柔度。压杆的实
际柔度 λ 随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但 p 是仅由材料性质确定的值。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
建筑力学压杆稳定
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
建筑力学压杆稳定
第二节 临界力和临界应力 1、影响临界力的因素 实践表明，影响细长压杆临界力的主要因素是材料的特性、截面几何形状和杆件的长度， 以及压杆两端的约束条件。 （1）材料的特性 对于两个截面几何形状及杆件长度相同的木杆和钢杆，受轴向压力 作用，木杆会先失稳，即木杆的临界力比钢杆的小，说明弹性模量 E 小的材料，其临界力也 小。 （2）截面几何形状 当截面尺寸相同，而截面形状不同时，其临界力也会不相同。影 响临界力的截面参数是截面惯性矩，惯性矩越大，杆件就越不容易失稳，说明截面的惯性矩 大，临界力也大。 （3）杆件的长度 其他条件相同时，长杆比短杆更易失去稳定，故临界力要小些。 （4）压杆两端的约束条件 对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承 载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。当其他条件相 同时，一端固定、而一端铰支的压杆比两端铰支的更不容易失稳，说明两端支承越牢固，压 杆的临界力就越大。
工程力学：压杆稳定 习题与答案
一、单选题1、压杆一般分为三种类型，它们是按压杆的（）。
A.惯性半径分B.杆长分C.柔度分D.杆端约束情况分正确答案：C2、细长压杆，若其长度系数增加一倍，则（）。
A.Pcr增加一倍B.Pcr增加到原来的4倍C.Pcr为原来的二分之一倍D.Pcr为原来的四分之一倍正确答案：D3、下列结论中正确的是（）。
①若压杆中的实际应力不大于该压杆的临界应力，则杆件不会失稳；②受压杆件的破坏均由失稳引起；③压杆临界应力的大小可以反映压杆稳定性的好坏；④若压杆中的实际应力大于scr=πE2/λ2，则压杆必定破坏。
A.①+②B.②+④C.①+③D.②+③正确答案：C4、压杆临界力的大小（）。
A.与压杆所承受的轴向压力大小有关B.与压杆的柔度大小有关C.与压杆材料无关D.与压杆的柔度大小无关正确答案：B5、两端铰支的圆截面压杆，若λp=100，则压杆的长度与横截面直径之比l/d在时，才能应用欧拉公式（）。
A.25B.50C.400D.200正确答案：A6、若两根细长压杆的惯性半径i相等，当（）相同时，它们的柔度相等。
①杆长；②约束类型；③弹性模量；④外部载荷A.①+②B.①+②+③C.①+②+④D.①+②+③+④正确答案：A7、a、b两根都是大柔度杆，材料、杆长和横截面形状大小都相同，杆端约束不同。
其中a为两端铰支，b为一端固定，一端自由。
那么两杆临界力之比应为（）。
A.4B.1/4C.2D.1/2正确答案：A8、提高水稻抗倒伏性能的可能措施包括（）。
A.选用茎秆强壮品种B.选用节间较短的矮秆品种C.使用植物生长调节剂，以调控节间长度与株高等D.以上都是正确答案：D9、圆形压杆和矩形压杆在稳定性校核时有何区别（）。
A.圆形压杆不需要考虑失稳方向性，而矩形压杆需要考虑B.圆形压杆需要考虑失稳方向性，而矩形压杆不需要考虑C.两者都不需要考虑D.两者都需要考虑正确答案：A10、压杆合理设计措施包括：①合理选用材料；②合理选择截面；③合理安排压杆约束与杆长（）。
工程力学精品课程压杆稳定.ppt
F
b y
解：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：
l
h
z
y
因为
h z
b
Iy Iz
所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲
(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆
1
(c) 计算临界压力。由欧拉公式
所以可用欧拉公式
d
A
1 d 2
4
4
l 4l 120
i
d
(b) 判别压杆的性质。
1
2 E 102 p
1
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。
(c) 计算临界应力。
Pcr
cr
A
2E 2
A
269 kN
(d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。
0.75120 90
2
a s
解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。
二。临界压力的欧拉公式
1 两端铰支压杆的临界压力
y
P
xv
l
v xP
P
M x
P
压杆距支座x处截面上的弯矩是
M Pv
代入挠曲线的近似微分方程
d 2v dx2
M EI
Pv EI
令： k 2 P
则有:
EI
d 2v k2v 0 dx 2
以上微分方程的通解是
z b
y
y
x z
h
解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。
iy
Iy A
1 hb3
12
hb
b 12
y
1l
工程力学材料力学杆的稳定计算与校核
17
HOHAI UNIVERSITY
§10-3 欧拉公式的适用范围
λP 为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa E =200MPa
三、中小柔度杆的临界应力
λP =100
λ ≥ λP 为弹性失稳
λ < λP σcr >σP 压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公 式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式
HOHAI UNIVERSITY
工程中存在着很多受压杆件。
对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由 于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡 形式而失效。
1
