汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
实验十一：单自由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率
实验⼗⼀：单⾃由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率实验⼗⼀：单⾃由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率、阻尼⽐的测定⼀、实验⽬的1、学会测量单⾃由度系统强迫振动的幅频特性曲线；2、学会根据幅频特性曲线确定系统的固有频率和阻尼⽐。
⼆、实验仪器安装⽰意图三、实验原理简谐⼒作⽤下的阻尼振动系统如图1-12，其运动⽅程为：tF Kx dt dx C dt x d m e ωsin 022=++⽅程式的解⼜x 1+x 2这两部分组成：x 1 =e -εt (C 1cos ωD t+C 2 sin ωD t)式中21D D -=ωωC 1、C 2常数由初始条件决定x 2=A 1sin ωe t+ A 2cos ωe t其中()()222222214e e e q A ωεωωωω+--=()22222242eee q A ωεωωεω+-=,mF q 0=x 1代表阻尼⾃由振动基,x 2代表阻尼强迫振动项。
有阻尼的强迫振动，当经过⼀定时间后，只剩下强迫振动部分，有阻尼强迫振动的振幅特性：()stst x x D u u A β=+-=2222411动⼒放⼤系数()stx A D u u =+-=2222411β当⼲扰决定后，由⼒产⽣的静态位移x st 就可随之决定，⽽强迫振动的动态位移与频率⽐u 和阻尼⽐D 有关，这种关系即表现为幅频特性。
动态振幅A 和静态位移x st 之⽐值β称为动⼒系数，它由频率⽐u 和阻尼⽐D 所决定。
把β、u 和D 的关系作成曲线，称为频率响应曲线，见右图。
从图2可以看出（1）当ωωe很⼩时，即⼲扰频率⽐频⾃振频率⼩很多时，动⼒系数在任何阻尼系数时均近于1。
（2）当ωωe很⼤时，即⼲扰频率⽐频⾃振频率⾼很多时，动⼒系数则很⼩，⼩于1。
（3）当ωωe近于1时，动⼒系数迅速增加，这时阻尼的影响⽐较明显，在共振点时动⼒系数D 21=β（4）当21D e-=ωω时，即⼲扰频率和有阻尼⾃振频率相同时431212D D -=β（5）动⼒系数的极⼤值，除了D=0时u=1处β最⼤以外，当有阻尼存在时，在21≤D 时，221D u -=处，动⼒系数β为最⼤。
实验一 单自由度系统强迫振动实验
单自由度系统强迫振动实验一、实验目的1、 了解学习振动系统和测振系统的组成及原理，掌握测振的一般方法。
2、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后以及快速通过共振区的振幅变化情况。
3、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后干扰力与系统位移的相位关系。
4、 测定简支梁振动系统的固有频率及幅频特性曲线。
二、实验装置 1、 实验装置简图测振仪（11）示波器（12）闪光测速仪（9）闪光灯（8）电动机（3）变压器（2）传感器（10）简支梁（1）偏心轮（4）振标（7）标记线（5）图一2、实验装置上各附件的作用 （1） 简支梁简支梁是由一块截面为矩形的弹性钢板通过轴承支撑在两个刚性很强的固定支架上，它在系统中主要起弹簧作用。
（2） 固定架固定架是用来固定偏心轮、标记盘等部件的，其质量同简支梁质量的一半组成系统的质量（根据能量原理而得）。
故此系统可简化为（图二）所示的弹簧质量系统。
图二图中：M ------系统的质量 m -------偏心质量 0F -------离心惯性力k --------简支梁的弹簧刚度 r --------阻尼系数 （3） 自耦变压器自耦变压器用来启动电机和调节电机转速的设备。
当通过变压器手轮改变变压器输出电压时，即可改变电机的转速，借以达到调速之目的。
（4） 电动机电动机是用来驱动偏心轮旋转的动力源。
在本实验中借助改变电机的转速来实现干扰力频率的变化。
（5） 偏心轮偏心轮在系统中是产生干扰力的元件。
当转轴带动偏心轮以转速N 旋转时，偏心质量m 就以2(1/)60Ns πω=作等速圆周运动，同时产生了一个离心惯性力20F me ω=。
该力通过轴和轴承座传给梁。
这个旋转的离心惯性力在铅直方向的分量就构成了对梁沿铅直方向的简谐干扰力，即20sin sin F F t me t ωωω==。
此干扰力使系统产生强迫振动。
以坐标x 表示偏心轮轴心离开静平衡位置的铅垂位移，如图二，则系统振动的微分方程为：2sin Mx rx kx me t ωω++= （1）设 2r n M = , 2k p M =，2me q Mω=上式可以写成22sin xnx p x q t ω++= （2） 这个微分方程的全解为12()()()x t x t x t =+其中 221()sin()nt x t Ae p n t ϕ-=-+是个衰减振动，在振动开始的一定时间后就完全消失了。
【汽车振动分析与测试】第2讲 单自由度振动
e pT '
enT '
式中，n为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也就越大。
