相交线与平行线之命题,定理,平移
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
数学平行线与相交线的性质及应用
数学平行线与相交线的性质及应用数学中的平行线和相交线是基本的几何概念，在许多数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。
本文将探讨平行线和相交线的性质及其应用，并以实例说明其在几何学和实际生活中的重要性。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线的性质如下：1. 平行线具有等角定理。
即当一条直线与两条平行线相交时，所成的对应角相等。
2. 平行线具有同位角定理。
即当两条平行线被一条截线所交时，同位角相等。
3. 平行线具有内错角定理。
即当两条平行线被一条截线所交时，内错角相等。
4. 平行线在横线和平行线间的交错角为互补角。
即交错角之和为180度。
二、相交线的性质相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
相交线的性质如下：1. 相交线具有垂直定理。
即当两条相交线的对应角均为直角时，这两条直线是垂直的。
2. 相交线具有对应角定理。
即当两条相交线的同位角相等时，这两条直线是平行的。
3. 相交线具有内错角定理。
即当两条相交线的内错角补角时，这两条直线是平行的。
三、平行线和相交线的应用1. 平行线和相交线在几何学中的应用。
平行线和相交线的性质广泛应用于几何证明和问题求解中，可以帮助我们推导出更多的结论和定理。
例如，通过对平行线的应用，我们可以证明平行线与三角形的边平分线相交时，会形成相似三角形。
这一定理在解决一些三角形问题时起着关键作用。
此外，平行线和相交线的性质还经常用于证明平行四边形的性质，例如平行四边形的对角线相等、平行四边形的对边平行等。
2. 平行线和相交线在实际应用中的重要性。
平行线和相交线的概念和性质不仅仅存在于数学领域，也广泛应用于现实生活中的各个领域。
例如，在建筑设计中，平行线与相交线的概念被用于设计平行的墙壁、楼板和天花板等，以保证建筑物结构的稳定性和外观的美观性。
此外，在地理测量和导航系统中，平行线和相交线的性质被用于计算地球表面上任意两点之间的最短距离和最佳路径。
总结：平行线和相交线是数学中基础的几何概念，其性质和应用在数学推理和实际问题中起着重要的作用。
平面几何中的相交线与平行线问题
平面几何中的相交线与平行线问题相交线与平行线问题是平面几何中一个重要的概念和研究领域。
在这篇文章中，我们将深入探讨相交线与平行线的定义、性质以及相关的定理和应用。
一、相交线与平行线的定义与性质相交线是指在平面上相交于一点的两条线段或直线。
而平行线则是指在平面上没有交点的两条线段或直线。
根据相交线与平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 相交线的交点是两条线段或直线共有的点，每条线段或直线上至少包含一个相交点。
2. 平行线没有交点，它们保持相互平行的方向和距离。
3. 相交线可以分为不同的情况，包括交叉相交、垂直相交和斜相交等。
二、相交线的定理与应用1. 垂直相交线定理：如果两条相交线互相垂直，则它们的交点形成的四个角都是直角。
应用：垂直相交线定理常被用于证明角的性质，求解垂线的长度等问题。
2. 对顶角定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的对顶角相等。
应用：对顶角定理常用于证明平行线相关的性质，如证明线段平分角等问题。
3. 逆定理：如果两条线段或直线的对内各角相等，则它们是平行线。
应用：逆定理可以用于证明线段或直线的平行性，是构造平行线的重要方法。
4. 直线平行定理：如果一条直线与两条平行线分别相交, 则这两条交线的对立内角相等。
应用：直线平行定理常用于证明平行线相关的性质，如证明角的相等性等问题。
5. 重复定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的內角是180度的倍数。
应用：重复定理可用于证明角的性质，判断线段或直线的平行性等问题。
三、平行线的定理与应用1. 外角定理：如果一条直线与另两条直线成相交状况，则这两条直线是平行线。
应用：外角定理是补充角定理的重要应用之一，常被用于证明平行线性质或解决平行线相关问题。
2. 内角定理：如果一条直线与两条平行线成相交状况，则这两条直线上的对内角是对顶角，相等。
应用：内角定理可以用于证明平行线的性质，如证明线段相等、角的相等性等问题。
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2：命题、定理、证明(1)课件