HOHAI UNIVERSITY
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F 作用下将保持原有直线平衡形式。 此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。 可见这种直线平衡形式是稳定的。
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = (0.5l)2
11
HOHAI UNIVERSITY
类比法
Fcr
l
Fcr 0.7l 0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.7l)2
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
x = l，w = 0
得 Asinkl = 0
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）
x Fcr
l
或 sinkl = 0 即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
工程力学第16章(压杆稳定问题)
一、稳定失效实例
·足够的强度 ·足够的刚度 ·足够的稳定性
第十六章 压杆稳定 §16-1 稳定性概念
构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力
压杆稳 定失效
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值，压 杆保持直线平衡，在任 意小的扰动下，压杆偏 离直线平衡位置。但当 扰动除去后，压杆回到 原来直线平衡位置。
属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷
2 E 2 2 0 5 1 0 9 1 6 0 1 0 3
F c r 1 c r 1 A 2A 1
1 2 5 2
4
2 6 0 0 k N
两端固支约束的压杆
21 d 81601 8 103112.5P
属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷
2 E 2 2 0 5 1 0 9 1 6 0 2 1 0 6 F c r 2 c r 2 A 2 2A 1 1 2 .5 2 4 3 2 1 0 k N
解：⑴ 计算柔度，判断临界应力大者
圆截面 i d 4
两端铰支约束的压杆
1 1
1
1l1
i
20 d
两端固支约束的压杆
1
2
2
0.5
cr
2
2E 2
2l2 18
id
cr1 cr2
所以两端固支的压杆具有较大的临界压力。
⑵ 计算给定参数下压杆的临界载荷
两端铰支约束的压杆
12 d 01602 0 10 3125P101
中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界 应力一般采用经验公式计算。
·直线经验公式
cr ab
(a 、b是与材料性质有关的 常数，可查阅有关工程手册)
·足够的强度 ·足够的刚度 ·足够的稳定性
第十六章 压杆稳定 §16-1 稳定性概念
构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力
压杆稳 定失效
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值，压 杆保持直线平衡，在任 意小的扰动下，压杆偏 离直线平衡位置。但当 扰动除去后，压杆回到 原来直线平衡位置。
属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷
2 E 2 2 0 5 1 0 9 1 6 0 1 0 3
F c r 1 c r 1 A 2A 1
1 2 5 2
4
2 6 0 0 k N
两端固支约束的压杆
21 d 81601 8 103112.5P
属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷
2 E 2 2 0 5 1 0 9 1 6 0 2 1 0 6 F c r 2 c r 2 A 2 2A 1 1 2 .5 2 4 3 2 1 0 k N
解：⑴ 计算柔度，判断临界应力大者
圆截面 i d 4
两端铰支约束的压杆
1 1
1
1l1
i
20 d
两端固支约束的压杆
1
2
2
0.5
cr
2
2E 2
2l2 18
id
cr1 cr2
所以两端固支的压杆具有较大的临界压力。
⑵ 计算给定参数下压杆的临界载荷
两端铰支约束的压杆
12 d 01602 0 10 3125P101
中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界 应力一般采用经验公式计算。
·直线经验公式
cr ab
(a 、b是与材料性质有关的 常数，可查阅有关工程手册)
(整理)压杆稳定计算
第16章压杆稳定16.1 压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。
但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。
但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。
我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。
此时，F1可能远小于F s(或F b)。
可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。
实际上它是指平衡状态的稳定性。
我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。
先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。
当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。
工程力学 静力学与材料力学高等教育出版社PPT 压杆稳定
材料力学
Fcr 所以应有: cr s A
p 的压杆 0 p 的压杆 0 的压杆