A1 ( A1 )( A2 )...( Ai ) ei i
Ai 1
A2 A3
Ai 1
系统的对数衰减率为 ln 1ln A1 pT '
i Ai1
系统的阻尼比为
1 (2 )2 1
由于系统阻尼比远小于1，因此，
A x02 2 px0 x0 p2 x02 p'2
arctan x0 p' x0 px0
三、阻尼比对振动的影响
1. 阻尼比，使周期略有增大
T ' 2 T p 12 12
2. 阻尼比，振幅按几何级数衰减
设相邻两振幅 的比值，为减幅系数
Ai Ai 1
Ae pti Ae p(ti T ' )
因此，本章应该在课堂振动理论学习的情况下，加强课下学 习和复习，参阅相关参考资料，并结合分析工程中振动隔离 的实际应用实例，熟练掌握单自由度振动系统的自由振动及 其响应的理论推导，及在不同阻尼情况下的振动规律和振动 特性；掌握单自由度振动系统在简谐激励、一般周期激励以 及任意激励下的强迫振动及其响应的各种求解方法。为实际 工程应用分析和振动隔离设计奠定扎实的基础。
X0
ei( t )
(1 2 )2 (2)2
（1）若实际激振力为正弦函数形式，则实际响应可表示为
（x t） F0 H () sin(t )
X0
sin(t )
(1 2 )2 (2)2
（2）若实际激振力为余弦函数形式，则实际响应可表示为
x(t) F0 H () cos(t )
X0
1 (2)2 (1 2 )2 (2)2
10-3单自由度体系的强迫振动
yst
=1
运动方程
y(t ) 12 FP sin t 11 (m) y 1 12 (t ) my y (t ) FP sin t
令
振幅
A
Fp
11 Fp 12 FP 11
1
11
12 FP11 12 FP 11
yst
m 2
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼) 一.运动方程及其解
Fp (t ) Fp sin t m F (t)
P
或
m(t ) k11 y(t ) Fp sin t y Fp 2 (t ) y (t ) y sin t m
这是一个二阶线性非齐次常微分方程
y(t )
yst FP11 0.722103 m
M st 1 FPl 10 kN.m 4
动位移幅值
A yst 2.45103 m
动弯矩幅值
2n / 60 52.3 1 / S
1 / m 11 g / Q 62.3 1 / S
M D M st 34kN.m
FP 0
0
u
t
0 (t 0) FP (t ) FP 0 (t 0 u ) 0 (t u )
1 u yt 0 FP 0 sin (t )d m FP 0 cos (t u ) cos t 2 m u u yst 2 sin sin (t ) 2 2
0 I
同频同步变化
有:
A 11F 1 p
成立，其中：
FI0 A 2 m 1 p Fp11
成立。
于是有:
1 ( 11 2 ) FI0 1 p 0 m
第六讲—单自由度阻尼强迫振动
注意: 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。阻力垂直于回复 力。
稳态响应解的向量表示
kX
F0
c X
t
t
Reference
m 2 X
X F0
1
k m c
2 2
2
c , tan k m 2
X
2 X 0n
（14）
求解微分方程
因此，对应于该初始条件的解为
x0 n x0 nt xe sin d t x0 cos d t 自由振动（简谐激励） d n sin cos nt Xe sin d t sin cos d t d （15） X sin t 稳态强迫振动
（5）
将式（5）代入运动方程（2）得
2 n 2 X sin t 2n X cos t 2 X 0n sin t
（6）
求解微分方程
经三角函数运算将式（6）写为
2 n 2 X cos 2n X sin sin t
方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解
x x1 x2
在亚临界阻尼情形下（
（3）
1 ），齐次通解为
（4）
x1 ent A cos d t B sin d t
其中，
d 1 2 n 。 特解可表示为
x2 X sin t
由牛顿第二定律，可知运动微分方程
mx cx kx F0 sin t
引入记号 n
F k c c , , X0 0 m 2mn 2 mk k
（1）
运动微分方程可改写为
关于单自由度系统的强迫振动分析
