迪杰斯特拉算法的基本思想
迪杰斯特拉算法贪心数学模型 -回复
迪杰斯特拉算法贪心数学模型-回复迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。
它通过逐步选择当前最短路径的顶点来构建最短路径树，从而找到从源点到所有其他顶点的最短路径。
贪心算法的核心思想是每一步选择局部最优解，以希望最终达到全局最优解。
在迪杰斯特拉算法中，我们需要定义一些数学模型，将问题转化为可计算的形式。
首先，我们需要定义一个有向加权图，其中顶点表示路径的起点和终点，边表示路径的连接关系，并附带一个权重用于表示边的距离或代价。
我们可以将这个图表示为一个邻接矩阵或邻接表的形式。
接下来，我们需要定义一组变量来表示顶点到源点的最短距离。
我们可以使用一个一维数组来存储这些距离，并将所有距离初始化为一个很大的值，除了源点的最短距离初始化为0。
在算法的开始阶段，我们需要选择一个起始顶点作为源点，并将其加入到已访问的顶点集合中。
然后，我们可以遍历源点的所有邻居顶点，并更新它们的最短距离。
具体来说，对于源点的每个邻居顶点v，如果通过源点到达v 的路径比当前记录的最短路径更短，我们就将最短路径更新为新的更短路径。
这个更新过程是迪杰斯特拉算法的核心步骤。
我们可以使用一个循环来遍历所有的顶点，并反复执行这个更新操作，直到所有顶点都被访问过为止。
在每一次循环中，我们选择当前最短路径的顶点u，并将其加入到已访问的顶点集合中。
然后，我们遍历u 的所有邻居顶点v，并更新它们的最短路径。
在更新最短路径的过程中，我们需要使用一些数学运算和比较操作。
具体来说，对于每个邻居顶点v，我们需要计算通过u 到达v 的路径长度，并与当前记录的最短路径进行比较。
如果新计算的路径长度更短，我们就更新最短路径，并将v 加入到顶点集合中。
迪杰斯特拉算法的核心思想是通过不断选择当前最短路径的顶点，从而构建最短路径树。
在算法的最后，我们可以得到从源点到所有其他顶点的最短路径长度，以及对应的路径。
通过上述的数学模型和贪心策略，我们能够有效地解决单源最短路径问题。
迪杰斯特拉算法解析
迪杰斯特拉算法解析⼀.理论基础迪杰斯特拉算法（下⽂简称DJ算法）是理论基础是⼀条简单的定理：下⼀条最短路径或者是弧(V0, Vx)，或者是中间经过S中的某些顶点，⽽后到达Vx的路径。
（S是最短路径已知的顶点集合）（为了准确的描述定理，这⾥就直接摘抄了。
⾄于它对不对，嗯，据说反证法可证之）很明显这是⼀个递推算法：反复求下⼀条，直⾄没有下⼀条为⽌。
⼆.问题分析现有加权有向图如下：求从V0出发，到达其它各个顶点的最短路径。
⾸先为了把它转换成便于描述的数学形式，得写出对应的邻接矩阵（x表⽰不可达）：05010x45xx015x10x20x015x xx20x035xx x x300xx x x3x0分析定理可以得出：⽬前S集合中只有1个顶点：V0（V0到⾃⾝的肯定是最短路径），除了S集合这个辅助空间外，我们还需要：V集合：最短路径未知的顶点组成的集合，即S集合的补集path[]：记录最短路径，⽤来显⽰结果dist[]：记录路径长度，作⽤同上Vx：记录下⼀个顶点准备⼯作结束，可以开始求解了三.求解过程0.初始状态dist[]初始化为V0到各个顶点的直接距离（x表⽰不可直达），path[]初始化为对应的路径，不可直达的记作NULL，选取V集合中dist值最⼩的顶点V2作为下⼀个顶点（定理中的Vx）1.第1步把V2加⼊S集合，我们多了⼀个中转站V2，接下来更新dist[]，看借助V2中转的话是不是更短，根据计算结果更新dist[]和path[]，把更短的路径长度和对应路径放进去，V集合中dist值最⼩的V3作为下⼀个顶点2.第2-5步继续选取下⼀个顶点，直⾄V集合中没有可选顶点为⽌四.总结DJ算法过程⾮常简单：1. 确定S中的第⼀个点（也就是源点V0）；2. 根据定理递推（⼀直找最短，并试图借助最短中转）算法思路本⾝不难，当初看不明⽩是因为被具体的伪代码实现绕进去了，所以学习算法应该关注思路⽽不是具体实现，尤其是伪代码算法，通常会随意声明⼀些奇怪的数据结构，却不解释为什么需要这些辅助空间，⽐如本例中，S集合和V集合只需要有⼀个即可，path[]和dist[]也可以⽤结构体清晰的表⽰出来，但伪代码中零零散散的全都⽤到了，过多的辅助空间反⽽妨碍了理解算法本⾝。
Dijkstra算法
Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。
（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S 中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤： a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
迪杰斯特拉算法和距离向量算法
迪杰斯特拉算法和距离向量算法迪杰斯特拉算法和距离向量算法1. 概述迪杰斯特拉算法和距离向量算法是图论中常见的两种最短路径算法。
它们在解决网络路由、路径规划等问题时有着广泛的应用。
本文将对这两种算法进行深入研究和比较，以便更好地理解它们的原理和应用。
2. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法，又称单源最短路径算法，是用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径的算法。
它采用贪心策略，逐步确定从起点到各个顶点的最短路径，直到找到到达终点的最短路径。
该算法的时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数，适用于稠密图。
在实际应用中，迪杰斯特拉算法常用于路由算法、网络规划等场景。
其核心思想是通过逐步确定从起点到各个顶点的最短路径，不断更新最短路径值，直到找到到达终点的最短路径。
3. 距离向量算法距离向量算法，又称分布式最短路径算法，是一种在计算机网络中常用的路由算法。
它通过不断交换节点之间的距离向量信息，从而更新各个节点的最短路径值。
该算法的收敛速度取决于网络拓扑结构和距离向量信息的交换频率。