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
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知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
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1 2
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知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
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知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
第五章 相交线与平行线 平移与定理
平移、命题与定理【知识点1平移：】图形的平移必须具备两个基本条件，一是在同一个平面内；二是不发生旋转或转动。
【平移的性质：】（1）把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新的图形与原图形的形状与大小完全相同；（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
【典型例题】1.如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将ABC △向下平移4个单位，得到A B C '''△，请你画出A B C '''△（不要求写画法）．2．已知三角形ABC 和点D ，点A 平移到了点D ，作三角形ABC 平移后的图形。
D CB A3．已知：如图，在一条公路l 的两侧有A 、B 两个村庄.<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P ，同时修建车站P 到A 、B 两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P 的位置，(保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理． .<2>为方便机动车出行，A 村计划自己出资修建一条由本村直达公路l 的机动车专用道路，你能帮助A 村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理． .4.按要求作图：⑴ 已知点P 、Q 分别在∠AOB 的边OA ，OB 上（如图）.① 连接PQ ， 过点Q 作OA 的平行线 , 过点P 作OB 的平行线 ,相交于M ；AB CC BA ② 过点P 作OB 的垂线，垂足为G ，过点Q 作OA 的垂线，垂足为H ；填空：点P 到直线OB 的距离是-------------------------；③将△OPQ 平移，使点O 落在点M 处；（不写作法，但要保留作图痕迹）【巩固练习】平移、作图及相关计算1.将长度为8cm 的线段向南偏东方向平移了6cm ，所得线段的长度是_______2.将一个黑板擦在黑板上平移10cm ，下列说法中，错误的是（ ）A.四个顶点都平移了10cmB.平移后与平移前两者位置发生变化，所占面积未发生变化C.对应点的连线是互相平行的线段D.水平平移距离为10cm 。
《命题、定理、证明》相交线与平行线精品课件
相交线两端的点之间的距离叫做相交线的长度。相交线在数轴上的投影叫做相交 线的斜度。
相交线的判定方法
斜度法
通过测量两条直线的斜度是否相等来判断它们是否相交。
端点距离法
通过测量两条直线两端的点之间的距离是否相等来判断它们是否相交。
相交线在生活中的应用
建筑学
在建筑设计中，相交线被用来 确定点、线、面之间的位置关 系，以及建筑物的立体形状和
命题和定理都是数学中重要的 概念，它们之间有着密切的联
系。
许多重要的数学定理是由一系 列相关的命题组成的，这些命 题在证明过程中被逐步验证和
确认。
命题可以作为定理的中间步骤 或组成部分，而定理则是命题
的最终结论或推论。
02
相交线的性质与判定
相交线的定义与性质
相交线的定义
两条直线在同一平面内，如果它们不平行且不重合，那么这两条直线就叫做相交 线。
感谢您的观看
THANKS
增强学习兴趣
命题、定理、证明具有挑 战性和趣味性，可以增强 学生对数学的学习兴趣。
促进创新思维
命题、定理、证明鼓励学 生发挥创新思维，尝试解 决新的问题，推动数学的 发展。
命题、定理、证明在其他学科中的应用
自然科学
