高中数学第2轮总复习 专题6 第5课时 轨迹问题课件 文
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专题六
解析几何
第5课时 轨迹问题
精选ppt
1． 轨 迹 定 义 ： 轨 迹 是 符 合 一 定 条 件 的 动 点 所 形 成 的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成 的集合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2． 求 轨 迹 的 一 般 步 骤
1建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 出 轨 迹 上 任 一 点
2
y0
1 2
，
即
x
0
y 0
2x 1 2y 1
2
.
2
又 点 P在 椭 圆 上 ， 将 点 P的 坐 标
代 入 椭 圆 方 程 ， 得 2 x 12 (2y 1 )2 1，
4
2
即 (x 1 )2 4( y 1 )2 1为 所 求 点 M 的 轨 迹 方 程 ．
2
4
精选ppt
【思维启迪】本题主要考查椭圆的标准方程及几何 性质、中点坐标公式，考查“代入法”求点的轨迹的 基本方法及转化的数学思想．利用“代入法”求 点的轨迹方程的关键是用从动点的坐标x、y来表示 主动点的坐标x0、y0，其表示的途径主要有：①利 用定比分点坐标公式；②利用向量相等等有关知 识；③利用圆锥曲线的定义；④利用对称知识．
则 x1
x2
4k 2 ，② k2 1
y1 y2 k x1 x2 4
k
(
4k 2 k2
1
4)
k
4
2
k
1
.③
精选ppt
由①②③得x
Baidu Nhomakorabea
2
k42k21，④y
4k ，⑤ k2 1
由④⑤消去参数k，
得x2 y2 4.当AB与x轴垂直时，x1 x2 2，
即 d1 d2 4 4d1d2 sin 2 2(常数)＜2，
即 PA PB || 2 1 (常数)＜ AB 2，
故点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长 2a 2 1
的双曲线，所以a 1 ，c 1，则b2 1 a 2 .
故所求轨迹C的方程为：x2 y2 1.
1
精选ppt
的 坐 标 - 解 析 法 (坐 标 法 )．
2寻 求 动 点 与 已 知 点 满 足 的 关 系 式 几 何 关 系 ． 3将 动 点 与 已 知 点 坐 标 代 入 几 何 关 系 代 数 化 ． 4化 简 整 理 方 程 简 化 ． 5 证 明 所 得 方 程 为 所 求 的 轨 精选ppt迹 方 程 完 成 其 充 要 性 ．
精选ppt
变试题设动点P到点A1,0和B1,0的距离
分别为d1和d2，APB2，且存在常数 (0＜＜1)，使得d1d2sin2.证明：动点P的轨
迹C为双曲线，并求出C的方程．
精选ppt
解 析 ： 在 P A B中 ，A B
2，2 2
d
2 1
d
5 2
2d1d 2 cos 2，
则4 d1 d2 2 4d1d2 sin2 ，
CB (x2 1，y2 )，CO 1, 0．
由CM CA CB CO，
得
x
y
1 y1
x1 y2
x2
3，
即
x1 y1
x2 y2
x y
2 .①
精选ppt
当直线AB不与x轴垂直时，
设直线AB的方程是y k x 2 (k 1)，
代入x2 y2 2，有 1 k 2 x2 4k 2 x 4k 2 2 0，
精选ppt
变试题已知双曲线x2y2 2的右焦点为F，过点 F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标
是1,0，若动点M满足CMCACBCO(其中O
为坐标原点)，则点M的轨迹方程为______．
精选ppt
解析：设M ( x，y)，A( x1，y1 )，B( x2，y2 )， 则CM (x 1，y)，CA (x1 1，y1 )，
解析：设点P(x，y)，则Q(1，y)． 由QPQFFPFQ，
得x1,0(2， y)(x1，y)(2，y)，
化简y2 4x.所以动点P的轨迹C的方程为y2 4x.
