数学建模相关性分析
数学建模常用各种检验方法
数学建模常用各种检验方法数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
在进行数学建模时，需要对模型的合理性进行检验，以确保模型的可靠性和准确性。
本文将介绍数学建模中常用的各种检验方法。
1.残差分析方法残差（residual）是指观测值与模型预测值之间的差异。
残差分析可以通过比较残差的大小、分布和形态，来检验模型的合理性。
常用的残差分析方法包括：正态性检验、稳定性检验、独立性检验和同方差性检验。
2.敏感性分析方法敏感性分析（sensitivity analysis）用于分析参数对模型结果的影响程度。
通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，可以评估参数对模型的敏感性。
常用的敏感性分析方法包括：单参数敏感性分析、多参数敏感性分析和全局敏感性分析。
3.假设检验方法假设检验（hypothesis testing）用于判断模型的假设是否成立。
通过对模型的假设进行检验，可以评估模型的合理性和拟合优度。
常用的假设检验方法包括：t检验、F检验和卡方检验。
4.误差分析方法误差分析（error analysis）用于评估模型的误差水平。
通过比较实际观测值与模型预测值之间的误差，可以评估模型的准确性和精度。
常用的误差分析方法包括：平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和平均百分比误差（MAPE）。
5.稳定性分析方法稳定性分析（stability analysis）用于评估模型的稳定性和鲁棒性。
通过对模型进行参数扰动或输入扰动，并观察输出结果的变化，可以评估模型的稳定性和可靠性。
常用的稳定性分析方法包括：参数扰动分析、输入扰动分析和鲁棒性分析。
6.验证方法验证（validation）用于评估模型的预测能力和适用范围。
通过对模型进行验证，可以判断模型在不同情况下的预测效果和适用性。
常用的验证方法包括：留一验证（leave-one-out validation）、交叉验证（cross-validation）和外部验证（external validation）。
数学建模的相关问题求解方法
数学建模的相关问题求解方法：1.量纲分析法是在物理领域建立数学模型的一种方法，主要是依据物理定律的量纲齐次原则来确定个物理量之间的关系，量纲齐次原则是指一个有意义的物理方程的量纲必须一致的，也就是说方程的两边必须具有相同的量纲，即： dim左=dim右并且，方程中每一边的每一项都必须有相同的量纲。
例子见书《数学建模方法与实践》P17—P232.线性规划法线性规划法是运筹学的一个重要分支应用领域广泛。
从解决各种技术领域中的优化问题，到工农业生产、商业经济、交通运输、军事等的计划和管理及决策分析。
线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：（1）每一个问题都有一组未知数（x1,x2,……，xn）表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。
由于实际问题的要求，通常这些未知数取值都是非负的。
（2）存在一定的限制条件（即约束条件），这些条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等式来表示。
（3）有一个目标要求，称为目标函数。
目标函数可表示为一组未知数的线性函数。
根据问题的需要，要求目标函数实现最大化或最小化。
例子见书《数学建模方法与实践》P26—P303.0—1规划法用于解决指派问题，是线性规划的特殊情况。
例子见书《数学建模方法与实践》P314.图解法用于求解二维线性规划的一种几何方法，其方法步骤见书《数学建模方法与实践》P345.单纯形法也是一种求解线性规划的常用方法，其基本原理和方法见书《数学建模方法与实践》P37——P39，计算步骤P40。
6.非线性规划法在目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表示时，如果目标函数或约束条件中，有一个或多个是变量的非线性函数，则称这种规划问题为非线规划问题。
例子见书《数学建模方法与实践》P44——P457.最短路及狄克斯特拉算法狄克斯特拉算法是图论中用于计算最短路的一种方法，详见书《数学建模方法与实践》P588.克罗斯克尔算法克罗斯克尔算法是用来求解一个连通的赋权图的最小生成树的方法，详见书《数学建模方法与实践》P599.普莱姆算法同上10.欧拉回路及弗洛来算法欧拉回路是指若存在一条回路。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
第三节 变量间的相关关系、统计案例(数学建模八)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案 D
^^ ^
^
^
解析 由回归直线方程 y = bx+ a,知当 b>0时,y与x正相关;当 b<0时,y与x负
相关,∴①④一定不正确.故选D.
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方法技巧 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从 左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r>0时,正相关:r<0时,负相关. (3)线性回归方程: b^ >0时,正相关: b^ <0时,负相关.
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(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤ 一条直线附近 ,就称这 两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (4)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的⑥ 距离的平方和最小 的方法 叫做最小二乘法.
