2020年山东省青岛市高三一模数学试题((高清打印版)含答案和解析)

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2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题

2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题

青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” 、“升级题型” 、“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答。已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin23sin cos cos ,fx x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.该四棱合的高为3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L 、S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S 、圆L 均与圆Q 外切。已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L 、圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.(本题第一个空2分,第二个空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度。 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:25cos .5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线。(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱。 (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k (k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑- 11 -。

【5月7日山东青岛一模数学】山东省青岛市2020年5月高三年级统一质量检测数学试题含答案

【5月7日山东青岛一模数学】山东省青岛市2020年5月高三年级统一质量检测数学试题含答案

数学答案第1页(共6页)青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

B C A D C B A B 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

9.AC 10.BCD 11.ABD 12.CD三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。

13.22m -≤≤;14.25-;15.10x y -+=;16.(1)28y x =;(2)2.四、解答题:本题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)解:(1)方案一:选条件①.因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++,即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ,因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++,解得2q =或0q =(舍)所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)由(1)得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1)((()(232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二:(1)选条件②.因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈,所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=,+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =,211112a S a =+=+=,21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)同方案一的(2)数学答案第2页(共6页)方案三:(1)选条件③.当2n ≥时,因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ (ⅰ)所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- (ⅱ)(ⅰ)-(ⅱ)得122(1)n n n a na n a +=--,即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时,122a a =,21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)同方案一的(2)18.(本小题满分12分)解:(1)因为cos 2cos sin a C a C c A =-,所以由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈,sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-,即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =,则4C π=②若cos sin 10C C +-=,则sin()42C π+=因为5444C πππ<+<,所以344C ππ+=,即2C π=综上,4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形,所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+(当且仅当a b =等号成立)所以11sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+数学答案第3页(共6页)19.(本小题满分12分)解:(1) 底面ABC D 和侧面11B BCC 都是矩形,∴CD BC ⊥,1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ,∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ,∴1BC D E ⊥,∵1D E CD ⊥,BC CD C = ,∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ,∴平面11CC D D ⊥底面ABCD .(2)取AB 的中点FE 是CD 的中点,底面ABCD 是矩形,EF CD∴⊥以E 为原点,以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴,建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>,则(0,0,0)E ,(1,1,0)B ,1(0,0,)D a ,(0,1,0)C ,1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ,(1,1,0)EB = ,1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:11100x y az +=⎧⎨=⎩,令11x =可得111,0y z =-=,∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ,(1,0,0)CB = ,1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得,22200x y az =⎧⎨+=⎩,令21z =可得2y a =-,∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π,所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =.∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ,由于(1,1,0)A -,(0,1,0)C ,(0,1,0)D -,1(0,0,1)D ,所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,则1212sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F数学答案第4页(共6页)20.(本小题满分12分)解:(1)由频率分布直方图的性质可得:0.050.351a b c ++++=,即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,所以0.2b =又23c b =,解之得:0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件,不超过9万次的件数为1006040-=件,由乙地试验结果的分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=,不超过9万次的零件数为25件,所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200(说明:填对5个数据得1分,用去尾法)所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关(3)在甲地实验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)(()44256P C ξ===131********(1)((4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)(()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21.(本小题满分12分)数学答案第5页(共6页)解:(1) 椭圆E 的离心率为12,12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为,1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得:2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为:22143x y +=(2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则1F MN ∆的周长48a ==,1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=,即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时,设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=,则3t >,r ===3t > ,1103t ∴<<,04r ∴<<综上可知:304r <≤22.(本小题满分12分)数学答案第6页(共6页)解:(1)由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ,2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-,则()xg x e a '=-①当0a ≤时,()0xg x e a '=->,所以()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意②0a >时,由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时,()0g x '<,函数()g x 单调递减;当(ln ,)x a ∈+∞时,()0g x '>,函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<,即a e >,令()2ln a a a ϕ=-(0)a >,则22()1a a a a ϕ-'=-=,当(0,2)a ∈时,()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数;当(2,)a ∈+∞时,()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数;∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>,即2ln a a >,从而ln 2a a a <<,2a e a >∴2()0a g a e a =->,又因为(0)10g =>,所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点,符合题意,综上,实数a 的取值范围为(,)e +∞.(2)不妨设12x x <,则1(,ln )x a ∈-∞,2(ln ,)x a ∈+∞,所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----222ln x x e a e ax a a-=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=(当且仅当2x x e a e -=,即ln x a =时,等号成立).所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >,可得2()(ln )0p x p a >=,即22()(2ln )0g x g a x -->,又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点,所以12()()g x g x =,所以12()(2ln )g x g a x >-,又2ln x a >,所以22ln ln a x a -<,又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减,所以122ln x a x <-,即122ln x x a +<.。