在物理学、化学、生物学 等自然科学中，命题、定 理、证明被广泛应用于建 立实验方法和理论框架。
命题、定理、证明在实际问题中的应用案例三
案例名称
设计一个高效、稳定的网络系统
应用定理解决问题
根据证明的定理，构建出符合要求
01
02
已知条件
网络系统的用途、用户数量、数据流 量等。
03
建立命题和定理
根据已知条件，设计出网络系统的架 构，并确定各部分的功能和连接方式 。
平行线和相交线的定义和判定
平行线和相交线的定义和判定平行线和相交线是几何学中的基础概念，它们在几何证明和问题解决中起到至关重要的作用。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及判定方法。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条线。
以下是关于平行线的几个重要性质：1. 平行线具有相同的斜率：两条平行线的斜率相等。
这意味着两条平行线在同一平面上具有相同的倾斜程度。
2. 平行线具有相同的方向：两条平行线的方向是相同的。
无论是向上还是向下移动，两条平行线的方向都是一致的。
3. 平行线之间的距离恒定：任意一条平行线与另外一条平行线之间的距离是相等的。
这是因为平行线在同一平面上始终保持相同的距离。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面中交叉的两条线。
以下是关于相交线的几个重要性质：1. 相交线具有交点：两条相交线会在某一点上相交，这个点被称为交点。
交点是两条线的唯一共同点。
2. 相交线的夹角：两条相交线可以形成不同的夹角，如锐角（小于90度）、直角（等于90度）以及钝角（大于90度）。
3. 相交线的垂直性：两条相交线如果相互垂直，则称其为垂直线。
垂直线之间的夹角为直角。
三、平行线和相交线的判定方法判定一个线是否与另一个线平行或相交是解决几何问题的关键。
以下是一些常见的判定方法：1. 平行线的判定：两条线的斜率相等且不相交，即可以判定它们为平行线。
2. 垂直线的判定：两条线的斜率互为倒数且不相交，即可以判定它们为垂直线。
3. 直线与直线的相交：两条直线的斜率不相等时，它们必相交于一个点。
4. 直线与曲线的相交：通过求解方程组来判断直线与曲线是否有交点。
总结：平行线和相交线是几何学中重要的概念。
对于平行线，其定义和性质包括具有相同的斜率、方向以及恒定的距离。
对于相交线，其定义和性质包括具有交点、不同的夹角以及垂直性。
对于判定线是否平行或相交，可以通过斜率、方程组等方法进行判断。
掌握这些定义和判定方法，有助于我们更好地理解和应用几何学知识。
平行线与相交线
平行线与相交线1. 引言在几何学中，平行线与相交线是基本概念，它们在直线几何中具有重要的作用和应用。
本文将详细介绍平行线与相交线的定义、性质以及相关的定理，通过例题展示其应用。
2. 平行线的定义与性质2.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的直线。
用符号"||"表示。
2.2 平行线的性质(1) 平行线具有传递性，即若直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
(2) 平行线具有对称性，即若直线L1与直线L2平行，则直线L2与直线L1也平行。
(3) 平行线与同一条直线交叉时，其内外的对应角相等。
(4) 平行线与同一平面上的直线交叉时，形成对应角相等的等角。
3. 相交线的定义与性质3.1 相交线的定义相交线是指在同一个平面上，交叉于一点的两条直线。
3.2 相交线的性质(1) 两条相交线形成的交点是唯一的。
(2) 两条相交线的垂直平分线通过交点，并且垂直平分线相互垂直。
(3) 两条相交线形成的交点两侧的对应角相等。
(4) 两条相交线形成的内角之和等于180度。
4. 平行线与相交线的关系4.1 平行线与相交线的特殊关系(1) 平行线与相交线形成的对应角相等。
(2) 平行线与相交线形成的内角，外角之和均为180度。
(3) 平行线与一个相交线的两组对应角互为补角。
4.2 平行线截断相交线的性质(1) 平行线截断相交线，对所截断的相交线上的任意两点，其间距与平行线上对应两点的间距相等。
(2) 平行线截断相交线后，所截线段互相平分。
5. 相关定理与应用5.1 同位角定理若两条平行线被一条横截线相交，则同位角相等。
5.2 平行线的判定定理若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行。
5.3 平行线的性质定理若一条直线与平行线相交，则生生四个对应角中，有两个角互为补角。
5.4 平行线的倾斜角定理若两条平行线被一条横截线相交，则被横截线所分段的两条平行线倾斜角相等。
