整数拆分奥数综合解析
高斯小学奥数含答案二年级(下)第15讲 整数分拆综合
第十五讲 整数分拆综合前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．好想吃啊！ 5和10打不开！6和9也打不开！3和12还打不开！呃呃呃……不行了！这个密码到底有多少种可能啊？密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.和 和 3 12萱萱萱萱萱萱萱萱- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．（0除外）在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1（1）猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴妈和猴爸，并且猴妈和猴爸都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？（2）猪八戒拔了15根萝卜．如果猪八戒把这些萝卜分成2堆，那么共有多少种不同的分法？提示：分给2人与分成2堆有什么不一样？练习1小虎有9块积木，他要把这些积木分成2堆，一共有多少种不同的分法？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？例如：（1）把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？经过分析可知两人分别有的苹果个数可以是“1、4”，也可以是“4、1”，这是两种不同的分法；而且还可以是“0、5”，可以有1个人没有得到．（2）把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？“分堆”的时候，如果出现“1、4”，同时也出现“4、1”，这是两种相同的分法，那么只能看成是一种，并且不可能出现“0、5”，即“分堆”时，每堆都不能为“0”．在“分几堆”的过程中，会出现一些限制的条件，这时，一定要注意审题，把题中重点词圈出来．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2（1）甜甜有20块糖果．如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块糖果，那么一共有多少种不同的分法？（2）唐僧要把20个桃子全部分到2个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17个，那么唐僧一共有多少种不同的分法？提示：枚举过程中注意题目中的限制条件“最少”、“不超过”．练习2灰灰有16个小球，要把这些小球全部分到2个相同的盒子中，每个盒子中的小球都不超过12个，那么灰灰共有多少种不同的分法？例题3小糊涂在商店买回了一包巧克力，他数了数，一共有13块巧克力，现在他要把这些巧克力分成3堆，一共有多少种不同的分法？提示：分3堆时，可先固定1堆数量不变，把剩下的分2堆．练习3小兔子拔萝卜，它数了数，一共拔了11个萝卜．现在它要把这些萝卜分成3堆，一共有多少种不同的分法？例题4东东在小区的广场上发现了14只小鸟，这14只小鸟恰好凑成3堆，每堆至少有2只小鸟．请问：这3堆小鸟共有多少种不同的情况？提示：拆分过程中注意限制条件“至少”．练习4甜甜有15根棒棒糖，她要把这些棒棒糖分成3堆，且每堆至少有3根棒棒糖．甜甜一共有多少种不同的分法？例题5（1）一个海盗要把12枚金币分成3份，且每份的金币数不相同，那么这个海盗共有多少种不同的分法？（2）一个海盗要把12枚金币分3天全部花完，且每天花的金币数量都不少于3枚，那么这个海盗共有多少种不同的花法？提示：分成3份是“无区分”的，“分3天花完”是“有区分的”．例题6从1~12这十二个自然数中选取3个不同的数，使得这3个不同的数的和等于26．共有多少种不同的选取方法？提示：与选出的3个数的排列顺序有关吗？课堂内外中国传统字典《康熙字典》《康熙字典》，在清朝康熙年间由文华殿大学士兼户部尚书张玉书及经筵讲官、文渊阁大学士兼吏部尚书陈廷敬担任主编，参考明代的《字汇》、《正字通》两书而写，是一套成书于康熙五十五年（1716年）的详细汉语字典，重印至今不辍．《康熙字典》采用部首检字和笔画检字方法．可记歌诀：一二子中寻，三画问丑寅，四在卯辰巳，五午六未申，七酉八九戌，其余亥部存．或是“一二在子三丑寅，四卯辰巳五午寻，六在未申七在酉，八九在戌余亥存”．笔画检字用于难字查检，可依笔画检字表．如查“民”字，如果不知道其部首，可以查笔画检字表．“民”为5画，可以在5画中查到．“民”下注为“氏”部，再到“部首索引”中查到“氏”部．“氏”在“辰下”33页，再到“辰集下”氏部1画里查到“民”字．在“辰集下”34页中可以查到．作业1.把12块水果橡皮分成两堆，一共有多少种不同的分法？2.小象用一只平底锅煎了17块饼．现在它要把这些饼全部放到2个相同的盘子中，且每个盘子里的饼数都不超过15块，共有多少种不同的分法？3.聪聪有10个玻璃球，他要把这些玻璃球分成3堆，一共有多少种不同的分法？4.小松鼠采了16个松籽，它要把这些松籽分成3堆，每堆至少有3个松籽，一共有多少种不同的分法？5.刘老师准备了20个笔记本，要把这些笔记本分成3份，且每份的笔记本数量都不少于5本．那么，刘老师共有多少种不同的分法？第十五讲 整数分拆综合1.例题1答案：（1）9；（2）7详解：（1）把10个桃子分给猴爸猴妈，且都要分到，属于计次序的．按从小到大的顺序，即1019=+，1028=+，1037=+，1046=+，1055=+，1064=+，1073=+，1082=+，1091=+，共9种．（2）把15根萝卜分2堆，属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即15114=+，15213=+，15312=+，15411=+，15510=+，1569=+，1578=+，共7种．2.例题2答案：（1）9；（2）8详解：（1）把20块糖果分成2堆，且每堆最少有2块，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即20218=+，20317=+，20416=+，20515=+，20614=+，20713=+，20812=+，20911=+，201010=+，共9种．