临界应力总图
小柔度杆
中 柔 度 杆
大柔度杆
材料力学
抛物线经验公式
抛物线经验公式为
cr a1 b1
2
式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定， 上端为球铰支座，试问 a=？时立柱的临界压力最大,最大值为 多少？ 解： 1 、对于单个 10 号槽钢，形心在 c 点 F
解：一个角钢： A1 8.367cm2 , I y1 23.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y I z
材料力学
Imin I y 2I y1 2 23.63 47.26cm4
i
I min 47.26 1.68cm A 2 8.367
150 89.3 p 102 i 1.68
0.57 s
临界应力总图
材料力学
五、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式 求临界压力和安全系数。经验公式：σcr=304-1.12λ(MPa) 。
304 235 61.6 1.12
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
λ0 ＜ b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
Fcr 所以应有: cr s A
p 的压杆 0 p 的压杆 0 的压杆
临界应力总图
小柔度杆
中 柔 度 杆
大柔度杆
材料力学
抛物线经验公式
抛物线经验公式为
cr a1 b1
2
式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定， 上端为球铰支座，试问 a=？时立柱的临界压力最大,最大值为 多少？ 解： 1 、对于单个 10 号槽钢，形心在 c 点 F
解：一个角钢： A1 8.367cm2 , I y1 23.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y I z
材料力学
Imin I y 2I y1 2 23.63 47.26cm4
i
I min 47.26 1.68cm A 2 8.367
150 89.3 p 102 i 1.68
0.57 s
临界应力总图
材料力学
五、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式 求临界压力和安全系数。经验公式：σcr=304-1.12λ(MPa) 。
304 235 61.6 1.12
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
λ0 ＜ b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
16压杆稳定
l
EIzw M (x) Fcr ( w)
x
w F cr w F cr
EI z EI z
令
Fcr k2 EI z
w
y z
y
w F cr w F cr
EI z EI zFcr 源自2 EI zw k2 w k2
方程的解为
w Asin kx Bcoskx
A，B，k 均为待定的量
取 n=1
x
F cr
m
m
w
x
o
w
F cr
x
F
Cr
2 EI l2
F cr
上式为两端铰支细长压杆的
l
m
m
y
x
临界力计算公式（欧拉公式）
o
y
F cr
三、其它支承情况下细长压杆的临界力
（1）两端绞支
F
cr
2 EI l2
（2）一端固定另绞支端
C 为拐点
F
cr
2 EI
(0.7l )2
F cr
B
l
0.7l
c
的临界荷载的计算公式。 l x
式中，Iz 是杆在 Fcr 作用下微弯时
横截面对于形心主惯性轴 z 的惯性矩。
x
Fcr
w
y z
y
x
Fcr
l
x
w
y z
y
F
cr
2 EI z
(2l)2
x
l y
z y
x
F
cr
2 EI y
(2l)2
l
y z
y
在 “偶然” 因素下，杆将在 xz 平面内弯曲，Fcr 计算公式中的 惯性矩应为Iy。
EIzw M (x) Fcr ( w)
x
w F cr w F cr
EI z EI z
令
Fcr k2 EI z
w
y z
y
w F cr w F cr
EI z EI zFcr 源自2 EI zw k2 w k2
方程的解为
w Asin kx Bcoskx
A，B，k 均为待定的量
取 n=1
x
F cr
m
m
w
x
o
w
F cr
x
F
Cr
2 EI l2
F cr
上式为两端铰支细长压杆的
l
m
m
y
x
临界力计算公式（欧拉公式）
o
y
F cr
三、其它支承情况下细长压杆的临界力
（1）两端绞支
F
cr
2 EI l2
（2）一端固定另绞支端
C 为拐点
F
cr
2 EI
(0.7l )2
F cr
B
l
0.7l
c
的临界荷载的计算公式。 l x
式中，Iz 是杆在 Fcr 作用下微弯时
横截面对于形心主惯性轴 z 的惯性矩。
x
Fcr
w
y z
y
x
Fcr
l
x
w
y z
y
F
cr
2 EI z
(2l)2
x
l y
z y
x
F
cr
2 EI y
(2l)2
l
y z
y
在 “偶然” 因素下，杆将在 xz 平面内弯曲，Fcr 计算公式中的 惯性矩应为Iy。
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细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，但 其材料处于线弹性范围内。
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。
F x
l
F 弯矩方程 M(x) F w(x)
压杆挠曲轴近似微分方程
d2w( x) dx 2
M(x) EI
M(x) F w(x)
d2w( x) dx 2
§16-5 压杆稳定的合理设计
一、选择合理的截面形状
2EI Fcr (l )2
1.提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的 情况下，截面面积尽量离截面形心远处分布。
2.压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件时， 尽量使截面的最大和最小惯性矩相近或相等。