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合A={﹣1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=()A.{﹣1,1} B.{﹣1}C.{1}D.∅2.已知数据x1,x2,x3,...,x50,500(单位:公斤),其中x1,x2,x3,...,x50,是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,则x1,x2,x3, (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较,下列说法正确的是()A.平均数增大,中位数一定变大B.平均数增大,中位数可能不变C.平均数可能不变,中位数可能不变D.平均数可能不变,中位数可能变小3.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为()A.B.C.D.4.已知a∈R,则“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.定义min,则由函数f(x)的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.6.已知点F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C 的右支上,且满足|PF2|=|F1F2|,∠F1F2P=120°,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.7.如图所示的程序框图,输出S的值为()A.B.C.D.8.已知x,y∈R,且满足,则z=|x+2y|的最大值为()A.10 B.8 C.6 D.39.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形,NB=2PN,则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为()A.1:2 B.1:8 C.1:6 D.1:310.已知抛物线x2=4y,直线y=k(k为常数)与抛物线交于A,B两个不同点,若在抛物线上存在一点P(不与A,B重合),满足,则实数k的取值范围为()A.k≥2 B.k≥4 C.0<k≤2 D.0<k≤4二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,则的共轭复数为_______.12.二项式的展开式中,常数项等于_______(用数字作答).13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM 为等腰直角三角形,则f(x)=_______.14.若a>0,b>0,则的最小值是_______.15.定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量,且实数λ满足x=λx1+(1﹣λ)x2,此时向量.若|≤K恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数f(x)=x2﹣2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,那么K的最小值是_______.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣)(x∈R,w为常数且<w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(I)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f(A)=.求△ABC面积的最大值.17.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.求ξ的分布列与数学期望E(ξ).18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45,AP=AD=AC=2,E为PA的中点.(Ⅰ)设面PAB∩面PCD=l,求证:CD∥l;(Ⅱ)求二面角B﹣CE﹣D的余弦值.19.已知等差数列{a n}的公差d=2,其前n项和为S n,数列{a n}的首项b1=2,其前n项和为T n,满足.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n.20.已知椭圆E: +=1,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,动点M在射线1:x=4(y>0)上运动,MA交椭圆E于点P,MB交椭圆E于点Q.(1)若△MAB垂心的纵坐标为﹣4,求点的P坐标;(2)试问:直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.21.已知函数f(x)=sinx﹣ax.(Ⅰ)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,令h(x)=f(x)﹣sinx+lnx+1,求h(x)的最大值;(Ⅲ)求证:.2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合A={﹣1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=()A.{﹣1,1} B.{﹣1}C.{1}D.∅【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出全集中y的值确定出U,再由B利用补集的定义求出B的补集,找出A与B 补集的交集即可.【解答】解:由全集U中y=log2x,x=,1,2,16,得到y=﹣1,0,1,4,即全集U={﹣1,0,1,4},∵A={﹣1,1},B={1,4},∴∁U B={﹣1,0},则A∩(∁U B)={﹣1},故选:B.2.已知数据x1,x2,x3,...,x50,500(单位:公斤),其中x1,x2,x3,...,x50,是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,则x1,x2,x3, (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较,下列说法正确的是()A.平均数增大,中位数一定变大B.平均数增大,中位数可能不变C.平均数可能不变,中位数可能不变D.平均数可能不变,中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数.【分析】根据平均数与中位数的定义,分析这组数据,即可得出正确的结论.【解答】解:根据题意得,数据x1,x2,x3,…,x50,是某班50个学生的体重,其平均数应在50公斤左右,再增加一个数据500,这51个数据的平均数一定增大,而中位数有可能不变,如:按大小顺序排列后,第25、26个数据相等时,其中位数相等.故选:B.3.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为()A.B.C.D.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;函数的零点;古典概型及其概率计算公式.【分析】函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,可得ξ>1,根据随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),可得曲线关于直线x=1对称,从而可得结论.【解答】解:∵函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,∴△=4﹣4ξ<0,∴ξ>1∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),∴曲线关于直线x=1对称∴P(ξ>1)=故选C.4.已知a∈R,则“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】要判断“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的条件,我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域,然后转化为一个恒成立的判断与性质问题,最后结合充要条件的定义,进行判断.【解答】解:函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2,+∞)则当a<1时,|x﹣2|+|x|>a恒成立反之若,|x﹣2|+|x|>a,则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立,即a<2故“a<1”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的充分不必要条件故选:A.5.定义min,则由函数f(x)的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】根据题目给出的函数定义,写出分段函数f(x)=min{x2, },由图象直观看出所求面积的区域,然后直接运用定积分求解阴影部分的面积.