关于单自由度系统的强迫振动分析罗海东【摘要】由单自由度系统中支承的运动规律及达朗伯原理得到运动微分方程,再利用线性系统的叠加原理分析系统中被支承质量的振幅及支承振幅、频率比和阻尼比间的关系,并通过图形对隔振方法进行了分析.%By means of superposition prin ciple of linear system and movement differential equation that is formulated according to d'alembert's principle and law of support motion in a linear system,this paper analyses the relation between the supported amplitude and the support amplitude as well as the relation between frequency ratio and damping ratio. Moreover,it explores the methods to isolate vibration through specific analysis on drawing line.【期刊名称】《南通纺织职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(012)004【总页数】2页(P18-19)【关键词】叠加原理;单自由度;振幅;频率比;隔振;阻尼比【作者】罗海东【作者单位】江阴职业技术学院,江阴214433【正文语种】中文【中图分类】O321自然界普遍存在着振动现象.振动的一个重要方面是系统对外部激励的响应，激励的来源可分两类：一类是力激励，可以是直接作用于机械运动部件上的力，也可以是往复运动机械中不平衡量引起的惯性力；另一类是支承运动导致的位移激励、速度激励以及加速度激励.本文讨论的是单自由度系统的强迫振动.单自由度系统在有持续激励时的振动，称之为强迫振动.在科学技术领域以及日常生活里，都会遇到各种不同程度的振动过程，振动过程广泛出现在各生产领域中，有许多的振动问题需我们要去处理.例如，车辆在波形路面上行驶时的振动及固定在机器上的仪表的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动.质量块固连的指针与仪表外壳之间的振动是相对运动，车辆及质量块的振动是绝对运动（例举中只讨论车辆及质量块系统的绝对运动）.如图1所示，是一单自由度系统的简图，设x(t)及xs(t)分别是质量块及支承的位移，支承的运动规律[1]是：由于支承的运动，质量块受到的弹性恢复力为k(x-xs)，阻尼力为c(x′-xs′)，根据达朗伯原理可得如下的运动微分方程[2]：为了分析方便，记β为振幅放大因子，在这里把它定义为：β=B/a=，以ξ为参数，画出的幅频响应曲线及相频响应曲线如图2、3所示.由图2、3可见，当频率比时，无论阻尼比ξ为多少，振幅B恒等于支承运动振幅a；振幅B小于a，增加阻尼反而使振幅B增大.在工程机械中超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命，还造成环境污染，故有效地隔离振动是相当重要的问题.一类是用隔振器将振动着的机械与地基隔离开，称为积极隔振；另一类是将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔开，称为消极隔振.两种方法的原理是类似的，隔振效果可以用传递率TR度量，将图2的幅频响应曲线的纵坐标β改为TR，则得到TR随频率比λ的变化规律的特性曲线.从曲线中看到，只有当时，才有隔振效果；当λ＞5以后，曲线下降得都慢，通常将λ选在2.5～5的范围内.另外，在λ＞以后，增加阻尼反而使隔振效果变坏.因此，为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼.阻尼也不能太小，否则在经过共振区时会产生较大的振动.利用弹性支撑可使一系统降低对外加激励响应的能力，而将振动源与设备的刚性连接改为弹性连接，能隔绝或减弱振动能量的传递，从而减振降噪.【相关文献】[1] 杨桂通.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，1998：163.[2] 钟万勰.弹性力学求解新体系[M].大连：大连理工大学出版社,1995：204.[3] 刘延柱，陈文良，陈立群.振动力学[M].北京：高等教育出版社,1998.。
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
汽车振动分析之 单自由度
tg
2 1 2
简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2(t)
B0 sin(t ) (1 2)2 (2)2
简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2 (t)
B0 sin(t ) (1 2 )2 (2)2
强迫振动稳态响应的基本特点：
1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应是简谐振动， 振动的频率与激励频率相同。
2.1 简谐激励引起的强迫振动
简谐激振力 f (t) P0 sin t
P 激振力幅值 0
激振力圆频 率
mx cx kx P0 sin t
令： p2 k , 2p c
m
m
x 2px p2x P0 sin t
m
x(t) x1(t) x2 (t)
通解 特解
通解：x1 ent (C1 cos pdt C2 sin pdt)
另一种形式 x Aent sin( pdt )
振幅
初 相
A
x02
(v0
nx0 )2 pd2
位 角
tan x0 pd
v0 nx0
Aent 为阻尼振动振幅