初中数学平行线与相交线知识点汇总
初中数学平行线与相交线知识点汇总平行线与相交线是初中数学中的重要知识点，掌握了这些知识，可以帮助我们解决许多几何问题。
本文将对初中数学平行线与相交线的相关知识进行汇总。
首先，我们来说说平行线的概念。
在平面几何中，如果两条直线在同一个平面上，且它们没有交点，我们就称这两条直线是平行线。
平行线之间的距离始终相等，永远不会相交。
平行线的符号一般为“||”。
接下来，我们来了解一些关于平行线的性质。
首先是平行线的判定定理。
根据该定理，如果两条直线与一条直线相交，并且所成的相对内角或相对外角相等，那么这两条线就是平行线。
这个定理在实际问题中非常实用，可以通过观察角度的相等性来判断是否存在平行关系。
在平行线性质中，我们还有平行线的传递性。
也就是说，如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
利用这个性质，我们可以通过已知的平行线关系推导出新的平行线关系。
除了平行线，相交线也是几何中重要的概念。
相交线是指两条直线在同一平面内同时存在交点的现象。
直线之间的交点被称为交点。
相交线的符号一般为“∩”。
了解了相交线的概念后，我们接下来考虑一些与相交线相关的性质。
首先是相交线的判定定理。
根据该定理，如果两条直线的内锐角之和为180度，那么这两条直线是相交线。
只要我们知道两条直线的内锐角之和为180度，就可以判定它们是相交线。
在相交线性质中，还有一条重要的定理，叫做同位角定理。
这个定理指出，如果一条直线与两条平行线相交，那么所成的内错角和外错角相等。
同位角定理在证明几何问题时经常被使用，是解决几何问题的有力工具。
平行线与相交线知识点的运用广泛。
在三角形中，比如我们需要证明两条边平行，我们可以通过找出一条辅助线，并观察角度关系来实现目标。
在求解相似三角形的问题时，我们也经常需要利用平行线与相交线的性质进行推导。
除了在几何中的应用，平行线与相交线的知识在实际生活中也有很多应用。
比如在建筑设计中，我们需要保证墙壁、地板等元素的平行与垂直关系，从而保证建筑的稳定性和美观性。
人教版七年级下册数学第5章 相交线与平行线 命题、定理、证明
解：不是真命题．如图 所示，直线a与b不平行， 直线c与直线a，b分别 相交，∠1与∠2是同位 角，但∠1≠∠2.
感悟新知
3. 下列说法错误的是( C ) A．命题不一定是定理，定理一定是命题
知3－练
B．定理不可能是假命题
感悟新知
知识点 3 定理与证明(举反例)
知3－讲
1．定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理． 2．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经 过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
感悟新知
例4 如图，已知直线b//c，a⊥b.求证a⊥c.
证明：∵a⊥b (已知)， ∴∠1=90° (垂直的定义). 又b//c(已知)， ∴∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴∠2=∠1=90° (等量代换). ∴a⊥c (垂直的定义).
解： (1)题设：两个角互为补角；结论：这两个角相 等．假命题． (2)题设：a＝b；结论：a＋c＝b＋c.真命题． (3)题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个 长方形的面积相等．假命题．
感悟新知
归纳
知2－讲
判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命 题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假 命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题 的题设，不满足命题的结论．
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
第五章相交线与平行线
5.3平行线的性质
第3课时命题、定理、 证明
学习目标
1 课时讲解
命题的定义及结构 命题的分类 定理与证明(举反例)
2 课时流程
逐导入
请阅读以下几句话： （1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民 共和国公民. （2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. （3）无限不循环小数称为无理数. （4）今天要下雨. （5）我们要充满梦想，执着地飞翔.