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(5)回归方程
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(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回 归模型拟合y与x的关系.(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归 模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分
(完整版)SPSS双变量相关性分析
数学建模SPSS双变量相关性分析
关键词：数学建模相关性分析SPSS
摘要：在数学建模中，相关性分析是很重要的一部分，尤其是在双变量分析时，要根据变量之间的联系建立评价指标，并且通过这些指标来进行比对赋值而做出评价结果。
本文由数学建模中的双变量分析出发，首先阐述最主要的三种数据分析：Pearson系数，Spearman系数和Kendall系数的原理与应用，再由实际建模问题出发，阐述整个建模过程和结果。
r s=
∑(P i−P ave)(Q i−Q ave)√∑(P i−P ave)2(Q i−Q ave)2
在SPSS中打开数据，点击：分析—>相关—>双变量，打开对话窗口，选择需要分析的两个变量、Spearman秩相关系数分析以及双侧检验。
需要说明两点：
（1）因各体重与各体质数据之间的相关性正负未知，需选用双侧检验；
（2）除了数据满足非正态分布以外，Spearman秩相关系数分析还需要数据分级，以计算秩。
但在SPSS中程序会自动生成秩，无需再手动分级。
注意要保证总体相关系数ρ与样本相关系数r保持一致，还须考虑Sig值。
由数据，Sig<0.5表示接受原假设，即Rho>|r|。
Sig<0.5则拒绝原假设，两者不相关。
而r值则代表了正负相关性，以及相关性大小。
结果见表。
数学建模中的变量选择方法
数学建模中的变量选择方法数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法对其进行分析和求解的过程。
在数学建模中，变量的选择是至关重要的一步，它直接影响到模型的准确性和可靠性。
本文将介绍一些常用的变量选择方法，帮助读者更好地进行数学建模。
一、相关性分析法相关性分析法是一种常用的变量选择方法，它通过计算变量之间的相关系数来衡量它们之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
在相关性分析中，我们通常选择与目标变量具有较高相关系数的变量作为模型的输入变量。
然而，相关性分析法也存在一些局限性。
首先，相关系数只能衡量线性相关性，无法反映非线性关系。
其次，相关性分析无法处理多个变量之间的复杂关系。
因此，在实际应用中，我们需要结合其他方法来进行变量选择。
二、主成分分析法主成分分析法是一种常用的降维技术，它通过线性变换将原始变量转化为一组新的无关变量，称为主成分。
主成分分析的基本思想是保留原始变量中包含的大部分信息，同时丢弃冗余的信息。
主成分分析法的步骤如下：首先，计算原始变量之间的协方差矩阵；然后，对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量；最后，选择前几个特征值较大的特征向量作为主成分。
主成分分析法具有以下优点：首先，它可以处理多个变量之间的复杂关系，不受线性关系的限制；其次，主成分分析可以降低维度，减少模型的复杂度，提高计算效率。
三、信息增益法信息增益法是一种基于信息论的变量选择方法，它通过计算变量对目标变量的信息增益来衡量其重要性。
信息增益的计算基于熵的概念，熵越大表示不确定性越高，信息增益越大表示变量对目标变量的解释能力越强。
信息增益法的步骤如下：首先，计算目标变量的熵；然后，计算每个变量对目标变量的条件熵；最后，计算每个变量的信息增益，并选择信息增益较大的变量作为模型的输入变量。
信息增益法的优点是能够处理离散型变量和连续型变量，并且不受线性关系的限制。
成都的宜居性的相关分析 数学建模
成都的宜居性的相关分析摘要宜居城市最早是出现在西方发达国家。
是随着城市化的发展出现了一系列城市问题, 人口膨胀、环境污染、资源紧缺、交通拥堵、住房紧张、城市特色遗失等,严重的影响了城市居民的生活而提出来的。
城市问题日益凸显，我们将面临经济、社会、资源、环境等诸多方面的压力，而建设宜居城市，改善人民生活环境，合理构建城市生态体系，实现城市可持续发展，无疑为解决城市问题提供了一种合理的参考模式和切实可行的建设思路。
而近年来成都市的发展不断加快，经济实力和综合影响力不断加强，人均收入不断提高。
随之而来的还有经济发展带来的诸多矛盾，如城市环境不断下降，社会事业发展滞后等。
在这种形势下，成都市却屡获“宜居城市”的称号，对此，针对各方的质疑，我们展开了成都是否是一座宜居城市的相关分析，同时探讨哪些因素对成都的宜居性影响最大。
通过阅读大量有关宜居城市的相关文献和资料，对国内外宜居城市研究的学习,对宜居城市进行理论分析的基础上,结合成都市自身的城市特点,从城市经济、社会、居民生活和环境等方面选取指标,构建了成都市宜居城市评价的指标体系。
采用主成分分析法和系统聚类法,对成都市的宜居性进行了综合的分析，最终得出成都是一座宜居城市的结果。
问题分析主要从以下几个方面进行展开:（1）系统分析了国内外宜居城市所具有的相关因素，从中选取一部分指标作为宜居城市的评判标准。