在实际应用中，距离向量算法常用于动态路由协议中，如RIP （Routing Information Protocol）。
其核心思想是通过不断交换距离向量信息，从而更新节点之间的最短路径值，以实现网络路由的动态调整和优化。
4. 深度和广度的比较从深度和广度的角度来比较迪杰斯特拉算法和距离向量算法，可以发现它们各有特点。
迪杰斯特拉算法更注重于单源最短路径的计算，适用于静态网络中的最短路径计算；而距离向量算法更侧重于动态网络路由的调整，适用于动态网络中的路由优化。
从算法原理和应用场景来看，迪杰斯特拉算法更适用于静态网络中的最短路径计算，如在地图导航、网络规划等领域有着广泛的应用；而距离向量算法更适用于动态网络中的路由调整，如在云计算、物联网等领域有着重要的作用。
5. 个人观点和总结从个人观点来看，迪杰斯特拉算法和距离向量算法各有其独特的优势和局限性。
迪杰斯特拉算法模板
Dijkstra算法模板介绍Dijkstra算法是一种用于在加权有向图中找到最短路径的经典算法。
它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出的。
该算法的核心思想是从起点开始，逐步扩展最短路径集合，直到到达终点或者无法再扩展为止。
它使用了贪心策略，每次选择当前路径中权重最小的边进行扩展。
Dijkstra算法常用于解决单源最短路径问题，即从一个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径。
算法步骤1.创建一个距离数组dist，用于存储起点到各个顶点的最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设为0，其他顶点设为无穷大（表示不可达）。
2.创建一个集合visited，用于存储已经确定最短路径的顶点。
初始时，集合为空。
3.当集合visited中还有未确定最短路径的顶点时：–选取距离起点最近且不在集合visited中的顶点u。
–将顶点u加入集合visited。
–更新起点到顶点u相邻顶点的距离：•遍历顶点u的所有相邻顶点v，计算起点到顶点v的距离：–若起点经过顶点u到达顶点v的距离小于当前记录的最短距离，则更新最短距离。
4.最终，距离数组dist中存储的即为起点到各个顶点的最短距离。
算法实现import heapqdef dijkstra(graph, start):# 创建一个优先队列用于存储待扩展的节点queue = [(0, start)]# 创建一个字典用于存储起点到各个节点的最短距离dist = {start: 0}while queue:# 弹出优先队列中权重最小的节点weight, node = heapq.heappop(queue)# 若当前节点已经在dist中，则说明已经确定了最短路径，无需再处理if node in dist and weight > dist[node]:continue# 遍历当前节点的相邻节点for neighbor, neighbor_weight in graph[node].items():# 计算从起点经过当前节点到达相邻节点的权重new_weight = weight + neighbor_weight# 若从起点到相邻节点的距离更短，则更新最短距离if neighbor not in dist or new_weight < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_weight# 将相邻节点添加到优先队列中heapq.heappush(queue, (new_weight, neighbor))return dist使用示例# 创建一个加权有向图表示城市间的距离graph = {'A': {'B': 5, 'C': 2},'B': {'D': 4},'C': {'B': 8, 'D': 7},'D': {'E': 2},'E': {}}start = 'A'distances = dijkstra(graph, start)# 输出起点到各个顶点的最短距离for node, distance in distances.items():print(f"Distance from {start} to {node}: {distance}")算法分析Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是顶点数，E是边数。
最短路线练习题
最短路线练习题在我们日常的生活中，经常会面临着需要找到最短路线的情况。
无论是出行、送货还是旅游，找到最短路线可以节省时间和精力。
为了提升解决这类问题的能力，下面我们来做一些最短路线的练习题。
练习题一：假如你正在一个陌生的城市旅游，你想从你所在的地方（点A）前往一个景点（点B）。
给定地图上的道路信息，以及各点之间的直线距离，请你找出从点A到点B的最短路线。
这道题目需要我们运用最短路算法来解决。
最常见的算法之一是迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法的基本思想是：从起点开始，不断扩展已经找到的最短路线，直到找到终点为止。
具体步骤如下：1. 初始化：将起点到所有其他点的距离设置为无穷大，将起点到自身的距离设置为0。
2. 将起点标记为已访问。
3. 从起点开始，找到与起点直接相连且未被访问过的点中，距离最短的一个点。
4. 更新与该点相连的所有点的距离，如果通过该点到某个点的距离更短，则更新该点的距离。
5. 标记该点为已访问。
6. 重复步骤3到步骤5，直到找到终点或者所有点都被标记为已访问。
7. 如果找到终点，则回溯路径，即可得到最短路线。
练习题二：现在来做一个稍微复杂一些的练习题。
假设你是一名送货员，需要驾驶卡车从仓库（点A）出发，依次前往多个客户的位置（点B、点C、点D...）。
你希望按照最短距离完成任务。
为了解决这个问题，我们可以运用另一种常见的最短路算法，即弗洛伊德算法。
弗洛伊德算法的基本思想是：逐一考虑所有点作为中转点，计算出任意两点之间的最短距离。
具体步骤如下：1. 初始化：将各个点之间的距离初始化为无穷大。
2. 设置直接相连的两个点之间的距离为实际距离。
3. 逐一考虑每个点作为中转点，计算出通过该点的路径是否更短，若更短，则更新距离。