相交与平行知识点总结
相交与平行知识点总结概念及性质：1.相交线：在同一个平面上，两条不同的直线有一个公共点，称为相交。
2.平行线：在同一个平面上，两条直线没有公共点且永远不会相交，称为平行线。
3.相交线性质：- 相交线的交点只有一个。
- 相交线的两条直线不能相互平行。
- 相交线肯定可以在某一个点之前都是不相交的。
4.平行线性质：- 平行线在同一个平面上永远不会相交。
- 平行线的斜率相等。
- 平行线的两条直线在空间中平行于同一平面的任意一条直线。
性质定理：1.垂直平行定理：若两线分别与一直线垂直，则这两线平行。
2.平行线定理：若两线与一直线平行，则这两线互相平行。
3.平行截线定理：若两直线分别与同一直线相交，则这两直线互相平行。
4.对称定理：若两条直线分别在同一条直线的两侧且共有一角对称，且其余两角皆为对应角，那么这两条直线平行。
5.同位角定理：若两直线同时在两直线的另一边刚好便成对应角，则这两对角相等。
6.交错对顶角定理：若一对交错对顶角相等，则所属两条直线平行。
7.内错角定理：若内错角补角相等，则两平行线间某直线平行于另一直线。
8.充要定理：两直线平行的充要条件是，这两直线上有任一对应角相等。
9.射影定理：两平行线上的一点到这两直线的距离相等。
10.三角形内角定理：三角形的内角之和等于180°。
如平行有三直线，若两直线平行，则与这两直线相交的第三直线的两边，不等的两个内角相加成180°。
11.直角三角形：若一直角三角形中两边平行，则直角边中和直角绕点的两边左右两边相等。
这些知识点总结了平行与相交的基本概念、性质定理和相关定理，对于理解几何知识和解决问题都具有重要的指导作用。
通过学习和掌握这些知识点，可以更好的理解平行与相交线在几何图形中的作用和应用。
《相交线与平行线》的所有概念、公理和定理
《相交线与平行线》的所有概念、公理和定理Concepts, Axioms, and Theorems of "Intersecting Lines and Parallel Lines"In the study of Euclidean geometry, the concepts, axioms, and theorems related to intersecting lines and parallel lines play a crucial role. These concepts help us understand the properties and relationships between lines in a plane. Let's explore these ideas in detail.1. Line: In geometry, a line is an infinite straight path with no width or thickness. It extends indefinitely in both directions. A line can be defined by any two distinct points on it.1. 线：在几何学中，线是一个没有宽度和厚度的无限直线路径。
它在两个方向上无限延伸。
线可以由其上的任意两个不同点来定义。
2. Intersecting Lines: Two lines are said to intersect if they have exactly one point in common. This point ofintersection is the solution when their equations are simultaneously satisfied.2. 相交线：如果两条线有且只有一个公共点，则称它们相交。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线和相交线是几何学中的重要概念，它们在平面几何中具有不同的性质和应用。
本文将详细介绍平行线和相交线的定义、性质及相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一平面上，永不相交的两条直线。
平行线之间的距离保持恒定，且始终保持平行的方向。
以下是平行线的一些性质：1. 平行线具有传递性。
如果直线A与直线B平行，直线B与直线C 平行，则直线A与直线C也平行。
2. 平行线具有对应角相等的性质。
当两条平行线与一条相交线相交时，每对对应角都相等。
3. 平行线具有同位角相等的性质。
当两条平行线被一条相交线截断时，同位角是相等的。
4. 平行线与平行线之间的夹角对应的角度相等。
即对应角相等的两组角。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一平面上交叉的两条直线。
相交线之间有一个交点，且交点不在直线上。
以下是相交线的一些性质：1. 相交线的交点所对应的角称为相交角。
对于相交线上的相邻角，它们的和为180度。
2. 相交线上的对顶角是相等的。
对顶角是指由两组相交线形成的四个角中，互相不相邻的角。
3. 相交线可以划分平面上的图形，形成不同的区域。
这些区域具有不同的性质和特点，我们可以利用这些性质来解决几何问题。
三、平行线与相交线的常用定理在分析平行线和相交线的性质时，我们常用到一些重要的定理。
以下是一些常用的定理：1. 直角定理：如果两条直线与第三条直线分别成直角，那么这两条直线是平行的。
2. 垂直定理：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
3. 同位角定理：当两条平行线被一条相交线截断时，同位角是相等的。
4. 内错角定理：当两条平行线被一条相交线截取时，内错角互补。
5. 外错角定理：当两条平行线被一条相交线截取时，外错角互补。
这些定理为我们解决平行线与相交线相关的问题提供了有力的工具。
四、应用举例1. 三角形内角和问题：可以利用平行线与相交线的性质求解三角形内角和问题，通过划分平面图形，运用相关定理进行推导计算。
(完整版)相交线与平行线最全知识点