【解答】解:由=x2,得:x=1,又当x<0时,<x2,所以,根据新定义有f(x)=min{x2, }=,图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2,故选:C.6.已知点F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C 的右支上,且满足|PF2|=|F1F2|,∠F1F2P=120°,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c,再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即为2c﹣2c=2a,运用离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解:由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c,∠PF2F1=120°,即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•(﹣)=12c2,即有|PF1|=2c,由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即为2c﹣2c=2a,即有c=a,可得e==.故选:A.7.如图所示的程序框图,输出S的值为()A.B.C.D.【考点】程序框图.【分析】题目给出了当型循环结构框图,首先引入累加变量s和循环变量n,由判断框得知,算法执行的是求2n cosnπ的和,n从1取到100,利用等比数列求和公式即可计算得解.【解答】解:通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π,由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=.故选:C.8.已知x,y∈R,且满足,则z=|x+2y|的最大值为()A.10 B.8 C.6 D.3【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:作出不等式组,对应的平面区域如图:(阴影部分)由z=|x+2y|,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时,z 取得最大值,此时z 最大.即A (﹣2,﹣2),代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选:C .9.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,NB=2PN ,则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为( )A .1:2B .1:8C .1:6D .1:3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系,得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴S △ABC =S △ACD .∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC .∵NB=2PN ,∴NB=PB ,∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ,∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC .∴.故选:D .10.已知抛物线x2=4y,直线y=k(k为常数)与抛物线交于A,B两个不同点,若在抛物线上存在一点P(不与A,B重合),满足,则实数k的取值范围为()A.k≥2 B.k≥4 C.0<k≤2 D.0<k≤4【考点】抛物线的简单性质.【分析】由题意可得设A(2,k),B(﹣2,k),P(m,),运用向量的数量积的坐标表示,由换元法可得二次方程,由判别式大于等于0和两根非负的条件,运用韦达定理,解不等式即可得到所求范围.【解答】解:由y=k(k>0),代入抛物线x2=4y,可得x=±2,可设A(2,k),B(﹣2,k),P(m,),由,可得(2﹣m,k﹣)•(﹣2﹣m,k﹣)=0,即为(2﹣m)(﹣2﹣m)+(k﹣)2=0,化为m4+m2(1﹣)+k2﹣4k=0,可令t=m2(t≥0),则t2+t(1﹣)+k2﹣4k=0,可得△=(1﹣)2﹣(k2﹣4k)≥0,即1≥0恒成立,由韦达定理可得﹣(1﹣)≥0,k2﹣4k≥0,解得k≥4.故选:B.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,则的共轭复数为i.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数相等,求出m,n然后求解复数的代数形式.【解答】解:m,n∈R,且m+2i=2﹣ni,可得m=2,n=﹣2,====﹣i.它的共轭复数为i.故答案为:i.12.二项式的展开式中,常数项等于1215(用数字作答).【考点】二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项【解答】解:展开式的通项公式为,由6﹣3k=0得k=2,所以常数项为,故答案为1215.13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM为等腰直角三角形,则f(x)=cosπx.【考点】正弦函数的图象.【分析】由函数的最值求出A,由函数的奇偶性求出φ的值,由周期求出ω,可得函数的解析式.【解答】解:由题意可得A=,φ=2kπ+,k∈Z,再结合0<φ<π,可得φ=,函数f(x)=sin(ωx+)=cosωx.再根据•=,可得ω=π,函数f(x)=cosπx,故答案为:cosπx.14.若a>0,b>0,则的最小值是2+3.【考点】基本不等式.【分析】化简可得=++3,从而利用基本不等式求解即可.【解答】解:=2+++1=++3≥2+3,(当且仅当=,即a=b时,等号成立);故答案为:2+3.15.定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量,且实数λ满足x=λx1+(1﹣λ)x2,此时向量.若|≤K恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数f(x)=x2﹣2x在区间[1,2]上可在标准K下线性近似,那么K的最小值是.【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】y N﹣y M=λf(x1)+(1﹣λ)f(x2)﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2]=,由题意可得:=|y N﹣y M|=||≤|λ(1﹣λ)|,再利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:y N﹣y M=λf(x1)+(1﹣λ)f(x2)﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2]=+﹣+2[λx1+(1﹣λ)x2] =,|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1,由题意可得:=|y N﹣y M|=||≤|λ(1﹣λ)|≤=,由于|≤K恒成立,∴,∴K的最小值为.故答案为:.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣)(x∈R,w为常数且<w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(I)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f(A)=.求△ABC面积的最大值.【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)化简f(x),根据对称轴求出ω,得出f(x)的解析式,利用周期公式计算周期;(2)由f(A)=解出A,利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值,代入面积公式得出面积的最大值.【解答】解:(I)f(x)=cos2ωx﹣[﹣cos(2ωx﹣)]=cos(2ωx﹣)﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin(2ωx﹣).令2ωx﹣=+kπ,解得x=.∴f(x)的对称轴为x=,令=π解得ω=.∵<w<1,∴当k=1时,ω=.∴f(x)=sin(x﹣).∴f(x)的最小正周期T=.(2)∵f()=sin(A﹣)=,∴sin(A﹣)=.∴A=.由余弦定理得cosA===.∴b2+c2=bc+1≥2bc,∴bc≤1.∴S△ABC==≤.∴△ABC面积的最大值是.17.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.(Ⅰ)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(Ⅱ)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.求ξ的分布列与数学期望E(ξ).