4. 重复步骤3，直到所有点都作为中转点计算过。
通过弗洛伊德算法，我们可以得到任意两点之间的最短距离。
然后，我们可以利用这些距离信息，进行路径规划，找出从仓库出发，依次前往各个客户位置的最短路线。
c语言实现迪杰斯特拉算法实例
c语言实现迪杰斯特拉算法实例========迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法，它使用Dijkstra 算法的思想，通过不断更新最短路径值，最终找到源节点到所有其他节点的最短路径。
下面是一个使用C语言实现迪杰斯特拉算法的实例。
一、算法概述------迪杰斯特拉算法的基本思想是：从源节点开始，不断更新与源节点相邻的节点之间的最短路径值，直到所有节点都被处理完毕。
算法的核心是使用一个最小堆来存储待处理的节点及其对应的距离值，每次从最小堆中取出距离值最小的节点，并更新与其相邻节点的距离值。
二、代码实现------以下是一个使用C语言实现迪杰斯特拉算法的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>#define MAX_NODES 100 // 最大节点数#define INF 0x3f3f3f3f // 无穷大值typedef struct Node {int id; // 节点编号int distance; // 到源节点的距离struct Node* nxt; // 指向下一个节点的指针（用于广度优先搜索）} Node;// 创建新节点Node* create_node(int id) {Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));node->id = id;node->distance = INF;node->nxt = NULL;return node;}// 将节点添加到最小堆中（假设堆为head）void add_node_to_heap(Node** head, int* size, int distance) {Node* node = create_node(distance); // 创建新节点(*size)++; // 节点数加一(*head)->distance = distance; // 将新节点距离设置为最小值(*head)->nxt = node; // 将新节点添加到堆中while (*head->nxt != NULL && (*head->nxt)->distance < (*head)->distance) { // 调整堆中距离值最小节点的位置Node* temp = *head->nxt; // 保存当前距离最小的节点(*head)->nxt = (*head->nxt)->nxt; // 将当前节点的下一个节点向前移动一位（退出循环）free(temp); // 释放当前节点的内存空间（释放内存）}}// 从最小堆中取出距离值最小的节点（返回值为距离值）int extract_min(Node** head, int* size) {Node* temp = *head; // 保存当前距离最小的节点（用于后续更新）int min_distance = temp->distance; // 当前最小距离值（用于后续更新）Node** p = *head; // 指向当前距离最小的节点的指针（用于后续更新）while (p->nxt != NULL && p->distance > min_distance) { // 从堆中取出距离值最小的节点，并更新指针和距离值Node* next_node = p->nxt; // 保存下一个节点指针（用于广度优先搜索）*p = p->nxt->nxt; // 将当前节点的下一个节点向前移动一位（退出循环）p->distance = min_distance; // 将当前节点的距离值更新为当前最小值free(next_node); // 释放下一个节点的内存空间（释放内存）}*head = p->nxt; // 将当前节点的下一个节点设置为堆头指针（进入下一轮循环）*size--; // 删除已处理节点数减一（返回最小距离值）return min_distance; // 返回最小距离值（作为结果返回）}// 迪杰斯特拉算法主函数（源代码）void dijkstra(int nodes, int start_node, Node** nodes_list) {int size = nodes; // 初始化节点数和距离数组大小为0（初始化）Node* heap = (Node*)malloc(sizeof(Node) * size); // 创建最小堆（初始化）for (int i = 0; i < size; i++) { // 将所有节点添加到堆中，并设置其距离值为无穷大（进入主循环）add_。
Dijkstra算法描述
Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。
本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。
二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为：设(,)= 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E代G V E表图中含权重的边集合。
将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示〔初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点参加到集合S中〕；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。
按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部参加到集合S中。
2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。