My Wy
21.65 103 21.5 104
15.63 103 102106
163MPa
所以AB 梁是安全的。
⑵ 压杆CD 的安全校核 由平衡条件可求得压杆CD 所受力
FNCD 2F sin 30o 25kN
iy
d 4
20 4
5mm
l
iy
1 0.55 5 103
110 P
压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
cr A
2E 2
A
2 206109
1102
202 106 4
52.8kN
n
Fcr FNCD
52.8 25 2.11 nst
所以压杆CD 是安全的。
例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长l = 2.4m ，杆由两根 125×125×12 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为23mm 。若压 杆承受轴向压力F = 750kN ，材料为Q235 钢，[σ] = 160MPa 。试 校核此结构是否安全。
iy 0.0383 查表得 0.828
st 0.828160 132MPa
F A
750 103 57.8102 106
130MPa
st
所以压杆稳定性是安全的。
⑵ 压杆强度校核
F A1
750 103 (57.8102 2 2312)106
143MPa
所以压杆强度是安全的。
cr
nst
st
压杆安全工作条件
cr
nst
st
稳定安全因素
n cr Fcr F
n nst
折减因素
st
st
例：由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度σs =
235MPa ，比例极限σP = 200MPa ，弹性模量E=200GPa，
杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
一、稳定失效实例
·足够的强度 ·足够的刚度 ·足够的稳定性
第十六章 压杆稳定 §16-1 稳定性概念
构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力
压杆稳 定失效
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值，压 杆保持直线平衡，在任 意小的扰动下，压杆偏 离直线平衡位置。但当 扰动除去后，压杆回到 原来直线平衡位置。
当压力超过某一数值， 压杆直线平衡形式突然 转变为弯曲形式，致使 构件丧失正常功能
压杆失稳：压杆不能保持其直线平衡形态而变弯的现象。
F Fcr
F Fcr
F Fcr
Fcr为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状 态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。
§16-2 临界载荷的欧拉公式
·线弹性稳定问题
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
FN F cos 30o 25 0.866 21.65kN
My F sin 30o l1 250.51.25 15.63kN m
查型钢表
Wy 102106m3 A 21.5104m2
max
FN A
M(x) EI
设 k2 F EI
d2w( x dx 2
)
k
2w(
x)
0
F
x l
F
方程一般解
w( x) Asin kx B cos kx
边界条件 x0
w(0) A 0 B 1 0
x l w(l) A sin kl B cos kl 0
解得： B 0 sin kl 0
（为什么A 、B 不能同时等于0 ？）
1602 106 4
3210kN
例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所 示，其中a 为正视图，b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量E = 205GPa ， 求此杆的临界载荷。
解：在正视图平面（xy 平 面）内失稳，A 、B 处可自 由转动，即两端为铰链约束
§16-3 临界应力与临界应力总图
一、临界应力与柔度
1.临界应力
压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力
cr
Fcr A
2.柔度
对于细长杆
cr
Fcr A
2 EI (l)2 A
2E 2
柔度
l
i
i I（截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
i I （截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
圆截面：
I d 4 / 64 d
解：根据欧拉公式
2 EI 3 Ed 4 3 200 109 204 1012
Fcr (l )2 64 (l )2
64 (1 0.8)2
24.2kN
此时横截面上的正应力
Fcr A
4 24.2103
202 106
77MPa P
表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
Fcr
2EI ( l )2
l 相当长度
2EI Fcr (l )2
杆端约束条件 两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
长度系数 1.0 2.0 0.5 0.7
例：两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度l = 800mm ，材 料为Q235钢，。求压杆的临界载荷。
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值 时，压杆的直线平衡是 稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压 杆仍具有直线平衡方式；在 外界扰动下，压杆偏离直线 平衡位置，但当扰动除去后， 在某一弯曲状态下达到新的 平衡
压力达到一定的数值时， 压杆存在直线和弯曲两种 平衡形式，压杆的直线平 衡是不稳定的。
