江苏省南京市江宁高级中学2020届高三数学周周练(3)

高三数学周周练（3）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题

．．卡．相应位置

．．．．上．．

1.在复平面内，复数

2

1

i

i

-

+

对应的点位于第四象限.

2. 命题“若1

x>，则0

x>”的否命题是若1

x≤，则0

x≤ ;

3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .

4.在区间)

2

,

2

(

π

π

-上随机取一个实数x，使得

2

1

x

cos>成立的概率为

3

2

；

5. 向量,的夹角为120°，|

5|

,3

|

|,1

|

|b

a

b

a-

=

=则= 7 ．

6. 执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 720 .

7. 过双曲线)0

,0

(

1

2

2

2

2

>

>

=

-b

a

b

y

a

x

的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若ME

FM2

=，则该双曲线离心率为 3 ;

8.计算123

23n

n n n n

C C C nC

++++

L，可以采用以下方法：k s*5u

（第3题图）

11

（第6题图）

11

构造恒等式0122(1)n n

n n n n n C C x C x C x x ++++=+L ，两边对x 求导，得

12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+L ，在上式中令1x =，得

1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．

类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C ++++=L 2

2

)1(-+n n n ．

9. 若函数12sin y x =（[0,2)x π∈）在P 处的切线平行于函数2(1)3

x

y =+在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为

3

8

10. 已知)2,0(,1010)4cos(π∈θ=π+

θ，则)4

2sin(π-θ的值为 102 ； 11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC

，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为

23，则这个球的表面积为 4

； 12. 已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*

n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都

成立，则1110a a -= 1024

13. 已知，点)

,(y x P

的坐标满足0200

y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩

，则223y x y x ++的取值范围为

)3,3[- ．

14.已知函数)M a 0(1ax x )x (f 02

3≤≤--=存在整数零点的a 恰有3个，则0M 的取

值范围是 )16

63

,926[

。 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为

a ，

b ，

c ，且,sin 2sin .a b A A B ≥+= （1）求角C 的大小；

（2）求

a b

c

+的最大值． 15.解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π

3

)＝sin B ．

因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，

所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π

3

．

（2）由正弦定理及（Ⅰ）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23

[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π

6)． 当A ＝ π

3时，a ＋b c 取最大值2．

16. （本小题满分14分）

在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为

PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．

（1）求证：PC ⊥AE ；

（2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ． 解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴

BC AC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则

∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． （1分）

∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，

∴EF PC ⊥． (3分) ∴PC AEF ⊥平面． (4分)

∴PC ⊥AE ． （5分）

（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则 EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，

∴EM ∥平面PAB ． （7分） 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． （9分）

∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． （10分） 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． P A

D

B

C

E P

A D B

C

E F M