一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周）章节内容课时第五章 相交线与平行线145.1 相交线35.2 平行线及其判定 35.3 平行线的性质 45.4 平移2单元小结2二、本章有四个数学基本事实1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；4.两直线平行，同位角相等. 三、本章共有19个概念1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题17.定理18.证明19.平移四、转化的数学思想遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14五、平移1.找规律2.转化求面积3.作图（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm ，其一个内角为60°．（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；【解】（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】第19题图相交线与平行线知识点5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.1243AB C DO4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆.如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长.PO 是垂线段.PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.5.2平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥a b a .b 2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵∥，∥b a c a ∴∥b cPA BOab 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图，直线被直线所截b a ,l ①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，l b a ,叫做同位角（位置相同） ②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在l b a ,内且交错） ③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.l b a , ④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型.6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全. 例如： 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD ；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8. 我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.abl1234567816B A D 2345789FEC A BF 21ABC17ABCD26ADBF1AF58C注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7、两直线平行的判定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： ⑴不相交的两条直线必定平行线. ⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. ⑵正确 ⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴由∠2＝∠B 可判定AB ∥DE ，根据是同位角相等，两直线平行；A BC DEF 1234⑵由∠1＝∠D 可判定AC ∥DF ，根据是内错角相等，两直线平行；⑶由∠ACF ＋∠F ＝180°可判定AC ∥DF ，根据同旁内角互补，两直线平行.5.3平行线的性质1、平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 几何符号语言： ∵AB ∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离 如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离.注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离.3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系A BC DEF 1234A EGBC FHDn 两直线平行 内错角相等； 两直线平行 同旁内角互补.其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.典型例题：已知∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C 证明：∵∠1＝∠B （已知） ∴DE ∥BC （同位角相等， 两直线平行） ∴∠2＝∠C （两直线平行 同位角相等）注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了.典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65° 求∠2、∠3的度数解答：∵DE ∥BC （已知） ∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥DF （已知） ∴AB∥DF （已知） ∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同. ②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征： ①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化. ②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.