高中数学教学论文 函数的概念剖析

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函数的概念剖析

定义：一般地设A 、B 是两个非空数集，如果按照某一对应法则f ，对于A 中的每一个元

素x ，在B 中有唯一的元素y 与它对应，这样的对应叫做A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x

∈A ，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域。

刚接触这个概念学生对这个概念一无所知，而这个概念在教学中非常重要，怎样才能理解好

这个概念呢？

1、 从概念的关键词出发：（1）A 、B 是两个非空数集：这句话告诉学生A 、B 不仅是集合，

而且还是数集，且为非空数集，其它的任何集合都不行。并且举例说明，例：平面直角

坐标系上的点，与点的坐标是一一对应，它是不是函数？回答：不是函数。因为平面直

角坐标系上的点是点集，它不是数集。平面上直线y=x 上的点的横坐标与纵坐标的关系，

它是函数，因为横坐标与纵坐标是定义在数集上的数。再例如：电影院的位置与电影票

的票号是一一对应，位置是一种事物，不是数集，所以它不是函数；电影票上面的号码

与坐位上的号码是定义在数集上的，所以它是函数。

2、 对这句话的理解：对于A 中的每一个元素x ，在B 中有唯一y 值与它对应”,

这句话可用5个图来表示

这个图只要a 、b 、c 表示的是数，那么这个图反映的是一一对应，当然它是函数。因为它符合A 中的每一个值a 、b 、c ，在B 中有唯一的元素1、2、3与它对应，是函数。

A 中有两个或两个以上的元素对

B 中唯一的元素。符合定义中的“A 中的每一个B 中有唯一的元素和它对应”。这是多对一的一种

A 中的每一个元素在

B 中有唯一的值B 中可以有多余的元素，也符合“A B 中有唯一的元素和它对应”。这一定

这个图违背了函数定义中的“每个x 的值有唯一的y 值和它对应”因为在B 中有两个y 值和它对应。这是一对多的对应关系，所以它不是函数 A B A B A B A

B

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这个图也违反了函数定义中的“每个x 的值有唯一的y

值和它对应”，因为在集合A 中元素3找不到y 值和它

对应。所以它也不是函数。例如函数y=

3

1-x （x ∈R ）。当x=3时找不到函数值和它对应。所以y=31-x 在实数范围内不是函数。

练习：下列图象中哪些是函数哪些不是函数

x x

x （这不是函数，因为一

个x 的值对应二个y 的值）

（这也不是函数，因为

一个x 的值对应两个y 的值） 个x 的值对应二个y 的值） x x （这不是函数，因为一个x 的值对应二个y 的值。） （这是函数，因为这是一个y 的值对应二个x 的值，这是二次函数） （这是函数，因为一个y 的值对应无数个x 的值，这是正弦函数） （这是余弦函数，一个y 的值对应无数个x 的值，符合多对一） （这是函数，这个函数图象有多对一的对应关系，也有一一对应的关系） x （这个图象中既有一对多，也有多对一，不是函

数）