图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离，是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。
记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。
Dijkstra算法归纳如下：S=，U是其余未确〔1〕初始化，令S是已求出最短路径的顶点集合，{}U=，可写出：定最短路径的顶点集合，{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中，(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度，而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示；〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。
迪杰斯特拉算法的基本思想
迪杰斯特拉算法的基本思想
算法的基本思想是：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S，其中V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个以V-S中的顶点加到S中．直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
具体做法是：设源点为vl，则S中只包含顶点vl，令W＝V-S，则W中包含除v1外图中所有顶点，vl对应的距离值为0，W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧<vi,vj>，则vj顶点的距离为此弧权值，否则为 (一个很大的数)，然后每次从W中的顶点中选—个其距离值为最小的顶点vm加入到S中，每往S中加入一个顶点vm，就要对W中的各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vm做中间顶点，使<vi,vm>+<vm,vj>的值小于<vi,vj>值，则用<vi,vm>+<vm,vj>代替原来vj的距离，修改后再在W中选距离值最小的顶点加入到S 中，如此进行下去，直到S中包含了图中所有顶点为止。
下面以邻接矩阵存储来讨论迪杰斯特拉算法的具体实现。
为了找到从源点到其他顶点的最短路径，引入两个辅助数组dist[n],s[n],数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v0][i], i=2,...,n.其中v0表示源点。
从S之外的顶点集合V-S中选出一个顶点w,使dist[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S中的顶点，把w加入集合S中调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v],重复上述过程，直到S中包含V中其余各顶点的最短路径。
迪杰特斯拉算法
迪杰特斯拉算法⼀. 迪杰特斯拉算法迪杰斯特拉算法的基本思路迪杰斯特拉算法的基本思路:1. 找出最便宜的顶点，即距离出发顶点距离最近的顶点，作为新的出发顶点2. 更新该顶点的邻居的开销3. 重复（1）（2）步骤，直到对每个顶点都做了此操作4. 计算最终路径如何对下⾯的图使⽤迪杰斯特拉算法每条边上标识的数字都表⽰，两个顶点之间的距离。
⼆. 算法详解假设要求从 A 到 D 的最短路径,步骤如下：准备⼯作：在计算前，需要做⼀些准备⼯作，列出每个节点的开销：在执⾏迪杰斯特拉算法的过程中，将不断的更新这个表。
为了计算最终路径，还需要在表中添加表⽰⽗顶点（前驱顶点）的列第⼀步：找出最便宜的顶点，作为新的出发顶点（红⾊标识表⽰该顶点已经被访问过，选择新的出发顶点是不再考虑该顶点）站在出发顶点A，与A直连的顶点有：C(A到C的距离为7)B(A到B的距离为5)G(A到G的距离为2)显然，A到G的距离最近，则G为最便宜的顶点。
此时，由于你还不知道从A出发到其它⾮直连的顶点的距离是多少，因此，我们都将他们暂时设为⽆穷⼤第⼆步：更新顶点G的邻居的开销计算从出发顶点A出发，经过G顶点，到G的各个邻居（与G直连的顶点）的开销G顶点的邻居有：顶点A（A被访问过）顶点B（G到B的距离为3）顶点E（G到E的距离为4）顶点F（G到F的距离为6）再执⾏第⼀步：下⼀个最便宜的顶点是B 第⼆步：更新顶点B的邻居的开销B顶点的邻居有：- 顶点A （A被访问过）- 顶点G（G被访问过）- 顶点D （B到D的距离为9）再执⾏第⼀步：下⼀个最便宜的顶点是E 第⼆步：更新顶点E的邻居的开销E顶点的邻居有：- 顶点C（E到C的距离为8）- 顶点G（G被访问过）- 顶点F （E到F的距离为5）再执⾏第⼀步：下⼀个最便宜的顶点是C 第⼆步：更新顶点C的邻居的开销C顶点的邻居有：- 顶点A（A被访问过）- 顶点E（G被访问过）再执⾏第⼀步：下⼀个最便宜的顶点是F 第⼆步：更新顶点F的邻居的开销F顶点的邻居有：- 顶点E（E被访问过）- 顶点G（G被访问过）- 顶点D（F到D的距离为4）再执⾏第⼀步：下⼀个最便宜的顶点是D 第⼆步：更新顶点D的邻居的开销D顶点的邻居有：- 顶点B（B被访问过）- 顶点F（F被访问过）三. 计算最终路径(求从 A 到 D 的最短路径)过程如下：顶点D的前驱顶点为F顶点F的前驱顶点为G顶点G的前驱顶点为A（A为出发顶点，⾄此得出最短路径）所以：A到D的最短路径长度为12；最短路径为：A——>G——>F——>D代码`package com.dyt.algorithmdemo.dijkstra;import java.util.