（2）把20个桃子分到2个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即20173=+，20164=+，20155=+，20146=+，20137=+，20128=+，20119=+，201010=+，共8种． 3.例题3 答案：14详解：把13块巧克力分成3堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即131111=++，131210=++，13139=++，13148=++，13157=++，13166=++，13229=++，13238=++，13247=++，13256=++，13337=++，13346=++，13355=++，13445=++，共14种．4.例题4 答案：10详解：把14只鸟分成3堆，每堆至少有2只小鸟，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即142210=++，14239=++，14248=++，14257=++，14266=++，14338=++，14347=++，14356=++，14446=++，14455=++，共10种．5.例题5答案：（1）7；（2）10详解：（1）把12枚金币分成3份，且每份的金币数不相同，每份不能为“0”，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即12129=++，12138=++，12147=++，12156=++，12237=++，12246=++，12345=++，共7种．（2）把12枚金币分3天花完，且每天花的金币数量都不少于3枚．这属于计次序的．按从小到大的顺序，即12336=++，12345=++，12354=++，12354=++，12435=++，12444=++，12453=++，12534=++，12543=++，12633=++，共10种．6.例题6 答案：8详解：2612113=++，2612104=++，261295=++，261286=++，2611105=++，261196=++，261187=++，261097=++．7.练习1 答案：4简答：把9块积木分成2堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即918=+，927=+，936=+，945=+，共4种．8.练习2 答案：5简答：把16个小球分到2个相同的盒子中，且每个盒子中的小球数量都不超过12个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即16412=+，16511=+，16610=+，1679=+，1688=+，共5种． 9.练习3 答案：10简答：把11个胡萝卜分成3堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即11119=++，11128=++，11137=++，11146=++，11155=++，11227=++，11236=++，11245=++，11335=++，11344=++，共10种．10. 练习4答案：7简答：把15根棒棒糖分成3堆，每堆至少有3根棒棒糖，这里不需要考虑每次分的顺序．按从小到大的顺序，即15339=++，15348=++，15357=++，15366=++，15447=++，15456=++，15555=++，共7种．11. 作业1答案：6简答：把12块橡皮分成两堆，这属于计次序的．所以按照从小到大的顺序，有以下11种情况：12111=+，12210=+，1239=+，1248=+，1257=+，1266=+．12. 作业2答案：7简答：把17块饼分到2个相同的盘子中，这属于不计次序的，且每个盘子中的饼不超过15块．所以按照从大到小的顺序，有以下7种情况：17152=+，17143=+，17134=+，17125=+，17116=+，17107=+，1798=+． 13. 作业3答案：8简答：把10个玻璃球分3堆，这属于不计次序的，且任意一堆都不可为0．所以按照从小到大的顺序，有以下10种情况：10118=++，10127=++，10136=++，10145=++， 10226=++，10235=++，10244=++，10334=++．14. 作业4答案：8简答：把16个松籽分3堆，这属于不计次序的，且每堆至少有3个．所以按照从小到大的顺序，有以下8种情况：163310=++，16349=++，16358=++，16367=++，16448=++，16457=++，16466=++，16556=++． 15. 作业5答案：5简答：把20个笔记本分3份，这属于不计次序的，且每份不少于5本．所以按照从小到大的顺序，有以下5种情况：205510=++，20569=++，20578=++，20668=++，20677=++．。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。
整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。
通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。
二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。
这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。
2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。
这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。
3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。
这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。
4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。