这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的
衰减运动。衰减运动的频率为 pd，衰减速度取决于衰减系数n即
zp。当t→∞时，x→0，即振动最终将完全消失，如图。
程为： mx cx kx 0
x c x k x 0 mm
令 2n c p2 k
m
m
m x
c k
d2 x dt2
2n
dx dt
p2x
0
n c 2m
称为衰减系数
Hale Waihona Puke n 称为相对阻尼系数p
第三章单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕
第三章(第3节)单自由度系统的强迫振动解析
在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系 统的固有周期 (T=1/f ) 相比时非常的短，则激励就可以 考虑为一个脉冲。 具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)， 都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。
函数的单位为s-1，在其它方面的情况，函数将有
不同的量纲。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即
x (0 ) x ( 0 )0
(3.3-5)
由于F(t)作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作 用，但其影响依然存在。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
把求解单自由度阻尼系统对脉冲力 F(t) 的响应问题 变换为系统对于零初始条件的响应问题，将变成 t=0+处 的初始条件引起的自由振动。 为了找出t=0+的初始条件，对方程(3.3-4)在区间0-t 0+上积分两次，有
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
脉冲响应为
1 nt e sin d t h(t ) md 0 (t 0) (t 0)
(3.3-13)
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
2 卷积积分
利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数 F(t) 的响 应，把 F(t) 视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近 似地代替激励F(t )。 如图 3.3-2 所示，在任意时刻 t=处，相应的时间增量为，由 一个大小为 F() 的脉冲，相应 的力可以用数学表示为
m[ x(0 ) x(0 )] cxdt
0 0 0
0
0
0
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
汽车振动分析之单自由度
汽车振动分析之单自由度汽车振动是指汽车行驶过程中，由于路面不平、车身和悬挂系统的振动传递等因素引起的振动现象。
汽车振动对车辆性能和乘坐舒适度有很大影响，因此对汽车振动进行分析和研究具有重要意义。
在汽车振动分析中，单自由度是一种常用的方法。
单自由度是指将整个车身视为一个自由度的振动系统。
通过对车身进行建模，分析和计算出车身在不同工况下的振动特性，可以得到车身的共振频率、加速度和振幅等参数，为汽车设计和改进提供依据。
在单自由度振动系统中，主要有四个关键参数需要确定：质量、阻尼、刚度和外力。
质量是指车身的质量及其分布情况，通常可以通过质量补偿法或试验方法进行测量。
阻尼是指车身受到的阻尼力，包括震动吸收器的阻尼和内部摩擦阻尼等。
刚度是指车身对应的刚度系数，用来描述车身对外力的反应能力。
外力可以是路面的不平度、车轮的不平衡力、发动机的振动力等。
在进行单自由度振动分析时，可以采用模型简化和计算机仿真的方法。
通过建立合适的数学模型，可以得到车身的振动方程，并通过求解方程得到车身的振动响应。
在模型简化过程中，通常采用等效刚度法将车身简化为一个理想的弹簧-质量-阻尼系统。
通过调整刚度和阻尼参数的数值，可以模拟出不同车身的振动特性。
在振动分析过程中，可以通过求解振动方程得到车身的固有频率和振动模态。
固有频率是指汽车振动系统在自由振动状态下，振动频率不随外力的作用而改变的特征频率。
振动模态是指在固有频率下，车身各部分振动的空间分布特征。
通过分析固有频率和振动模态，可以找出对车辆乘坐舒适度影响最大的频率段和振动模态，从而进行有目的的改进和优化。
除了固有频率和振动模态，还可以通过求解振动方程得到车身的加速度和振幅等振动参数。
加速度是指车身振动速度变化率，是评价车辆乘坐舒适度的重要指标之一、振幅是指车身在振动过程中的最大位移变化，也是车辆乘坐舒适度的重要指标之一、通过分析和计算这些振动参数，可以评估车身在不同工况下的振动性能，并对车身进行优化设计。
汽车振动分析第二章+-+强迫振动其他激励-副本
(k m 2 ic )Bei(t ) a(k ic )eit
Bei
a k
k ic m 2 ic
稳态响应的幅值：