在对国内外对宜居城市研究的学习的基础上,总结出宜居城市判断指标体系选择的原则和依据,根据研究对象成都市的自身特点制定出适合成都市宜居城市评价的指标体系。
对于所需要的数据，我们主要从成都及各城市历年的《统计年鉴》和《成都市国民经济和社会发展统计公报》，所以所选数据均具有很高的可信度。
考虑到短期的数据不具有代表性，所以选取了成都2002年至2011年数据进行分析，纵向的比较成都历年的各项数据。
得到数据后，我们利用主成分分析法来对成都理念的数据进行分析，得出各主要成分的影响指数以及各年的综合宜居指数。
数学建模与数据分析
数学建模与数据分析
随着社会的发展，数学建模和数据分析越来越受到重视，它们在工业、技术、科学、商业和管理领域都有着广泛的应用。
数学建模是指利用数学方法，将实际问题转化为可计算的抽象模型，
并且尽可能求解出解决方案。
数学建模可以用来解决复杂的实际问题，使
得问题变得更清晰、更具体，从而可以直接采取有效的措施，提升业务效率，降低操作成本。
数据分析是指从数据中提取出有价值的信息，并结合相关的分析工具
对数据进行分析，帮助用户更好地分析出市场趋势，进而制定有效的战略
和计划以实现最终的商业目标。
首先，数学建模可以用来解释数据，从而更深入地了解数据中的信息。
数学建模可以提供更多的解释性因素，从而帮助用户对数据的分析和理解
更加清晰。
其次，数学建模可以作为数据分析的前提条件。
在进行数据分析前，
必须要先通过数学建模来构建出适当的模型，以此来获得真实可靠的数据。
最后，数据分析可以帮助用户验证和优化数学建模的结果。
数学建模中的变量选择与模型验证
数学建模中的变量选择与模型验证数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析和求解的过程。
在数学建模中，变量选择和模型验证是至关重要的环节。
本文将探讨数学建模中的变量选择和模型验证的方法和技巧。
一、变量选择在建立数学模型时，选择合适的变量是非常重要的。
变量的选择应该基于对问题的深入理解和分析。
以下是一些常用的变量选择方法：1. 直觉法：凭借经验和直觉选择变量。
这种方法适用于问题比较简单且直观的情况。
2. 统计分析法：通过对数据进行统计分析，选择与问题相关性较高的变量。
常用的统计方法包括相关系数分析、回归分析等。
3. 物理模型法：基于问题的物理本质，选择与问题相关的物理量作为变量。
这种方法适用于问题与物理相关的情况，如力学、流体力学等领域。
4. 经验法：基于经验和专家意见选择变量。
这种方法在缺乏数据和理论支持时可以使用，但需要慎重考虑专家的意见是否可靠。
在选择变量时，还需要考虑变量之间的相关性。
如果变量之间存在高度相关性，可以考虑进行变量的降维处理，以减少模型的复杂度和计算量。
二、模型验证在建立数学模型后，需要对模型进行验证，以确定模型的有效性和适用性。
以下是一些常用的模型验证方法：1. 数据拟合：将模型应用于实际数据，并比较模型的输出与实际观测值之间的差异。
常用的数据拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
2. 灵敏度分析：通过改变模型中的参数值，观察模型输出的变化情况。
灵敏度分析可以帮助确定哪些参数对模型结果影响较大，从而提高模型的可靠性。
3. 模型比较：将建立的模型与其他已有的模型进行比较。
可以比较模型的预测能力、拟合程度等指标，选择最优的模型。
4. 验证数据集：将一部分数据留出作为验证数据集，用于验证模型的泛化能力。
通过与验证数据集的比较，可以评估模型的预测能力和适用性。
在进行模型验证时，还需要注意模型的假设和局限性。
模型的假设应该与实际情况相符，而模型的局限性需要明确说明，避免在实际应用中产生误导。
基于神经网络和相关性分析的数学建模思路分享
基于神经网络和相关性分析的数学建模思路分享神经网络是一种由人工神经元构成的系统，模拟了生物神经系统的工作方式。
相关性分析是一种数学方法，用于确定变量之间的关联程度。
将这两种方法相结合，可以建立一个能够对数据进行分析和预测的数学模型。
首先，需要明确研究的问题。
例如，我们可以考虑一个销售数据的问题，目标是预测销售额与其他变量之间的相关性。
第二步是收集数据。
我们需要收集与销售相关的数据，例如销售额、广告投入、季节因素等。
这些数据应该包括足够多的样本，以便建立准确的模型。
接下来，我们将使用神经网络来建立一个预测模型。
神经网络由多个层次组成，每个层次包含多个神经元。
每个神经元通过与其他神经元进行连接，并通过非线性函数进行计算，以生成模型的输出。
我们可以通过训练神经网络，使其在给定输入下能够产生预测输出。
神经网络的训练可以通过反向传播算法来实现。
该算法通过将模型的预测结果与实际结果进行比较，并根据比较结果来更新模型的权重。
重复这个过程，直到模型的预测结果接近实际结果为止。
在训练神经网络之后，我们可以使用相关性分析来评估模型的准确性。
相关性分析可以通过计算相关系数来实现，例如皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关性。
最后，我们可以使用模型进行预测和分析。
通过输入新的数据，我们可以使用训练好的神经网络模型来预测未来的销售额，并根据相关性分析来评估其他变量对销售额的影响。
总结起来，基于神经网络和相关性分析的数学建模思路包括：明确问题、收集数据、构建神经网络模型、训练模型、评估模型准确性、预测和分析。