*;/**迪杰特斯拉算法*/public class DijkstraAlgorithm {public static void main(String[] args) {//顶点数组String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G"};//邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535; //表⽰不可连接,没有路//初始化邻接矩阵matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};//创建图对象Graph graph = new Graph(vertex, matrix);graph.showGraph();graph.djs(0);graph.showDijkstra();//输出路径graph.printPath(0, 3);}}/**图*/class Graph {//顶点数组private String[] vertex;//邻接矩阵private int[][] matrix;//访问过的顶点private VisitedVertex visitedVertex;public Graph(String[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}//显⽰图public void showGraph() {for (int[] link : matrix) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}/**迪杰特斯拉算法核⼼代码@param index*/public void djs(int index) {visitedVertex = new VisitedVertex(vertex.length, index);update(index); //更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {index = visitedVertex.updateArr();//选择并返回新的访问顶点update(index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点}}//更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点public void update(int index) {int len = 0;//遍历我们的邻接矩阵matrix[index]⾏for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {//len : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点距离的和len = visitedVertex.getDis(index) + matrix[index][j];//如果j顶点没有被访问过 && 距离⼩于从出发顶点到j点的距离if (!visitedVertex.in(j) && len < visitedVertex.getDis(j)) {visitedVertex.updatePre(j, index);//更新j顶点的前驱为index顶点visitedVertex.updateDis(j, len); //更新出发点到顶点j的距离}}}/**输出路径@param startIndex 起点索引@param endIndex 终点索引*/public void printPath(int startIndex, int endIndex) {int[] dis = visitedVertex.getDis();int[] pre_visited = visitedVertex.getPre_visited();String startVertex = this.vertex[startIndex];String endVertex = this.vertex[endIndex];//距离System.out.println(startVertex + "到" + endVertex + "的最短距离为：" + dis[endIndex]);//路径List path = new ArrayList<>();path.add(vertex[endIndex]);while (true) {endIndex = pre_visited[endIndex];path.add(vertex[endIndex]);if (endIndex == startIndex) {break;}}Collections.reverse(path);String pathInfo = "";for (int i = 0; i < path.size(); i++) {pathInfo = path.get(i);if (i != path.size() - 1) {pathInfo = pathInfo + "——>";}System.out.print(pathInfo);}System.out.println();}public void showDijkstra() {visitedVertex.show();}}/**已访问过的顶点*/class VisitedVertex {//记录各个顶点是否访问过。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
迪杰斯特拉算法求单源最短路径
迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径的经典算法，它被广泛应用于网络路由、电信领域以及各种其他实际问题中。
本文将从以下几个方面详细介绍迪杰斯特拉算法的原理、实现以及应用，以帮助读者深入理解并掌握该算法。
一、迪杰斯特拉算法的原理迪杰斯特拉算法的核心思想是通过逐步确定从起点到其他顶点的最短路径来求解单源最短路径问题。
其具体原理包括以下几个步骤：1. 初始化：将起点到所有其他顶点的距离初始化为无穷大，起点到自身的距离为0，并建立一个空的集合S来存放已确定最短路径的顶点。
2. 选择最近顶点：从未确定最短路径的顶点中选择距离起点最近的顶点u加入集合S。
3. 更新距离：对于顶点集合V-S中的每个顶点v，如果通过顶点u可以找到一条比当前最短路径更短的路径，则更新起点到顶点v的距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到集合S包含所有顶点。
通过上述步骤，迪杰斯特拉算法可以求解出起点到图中所有其他顶点的最短路径。
