反比例函数教学论文

反比例函数教学论文摘要：函数知识，是学生初中阶段的一个教学重点，更是学生学习的难点，需要我们在教学中充分调动学生的主动性、积极性，注重数形结合，努力提高学生利用函数图象解题的意识，将抽象的函数具体化，使函数不再是令学生头疼的难题，不断提高学生学好数学的热情，进而让学生对学好函数知识充满信心。

关键词：反比例；函数；教学；数形结合本节内容属于《初中数学新课程标准》中“数与代数”的领域，是在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数的内涵，感受现实世界中存在着多种函数关系以及运用函数知识解决一些简单的实际问题。

反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。

因此我们应抓住反比例函数教学的重难点，让学生轻松掌握本节知识，通过我多年的教学尝试，搞好反比例函数教学我认为可以从以下几方面着手。

一、从实例出发，加深对反比例函数概念的理解教学中让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，再得出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

课堂上要让学生弄清解析式中各字母的意义，知道k是常量，x是自变量，y是因变量，y是x 的函数。

还要让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。

因为y=kx是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。

而y=kx可以通过变形写成xy=k或y=k・x-1两种形式。

二、利用数形结合探讨反比例函数的图象与性质画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤：列表――描点――连线，其中列表取值很关键。

反比例函数y=kx（k≠0）自变量的取值范围x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，最好互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确，连线时要用平滑的曲线连接，不能用折线。

教学时，老师要带着学生一起画，加强指导，及时纠错。

由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

通过作图可知，反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

y=kx 的渐近线：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的，在学生活动中归纳出：当k>0时，函数在x<0上为减函数，在x>0上也为减函数；当k<0时，函数在x<0上为增函数，在x>0上也为增函数；反之，从双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的解题方法。

教学时还应探索k的意义及应用。

在反比例函数y=kx（k≠0）图象上取一点P（x，y），过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积S=|x |×|y| =|xy|=|k|，这是反比例函数中比例系数k的一个很重要的几何意义。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

三、灵活掌握用待定系数法求解析式学习函数知识的一个重要方面，就是根据题目条件，求出函数的解析式。

分析反比例函数的解析式可知，只需要求出k的值，便可以求出该函数的关系式，而k=xy，所以只要有一点在反比例函数的图象上，就可以求出该函数的解析式。

教学中，要让学生明确下面几个步骤：（1）根据已知条件设出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的一对值或图象上的一个点的坐标代入上述函数关系式中得到一个以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出系数k的值；（4）将求出的待定系数k代回所设的函数关系式中得出所求函数的解析式。

问题：已知A（-4，2）、B是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象的两个交点。

你能求此反比例函数和一次函数的解析式吗？分析：该题因为点A是两个函数图象的交点，则一定在反比例函数的图像上，根据以上四个步骤直接就可以求出反比例函数的解析式y=-8/x；同样点B也在反比例函数的图像上，根据先前求出的解析式，求出点B的具体坐标为，进而求出一次函数的解析式。

图1问题：如图1：点B是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点B向x轴`y轴引垂线，若矩形ABCO的面积为8，求此函数的解析式y=mx。

分析：此题则需设点P的坐标为（x，y），则S=�xy�=�k�=8。

即k=8或k=-8由图象知，双曲线位于第四象限，可确定k<0。

实际上，求反比例函数的解析式常见的不外乎以上两种呈现方式：一种完全以代数的形式呈现，另一种则是与图象结合，设置此类题目是为了加深学生对函数图象的理解，加强数形结合思想的渗透。

四、加强反比例函数与正比例函数的对比在探究反比例函数的性质时，应结合正比例函数y=kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，使学生更好地理解和掌握反比例函数的知识：1.两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个x，都有一个常数k，且k≠0；不同点是自变量x在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式y=kx的右边是一个整式，常数k（k≠0）是自变量x的系数，而反比例函数的解析式y=kx的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，常数k（k≠0）处在分子的位置。

2.两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。

正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。

3.在常数k>0的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数k<0的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的y值增大（减小）。