这种方法能够处理多变量之间的复杂关系，并提供准确的预测结果。
数学建模聚类分析因子分析实例
多元统计分析中的降维方法在四川省社会福利中的应用由于计算机的发展和日益广泛的使用，多元分析方法也很快地应用到社会学、农业、医学、经济学、地质、气象等各个领域。
在国外，从自然科学到社会科学的许多方面，都已证实了多元分析方法是一种很有用的数据处理方法；在我国，多元分析对于农业、气象、国家标准和误差分析等许多方面的研究工作都取得了很大的成绩，引起了广泛的注意。
在许多领域的研究中，为了全面系统地分析问题，对研究对象进行综合评价，我们常常需要考虑衡量问题的多个指标（即变量），由于变量之间可能存在着相关性，如果采用一元统计方法，把多个变量分开，一次分析一个变量，就会丢失大量的信息，研究结果也会偏差很大。
因此需要采用多元统计分析的方法，同时对所有变量的观测数据进行分析。
多元统计分析就是一种同时研究多个变量之间的相互关系，经过对变量的综合处理，充分提取变量之间的信息，进行综合分析和评价的统计方法。
多元统计分析法主要包括降维、分类、回归及其他统计思想。
一．多元统计分析方法中降维的方法1.概述多元统计分析方法是同时对多个变量的观察数据做综合处理和分析。
在不损失有价值信息的情况下，简化观测数据或数据结构，尽可能简单地将被研究对象描述出来，使得对复杂现象的解释变得更容易些。
同时，采用多元统计分析中的聚类分析或判别分析可以对变量或样品进行分类与分组。
根据所测量的特征和分类规则将一些“类似的”对象或变量分组。
多元统计分析也可以研究变量间依赖性。
即对变量间关系的本质进行研究。
是否所有的变量都相互独立?还是一个变量或多个变量依赖于其他变量?它们又是怎样依赖的?通过观测变量数据的散点图，我们可以建立多元回归统计模型，确定出变量之间具体的依赖关系，进而可以根据某些变量的观测值预测另一个或另一些变量的值对事物现象的发展作预测。
最后我们需要构造假设，并对所建立的以多元总体参数形式陈述的多种特殊统计假设进行检验。
在多元统计分析方法中数据简化或结构简化，实质上就是数学中的降维方法。
数学建模相关性分析
图 7-4 偏相关分析主对话框 （3）输出结果及分析 输出结果如表 7-4 所示. 表 7-4 偏相关分析结果 相关性 控制变量 体重（kg） 相关性 肺活量（ml） 显著性（双侧） df 肺活量（ml） 身高（cm） 1. 000 . 0 . 096 . 627 26
数学建模与软件实现 相关性 身高（cm） 显著性（双侧） df . 096 . 627 26 1. 000 . 0
2250 解 （1）数据探索 先做散点图和 Q-Q 图， 看到变量间基本符合线性相关关系， 变量的分布符合正态分布. 这 里只给出肺活量和身高的散点图、身高的标准 Q-Q 图，其余略.
数学建模与软件实现
图 7-1 （a）肺活量和身高的散点图 图 7-1 （b）身高的标准 Q-Q 图 下面作相关性分析. （2）建立 SPSS 数据文件. 在数据文件中定义变量名：身高为 height，体重为 weight，肺活量为 vc，按顺序输入相应 数值，建立数据文件, 如图 7-2 所示.
身高和肺活量的相关系数为 r 0.096 0.3 ， p 0.627 ，所以接收不相关的假设，认为身高 和肺活量无显著的线性关系. 此例说明体重因子影响了身高和肺活量之间相关性的分析.
7.2 Spearman（斯皮尔曼）秩相关系数—单调性相关分析
为了使用 Pearson 线性相关系数必须假设数据是成对地从正态分布中取得的，并且数据至 少在逻辑范畴内是等间距的. 如果这两个条件不符合，一种方法就是采用 Spearman 秩相关系 数来代替 Pearson 线性相关系数进行相关性分析. 7.2.1 秩 “秩”即按数据大小排定的次序号，又称秩次号. 编秩就是将观察值按顺序由小到大排列， 并用序号代替原始变量值本身. 用秩次号代替原始数据后，所得某些秩次号之和，即按某种顺 序排列的序号之和，称为秩和. 设有以下两组数据： A 组 4.7 6.4 2.6 3.2 5.2 B 组 1.7 2.6 3.6 2.3 3.7 两组各有 5 个变量值. 现在依从小到大的顺序将它们排列起来，并标明秩次，结果如下： A组 2.6 3.2 4.7 5.2 6.4 B 组 1.7 2.3 2.6 3.6 3.7 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始值中有两个“2.6”，分属 A、B 组，它们的秩次应是 3 和 4，然而它们的数值本来是同样大 小的，哪组取“3” ，哪组取“4”呢？我们将它们的平均数（3+4）/2=3.5，作为“2.6”的秩次，称 为“平均秩次”. 这样两组所得的秩次及秩和如下： A 组 3. 5 5 8 9 10 秩和为 35. 5 B组 1 2 3. 5 6 7 秩和为 19. 5 上面 A 组和 B 组中各有五个原始值，按顺序排列：最小值设为 1，再按绝对值大小对余下的 变量逐个排序，最大值为两组变量个数之和 10. 依次可得 1，2，3.5，3.5，5，6，7，8，9， 10. 这 10 个序号即是秩次. A 组秩和等于 3.5+5+8+9+10=35.5， B 组秩和等于 1+2+3. 5+6+7=19.5. 从两组的原始变量值也可以初步看出：A 组偏大，B 组偏小. 现在得出的秩和也是 A 组大于 B 组，与由变量值所观察到的结果一致. 7.2.2 秩相关系数 Spearman 秩相关系数通常被认为是排列后的变量秩次之间的 Pearson 线性相关系数. 得到样本 ( X i , Yi ) (i 1, 2, , n ) ， 设 Xi 、 定义 7-4 若对随机变量 X 和 Y 进行了 n 次随机试验， n n 1 1 Yi 的秩次分别为 pi 和 qi 且 p pi , q qi , d i pi qi . 则随机变量 X 和 Y 对于这组样本 n i 1 n i 1 的秩相关系数 s 为