精选ppt
【思维启迪】本题主要考查平面向量的坐标 运算、数量积运算﹑抛物线的基础知识， 考查利用“直接法”求点的轨迹方程最基 本的方法．
3．求轨迹方程应注意的问题
1求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，
以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系， 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的 限制，否则使方程产生增根．
2要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同
的概念．
精选ppt
考点1 直接法与定义法求轨迹
例 1： 如 图 ， 已 知 点 F1,0， 直 线 l： x1， P为 平 面
上 的 动 点 ， 过 P作 直 线 l的 垂 线 ， 垂 足 为 Q ， 且 QPQF FPFQ ， 则 动 点 P的 轨 迹 C的 方 程 为 ________．
精选ppt
4
分 析 ： 设 P (x， y)， 因 为 Q PQ FF PF Q 是 本 题 条 件 中 最 关 键 的 一 个 条 件 等 式 ， 所 以 只 须 用 P 点 的 坐 标 及 已 知 条 件 将 此 等 式 转 化 为 代 数 等 式 即 可 得 到 结 论 ．
因 为 左 焦 点 为 F ( 3，0 )， 所 以 c 3 . 由 a 2 b 2 c 2， 得 b 1 ， 故 椭 圆 方 程 为 x 2 y 2 1.
4 精选ppt
2令
M
( x，
y )，
与
之
相
应
的
动
点
P
为
(
x
，
0
y 0 )．
因 为 M 为 P A的 中 点 ，
所
以
x
y
x0 1
考点2 代入法与参数法求轨迹
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心
在原点，左焦点F (，0)，右顶点D 2,0，设
点A(1，1 )． 2
1 求该椭圆的标准方程； 2 若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M 的
轨迹方程．
精选ppt
分 析 ： 第 1小 题 直 接 应 用 焦 点 坐 标 及 顶 点 坐 标 即 可 求 得 a、 b； 第 2小 题 属 于 主 动 点
与 从 动 点 的 轨 迹 问 题 ， 利 用 代 入 法 即 可 解 决 ．
精选ppt
解 析 ： 1 由 于 椭 圆 的 中 心 在 O 0 , 0 ，
焦 点 在 x轴 上 ， 则 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x 2 y 2 1.
a2 b2
由 于 右 顶 点 为 D 2,0 ， 则 a 2.
解析几何
第5课时 轨迹问题
精选ppt
1． 轨 迹 定 义 ： 轨 迹 是 符 合 一 定 条 件 的 动 点 所 形 成 的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成 的集合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2． 求 轨 迹 的 一 般 步 骤
1建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 出 轨 迹 上 任 一 点
2
y0
1 2
，
即
x
0
y 0
2x 1 2y 1
2
.
2
又 点 P在 椭 圆 上 ， 将 点 P的 坐 标
代 入 椭 圆 方 程 ， 得 2 x 12 (2y 1 )2 1，
4
2
即 (x 1 )2 4( y 1 )2 1为 所 求 点 M 的 轨 迹 方 程 ．
2
4
精选ppt
【思维启迪】本题主要考查椭圆的标准方程及几何 性质、中点坐标公式，考查“代入法”求点的轨迹的 基本方法及转化的数学思想．利用“代入法”求 点的轨迹方程的关键是用从动点的坐标x、y来表示 主动点的坐标x0、y0，其表示的途径主要有：①利 用定比分点坐标公式；②利用向量相等等有关知 识；③利用圆锥曲线的定义；④利用对称知识．
则 x1
x2
4k 2 ，② k2 1
y1 y2 k x1 x2 4
k
(
4k 2 k2
1
4)
k
4
2
k
1
.③
精选ppt
由①②③得x
Baidu Nhomakorabea
2
k42k21，④y
4k ，⑤ k2 1
由④⑤消去参数k，
得x2 y2 4.当AB与x轴垂直时，x1 x2 2，
即 d1 d2 4 4d1d2 sin 2 2(常数)＜2，
即 PA PB || 2 1 (常数)＜ AB 2，
故点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长 2a 2 1
的双曲线，所以a 1 ，c 1，则b2 1 a 2 .
故所求轨迹C的方程为：x2 y2 1.