这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。
三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。
可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。
在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。
总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。
小学三年级奥数 第44讲：整数的分拆
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：多3，少2，无1
2．不相同：
2
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
整数的分拆
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是 把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便 是这个自然数的一个分拆。 核心思想：有序、全面
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
六年级下册奥数-整数的分拆(word档含答案)
六年级下册奥数第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题. 二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。
小学五年级奥数：整数分拆例析
小学五年级奥数：整数分拆例析例1 将_分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，将_分拆成两个自然数的和，有1+_，2+_，3+_，4+_，5+9，6+8，7+7共七种方法。
经计算，容易得知，将_分拆成7+ 7时，有积7_7=49。
例2 将_分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，可将_分拆成下列形式的两个自然数的和：1+_，2+_，3+_，4+_，5+_，6+9，7+8。
显见，将_分拆成7+8时，有积7_8=56。
注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m_m=m2；如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有积m_（m+1）。
例3 将_分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆？分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1），这样得到的积才。
这样不难想到将_分拆成4+5+5时，有积4_5_5=1_。
例4 将_分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆？分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。
其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。
比如5=2+3，但5比2_3=6小。
又因为4=2_2，因此，可以考虑将_分拆成若干个2或3了。
注意到2+2+2=6，2_2_2=8；3+3=6，3_3= 9.因此，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。
这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
综合上述结果，应该将_分拆成四个3与一个2之和，即_=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的积3_3_3_3_2=_2。
上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的积的问题。
下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数的问题。
小学奥数模块教程五年级09.16整数的拆分
整数的拆分2012.09.16 五年级例1、将一个整数分成若干个小于它的整数之和，这叫做拆分，比2114++=及314+=，但2114++=，1124++=与1214++=看做同一种拆分，请问：对于整数8有多少种不同的拆分方式？答案：20种。
例2、数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，从中任意选出8张使它们的数字和是33，则其中最多有多少张卡片是“3”？答案：3。
例3、将17个乒乓球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？ 答案：6个。
例4、试将70拆成11个不同的自然数的和，共有多少种不同的分法？ 答案：5种。
例5、（1）把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？（2）把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？答案：6612+=；6511+=。
*例6、把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该如何分拆？这个最大的积是多少？答案：2333314++++=，积为162。
练习1、将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，第一个数与第六个数分别是几？答案：15；40。
练习2、将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则之多可以分成多少组？答案：15。
练习3、把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？答案：972。