二、迪杰斯特拉算法的实现迪杰斯特拉算法可以通过多种数据结构来实现，其中最常见的是使用优先队列来存储未确定最短路径的顶点，并通过松弛操作来更新顶点的距离。
下面将介绍一种基于优先队列的迪杰斯特拉算法实现方法：1. 初始化距离数组dist[]，其中dist[i]表示起点到顶点i的最短距离，将所有顶点初始化为无穷大，起点初始化为0。
2. 将起点加入优先队列，并将其距离更新为0。
3. 循环执行以下步骤直到优先队列为空：（1）从优先队列中取出距离起点最近的顶点u。
（2）遍历顶点u的所有邻接顶点v，对于每个邻接顶点v，如果通过顶点u可以找到一条更短的路径，则更新顶点v的距离，并将其加入优先队列。
通过上述实现，我们可以得到起点到所有其他顶点的最短路径。
三、迪杰斯特拉算法的应用迪杰斯特拉算法在实际应用中有着广泛的应用场景，其中最典型的应用包括网络路由、电信领域以及地图路径规划等。
1. 网络路由：在计算机网络中，迪杰斯特拉算法被用于寻找最短路径，以确保数据包以最短的路径到达目的地，提高网络传输效率。
c++迪杰斯特拉算法
c++迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于计算最短路径的算法，它是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉（Edsger W. Dijkstra）在20世纪50年代中期所发明的。
在许多实际应用中，最短路径问题是一件非常重要的事情。
比如说，在地图上规划路径、网络中找寻最短路径等等。
迪杰斯特拉算法在实际应用中有着广泛的用途。
迪杰斯特拉算法能够计算出从指定起点出发到其他各个顶点的最短路径。
在计算过程中，算法会维护一个集合S，集合S中的顶点表示已经求得的最短路径。
算法还会维护一个集合Q，集合Q中的顶点表示还未求得最短路径的顶点。
算法会在集合Q的顶点中寻找到起点到该顶点路径长度最短的那个顶点，并将该顶点加入到集合S中。
迪杰斯特拉算法的基本思想就是贪心策略。
算法会选择当前数据中距离起点最近的顶点k，并将k加入到S中。
然后，算法会检查所有从k出发的边，更新起点到其他顶点的最短路径，如果发现了一条比原来更短的路径，就更新路径长度和前驱顶点。
下面是C++实现Dijkstra算法的代码：```#include <iostream>#include <vector>#include <queue>#include <cstring>using namespace std;struct node {int v, w;};const int maxn = 1e6 + 7;const int inf = 0x3f3f3f3f;bool vis[maxn];int dist[maxn];vector<node> G[maxn];这段代码中，我们用了一个vector来存储所有的边，用一个优先队列来维护当前距离起点最短的未访问的顶点。
我们用vis来记录每个顶点是否已经处理过。
因为我们要更新起点到所有顶点的最短路径，所以我们需要遍历所有的边。
运行以上代码，我们可以输入一个n个顶点和m条边的图，以及起点s和终点t，算法就可以输出s到t的最短路径。
dijkstra算法 原理
dijkstra算法原理Dijkstra算法原理Dijkstra算法是一种用于计算加权图中最短路径的算法，它以荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra的名字命名。
该算法的核心思想是通过逐步确定起点到各个顶点的最短路径来实现。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 创建两个集合S和U，其中S是已确定最短路径的顶点集合，U 是未确定最短路径的顶点集合。
2. 初始化起点的最短路径为0，其他顶点的最短路径为正无穷大。
将起点加入到集合S中，将其他顶点加入到集合U中。
3. 对于集合U中的每个顶点，计算从起点出发经过该顶点到达所有其他顶点的路径长度，并更新最短路径和前驱顶点。
4. 从集合U中选择路径最短的顶点加入到集合S中，并从集合U中移除。
5. 重复步骤3和步骤4，直到集合U为空。
Dijkstra算法的核心在于每次从集合U中选择最短路径的顶点加入到集合S中。
通过这种方式，可以逐步确定起点到其他顶点的最短路径，并且保证每次加入集合S的顶点都是当前最短路径的顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中顶点的个数。
这是因为在每次迭代中，需要对集合U中的每个顶点进行更新操作。
当顶点数量较大时，Dijkstra算法的效率可能较低。
然而，可以通过使用优先队列来优化Dijkstra算法的时间复杂度。
优先队列可以在插入和删除操作中保持元素的有序性，从而减少查找最短路径的时间。
通过使用优先队列，可以将Dijkstra算法的时间复杂度优化为O((V+E)logV)，其中E是图中边的个数。
Dijkstra算法广泛应用于网络路由、地图导航和资源调度等领域。
在网络路由中，Dijkstra算法可以用来寻找从源节点到目标节点的最优路径，从而实现数据包的快速传输。
在地图导航中，Dijkstra 算法可以用来计算最短路径，指导驾驶员选择最佳路线。
在资源调度中，Dijkstra算法可以用来分配有限资源，以最大程度地满足各个任务的需求。
广度优先算法和迪杰斯特拉算法
一、引言在计算机科学领域，广度优先算法和迪杰斯特拉算法是两种常用的图算法。
它们分别用于解决不同类型的问题，但都是优化路径的算法。
本文将首先介绍广度优先算法和迪杰斯特拉算法的基本原理和特点，然后比较两种算法的异同点，最后分别探讨它们在实际应用中的使用场景和注意事项。
二、广度优先算法的原理和特点1. 广度优先搜索算法，简称BFS（Breadth-First Search），是一种用于图中节点搜索的算法。
它从图的起始节点开始，逐层遍历图中的节点，直到找到目标节点为止。
2. BFS算法是以队列的方式进行遍历，先访问当前节点的所有邻居节点，然后再以同样的方式访问邻居节点的邻居节点，以此类推，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