【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元,求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式,可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(Ⅱ)确定变量的取值,求出相应的概率,即可求得ξ的分布列与数学期望.【解答】解:(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元.…都付0元的概率为P1==,都付40元的概率为P2==,都付80元的概率为P3=(1﹣)(1﹣)=,故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=.(Ⅱ)由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0,40,80,120,160,P(ξ=0)==,P(ξ=40)==,P(ξ=80)=+=,P(ξ=120)=+=,P(ξ=160)=(1﹣)(1﹣)=,∴ξ的分布列为:ξ0 40 80 120 160P数学期望E(ξ)=+=80.18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45,AP=AD=AC=2,E为PA的中点.(Ⅰ)设面PAB∩面PCD=l,求证:CD∥l;(Ⅱ)求二面角B﹣CE﹣D的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;棱锥的结构特征.【分析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出对应平面的法向量,利用向量法进行求解即可.【解答】证明:(Ⅰ)取CD的中点H,∵AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45,AP=AD=AC=2,∴AH⊥CD,∠CAH=∠CAB=45°,即∠BAH=90°,即四边形ABCH是矩形,则AB∥CH,AB∥CD∵CD⊄面PAB,AB⊂面PAB,∴CD∥面PAB,∵CD⊂面PCD,面PAB∩面PCD=l,∴根据线面平行的性质得CD∥l.(Ⅱ)∵AC=2,∴AB=BC=AH=,DH=,建立以A为原点,AH,AB,AP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:则A(0,0,0),B(0,,0),C(,,0),P(0,0,2),E(0,0,1),D(,﹣,0),=(﹣,﹣,1),=(,0,0),=(0,﹣2,0)设平面BPC的一个法向量为=(x,y,z),则,则x=0,令y=,则z=2,即=(0,,2),设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),,则y=0,令x=,则z=2,=(,0,2),则cos<,>====,即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是.19.已知等差数列{a n}的公差d=2,其前n项和为S n,数列{a n}的首项b1=2,其前n项和为T n,满足.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(I)由,可得=T1+2=22,解得a1.利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n,S n.可得2n+1=T n+2,利用递推关系可得b n.(II)令c n=a n b n﹣14=(2n﹣1)•2n﹣14.可得:c1=﹣12,c2=﹣2,n≥3,c n>0.n≥3,W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2.W n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n﹣14n+28,令Q n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(I)∵,∴=T1+2=2+2=4=22,∴+1=2,解得a1=1.∴a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.∴S n==n2.∴2n+1=T n+2,+2)=b n,∴当n≥2时,2n+1﹣2n=T n+2﹣(T n﹣1∴b n=2n,当n=1时也成立.∴b n=2n.(II)令c n=a n b n﹣14=(2n﹣1)•2n﹣14.∴c1=﹣12,c2=﹣2,n≥3,c n>0.∴n≥3,W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2.W n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n﹣14n+28,令Q n=1×2+3×22+…+(2n﹣1)2n,2Q n=1×22+3×23+…+(2n﹣3)•2n+(2n﹣1)•2n+1,∴﹣Q n=2(2+22+…+2n)﹣2﹣(2n﹣1)•2n+1=2×﹣2﹣(2n﹣1)•2n+1=(3﹣2n)•2n+1﹣6,∴Q n=(2n﹣3)•2n+1+6.∴W n=.20.已知椭圆E: +=1,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,动点M在射线1:x=4(y>0)上运动,MA交椭圆E于点P,MB交椭圆E于点Q.(1)若△MAB垂心的纵坐标为﹣4,求点的P坐标;(2)试问:直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),垂心H(4,﹣4),由BH⊥MA,运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1,可得m,再由直线MA与椭圆求得交点P;(2)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),可得MA的方程为y=(x+2),代入椭圆方程,运用韦达定理,解得P的坐标;同理求得Q的坐标,运用直线的斜率公式可得PQ的斜率,由点斜式方程可得PQ的方程,再由恒过定点思想,即可得到所求定点.【解答】解:(1)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),垂心H(4,﹣4),由BH⊥MA,可得k BH•k MA=﹣1,即有•=﹣1,可得m=,由MA的方程:y=(x+2),代入椭圆方程,可得8x2+4x﹣48=0,解得x=﹣2,或,即有P(,);(2)设M(4,m),由A(﹣2,0),B(2,0),可得MA的方程为y=(x+2),代入椭圆方程,可得(36+m2)x2+4m2x+8m2﹣288=0,由﹣2x P=,可得x P=,y P=(x P+2)=;又MB:y=(x﹣2),代入椭圆方程,可得(4+m2)x2﹣4m2x+8m2﹣32=0,由2+x Q=,可得x Q=,y Q=(x Q﹣2)=﹣,即有直线PQ的斜率为k==,则直线PQ:y﹣=(x﹣),化简即有y=(x﹣1),由x﹣1=0,解得x=,y=0.故直线PQ恒过定点(,0).21.已知函数f(x)=sinx﹣ax.(Ⅰ)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,令h(x)=f(x)﹣sinx+lnx+1,求h(x)的最大值;(Ⅲ)求证:.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式求出a的范围即可;(Ⅱ)求出h(x)的导数,解关于导函数的不等式求出h(x)的单调区间,从而求出h(x)的最大值即可;(Ⅲ)构造函数f(x)=ln(1+x)﹣x,利用导数法可证得ln(1+x)≤x(当x≠0时,ln(1+x)<x),令x=,利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sinx﹣ax,f′(x)=cosx﹣a,若对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,即a<cosx在(0,1)恒成立,故a≤0;(Ⅱ)a=1时,h(x)=lnx﹣x+1,(x>0),h′(x)=﹣1=,令h′(x)>0,解得:0<x<1,令h′(x)<0,解得:x>1,∴h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,∴h(x)的最大值是h(1)=0;证明:(Ⅲ)构造函数g(x)=ln(1+x)﹣x,则g′(x)=﹣1=,当﹣1<x<0时,g′(x)>0,g(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x>0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减;所以,当x=0时,g(x)=ln(1+x)﹣x取得极大值,也是最大值,所以,g(x)≤g(0)=0,即ln(1+x)≤x,当x≠0时,ln(1+x)<x.令x=,则ln(1+)=ln(n+1)﹣lnn<,即ln(n+1)﹣lnn<,∴ln2﹣ln1<1,ln3﹣ln2<,…,lnn﹣ln(n﹣1)<,ln(n+1)﹣lnn<,以上n个不等式相加得:ln(n+1)﹣ln1<1+++…+,即.2020年9月9日。