压杆失稳
cr A
2E 2
A
2 200109 25.48104
105.52
473kN
钢柱的许可载荷
F2
Fcr nst
473 3
157.7kN
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆 直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材料 ），临界应力
cr
s b
（塑性材料） （脆性材料）
( s )
三、临界应力总图
例：图所示压杆，其直径均为d ，材料都是Q235，但二者的 长度和约束都不同。⑴ 分析哪一根杆的临界载荷较大。⑵ 若d = 160mm ，E = 205GPa ，计算二杆的临界载荷。
解：⑴ 两槽钢靠紧
查型钢表得
A 212.74 25.48cm2
Imin I y 2 54.9 109.8cm4
imin iy 两端固定
Iy A
109.8 2.08cm 25.48
0.5
l
iy
0.5 7 2.08 102
168
P
168 P 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Iy 2(25.6 3.022 12.74) 285cm4
iy
Iy A
285 3.32cm 25.48
Imin I y 285cm4 两端固定
imin i y 3.32cm
0.5
l
iy
0.5 7 3.32 102
105.5
P
钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
i
A
d2 /4
4
矩形截面： i
Imin
hb3 / 12
b
A
bh 2 3
二、三类不同压杆及其临界应力表达式
1.大柔度杆（细长杆）
在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。
cr
2E 2
P
2E P
P
大柔度杆：
P
P
2E P
cr
2E 2
2.中柔度杆（中长杆）
中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界 应力一般采用经验公式计算。
cr a b 304 1.12 62.2 234.34MPa
Fcr
cr A cr
d2
4
234.34106
452 106 4
372.7kN
⑶ 校核压杆稳定性
n
Fcr FN max
372.7 100
3.7
nst
所以压杆的稳定性是安全的。
例：钢柱长为l = 7m ，两端固定，材料是Q235钢， 规定稳定安全因数nst = 3 ，横截面由两个10号槽钢组成 。已知E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱的 许可载荷。
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。
F x
l
F 弯矩方程 M(x) F w(x)
压杆挠曲轴近似微分方程
d2w( x) dx 2
M(x) EI
M(x) F w(x)
d2w( x) dx 2
§16-5 压杆稳定的合理设计
一、选择合理的截面形状
2EI Fcr (l )2
1.提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的 情况下，截面面积尽量离截面形心远处分布。
2.压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件时， 尽量使截面的最大和最小惯性矩相近或相等。
My Wy
21.65 103 21.5 104
15.63 103 102106
163MPa
所以AB 梁是安全的。
⑵ 压杆CD 的安全校核 由平衡条件可求得压杆CD 所受力
FNCD 2F sin 30o 25kN
iy
d 4
20 4
5mm
l
iy
1 0.55 5 103
110 P
压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
cr A
2E 2
A
2 206109
1102
202 106 4
52.8kN
n
Fcr FNCD
52.8 25 2.11 nst
所以压杆CD 是安全的。
例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长l = 2.4m ，杆由两根 125×125×12 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为23mm 。若压 杆承受轴向压力F = 750kN ，材料为Q235 钢，[σ] = 160MPa 。试 校核此结构是否安全。
iy 0.0383 查表得 0.828
st 0.828160 132MPa
F A
750 103 57.8102 106
130MPa
st
所以压杆稳定性是安全的。
⑵ 压杆强度校核
F A1
750 103 (57.8102 2 2312)106
143MPa
所以压杆强度是安全的。
cr
nst
st
压杆安全工作条件
cr
nst
st
稳定安全因素
n cr Fcr F
n nst
折减因素
st
st
例：由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度σs =
235MPa ，比例极限σP = 200MPa ，弹性模量E=200GPa，
杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
一、稳定失效实例
·足够的强度 ·足够的刚度 ·足够的稳定性
第十六章 压杆稳定 §16-1 稳定性概念
构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力
压杆稳 定失效
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值，压 杆保持直线平衡，在任 意小的扰动下，压杆偏 离直线平衡位置。但当 扰动除去后，压杆回到 原来直线平衡位置。
当压力超过某一数值， 压杆直线平衡形式突然 转变为弯曲形式，致使 构件丧失正常功能
压杆失稳：压杆不能保持其直线平衡形态而变弯的现象。
F Fcr
F Fcr
F Fcr