典型例题：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF ，那么：⑴点A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿.⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F ；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑸线段BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A 的对应角是＿＿＿＿＿＿. ⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.AD FBE C123解答： ⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使生了解在平面不重合的直相交平行的位置系，究了直相交的形成的角的学内两条线与两种关研两条线时特征，直互相垂直所具有的特性，直平行的期共存件和所有的特征以及有形平移的两条线两条线长条它关图变换性，利用平移一些美的案质设计优图.。
重点：垂和的性线它质,平行的判定方法和的性，平移和的性，线它质它质以及些的用这组织运.5.1相交线1、邻补角与对顶角直相交所成的四角中存在几不同系的角，的念及性如下表：两线个种关它们概质形图点顶的系边关大小系关角对顶∠1∠与2有公共点顶∠1的两边与∠2的互两边为反向延长线角相等对顶即∠1=∠2角邻补 ∠3∠与4有公共点顶∠3∠与4有一公共，另一条边互反向延边为长。
线∠3+∠4=180°注意点：⑴角是成出的，角是具有特殊位置系的角；对顶对现对顶关两个⑵如果∠α∠与β是角，那一定有∠对顶么α=∠β；反之如果∠α=∠β，那∠么α∠与β不一定是角对顶⑶如果∠α∠与β互角，一定有∠为邻补则α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，∠则α∠与β不一定是角邻补。
⑶直相交形成的四角中，每一角的角有，而角只有一。
两线个个邻补两个对顶个2、垂线⑴定，直相交所成的四角中，有一角是直角，就直互相垂直，其中的一直叫做义当两条线个个时说这两条线条线另一直的垂，的交点叫做垂足。
条线线它们符言作：号语记 第1页共7页1243A BCDO如所示：图AB⊥CD ，垂足为O⑵垂性线质1：一点有且只有一直已知直垂直 过条线与线(平行公理相比与较记)⑶垂性线质2：接直外一点直上各点的所有段中，垂段最短。
：垂段最短。
连线与线线线简称线3、垂线的画法：⑴直上一点已知直的垂；⑵直外一点已知直的垂。
过线画线线过线画线线注意：①一段或射的垂，就是所在直的垂；②一点作段的垂，垂足可在段上，也画条线线线画它们线线过线线线可以在段的延上。
线长线法：⑴一靠：用三角尺一直角靠在已知直上，⑵二移：移三角尺使一点落在的另一直角上，⑶画条边线动它边边三：沿着直角，不要成人的印象是段的。
相交线与平行线知识点大全
相交线与平行线知识点大全一、基础概念1.相交线：当两条线在空间中有一个交点时，我们称它们为相交线。
2.平行线：当两条线在空间中没有任何交点时，我们称它们为平行线。
3.直线：无限延伸的一维物体。
二、相交线的性质1.两条相交线的交点只有一个。
2.相交线的交点与每条线上的点都是共线的。
3.直线与平面的交点是一个点或直线。
三、平行线的性质1.平行线的斜率相等。
2.平行线之间的距离是始终相等的。
3.平行线在任意一点上的两个角相等。
4.如果两条线与一条平行线的交点的两个内角相等，则这两条线平行。
四、判断相交线与平行线的方法1.观察交线的边长关系：如果两条线段相等，则这两条线段平行。
2.观察角度关系：如果两个角的对角线相等且一个角是直角，则这两条线段平行。
3.观察线段的斜率关系：如果两条线段的斜率相等，则这两条线段平行。
4.观察线段的方程：如果两条线段的方程满足平行线的定义，则这两条线段平行。
五、平行线的判定定理1.垂直平行线定理：如果一条线段与两条平行线相交，且这两条交线是垂直的，则这两条平行线是垂直平行线。
2.异面直线平行定理：如果两条异面直线有一条平行于每条还是的直线，则这两条直线平行。
3.平行线的等价定理：如果两条直线与一条平行线平行，则这两条直线平行。
六、平行线的性质定理1.平行线的平移定理：平行线的平移仍为平行线。
2.平行线的垂直定理：平行线与同一平面内的垂直线垂直。
七、平行线与角的关系1.平行线对应角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么对应的内角和对应的外角是互补的。
2.平行线夹角定理：如果两条平行线被一条截断，那么所截断的两条线上的对应角相等。
3.平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么内角的和是180度。
以上是关于相交线与平行线的知识点的详细介绍，相交线与平行线是基础几何概念，掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用直线之间的关系。
相交线与平行线最全知识点
相交线与平行线最全知识点1.平行线的定义：在平面上，如果两条直线在平面内没有交点，那么它们就是平行线。
记作AB，CD。
2.平行线性质：-平行线朝向差：平行线的两个方向向量相等。
-平行线对应角相等：如果两条平行线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-平行线的内错性：如果一条直线与一对平行线相交，那么对这两条平行线上的任意一点A及其在第一条直线上的任意一点B，有AB，CD。
-平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
3.相交线的定义：在平面上，如果两条直线的方向向量不相等，那么它们就是相交线。
4.相交线性质：-相交线对应角相等：如果两条相交线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-相交线的交点：两条相交线的交点是它们的唯一交点。
-相交线的截距恒等：如果两条相交线与同一直线相交，那么它们在这条直线上的截距相等。
5.平行线与垂直线：-平行线与垂直线的性质：平行线与同一直线的垂线垂直；平行线的两个垂线方向向量相等。
-平行线的判定：如果两条直线的垂直方向向量相等，那么它们是平行线。