练习4、把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？答案：999种。
分成1000999+时积最大。
高斯小学奥数含答案二年级(下)第15讲整数分拆综合
第十五讲整数分拆综合前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人12和5和10打不开！6和9也打不开！3 和12 还打不开！呃呃呃⋯⋯不行了！这个密码到底有多少种可能啊？密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．（0 除外）在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．例题1（1）猴子小孙从山上采来10 个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴妈和猴爸，并且猴妈和猴爸都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？（2）猪八戒拔了15根萝卜．如果猪八戒把这些萝卜分成 2 堆，那么共有多少种不同的分法？提示：分给2 人与分成2 堆有什么不一样？练习1小虎有9 块积木，他要把这些积木分成2 堆，一共有多少种不同的分法？体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？例如：（1）把5 个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？经过分析可知两人分别有的苹果个数可以是“1、4”，也可以是“ 4、1”，这是两种不同的分法；而且还可以是“ 0、5”，可以有1 个人没有得到．（2）把5 个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？“分堆”的时候，如果出现“ 1、4”，同时也出现“ 4、1”，这是两种相同的分法，那么只能看成是一种，并且不可能出现“ 0、5”，即“分堆”时，每堆都不能为“ 0”．在“分几堆”的过程中，会出现一些限制的条件，这时，一定要注意审题，把题中重点词圈出来．例题21）甜甜有20 块糖果．如果她要把这些糖果分成 2 堆，且每堆最少有2 块糖果，那么一共有多少种不同的分法？（2）唐僧要把20 个桃子全部分到2 个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17个，那么唐僧一共有多少种不同的分法？提示：枚举过程中注意题目中的限制条件“最少” 、“不超过”．练习2灰灰有16 个小球，要把这些小球全部分到2 个相同的盒子中，每个盒子中的小球都不超过12 个，那么灰灰共有多少种不同的分法？例题3小糊涂在商店买回了一包巧克力，他数了数，一共有13 块巧克力，现在他要把这些巧克力分成3 堆，一共有多少种不同的分法？提示：分3堆时，可先固定1堆数量不变，把剩下的分2 堆．练习3小兔子拔萝卜，它数了数，一共拔了11个萝卜．现在它要把这些萝卜分成3 堆，一共有多少种不同的分法？例题4东东在小区的广场上发现了14只小鸟，这14只小鸟恰好凑成3堆，每堆至少有2只小鸟．请问：这 3 堆小鸟共有多少种不同的情况？提示：拆分过程中注意限制条件“至少”练习4甜甜有15 根棒棒糖，她要把这些棒棒糖分成3 堆，且每堆至少有3 根棒棒糖．甜甜一共有多少种不同的分法？例题5（1）一个海盗要把12 枚金币分成3 份，且每份的金币数不相同，那么这个海盗共有多少种不同的分法？（2）一个海盗要把12 枚金币分3 天全部花完，且每天花的金币数量都不少于3 枚，那么这个海盗共有多少种不同的花法？提示：分成3 份是“无区分”的，“分3天花完”是“有区分的” ．例题6从1~12 这十二个自然数中选取3 个不同的数，使得这3 个不同的数的和等于26 ．共有多少种不同的选取方法？提示：与选出的3 个数的排列顺序有关吗？课堂内外中国传统字典《康熙字典》《康熙字典》，在清朝康熙年间由文华殿大学士兼户部尚书张玉书及经筵讲官、文渊阁大学士兼吏部尚书陈廷敬担任主编，参考明代的《字汇》、《正字通》两书而写，是一套成书于康熙五十五年（1716 年）的详细汉语字典，重印至今不辍．《康熙字典》采用部首检字和笔画检字方法．可记歌诀：一二子中寻，三画问丑寅，四在卯辰巳，五午六未申，七酉八九戌，其余亥部存．或是“一二在子三丑寅，四卯辰巳五午寻，六在未申七在酉，八九在戌余亥存” ．可依笔画检字表． 如查“民”字，如果不知道其部首， 可以查笔画检字表． “民”作业1.把 12 块水果橡皮分成两堆，一共有多少种不同的分法？2. 小象用一只平底锅煎了 17 块饼．现在它要把这些饼全部放到 2 个相同的盘子中，且每个盘子里的饼数 都不超过 15 块，共有多少种不同的分法？3. 聪聪有 10 个玻璃球，他要把这些玻璃球分成 3 堆，一共有多少种不同的分法？4. 小松鼠采了 16个松籽，它要把这些松籽分成 3 堆，每堆至少有 3个松籽，一共有多少种不同的分法？5. 刘老师准备了 20个笔记本，要把这些笔记本分成 3份，且每份的笔记本数量都不少于 5 本．那么，刘老师共有多少种不同的分法？第十五讲 整数分拆综合笔画检字用于难字查检， 为 5 画，可以在 5 画中查到．民”下注为“氏”部，再到“部首索引”中查到“氏”部．氏”在“辰下33 页，再到“辰集下”氏部1 画里查到“民”字．在“辰集下 34 页中可以查到．1. 例题 1答案：（1）9；（2）7详解：（1）把10个桃子分给猴爸猴妈，且都要分到，属于计次序的．按从小到大的顺序，即10 1 9，10 2 8，10 3 7，10 4 6，10 5 5，10 6 4，10 7 3，10 8 2，10 9 1，共9种．（2）把15根萝卜分 2 堆，属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即15 1 14，15 2 13，15 3 12 ，15 4 11，15 5 10，15 6 9，15 7 8，共7 种．2. 例题 2 答案：（1）9；（2）8详解：（1）把20 块糖果分成 2 堆，且每堆最少有2块，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即20 2 18，20 3 17，20 4 16，20 5 15，20 6 14，20 7 13，20 8 12，20 9 11，20 10 10，共9种．