Fcr为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状 态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。
§16-2 临界载荷的欧拉公式
·线弹性稳定问题
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
FN F cos 30o 25 0.866 21.65kN
My F sin 30o l1 250.51.25 15.63kN m
查型钢表
Wy 102106m3 A 21.5104m2
max
FN A
M(x) EI
设 k2 F EI
d2w( x dx 2
)
k
2w(
x)
0
F
x l
F
方程一般解
w( x) Asin kx B cos kx
边界条件 x0
w(0) A 0 B 1 0
x l w(l) A sin kl B cos kl 0
解得： B 0 sin kl 0
（为什么A 、B 不能同时等于0 ？）
1602 106 4
3210kN
例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所 示，其中a 为正视图，b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量E = 205GPa ， 求此杆的临界载荷。
解：在正视图平面（xy 平 面）内失稳，A 、B 处可自 由转动，即两端为铰链约束
§16-3 临界应力与临界应力总图
一、临界应力与柔度
1.临界应力
压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力
cr
Fcr A
2.柔度
对于细长杆
cr
Fcr A
2 EI (l)2 A
2E 2
柔度
l
i
i I（截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
i I （截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
圆截面：
I d 4 / 64 d
解：根据欧拉公式
2 EI 3 Ed 4 3 200 109 204 1012
Fcr (l )2 64 (l )2
64 (1 0.8)2
24.2kN
此时横截面上的正应力
Fcr A
4 24.2103
202 106
77MPa P
表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
Fcr
2EI ( l )2
l 相当长度
2EI Fcr (l )2
杆端约束条件 两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
长度系数 1.0 2.0 0.5 0.7
例：两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度l = 800mm ，材 料为Q235钢，。求压杆的临界载荷。
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值 时，压杆的直线平衡是 稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压 杆仍具有直线平衡方式；在 外界扰动下，压杆偏离直线 平衡位置，但当扰动除去后， 在某一弯曲状态下达到新的 平衡
压力达到一定的数值时， 压杆存在直线和弯曲两种 平衡形式，压杆的直线平 衡是不稳定的。
压杆失稳
cr A
2E 2
A
2 200109 25.48104
105.52
473kN
钢柱的许可载荷
F2
Fcr nst
473 3
157.7kN
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆 直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材料 ），临界应力
cr
s b
（塑性材料） （脆性材料）
( s )
三、临界应力总图
例：图所示压杆，其直径均为d ，材料都是Q235，但二者的 长度和约束都不同。⑴ 分析哪一根杆的临界载荷较大。⑵ 若d = 160mm ，E = 205GPa ，计算二杆的临界载荷。
解：⑴ 两槽钢靠紧
查型钢表得
A 212.74 25.48cm2
Imin I y 2 54.9 109.8cm4
imin iy 两端固定
Iy A
109.8 2.08cm 25.48
0.5
l
iy
0.5 7 2.08 102
168
P
168 P 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Iy 2(25.6 3.022 12.74) 285cm4
iy
Iy A
285 3.32cm 25.48
Imin I y 285cm4 两端固定
imin i y 3.32cm
0.5
l
iy
0.5 7 3.32 102
105.5
P
钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
Fcr
i
A
d2 /4
4
矩形截面： i
Imin
hb3 / 12
b
A
bh 2 3
二、三类不同压杆及其临界应力表达式
1.大柔度杆（细长杆）
在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。
cr
2E 2
P
2E P
P
大柔度杆：
P
P
2E P
cr
2E 2
2.中柔度杆（中长杆）
中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界 应力一般采用经验公式计算。
cr a b 304 1.12 62.2 234.34MPa
Fcr
cr A cr
d2
4
234.34106
452 106 4
372.7kN
⑶ 校核压杆稳定性
n
Fcr FN max
372.7 100
3.7
nst
所以压杆的稳定性是安全的。
例：钢柱长为l = 7m ，两端固定，材料是Q235钢， 规定稳定安全因数nst = 3 ，横截面由两个10号槽钢组成 。已知E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱的 许可载荷。