-直线倾斜角度和斜率：平行线的倾斜角度相等，斜率（如果存在）相等；垂直线的倾斜角度之和为90度，其中一个倾斜角度为负倾斜角度的倒数。
6.平行线的判定：-两条直线判定法：如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们是平行线。
-点斜式判定法：如果一条直线的斜率k和一点在直线上，那么直线的方程为y-y1=k(x-x1)；如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么它们是平行线。
- 截距式判定法：如果一条直线的方程为y = kx + b，那么它与直线y = kx + b1平行当且仅当b = b17.平行线的应用：-常见图形的平行线特性：矩形的对边平行，对角线相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。
-平行线在解题中的应用：根据平行线的性质，可以解决一些几何问题，如求证两条线段平行、证明一个四边形是平行四边形等。
《相交线与平行线——命题、定理、证明》数学教学PPT课件(6篇)
二 真命题与假命题
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除” 命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
特别规定： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
练一练
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示. （1）同旁内角互补（ × ） （2）一个角的补角大于这个角（ × ） （3）相等的两个角是对顶角（ × ）
命题、定理、证明
教学目标 了解命题的概念以及命题的构成 ( 如果……那么……的形式 ) ． 知道什么是真命题和假命题． 理解什么是定理和证明． 知道如何判断一个命题的真假．
教学重点 对命题结构的认识． 理解证明要步步有据．
教学难点 表述推理过程．
比较两组语句的区别
A组
1．对顶角相等； 2．两直线平行，同位角相等； 3．玫瑰花是动物； 4．若a²＝b²，则 a＝b．
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行； （5）两点确定一条直线．
真命题
假命题 假命题 真命题
真命题
练习
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；（ 是 ） 真命题 2、内错角相等；（ 是 ）假命题 3、画一条直线；（ 否 ） 4、四边形是正方形；（ 是 ）假命题 5、你的作业做完了吗？（ 否 ） 6、同位角相等，两直线平行；（ 是 ） 真命题 7、对顶角相等；（ 是 ）真命题 8、同垂直于一直线的两直线平行；（ 是 ）假命题 9、过点P画线段MN的垂线；（ 否 ） 10、x＞2.（ 否 ）
例题
判断下列语句是否是命题：
1．相等的角是对顶角；(是 ) 2．画一条线段等于已知线段；(否 ) 3．两直线平行，内错角相等；(是 ) 4．如果两角之和是 90°，那么这两角互余 (是 ) 5．点 P 在直线 AB 外；(否 ) 6．玫瑰花是动物；( 是 ) 7．若 a³＝8，求 a 的值；(否 ) 8．若 a²＝b²，则 a＝±b．( 是 )
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命题、定理、推论、平移
【教学目标】
1、了解命题，定理，推论
2、理解平移，以及平移的特点
【教学重点与难点】
重点：平移的特点
难点：非单方向的平移
【教学方法】
以问题为导向给学生提供思考的空间，引导学生积极思考。
使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主思考的学习过程，引到学生在学习思考中形成自己的观点。
【教学过程】
一、复习前文
1、复习平行线的判定1、
2、3
2、复习平行线的性质1、2、3
3、讲解习题
二、承前启后，引入新课概念
1、由平行线的判定1.同位角相等，两直线平行。
得出
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知事项推出的事项。
题设成立，结论一定成立的命题叫真命题
题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫假命题
一些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程叫做证明
2、回顾证明平行线的判定1的画图方法，我们观察三角板ABC和A1B1C1的位置和大小？
得出：
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同
新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
图形的这种移动叫平移（平移并不限于水平的）
三、初步应用
1、下列语句中，是命题的是（）
①对顶角相等，②若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2，③若|x|=1，则x=1，④
同一平面内两条直线的位置关系不是相交就是平行，⑤垂线段最短
四、.反思总结
1．本节课你学习了什么?
（本节主要学习什么是命题，什么是定理和。
以及命题的推论过程叫证明）
2、图形的简单平移
五、布置作业
1、命题的题设是事项，结论是由事项推出的事项。
2、对于下列的假命题，各举一个反例
（1）如果ac=bc,那么a=b 是一个假命题
反例：
（2）两个锐角之和是钝角。
反例：
3、判断下列语句是不是命题？
（1）两直线相交，只有一个交点
（2）对顶角相等
（3）两点之间，线段最短
（4）角平分线是一条射线
4、如图：在直角三角形Rt△ACB中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D。
求证：∠BCD=∠A.
5.填空题
（1）将点P(3，-2)向左平移3个单位得到点P’，则点P’的坐标为( ) 。
（2）线段CD是由线段AB平移得到的,点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，–1）的对应点D的坐标为（）。