数学建模模型分类
捕食者-食饵模型
Scheafer微分方程模型
Lan Chester战斗模型
350
SIR模型
军备竞赛的经济模型
355
混沌与分形模型
Ste in er树
库存模型
制造模型
取陡上升 梯度方法
375
匸
石油转运模型
Lagra nge
乘子法
注意里面涉及 到的经济学概 念和意义
381
航天飞机的水箱模型
影院最优设计方案
7,
国有企业业绩分化的数学模型
8,
打假问题的机理数学分析
9,
足球比赛排名问题
10,
大象群落的稳定性分析
11,
火车便餐最有价格方案
12,
施肥效果分析
13,
迷宫问题
14,
锁具装箱冋题
15,
密码问题
16,
席位分配模型
初等模型
17,
双重玻璃窗功效模型
18,
储存模型
优化模型
19,
森林救火模型
20,
流
运输问题
分配问题
匈牙利方 法
最大匹配 最优匹配
旅行推销问题 中国邮递员问题
非分式规划
线
目标是分 式
性凸规划
规
划几何规划—1
对2人0种对策
策
鞍点对策 混合对策
策一合作1
单摆模型
通过实验 选择最终 模型
253
爆炸模型
函数随爆炸威 力上升改变
258
烤火鸡模型
262
阻力模型
使用相似 性、比例 性。
注意它额外定 义的物理量。
类 别
类别（2）
数学建模的分析方法
数学建模的分析方法
数学建模的分析方法可以分为以下几个方面：
1. 归纳法：通过观察问题的特征和规律，找出问题中的一般性质和规律，并结合数学工具对其进行证明。
2. 推理法：通过逻辑推理和数学推导，从已知条件出发，通过合理的推理和演绎，推导出与问题相关的数学模型和结论。
3. 分析法：通过定性和定量的分析方法，对问题进行综合分析，明确问题的目标和限制条件，并从中提取出相关的数学关系，建立数学模型。
4. 统计法：通过收集、整理和分析实际数据，运用统计学原理和方法，揭示数据的规律性和相关性，并运用统计模型对问题进行预测和决策。
5. 微积分方法：通过微积分的知识和技巧，对问题中的变化趋势、极值、积分等进行分析和计算，并建立相应的数学模型。
6. 优化方法：通过优化理论和方法，对问题中的最大值、最小值、最优解等进行求解和优化，达到最优的目标。
7. 随机过程方法：对于具有不确定性和随机性的问题，可以采用随机过程的方
法，建立相应的数学模型，并对问题进行分析、估计和决策。
以上仅是数学建模分析方法的一部分，实际上，数学建模并不局限于以上方法，具体分析方法的选择应根据问题的特点和要求来确定。
同时，数学建模中的分析方法往往需要综合运用多种数学工具和技术，结合实际问题进行分析和求解。
建模相关知识点总结
建模相关知识点总结建模的基本知识点主要包括建模的基本概念、建模的基本流程、建模的方法与技术、建模的应用等几个方面。
一、建模的基本概念1. 模型：模型是对现实世界的抽象和近似描述，它是对事物特性和规律的简化模拟，并通过数学方法对其进行分析和研究。
模型可以是数学方程、图表、图像、计算机模拟等形式。
2. 建模：建模是指根据某一现象或事物的特点、规律和属性，抽象出一种模型，并对其进行分析、计算和研究的过程。
3. 系统：系统是指由多个互相联系、相互影响的部分组成的整体。
建模的对象通常是一个系统，建模的目的是对系统进行描述、分析和预测。
4. 变量：变量是指描述事物特性和规律的符号或数值。
在数学模型中，变量是研究对象的属性或特征，它们的变化会导致系统状态的变化。
二、建模的基本流程建模的基本流程主要包括确定建模对象和目的、选择合适的模型、收集数据和参数、建立和求解模型、验证和调整模型、应用和推广模型等步骤。
建模的基本流程是根据具体问题或研究需求确定的，不同的问题可能会有不同的建模流程。
1. 确定建模对象和目的：首先需要明确建模的对象是什么，建模的目的是什么。
例如，是要描述一个物理系统的动力学行为，还是要预测一个经济模型的发展趋势。
2. 选择合适的模型：在确定建模对象和目的后，需要根据问题的特点和需求选择合适的模型。
模型可以是连续或离散的，可以是确定性的或随机的。
3. 收集数据和参数：在建立模型之前，需要收集相关的数据和参数，这些数据和参数是构建模型的基础。
一般情况下，通过实验、观察、调查等方式获取数据和参数。
4. 建立和求解模型：在收集数据和参数之后，需要建立数学模型，并通过数学方法对模型进行求解。
建立模型通常是根据实际问题的特点和规律进行抽象和简化，求解模型通常是通过数学分析、数值计算或计算机仿真等方法进行。
5. 验证和调整模型：在建立和求解模型之后，需要对模型进行验证和调整，确保模型的可靠性和准确性。
验证和调整模型通常是通过对模型的输出结果与实际观测或实验数据进行比较，对模型进行修正和完善。
相关性分析 聚类分析
• 相关系数： Pearson 只适用于服从正态分布的等间隔 测度的离 散或连续变量。(例如变量是时间) Spearman 和Kendall`s tau-b 非等间隔测度，分布不明的变量。
• 显著性检验 双侧检验(Two-tailed) 事先不知道变量相关方向(正相关还是负相 关)时选择此项。 • 单侧检验(One-tailed) 事先知道相关方向则选择此项。 • 相关系数右上方使用“*”，表示其检验值 要＜0.05才算通过检验；用“**”表示其检 验值要＜0.01才算通过检验。