B Bei
a
k
k ic m 2 ic
k ic
a
k m 2 ic
a
k 2 (c)2 (k m 2 )2 (c)2
a
1 (2)2 (1 2 )2 (2)2
汽车振动分析
授课对象：本科生 学科专业：车辆工程 授 课:黄雪涛
电话：15634886176
第一章单自由度系统的振动
1 单自由度振动系统 2 单自由度无阻尼自由振动 3 单自由度有阻尼自由振动
4 强迫振动
教学内容
一、偏心质量引起的强迫振动 二、支座引起的强迫振动 三、工程中的受迫振动问题
引言
常用机械中包含着大量的作旋转运动的零部件，例如各种 传动轴、主轴、电动机和汽轮机的转子等，统称为回转体。
支承的运动规律： xs a sin t
mx c(x xs ) k(x xs ) 0 整理： mx cx kx kxs cxs
mx cx kx kasint ca cost
弹簧传递过来的激振力 kxs 阻尼器传递过来的激振力 cxs
采用复数解法： 支承运动 xs aeit
解：（1）共振时的振幅
Bmax
me
2 M
0.1m
e 0.1m
（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m
Bm a x
1
2
me M M
0.01m
M 9 M
二、支座引起的强迫振动
❖ 简谐振动不一定都是由激励力引起，振系支座的周期 性运动同样可使振系发生强迫振动，如机器振动引起 的仪表振动，汽车驶过不平路面产生的振动等
3-单自由度强迫振动解析
前面已经得出方程
x
的全解为：
2wnx
x
wn2 x
F0 m
sin wt
x
exwnt
x0
xwn wd
x0
sin wd t
x0
cos wd t
X
exwnt
0
xwn
sin
wd
w
cos
sin
wd t
sin
cos
wd t
X0 sin(w t )
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
Rmax＝
2x
1
1x2
而r＝1时
R＝ 1
2x
由此看出：当r＝1，x很小时的R和Rmax相 差很小，所以在工程中仍认为当w＝wn 时发
生共振。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
28
3. 相频特性曲线（P37）
以x为参 数,画出f－ r 曲线即 f
相频特性曲 线,表明了阻 尼和激振频 率对相位差 的影响。
1 r2
分别取 z*式的实部和虚部就是对应于
余弦和正弦激励的稳态响应。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
21
稳态响应分析(P34-39)
1. 稳态响应xp=X0sin(wt－f)的性质（P34）
（1）在谐和激振条件下，响应也是谐和的， 其频率与激振频率相同； （2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角φ 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小 和频率，与初始条件无关；
• r →∞时,f→p,系统平稳运行。
第3章 单自由度系统强迫振动
汽车振动分析三自由度
7.分析方法——谐波分析 把一个周期函数展开成傅里叶级数， 即一系列简谐函数之和称为谐波分析。 将其用于振动 理论，就可以把一个周期振动分解为一系列简谐振动的叠加。 按照级数的理论，任一周期函数，只要满足以下的条件，即可展开成傅里叶级数： 1.函数在同一周期内连续或只有有限个间断点，间断点上函数的左右极限存在； 2.在一个周期内，有有限个极大极小值。 F（t）=
按系统的模型： 1.连续性系统：系统的质量、弹性及阻尼是分布的、连续的。描述 连续系统要用到空间和时间两个坐标，其运动方程是偏微分方程。 2.离散性系统：系统的质量、弹性及阻尼是离散的。 按系统的自由度： 1.单自由度系统：在任意时刻只要一个广义坐标即可完全确定其 位置的系统。 2.双自由度系统：需要两个广义坐标才可完全的确定其位置和状 态的系统。 3.多自由度系统：在任意时刻需要两个或更多的广义坐标才能完 全确定其位置的系统。 4.无限多自由度系统：用无限多个独立坐标才能确定位置的系统 的振动，这种振动又称为弹性体的振动。
任一激励作用下： 在工程实际中，对振动系统的激励作用往往既不是简谐的， 也不是周期的，而是任意的时间函数，包括作用时间很短的冲击作 用。这种激励作用下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在 这种激励停止后，系统将按照其固有频率进行自由振动，即所谓的 剩余振动。系统在任意激励下的瞬态振动包括剩余振动在内统称为 任意激励的响应。
2.汽车振动问题的组成 1.发动机和传动系统: 汽车行驶时因道路不平气缸内的燃气压力和运动件的不平衡惯性力周 期性变化的结果，都会使曲轴系统和发动机整机产生振动。发动机和传动系 统振动主要研究发动机在车架上的整机振动，以及出曲轴和传动系统扭振以 外的其他振动，如气门结构的振动等。 2.制动系统: 汽车在制动时，行驶方向的惯性力和作用在轮胎上的地面制动力所形 成的力矩会使前轴负荷增大，后轴负荷减小，从而加强了制动是整车的振动。