（2）把20 个桃子分到2 个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17 个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即20 17 3，20 16 4，20 15 5，20 14 6，20 13 7 ，20 12 8，20 11 9，20 10 10，共8 种．3. 例题 3答案：14详解：把13 块巧克力分成 3 堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“ 0”．按从小到大的顺序，即13 1 1 11，13 1 2 10，13 1 3 9，13 1 4 8，13 1 5 7，13 1 6 6 ，13 2 2 9，13 2 3 8，13 2 4 7 ，13 2 5 6，13 3 3 7，13 3 4 6，13 3 5 5，13 4 4 5，共14种．4. 例题 4 答案：10 详解：把14 只鸟分成 3 堆，每堆至少有 2 只小鸟，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即14 2 210 ，14 2 3 9，14 2 4 8，14 2 5 7，14 2 6 6，14 3 3 8 ，14 3 4 7，14 3 5 6，14 4 4 6 ，14 4 5 5，共10 种．5. 例题 5答案：（1）7；（2）10详解：（1）把12枚金币分成3份，且每份的金币数不相同，每份不能为“0”，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即12 1 2 9，12 1 3 8，12 1 4 7，12 1 5 6 ，12 2 3 7，12 2 4 6，12 3 4 5，共7种．（2）把12枚金币分 3 天花完，且每天花的金币数量都不少于3枚．这属于计次序的．按从小到大的顺序，即12 3 3 6 ，12 3 4 5 ，12 3 5 4 ，12 3 5 4 ，12 4 3 5 ，12 4 4 4 ，12 4 5 3 ，12 5 3 4，12 5 4 3，12 6 3 3，共10 种．6. 例题 6 答案：8 详解：26 12 11 3 ，26 12 10 4 ，26 12 9 5 ，26 12 8 6 ，26 11 10 5 ，26 11 9 6 ，26 11 8 7，26 10 9 7．7. 练习 1 答案： 4 简答：把9块积木分成2堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即9 18 ，9 2 7，9 3 6，9 4 5，共4种．8. 练习 2 答案： 5 简答：把16 个小球分到 2 个相同的盒子中，且每个盒子中的小球数量都不超过12 个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即16 4 12，16 5 11，16 6 10，16 7 9，16 8 8 ，共5种．9. 练习 3 答案：10简答：把11 个胡萝卜分成3 堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“ 0”．按从小到大的顺序，即11 1 1 9 ，11 1 2 8，11 1 3 7 ，11 1 4 6，11 1 5 5 ，11 2 2 7，11 2 3 6，11 2 4 5，11 3 3 5 ，11 3 4 4，共10 种．10. 练习 4答案：7简答：把15根棒棒糖分成3堆，每堆至少有 3 根棒棒糖，这里不需要考虑每次分的顺序．按从小到大的顺序，即15 3 3 9，15 3 4 8，15 3 5 7，15 3 6 6，15 4 4 7，15 4 5 6，15 5 5 5，共7种．11. 作业 1答案：6简答：把12块橡皮分成两堆，这属于计次序的．所以按照从小到大的顺序，有以下11种情况：12 1 11，12 2 10，12 3 9，12 4 8，12 5 7 ，12 6 6．12. 作业 2答案：7简答：把17 块饼分到 2 个相同的盘子中，这属于不计次序的，且每个盘子中的饼不超过15 块．所以按照从大到小的顺序，有以下7种情况：17 15 2，17 14 3，17 13 4，17 12 5，17 11 6 ，17 10 7，17 9 8．13. 作业 3答案：8简答：把10 个玻璃球分3堆，这属于不计次序的，且任意一堆都不可为0．所以按照从小到大的顺序，有以下10 种情况：10 1 1 8 ，10 1 2 7，10 1 3 6，10 1 4 5 ，10 2 2 6，10 2 3 5，10 2 4 4 ，10 3 3 4 ．14. 作业 4答案：8简答：把16 个松籽分3堆，这属于不计次序的，且每堆至少有3个．所以按照从小到大的顺序，有以下8 种情况：16 3 3 10，16 3 4 9 ，16 3 5 8 ，16 3 6 7 ，16 4 4 8，16 4 5 7，16 4 6 6，16 作业 5答案：5简答：把20个笔记本分3份，这属于不计次序的，且每份不少于5 本．所以按照从小到大的顺序，有15. 5 种情以下况：20 5 5 10，20 5 6 9，20 5 7 8，20 6 6 8，20 6 7 7．。
(完整版)小学奥数09数的拆分
1。
7数的拆分1.7.1整数的拆分整数的拆分,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中,整数分拆的问题常常以各种形式出现,如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天?分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多,所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出.由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如,各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7,8或1，2，3,4,5，6,9都可以.所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币.当使用3枚5分币时，5×3=15，23—15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+(2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20,23—20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用,从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