1
精选ppt
的 坐 标 - 解 析 法 (坐 标 法 )．
2寻 求 动 点 与 已 知 点 满 足 的 关 系 式 几 何 关 系 ． 3将 动 点 与 已 知 点 坐 标 代 入 几 何 关 系 代 数 化 ． 4化 简 整 理 方 程 简 化 ． 5 证 明 所 得 方 程 为 所 求 的 轨 精选ppt迹 方 程 完 成 其 充 要 性 ．
精选ppt
变试题设动点P到点A1,0和B1,0的距离
分别为d1和d2，APB2，且存在常数 (0＜＜1)，使得d1d2sin2.证明：动点P的轨
迹C为双曲线，并求出C的方程．
精选ppt
解 析 ： 在 P A B中 ，A B
2，2 2
d
2 1
d
5 2
2d1d 2 cos 2，
则4 d1 d2 2 4d1d2 sin2 ，
CB (x2 1，y2 )，CO 1, 0．
由CM CA CB CO，
得
x
y
1 y1
x1 y2
x2
3，
即
x1 y1
x2 y2
x y
2 .①
精选ppt
当直线AB不与x轴垂直时，
设直线AB的方程是y k x 2 (k 1)，
代入x2 y2 2，有 1 k 2 x2 4k 2 x 4k 2 2 0，
精选ppt
变试题已知双曲线x2y2 2的右焦点为F，过点 F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标
是1,0，若动点M满足CMCACBCO(其中O
为坐标原点)，则点M的轨迹方程为______．
精选ppt
解析：设M ( x，y)，A( x1，y1 )，B( x2，y2 )， 则CM (x 1，y)，CA (x1 1，y1 )，
解析：设点P(x，y)，则Q(1，y)． 由QPQFFPFQ，
得x1,0(2， y)(x1，y)(2，y)，
化简y2 4x.所以动点P的轨迹C的方程为y2 4x.
精选ppt
【思维启迪】本题主要考查平面向量的坐标 运算、数量积运算﹑抛物线的基础知识， 考查利用“直接法”求点的轨迹方程最基 本的方法．
3．求轨迹方程应注意的问题
1求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，
以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系， 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的 限制，否则使方程产生增根．
2要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同
的概念．
精选ppt
考点1 直接法与定义法求轨迹
例 1： 如 图 ， 已 知 点 F1,0， 直 线 l： x1， P为 平 面
上 的 动 点 ， 过 P作 直 线 l的 垂 线 ， 垂 足 为 Q ， 且 QPQF FPFQ ， 则 动 点 P的 轨 迹 C的 方 程 为 ________．
精选ppt
4
分 析 ： 设 P (x， y)， 因 为 Q PQ FF PF Q 是 本 题 条 件 中 最 关 键 的 一 个 条 件 等 式 ， 所 以 只 须 用 P 点 的 坐 标 及 已 知 条 件 将 此 等 式 转 化 为 代 数 等 式 即 可 得 到 结 论 ．
因 为 左 焦 点 为 F ( 3，0 )， 所 以 c 3 . 由 a 2 b 2 c 2， 得 b 1 ， 故 椭 圆 方 程 为 x 2 y 2 1.
4 精选ppt
2令
M
( x，
y )，
与
之
相
应
的
动
点
P
为
(
x
，
0
y 0 )．
因 为 M 为 P A的 中 点 ，
所
以
x
y
x0 1
考点2 代入法与参数法求轨迹
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心
在原点，左焦点F (，0)，右顶点D 2,0，设
点A(1，1 )． 2
1 求该椭圆的标准方程； 2 若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M 的
轨迹方程．
精选ppt
分 析 ： 第 1小 题 直 接 应 用 焦 点 坐 标 及 顶 点 坐 标 即 可 求 得 a、 b； 第 2小 题 属 于 主 动 点
与 从 动 点 的 轨 迹 问 题 ， 利 用 代 入 法 即 可 解 决 ．
精选ppt
解 析 ： 1 由 于 椭 圆 的 中 心 在 O 0 , 0 ，
焦 点 在 x轴 上 ， 则 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x 2 y 2 1.
a2 b2
由 于 右 顶 点 为 D 2,0 ， 则 a 2.