3. 广度优先算法适用于解决无权图中的最短路径问题，因为它能够确保在遍历过程中找到的路径是最短的。
4. 由于广度优先算法需要记录和遍历所有已经访问过的节点，因此对于大规模的图来说，它的空间复杂度较高。
三、迪杰斯特拉算法的原理和特点1. 迪杰斯特拉算法，简称Dijkstra算法，是一种用于解决带权图中最短路径问题的算法。
它是以图中某一节点为起始点，求解该节点到其它所有节点的最短路径。
2. Dijkstra算法通过维护一个距离数组来记录起始节点到其他节点的最短距离，并通过贪心思想逐步更新最短距离。
3. 迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为图中节点的数量。
当图中的节点数量较大时，该算法的效率会有所下降。
4. 与广度优先算法相比，迪杰斯特拉算法的空间复杂度相对较低，因为它只需记录起始节点到其他节点的最短距离。
四、广度优先算法与迪杰斯特拉算法的比较1. 适用范围：广度优先算法适用于解决无权图中的最短路径问题，而迪杰斯特拉算法适用于解决带权图中的最短路径问题。
2. 时间复杂度：广度优先算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为图中节点的数量，E为图中边的数量；而迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)或O(ElogV)。
Dijkstra算法详细介绍
Dijkstra算法详细介绍Dijkstra算法详细介绍1,算法特点：迪科斯彻算法使⽤了⼴度优先搜索解决赋权有向图或者⽆向图的单源最短路径问题，算法最终得到⼀个最短路径树。
该算法常⽤于路由算法或者作为其他图算法的⼀个⼦模块。
2.算法的思路Dijkstra算法采⽤的是⼀种贪⼼的策略，声明⼀个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和⼀个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 (dis[s] = 0）。
若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为⽆穷⼤。
初始时，集合T只有顶点s。
然后，从dis数组选择最⼩值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加⼊到T中，OK，此时完成⼀个顶点，然后，我们需要看看新加⼊的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否⽐源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。
然后，⼜从dis中找出最⼩值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。
3.举例实现这次来介绍指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。
我们⾸先要建⽴⼀个⼆维数组来记录点与点之间的关系，如下图所⽰：同时我们还需要⽤⼀个⼀维数组 dis 来存储源点（这⾥我们⽤使⽤1号点）顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下图所⽰：既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找⼀个离 1 号顶点最近的顶点。
通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。
当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。
既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。
邻接表实现迪杰斯特拉算法求最短路径-概述说明以及解释
邻接表实现迪杰斯特拉算法求最短路径-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在图论中，寻找两个不同顶点之间的最短路径是一个常见的问题。
迪杰斯特拉算法是一种经典的解决最短路径问题的算法之一。
该算法采用贪心的策略，通过不断地更新起始顶点到其他顶点的最短距离，在最终找到最短路径的过程中。
邻接表是一种常用的图表示方法，将图的结构信息存储在一个表中，可以方便地查找与每个顶点相邻的顶点。
将迪杰斯特拉算法与邻接表结合起来，可以更高效地求解最短路径问题。
本文将介绍迪杰斯特拉算法的基本概念，并详细讨论如何通过邻接表实现迪杰斯特拉算法来求解最短路径问题。
通过对算法步骤的分析和实例的展示，读者将更加深入地理解迪杰斯特拉算法的原理和实现方式，以及邻接表在算法中的重要作用。
json"1.2 文章结构": {"本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将对文章进行整体概述，包括迪杰斯特拉算法的基本原理和应用背景。
正文部分将详细介绍迪杰斯特拉算法的原理和邻接表的概念及构建方法，同时介绍如何利用邻接表实现迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
结论部分将总结迪杰斯特拉算法在最短路径问题中的应用情况，探讨邻接表实现迪杰斯特拉算法的优势，并展望未来可能的研究方向。
"}1.3 目的本文的目的是介绍如何利用邻接表实现迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
通过深入讨论迪杰斯特拉算法的原理和邻接表的构建方式，帮助读者理解算法的具体实现过程。
此外，我们还将分析邻接表实现迪杰斯特拉算法的优势和应用场景，以及展望未来在这一领域的研究方向。
通过本文的阐述，读者将能够更好地掌握迪杰斯特拉算法在最短路径问题中的应用，并在实际工程中灵活运用该算法解决复杂的路径规划问题。
2.正文2.1 迪杰斯特拉算法简介迪杰斯特拉算法是一种用来求解最短路径的经典算法，也被称为单源最短路径算法。
该算法由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。