二年级奥数知识点：整数的分拆
二年级奥数知识点：整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗?解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4;同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款.例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用8表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.这样由85=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得802=160即可.最后得到下式：88+88+8+8+8=200.例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.解：1=11=12=1(特例)4=22=22=1+39=33=32=1+3+516=44=42=1+3+5+725=55=52=1+3+5+7+936=66=62=1+3+5+7+9+1149=77=72=1+3+5+7+9+11+1364=88=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=99=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=1010=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方).检验：把1111=121，和1212=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9.分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求. 但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9. 逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.可见共有4种不同的写法.例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得12=1+3+8.继续按类似方法变化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6.12=3+4+5.共有7种不同的分拆方式.例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-(9+8)=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种共有11种不同的分拆方式.例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1=33种.总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.。
二三年级奥数：整数的拆分习题与解析答案
第十讲拆数游戏【思维策略】按要求把一些数分解成几个数相加的形式，这不仅可以提高运算能力，更能促进你积极地去思考问题，分析问题，使你的头脑更聪明。
怎样才能找到全部答案，不出现差错呢？分析数的时候，一定要弄懂题中要求，使分析的过程按一定的顺序进行，如果要拆成规定的个数，可以按从大到小的顺序拆；如果没有规定个数，可以按从少到多的顺序拆。
只有这样，才能的找到符合题意的所有分拆方式。
【例题1】像15+51＝66这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，而和是66的两位数一共有多少对？思路导航：个位与十位两个数相加是6，即（）+（）＝6，不难得出这样的情况：1+5＝6，2+4＝6，如果是3+3＝6，则个位数与十位数相同，不合要求。
解：这样的两位数有两对：15+51＝66，24+42＝66。
练习11.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，各是55，问这样的两位数有多少对？2.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数，像这样的和是88的倒序数共有多少对？3.有这样一道算式，16+61＝77，把16和61这样的两个数叫做倒序数，像这样的和在100以内的倒序数有多少对？【例题2】五个连续自然数的和是40，这五个数按从小到大排列的顺序是怎样的？思路导航：五个连续自然数的和是40，应该先找到五个数中间的一个数，用40÷5＝8，8是中间数，比8小的两个数是6、7，比8大的两个数是9、10。
解：这五个连续自然数按从小到大的顺序排列是：6，7，8，9，10。
练习21.四个连续自然数的和是18，这四个数按从小到大排列的顺序是怎样的？2.小明用5天时间做了25道数学题，他每天都比前一天多做一道，这五天里，小明每天各做几道题？3.15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？【例题3】把10分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？思路导航：分拆时，可以按从大到小顺序排列，由题意可知，所拆的三个数必须不同，因此最大数为7，最小数为1。