• • • •
SPSS
• SPSS全称是“Statistical Package for Social Science”,即“社会科学统计软件 包”。 • SPSS可以进行回归分析，尺度分析，相关 性分析，聚类分析，判别分析，因子分析， 时间序列分析等等。 • 这节课介一组有关12盎司啤酒成分和价格的数 据，变量包括beername(啤酒名称)、 calorie (热量卡路里) 、 sodium (纳含量) 、 alcohol (酒精含量) 、 cost (价格)。 要求根据12盎司啤酒的各成分含量及12盎 司啤酒的价格对20种啤酒进行分类。
• 分析(Analysis) →分类(Classify) →分层聚 类(Hierarchical Cluster) • Q型聚类选个案，R型聚类选变量。 • 统计量： 相似性矩阵：表格形式给出任意两个样本 的相关指数。
• 方法： • 聚类方法：组间聚类，组内聚类，最近邻元素 法，最远邻元素法 • 度量标准：平方Euclidean距离，Euclidean距 离，Pearson相关性。 • 标准化：如果参与聚类的变量的量纲不同会导致 错误的聚类结果。因此在聚类过程进行 之前必须对变量进行标准化。常用的是Z 分数法和全距从 0-1。 • 这是常用的几种方法，具体问题根据具体结果选 择方法。
数学建模数据处理模型之变量相关性类（灰色相关联、相关性分析）
数学建模数据处理模型之变量相关性类（灰⾊相关联、相关性分析）相关类灰⾊关联1作⽤：系统分析主要因素；次要因素，因素对系统发展的影响，以便对各因素强化发展或者抑制发展。
2 灰⾊关联分析的基本思想：根据序列曲线的⼏何形状的相似程度判断其联系紧密性3 具体操作步骤：（1）绘图：各指标，各系统的发展趋势（2）确定分析数列：母序列：能反映系统⾏为特征的数据序列。
（因变量），常⽤X或x0表⽰。
⼦序列：影响⾏为的因素组成的数据序列。
（⾃变量），常⽤x1,x3,x3……表⽰（此种⽅法下，母⼦序列的横纵坐标往往⼀样，取点取纵坐标）（3）预处理分析数列：计算均值，再⽤该指标每个元素都除以其均值。
(4)计算关联系数a.x(0)-x(i)(5)由关联度得出⼆者之间的关联性。
(6)关联性往往⽤于确定权重相关性分析针对问题：在确定两个变量线性相关的前提条件下，通过相关系数判断他们的相关程度如何。
（⽪尔逊相关系数越⼤，相关性越强，反之越⼩）相关系数的计算对相关系数进⾏假设检验步骤：1 提出原假设H0和备择假设H1；即对相关系数r做出⼀个假设。
2 将我们要检验的量（⾥⾯相关系数和样本值，其中相关系数为随机变量）构造出⼀个符合某⼀分布的统计量（未代⼊前，相关系数就是上⾯公式的代⼊，因⽽是随机变量）满⾜的分布可是：正态分布，t分布，卡⽅分布等检验数据是否为正态分布：（1）正态JB分布：2）Q-Q图做出Q-Q鉴别图，观察样本数据是否近似在⼀条直线附近，若是则近似于正态分布。
3 将要检验的值（样本，相关系数）代⼊统计量中4 根据统计量的分布情况，由置信⽔平确定原假设成不成⽴。
苹果果实生长的数学模型及各生长指标间的相关性分析
苹果果实生长的数学模型及各生长指标间的相关性分析徐臣善;徐爱红;高东升;程述汉【摘要】以富士苹果(Malus domestica‘ Fuji’)为试材,测定其果实生长发育期间各生长指标的动态变化,选择5种理论生长方程对纵径、横径、单果重、体积、干重进行拟合,并根据拟合结果确定合适的生长方程建立各生长指标的数学模型,采用多项式拟合建立果形指数变化的数学模型,同时对果实各生长指标之间进行相关性分析.结果表明,果实纵径、横径生长适合选择Logistic方程,单果重、体积、干重适合选择Gompertz方程,果形指数的变化适合采用多项式拟合;果实纵径、横径、单果重、体积、干重两两之间均呈显著正相关,果形指数、果实干物质相对含量均与纵径、横径、单果重、体积、干重之间呈显著负相关,果实密度与纵径、横径、单果重、体积、干重之间呈显著负相关,而与果形指数、果实干物质相对含量之间呈显著正相关.【期刊名称】《植物科学学报》【年(卷),期】2015(033)001【总页数】9页(P72-80)【关键词】苹果;相关性分析;拟合精度;生长方程;果实生长指标【作者】徐臣善;徐爱红;高东升;程述汉【作者单位】德州学院生态与园林建筑学院,山东德州253023;山东农业大学园艺科学与工程学院,山东泰安271018;山东农业大学园艺科学与工程学院,山东泰安271018;山东华宇工学院基础部,山东德州253034;山东农业大学园艺科学与工程学院,山东泰安271018;山东农业大学信息科学与工程学院,山东泰安271018【正文语种】中文【中图分类】S661.1植物生长模拟是以系统分析和数学模拟来定量描述植物的生长发育、形态建成和产量形成过程以及对生长环境变化的反应, 有助于帮助人们了解在不同的生理生态条件下, 植物生育期进程、干物质积累分配、叶面积形成动态、器官建成等进程的规律。
生长方程作为描述一种有机体或一个种群大小随时间变化的模型, 可反映某些生物生长的规律[1]。
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身高和肺活量的相关系数为 r 0.096 0.3 ， p 0.627 ，所以接收不相关的假设，认为身高 和肺活量无显著的线性关系. 此例说明体重因子影响了身高和肺活量之间相关性的分析.