迪杰斯特拉算法复杂度
迪杰斯特拉算法复杂度迪杰斯特拉算法是一种用于在有向图中找出单源最短路径的算法。
它的主要思想是以起始点为中心，每次寻找到起始点距离最近的一个点，将其加到已找到最短路径的集合中，然后更新距离，这样便可以不断推出起始点的最短路径，直至终点。
1、迪杰斯特拉算法概述：迪杰斯特拉算法是一种最优化算法，它的主要应用场景是求出一条从源点到各点的最短路径。
迪杰斯特拉算法不仅可以解决最短路径问题，还能解决优化问题、背包问题、旅行推销员问题、分配资源最佳决策问题等8类问题。
2、迪杰斯特拉算法步骤：（1）从起点出发，依次将未经评估的任一点作为当前点，求出从起点到该点的距离（即Astar算法的f值），记录起点到该点的路径；（2）从当前点出发，求出从这个点开始到其余任一未经评估的点的距离，更新起点到该点的f值，及路径表；（3）重复上述步骤，直到取得终点；（4）根据路径表起点至终点的最短路径。
3、迪杰斯特拉算法复杂度迪杰斯特拉算法的时间复杂度和解空间复杂度都为O(n^2)，其中n是节点数，即图中节点的个数。
（1）时间复杂度：迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(n*n)，其中n表示节点个数，当图中节点越多时，迪杰斯特拉算法花费的时间就越多。
（2）空间复杂度：迪杰斯特拉算法的空间复杂度也是O(n*n)，其中n表示节点个数，当图中节点越多时，迪杰斯特拉算法的空间复杂度也就越大。
4、迪杰斯特拉算法的优缺点（1）优点：迪杰斯特拉算法主要优点在于它简单明了、实现起来非常容易，运行效率也比较高。
（2）缺点：迪杰斯特拉算法的缺点在于在某些场景中，它的时间复杂度并不能满足要求，且对弧的代价分析比较粗糙，可操作性还有待提高。
迪杰斯特拉算法用于求解拓扑排序问题
一、引言在计算机科学中，算法是解决问题的步骤和方法的描述。
而拓扑排序问题是图论中的一个经典问题，它主要用于对有向无环图（DAG）进行排序。
迪杰斯特拉算法是一种经典的图论算法，被广泛应用于求解最短路径问题。
然而，很少有人知道，迪杰斯特拉算法也可以用于求解拓扑排序问题。
本文将详细介绍迪杰斯特拉算法在求解拓扑排序问题中的应用，并对其算法原理和具体步骤进行详细解析。
二、迪杰斯特拉算法简介1.迪杰斯特拉算法的背景迪杰斯特拉算法由荷兰数学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉在1959年提出，用于求解单源最短路径问题。
该问题是在具有权值的有向图中，从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法采用贪心的策略，通过逐步确定源节点到其他节点的最短路径。
该算法具有良好的时间复杂度，并且被广泛应用于路由算法、网络拓扑等领域。
2.迪杰斯特拉算法的原理迪杰斯特拉算法的核心思想是将图中的节点分为两个集合：已访问集合（S）和未访问集合（U）。
算法从起始节点开始，计算到达其他节点的最短路径，并将这些节点逐步加入已访问集合中。
具体步骤如下：步骤1：初始化起始节点和集合S。
将起始节点的最短路径设置为0，其余节点的最短路径设置为正无穷大。
步骤2：选择未访问集合中最短路径的节点，将其加入已访问集合S。
步骤3：更新与新加入节点相邻节点的最短路径。
如果通过新加入节点可以获得更短的路径，更新相邻节点的最短路径。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到所有节点都已加入已访问集合S。
步骤5：算法结束，所有节点的最短路径已经计算完成。
三、拓扑排序问题及其求解1.拓扑排序问题的定义拓扑排序是指将有向无环图中的节点线性排序，使得任意一条有向边的起点在排序中都排在终点的前面。
拓扑排序满足任意一条有向边(u, v)的起点u在排序中都排在终点v的前面。
拓扑排序问题常用于任务调度、依赖关系分析等场景中。
2.拓扑排序问题的解决方法迪杰斯特拉算法可以用于求解拓扑排序问题的原因在于，当图中不存在环时，每个节点的最短路径都可以唯一确定。
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迪杰斯特拉算法的基本思想
算法的基本思想是：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S，其中V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个以V-S中的顶点加到S中．直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
具体做法是：设源点为vl，则S中只包含顶点vl，令W＝V-S，则W中包含除v1外图中所有顶点，vl对应的距离值为0，W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧<vi,vj>，则vj顶点的距离为此弧权值，否则为 (一个很大的数)，然后每次从W中的顶点中选—个其距离值为最小的顶点vm加入到S中，每往S中加入一个顶点vm，就要对W中的各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vm做中间顶点，使<vi,vm>+<vm,vj>的值小于<vi,vj>值，则用<vi,vm>+<vm,vj>代替原来vj的距离，修改后再在W中选距离值最小的顶点加入到S 中，如此进行下去，直到S中包含了图中所有顶点为止。
下面以邻接矩阵存储来讨论迪杰斯特拉算法的具体实现。
为了找到从源点到其他顶点的最短路径，引入两个辅助数组dist[n],s[n],数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v0][i], i=2,...,n.其中v0表示源点。
从S之外的顶点集合V-S中选出一个顶点w,使dist[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S中的顶点，把w加入集合S中调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v],重复上述过程，直到S中包含V中其余各顶点的最短路径。