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i 是虚数单位,复数12iz i-=,则z 的共轭复数z 的虚部为( ) A .i -B .1C .iD .1-2.(5分)已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合{||1|2}B x R x =∈-<,则(A B =I ) A .(0,3)B .(1,3)-C .(0,4)D .(,3)-∞3.(5分)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布(2000N ,2100),则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附:随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则()0.6826P μσξμσ-<<+=,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=,(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.A .0.9759B .0.84C .0.8185D .0.47724.(5分)设0.22a =,sin 2b =,2log 0.2c =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A .a b c >>B .b a c >>C .b c a >>D .c a b >>5.(5分)已知函数39,0()( 2.718,0x x x f x e xe x ⎧-==⋯⋯⎨<⎩…为自然对数的底数),若()f x 的零点为α,极值点为β,则(αβ+= ) A .1-B .0C .1D .26.(5分)已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等,点E ,F 分别在线段PA ,PC 上,且//EF 底面ABCD ,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为( )A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒7.(5分)在同一直角坐标系下,已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D ,点A ,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为()A .2B CD .18.(5分)某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率()A.112125B.80125C.113125D.124125二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9.(5分)已知向量(1,1),(3,1),(1,1)a b a b c+=-=-=r rr r r,设,a brr的夹角为θ,则() A.||||a b=rrB.a c⊥r rC.//b cr rD.135θ=︒10.(5分)已知函数22()sin23sin cos cosf x x x x x=+-,x R∈,则() A.2()2f x-剟B.()f x在区间(0,)π上只有1个零点C.()f x的最小正周期为πD.3xπ=为()f x图象的一条对称轴11.(5分)已知数列{}na的前n项和为nS,11a=,121n n nS S a+=++,数列12{}nn na a+g的前n 项和为*,nT n N∈,则下列选项正确的为()A.数列{1}na+是等差数列B.数列{1}na+是等比数列C.数列{}na的通项公式为21nna=-D.1nT<12.(5分)已知四棱台1111ABCD A B C D-的上下底面均为正方形,其中22AB=,111112,2A B AA BB CC====,则下述正确的是()A .该四棱合的高为3B .11AA CC ⊥C .该四棱台的表面积为26D .该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.(5分)若(0,)x ∀∈+∞,14x x a -+…恒成立,则实数a 的取值范围为 .14.(5分)已知函数()f x 的定义域为R ,(1)f x +为奇函数,(0)1f =,则f (2)= . 15.(5分)已知a N ∈,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A ,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 个.16.(5分)2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:(0,3)Q -是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O ;点L 、S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .(1)若直线l 与圆L 、圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为 ; (2)若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ,则d = .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T .已知112a b =,26S =,312S =,243T =,*n N ∈. (1)求{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)是否存在正整数k ,使得6k S k <且139k T >?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;。