7.2 Spearman（斯皮尔曼）秩相关系数—单调性相关分析
为了使用 Pearson 线性相关系数必须假设数据是成对地从正态分布中取得的，并且数据至 少在逻辑范畴内是等间距的. 如果这两个条件不符合，一种方法就是采用 Spearman 秩相关系 数来代替 Pearson 线性相关系数进行相关性分析. 7.2.1 秩 “秩”即按数据大小排定的次序号，又称秩次号. 编秩就是将观察值按顺序由小到大排列， 并用序号代替原始变量值本身. 用秩次号代替原始数据后，所得某些秩次号之和，即按某种顺 序排列的序号之和，称为秩和. 设有以下两组数据： A 组 4.7 6.4 2.6 3.2 5.2 B 组 1.7 2.6 3.6 2.3 3.7 两组各有 5 个变量值. 现在依从小到大的顺序将它们排列起来，并标明秩次，结果如下： A组 2.6 3.2 4.7 5.2 6.4 B 组 1.7 2.3 2.6 3.6 3.7 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始值中有两个“2.6”，分属 A、B 组，它们的秩次应是 3 和 4，然而它们的数值本来是同样大 小的，哪组取“3” ，哪组取“4”呢？我们将它们的平均数（3+4）/2=3.5，作为“2.6”的秩次，称 为“平均秩次”. 这样两组所得的秩次及秩和如下： A 组 3. 5 5 8 9 10 秩和为 35. 5 B组 1 2 3. 5 6 7 秩和为 19. 5 上面 A 组和 B 组中各有五个原始值，按顺序排列：最小值设为 1，再按绝对值大小对余下的 变量逐个排序，最大值为两组变量个数之和 10. 依次可得 1，2，3.5，3.5，5，6，7，8，9， 10. 这 10 个序号即是秩次. A 组秩和等于 3.5+5+8+9+10=35.5， B 组秩和等于 1+2+3. 5+6+7=19.5. 从两组的原始变量值也可以初步看出：A 组偏大，B 组偏小. 现在得出的秩和也是 A 组大于 B 组，与由变量值所观察到的结果一致. 7.2.2 秩相关系数 Spearman 秩相关系数通常被认为是排列后的变量秩次之间的 Pearson 线性相关系数. 得到样本 ( X i , Yi ) (i 1, 2, , n ) ， 设 Xi 、 定义 7-4 若对随机变量 X 和 Y 进行了 n 次随机试验， n n 1 1 Yi 的秩次分别为 pi 和 qi 且 p pi , q qi , d i pi qi . 则随机变量 X 和 Y 对于这组样本 n i 1 n i 1 的秩相关系数 s 为
图 7-2 数据文件的变量试图 （3）点击主菜单“分析”项，在下拉菜单中点击“相关”项，在右拉式菜单中点击“双 变量...”项，系统打开相关分析主对话框. （4）在对话框左侧的变量列表中选“身高” 、 “体重”和“肺活量”点击向右按钮使之进 入“变量”框；在“相关系数”框中选择相关系数的类型，共有三种：Pearson 为通常所指的 相关系数，Kendell’s tau-b 为非参数资料的相关系数，Spearman 为非正态分布资料的 Pearson 相关系数替代值， 本例选用 Pearson 项； 在 “显著性检验” 框中可选相关系数的单侧 （One-tailed） 或双侧（Two-tailed）检验，本例选双侧检验. 如图 7-3.