课程设计--汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析1.应用《机械振动学》知识建立物理模型建立汽车单自由度振动力学模型由于汽车在行走时，路面不平，周期起伏路面可看做三角函数，故而可把汽车行走的路面看做激励。
忽略轮胎的弹性与质量，得到分析车身垂直振动的最简单的单质量系统，适用于低频激励情况。
物理模型如下。
其中x f =y=Y sin(wt)其中k 为弹性系数，c 为阻尼系数。
2. 根据所建立的力学模型列出微分方程根据牛顿定律，写出数学方程。
()()"''mx k x y c x y =----"''mx cx kx cy ky ++=+ ⑴ 由此可见。
基础运动使系统受两个作用力，一个是与y(t)同相位，经弹簧传给质m 的力ky ；一个是与速度y ’同相位，经阻尼器传给质量m 的力cy ’。
利用复指数法求解，用()sin jwt YeY wt =，并假定方程的解为()jwt x t xe =, 代入方程（1）得 ()()()22221212r X r r ξξ+=-+可表示为X Y =阻尼比0c c ξ==c 为阻尼系数，0c 为临界阻尼系数频率比n wr w =，w 为激励频率，n w 为系统固有频率。
3利用MATALB 编程 y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2)); y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2)); y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2)); y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2)); ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2))',[0,6]);hold on;ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2))',[0,6])ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2))',[0,6])ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2))',[0,6]);title('放大因子X/Y与频率比r的曲线') xlabel('频率比')ylabel('放大因子X/Y')text(x(20),5,'阻尼比0.1')text(x(20),3,'阻尼比0.15')text(x(20),2,'阻尼比0.25')text(x(20),1,'阻尼比0.5')把程序写入MATALB，用软件开始编程运行程序得如下结果再把该图形做完整X以ξ为参数，随r变化的曲线表示如下图。
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中北大学明书设计说课程
号：09020441XX 学学生姓名：
院：机械工程与自动化学院学
专业：机械电子工程
目：题汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
:
职称指导教师：
2013年 1月 7日
课程设计任务书12/13 学年第一学期
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
学生姓名：学号：
课程设计题目：汽车单自由度振动系统强迫振动放大
因子
分析起迄日期：2013年1月7日～2013年1月18日
课程设计地点：机械自动化系
指导教师：
系主任：
日 7月 1年: 2013下达任务书日期
课程设计任务书
2）原始数据：
阻尼比为：0.1、0.15、0.25、0.5。
3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕：
(1)根据所给物理模型建立合理的数学模型；
(2)选择合理的计算方法；
(3)对所建模型进行求解；
(4)撰写课程设计说明书一份。
课程设计任务书
汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
1.应用《机械振动学》知识建立物理模型
建立汽车单自由度振动力学模型
由于汽车在行走时，路面不平，周期起伏路面可看做三角函数，故而可把汽车行走的路面看做激励。
忽略轮胎的弹性与质量，得到分析车身垂直振动的最简单的单质量系统，适用于低频激励情况。
物理
模型如下。
其中x=y=Y sin(wt) f
其中k为弹性系数，c为阻尼系数。
2.根据所建立的力学模型列出微分方程
根据牛顿定律，写出数学方程。
????'x'kx?y??cymx??kycy'?cxmx?'?kx?⑴
由此可见。
基础运动使系统受两个作用力，一个是与y(t)同相位，经弹簧传给质m的力ky；一个是与速度y'同相位，经阻尼器传给质量m的力cy'。
利用复指数法求解，用，并假定方程的解??jwt wtsinYe?Y, 为??jwt xet?x代入方程（1）得
??22??2?rr?2?1可表示为
2???r?21YX?
