竞赛力学

T0 2
2H g
每球在手中停留时间介于0和2T0之间 每球运动周期介于T0和3T0之间：
2 2H T 6 2H
g
g
此即系统运动周期的范围.
(2) 设磅秤对人的平均作用力大小为N 则对人－球系统，有
[N (M 3m)g]T p 0 N (M 3m)g
人对磅秤的平均作用力大小：
N N (M 3m)g
此即磅秤的平均读数.
7. 如图，光滑水平面上有4个相同的匀质光 滑小球，其中球2、3、4静止，球1初速 度为v0. 设小球间将发生的碰撞都是弹性 的，则最后这4个球中停下的是 ，运动的球中速度最小值为.
3 v0
1
2
4
解：(1) 1碰2后，1静，2动(v0)
2碰3、4：
v v2
1
v
动量守恒：
mv0 mv2 2mvcos30 ①
f
(v)
mg
4 3
r3
g
代入数据，得
v2 0.178v 94.4 0 解得 v 9.6 (m / s)
4.如图，在倾角为的固定斜面上有一与斜面垂直的固定 光滑细棍，一条长为L、质量线密度为的匀质细绳平直 地放在斜面上. 细绳的上端绕过细棍连接一质量为m的小 球，小球几乎贴近细棍. 设绳、小球与斜面间的摩擦系数 同为(tan )/2，系统开始时处于静止状态. ⑴如果而后小 球能沿斜面下滑，试求小球质量m的可取值，并给出其下 限值m0. ⑵若小球质量为⑴问中的m0 ，小球因受扰动而 下滑，试求小球下滑距离x<L时的速度和加速度. ⑶接⑵ 问，再求小球从下滑距离L/2处到下滑距离L处所经历的 时间T .
v g sin x
2L
⑶ 由 dx g sin x
dt
2L
L L 2
dx x
g sin T
dt 2L 0
T 2L ln 2
g sin
5. 车厢以恒定速度行驶，车厢内有一单摆. 开始时单摆相对车厢静止，位置如图，而 后自由摆下，则摆球第一次到达最低位置 时相对地面的速率为 ，相对于 地面，在这一过程中摆线对小球所做总功 为.
x dx
t
dt
x x0
0
ln x t
x0 x x0e t
2. 如图所示，长L、质量M的匀质重梯的上 端A靠在光滑的竖直墙上，下端B落在水 平地面上，梯子与地面的夹角为60。一 个质量也为M的胖男子从B端缓慢爬梯， 到达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过 中点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地 面间的摩擦因数= 。令质量为 2M/3的瘦男子替换胖男子从B端缓慢爬梯 ，为使梯子不会滑动，他可到达的最高位 置与B端相距 。
Mg
0
NA fB NA NB 0
N
A
L
sin
60
Mg
L 2
cos
60
2 3
Mg
x
cos
60
0
3. 半径为r的小球在空气中下降速度为v时， 所受空气阻力为
f(v)=3.110 4 rv+0.87r2v2 (SI) 则半径为2mm的雨滴在降落过程中所能 达到的最大速度(即收尾速度)为m/s.
解：雨滴受重力和空气阻力作用，当两力平 衡时，雨滴速度最大，此时有
此即小球能下滑时其质量的可取范围.
下限： m0 3L
(2) 类似于(1)中的计算，下滑距离x时，有
1 2
(m0
x)
g
sin
3 2
(L
x)
g
sin
(m0
L)a
将
m0
3L代入，得
a
g sin
2L
x
由 dv g sin x
dt 2L
dv dx g sin xdx
dt
2L
v
g sin x
0 vdv 2L 0 xdx
机械能守恒：
1 2
mv02
1 2
mv22
2
1 2
mv2
②
由①②解得
v2
1 5
v0
v
23 5
v0
而后，2再与1碰，2静，1动(v0/5)，故 最后停下的是球2 .
(2) 运动的球中速度最小的是球1，速度 值为v0/5 .
8. 质量为M的质点固定不动，在其万有引力作用
下，质量为m的质点绕其作半径为R的圆周运 动，如图. 则在图中1处，m所受万有引力相对 P点的力矩大小为, m相对P点的角动量 大小为；在图中2处， m所受万有引力 相对P点的力矩大小为，m相对P点的角 动量大小为.
解：(1) 设小球下滑加速度大小为a
细棍处绳中张力大小为T
则对小球，有
mg
sin
(mg
cos
)
1 2
tan
T
百度文库
ma
即
1 2
mg
sin
T
ma
①
对细绳，有
T
Lg
sin
(
Lg
cos)
1 2
tan
La
即
T
3 2
Lg
sin
La
②
由①②得
1 2
mg
sin
3 2
Lg
sin
(m
L)a
令 a 0，得 m 3L
0 L
u
m
解：(1)车厢系中，摆球－地球系统机械能守 恒.
1 2
mvm2
mgL(1
cos0 )
vm 2gL(1 cos0 )
地面系中：
v u vm
u 2gL(1 cos0 )
(2)地面系中，对摆球－地球系统用功能 原理：
A
1 2
mv2
[
1 2
mu2
mgL(1
cos0 )]
mu 2gL(1 cos0 )
v
A NA
[说明] 静力平衡条件：
2Mgv v
60 NB
v
fB B
合力为零, 合力矩为零.
解：(1) NB 2Mg 0
NA fB NA NB 0
N
A
L
sin
60
2Mg
L 2
cos
60
0
解得
(2)
A
v NA
3
6
Mgv
2 3
Mgv
x
v
60 NB
v
fB B
解得 x L 2
NB
Mg
2 3
6. 质量为M的人站在磅秤上作抛球游戏，球 有三个，每个质量为m. 游戏中，左手接 球，递给右手，由右手将球抛出，左手接 球点与右手抛球点高度相同. 设每手至多 留有一球，小球抛出后升高均为H，每球 运动周期相同，空气阻力可略. 求：⑴系 统运动周期的可取范围；⑵磅秤的平均读 数.
解：
(1) 每球滞空时间均为
2
R 90 m
P
M
1
解：设m的速率为v，则有
m v2 R
GMm R2
v GM R
在1处，力矩： MP 0 角动量大小： LP mv 2R
2m GMR
在2处，力矩： M P
GMm R2 R
GMm R
角动量大小： LP mv R m GMR
9. 光滑水平面上有一内壁光
滑的固定圆环，三小球的 质量分别为m1、m2和m3， 初始时刻的位置和速度如 图所示. 而后，小球间发生 的碰撞为非弹性碰撞，那 么三小球最终都会停止运 动的条件是 ；从 初始状态到全部停止的过 程中，系统的动能、动量 和相对圆环中心的角动量 中不守恒的量为.