图 7-3 相关分析主对话框 （5）输出结果及分析 输出结果如表 7-2 所示. 表 7-2 相关性分析结果 相关性 身高（cm） 体重（kg） 肺活量（ml） 3
4
第 7 章 相关性分析 Pearson 相关性 1 身高（cm） 显著性（双侧） N 体重（kg） 29 Pearson 相关性 . 719** 显著性（双侧） . 000 N 29 29 . 634** . 000 29 29 Pearson 相关性 . 507** 肺活量（ml） 显著性（双侧） . 005 N 29 . 719** . 000 29 1 . 507** . 005 29 . 634** . 000 29 1
7.1 Pearson（皮尔逊）相关系数—线形相关分析
对于二维随机变量 ( X , Y ) ，根据数学期望性质，若 X 和 Y 相互独立，且 EX 和 EY 存在， 则有
E [( X EX )(Y EY )] E ( XY ) EX EY 0
所以当 E [( X EX )(Y EY )] 0 时，必有 X 和 Y 不相互独立. 定义 7-1 设 ( X , Y ) 为二维随机变量，称 E [( X EX )(Y EY )] 为随机变量 X ， Y 的协方差（Covariance） ，记为 Cov ( X , Y ) ，即 Cov ( X , Y ) E [( X EX )(Y EY )] 特别地 Cov ( X , X ) E [( X EX )( X EX )] DX
**. 在 . 01 水平（双侧）上显著相关. SPSS 软件中，相关性检验的零假设为“ H 0 : 0 ”. 身高和体重的相关系数为 r 0.719 ， p 0.00 ，所以身高和体重中度相关，结果有统计学 意义；身高和肺活量的相关系数为 r 0.507 ， p 0.005 ，所以身高和体重中度相关，结果有统 计学意义；体重和肺活量的相关系数为 r 0.634 ， p 0.00 ，所以身高和体重中度相关，结果 有统计学意义； 相关系数计算两个变量之间的关系，分析两个变量之间线性相关的程度. 但是，有时因为 第三个变量的作用，使得相关系数不能反映两个变量间真正的线性程度. 例如，上例中，我们 得出肺活量和身高与体重均存在中度的线性关系，但实际上，对相同体重的人分析身高和肺 活量，却没有线性关系. 这种情况下，我们可以对变量进行偏相关分析. 在偏相关分析中，系 统可按用户的要求对两相关变量之外的某一或某些影响相关的其他变量进行控制，输出控制 其他变量影响后的相关系数. 例 7-2 对例 7-1 中的数据作偏相关性分析 解 使用 SPSS 操作过程如下: （1）点击主菜单“分析”项，在下拉菜单中点击“相关”项，在右拉式菜单中点击“偏 相关...”项，打开偏相关分析主对话框. （2）选“身高”和“肺活量”入“变量”框；选"“体重”作为"控制变量"， ；在“显著 性检验”框中选双侧检验.
Cov (Y , Y ) E [(Y EY )(Y EY )] DY
故方差 DX ， DY 是协方差的特例. 从定义中看到，协方差和变量的量纲有关. 我们将随机变量标准化，得 X EX Y EY ，Y * X* DX DY C ov( X , Y ) * * ( X , Y ) 的协方差为 . D ( X ) D (Y ) C ov( X , Y ) 定义 7-2 设 ( X , Y ) 为二维随机变量，称 为随机变量 X ， Y 的 Pearson 相关系 D ( X ) D (Y ) 数（Pearson correlation coefficient）或标准协方差（Standard covariance） ，记为 XY ，即 C ov( X , Y ) XY D( X ) D(Y ) 定理 7-1 设 D ( X ) 0 ， D (Y ) 0 ， XY 为 ( X , Y ) 的相关系数，则 （1）如果 X ， Y 相互独立，则 XY 0 ； （2） XY 1 ； （3） XY 1 的充要条件是存在常数 a, b 使 P{Y aX b} 1 ( a 0) . 相关系数 XY 描述了随机变量 X ，Y 的线性相关程度， XY 愈接近 1，则 X 与 Y 之间愈接 近线性关系. XY 0 为正相关， XY 0 为负相关. 一般用下列标准对相互关系进行判定: （1） XY 0.95 ， X 与 Y 存在显著性相关； （2） XY 0.8 ， X 与 Y 高度相关； （3） 0.5 XY 0.8 ， X 与 Y 中度相关； （4） 0.3 XY 0.5 ， X 与 Y 低度相关； （5） XY 0.3 ， X 与 Y 关系极弱，认为不相关； （6） XY 0 ， X 与 Y 无显性相关.
数学建模与软件实现
第 7 章 相关性分析
相关性分析是指分析两个随机变量之间是否存在一定的关系. 相关分析可以发现变量间 的共变关系（包括正向的和负向的共变关系） ，一旦发现了共变关系就意味着变量间可能存在 两种关系中的一种： （1） 因果关系(两个变量中一个为因、 另一个为果); （2） 存在公共因子 （两 变量均为果，有潜在的共因）. 很多时候， 我们需要寻找这些因果关系， 或者是寻找公共因子. 相关性研究是非常有用的， 它是许多深入研究必备的初始阶段工作. 衡量随机变量相关性的度量主要有三种：pearson 相关系数、spearman 相关系数、kendall 相关系数.
r
(X
i 1
n
i
X )(Yi Y )
(X
i 1
n
i
X )2
(Y Y )
i 1 i
n
2
例 7-1 某地 29 名 13 岁男童身高（cm） 、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下表，试对 该资料中各因素做相关分析. 表 7-1 测试数据 编号 身高（cm） 体重(kg) 肺活量(ml) 编号 身高（cm） 体重(kg) 肺活量(ml) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 135. 1 139. 9 163. 6 146. 5 156. 2 156. 4 167. 8 149. 7 145. 0 148. 5 165. 5 135. 0 153. 3 152. 0 160. 5 32. 0 30. 4 46. 2 33. 5 37. 1 35. 5 41. 5 31. 0 33. 0 37. 2 49. 5 27. 6 41. 0 32. 0 47. 2 1750 2000 2150 2500 2750 2000 2150 1500 2500 2250 3000 1250 2750 1750 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 153. 0 147. 6 157. 5 155. 1 160. 5 143. 0 149. 4 160. 8 159. 0 158. 2 150. 0 144. 5 154. 6 156. 5 47. 2 40. 5 43. 3 44. 7 37. 5 31. 5 33. 9 40. 4 38. 5 37. 5 36. 0 34. 7 39. 5 32. 0 2350 2000 2250 2750 2400 1750 2250 2750 2500 2000 1750 2250 2500 1750