??2Y2??2?r2?r?1．
2???r21?X?
cc阻尼比???cmk20为阻尼系数，c为临界阻尼系数c0w，频率比?r w n为激励频率，为系统固有频率。
w w n
3利用MATALB编程
y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2));
y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2));
y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2));
y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2));
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2))',[ 0,6]);
on;
hold
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2))' ,[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2))' ,[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2))',[ 0,6]);
') 的曲线rX/Ytitle('放大因子与频率比')
频率比xlabel('
X/Y') 放大因子ylabel('0.1') text(x(20),5,'阻尼比0.15')
text(x(20),3,'阻尼比0.25') 阻尼比text(x(20),2,'text(x(20),1,'阻尼比0.5')
把程序写入MATALB，用软件开始编程
运行程序得如下结果
再把该图形做完整
X以为参数，随r变化的曲线表示如下图。
?Y
现在经过建立物理模型，构建数学模型，再利用MATALB仿真，最终得出了汽车振动系统强迫振动下的频率放大因子图形。
分析：
当时，，而与阻尼无关。
这意味着，当激励1M?r?0频
率接近于零时，振幅与静位移相近。
当时，。
也与阻尼大小无关。
在激励频率很??r0M?高时，振幅趋于零。
这意味着，质量不能跟上力的变．化，将停留在平衡位置不动。
当r=1时，若，在理论上，这意味着，当系?0???M统中不存在阻尼时，激励频率和系统的固有频率一致，振幅将趋于无限大，这种现象叫做共振。
通常我们称r=1，即w=时的频率为共振频率。
实际w n上，当系统中存在阻尼时，振幅是有限的，其最
大值并不在w=处，w n dM可得由0?dr振幅最大
时的频率比
而振幅的最大值为
2?21?r?max
1?M max2??22?1只有无阻尼时，共振频率是。
有阻尼时，最大振幅w n的频率为比小。
当阻尼较小时，可近似的看2?w w21?nn。
做w n当，即使只有恨微小的阻尼，也使最大振幅限制在?0?1，则。
即振幅有限的范围内。
由式可见，若?0r??xma2的最大值发生
在W=0处。
也就是静止时，位移最大，由此可得
结论：
2时，不论r为何值，；①当??1?M2．2时，对于
很小或者很大的r当值，②阻尼对响应??2的影响可略去。
对远离共振频率的区域，阻尼对减小振幅的作用不大。
只有在共振频率及其近旁，阻尼对减小振幅有明1,,r=1, 显作用，增加阻尼可使振幅显著的下降。
由?M?2共振时的振幅由阻尼决定。
由图可见，
X=1，与时，当r=0和无关。
?2r?YX时，,且阻尼小的当比值要比阻尼大的时候2r?YX?Y小。
4.分析当激振函数时，该系统的隔)tsin(50F?F0振性能，并作出评价
如图力学模型如上所示。
经隔振装置传递到地基的力有两部分：经弹簧传给
地基的力
??????FkxkXwtsin X经阻尼传给地基的力
????wtcx'?cwXcosF?d?的简协作用力。
因是相同频率的，相位差和FdFx2此，传给地基的力的最大值或者振幅为F T222???????rcwX?2?kXF?kX1?T 由于在Fsin(wt)作用下，系统稳态响应的振幅为
F?X??22??2?r?1k?r22???r2F1?则?F T??22??2?r1?r2?评价积极隔振效果的指标是力传递系数
??22??2?r2??1r合理设计的隔2???r?21F T??T F F
振装置应该选择适当的弹簧常数k和阻尼系数c,使力传递系数达到要求的指标，为此，需T F要讨论和和r的关系。
?T F编写程序，用MATALB编程
x=0:pi/1000:6;
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1 *x).^2))',[0,6]);
hold on;
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0. 15*x).^2))',[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0. 25*
x).^2))',[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5 *x).^2))',[0,6]);
把所编程序植入MATALB软件，运行，得出模拟
图形
横坐标为频率比r，纵坐标为力传递系数T F由图可见，在r=0和r=时，=1
2T R与阻尼无关，即传递的力或位移与施加给系统的力或位移相等。
的频段内，传递的力或位移都比施加的力或在2r?0?位移大。
以后，所有的曲线都表明，传递系数随激励而当2?r频率的增大而减小，因此可以得到两点结论:
⑴不论阻尼比为多少，只有在时才有隔振效果。
2?r
⑵对于某个给定的值，当阻尼比减小时，传递系2?r数也减小。
现在激励频率为w=50HZ,
w得，由?r w n ww5035.7HZ ，2????w n w22n结论：当系统的初始频率小于等于35.7HZ时，系统w n具有明显的隔振性能。