4.当常数k的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。

当k>0时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当k<0时，两类函数的图象都分布在二、四象限。

5.当k1、k2异号或k1×k2<0时正比例函数和反比例函数的图象没有交点；当k1、k2同号或k1×k2>0时，正比例函数和反比例函数的图象有交点，且交点坐标的特点为：即设A（m，n），则B（-m，-n），A、B两点的坐标关于坐标原点成中心对称。

对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在活动探究过程中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢固。

五、学以致用，提高学生运用知识解决实际问题的能力“利用反比例函数解决实际问题”是学习反比例函数的最终目的。

它体现了从“具体到抽象再到具体”的认知规律，蕴含了从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，再用数学知识去解决实际问题的认知过程。

例：小华家离学校2000m，某天小华上学时，发现时间不多了，就加快了行车速度，①小华行车平均速度（v）与所用时间（t）有怎样的函数关系？②如果所剩时间为20分钟，那么小华的平均速度至少达到多少才能按时到校？③为了安全起见，小华的平均速度最快达到80m/min，她至少要用多长时间，才能安全到校？④画出函数的图象。

分析：本例中，出现了一个常量，两个变量：平均速度（v）随所用时间（t）的变化而怎样变化？是否为反比例函数关系？若是可用反比例函数的有关知识去解决问题吗。

②、③两问实际上就是函数的特殊情形，一是已知自变量，求函数值；一是已知函数值，求自变量。

④问中指导学生画图。

由于学生初次接触反比例函数的应用题，在画图象前，教师应做好引导工作，引导学生探究自变量的取值范围，这样就化解了教学的难点。

此时教师应强调：反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从（1）中已知v=2000t，k>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么有些同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢？教师要重点引导学生去探索因为这是实际问题，t不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在，因此在（1）中应该有条件限制（t>0）。

六、抓易错点，作针对性训练课本中练习的题目设计较少，建议在教学中多作针对反比例函数的定义、与反比例函数图象知识相关的题目的训练，让学生达到举一反三，熟能生巧的目的。

问题：已知反比例函数y=（m-1）xm2-3的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx-1（k≠0）自变量x的指数是-1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k<0，则m-1<0，不要忽视这个条件。

在教学中，让学生在深刻理解函数概念基础上，要抓住反比例函数概念（k≠0）的本质，自变量x的次数为-1。

以后将要学习的二次函数也有系数不等于零的条件，一定要引起学生的注意！问题：如图函数y=-ax+a与y=-ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）分析：对于此类题目，学生不知道a的具体数据，往往无从下笔，教师要引导学生运用分类的思想进行解题，当a<0时，则-a>0，一次函数过第一、三、四象限，反比例函数过第一、三象限，所以ABCD均不正确，按同样的方法让学生独立地探索出当a>0时正确答案为B。

问题：已知A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）是反比例函数y=-a2/x（a≠0）的图象上的点，比较y1，y2，y3的大小关系是。

分析：多数学生会这样解答：因为-a2<0，即k<0，所以y随x 的增大而增大。

又因为-2<-1<2，所以y1<y2<y3。

而反比例函数的增减性是“当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大”，可见增减性运用的前提是“在同一个象限内”，即只有在同一个象限内的点，才有此性质。

由于a，b，c不在同一个象限内，所以应根据图象分类讨论，而多数学生会忽略这一点。

求解过程：因为-m2<0，即k<0，所以双曲线在第二，四象限，在各象限内，y随x的增大而增大。

由于-2<-1<0，所以A（-2，y1），B（-1，y2）在第二象限内，故y2>y1>0；又2>0，所以C（2，y3）在第四象限，故y3<0。

所以y3<y1结论函数知识，是学生初中阶段的一个教学重点，更是学生学习的难点，需要我们在教学中充分调动学生的主动性、积极性，注重数形结合，努力提高学生利用函数图象解题的意识，将抽象的函数具体化，使函数不再是令学生头疼的难题，不断提高学生学好数学的热情，进而让学生对学好函数知识充满信心。