山东省青岛市2019-2020学年高考一诊数学试题含解析

山东省青岛市2019-2020学年高考一诊数学试题含解析

山东省青岛市2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ,命题p :x D ∀∈,()f x x ≤的否定是( ) A .x D ∀∈,()f x x > B .0x D ∃∈,()00f x x ≤ C .x D ∀∉,()f x x > D .0x D ∃∈,()00f x x >【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义,全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p :x D ∀∈,()f x x ≤是全称命题, 所以其否定是特称命题,即0x D ∃∈,()00f x x >. 故选:D 【点睛】本题主要考查命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.2.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取()1,2i i =个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数()1,2i X i =,则( )A .()()1233P X P X =>=,12EX EX >B .()()1233P X P X =<=,12EX EX >C .()()1233P X P X =>=,12EX EX <D .()()1233P X P X =<=,12EX EX < 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项. 【详解】13X =表示取出的为一个白球,所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球,()12116123C P X C ===,所以()121832333E X =⨯+⨯=.23X =表示取出两个球,其中一黑一白,()11422268315C C P X C ===,22X =表示取出两个球为黑球,()22226115C P X C ==,24X =表示取出两个球为白球,()242266415C P X C ===,所以()2816103241515153E X =⨯+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=,12EX EX <. 故选:C 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.3.在正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F ,G 分别为棱11A D ,1D D ,11A B 的中点,给出下列命题:①1AC EG ⊥;②//GC ED ;③1B F ⊥平面1BGC ;④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用向量的方法对四个命题逐一分析,由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示,()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ,()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①,()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r,所以1AC EG ⊥,故①正确.②,()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ,不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r,故//GC ED 不成立,故②错误. ③,()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ,1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r,故1B F ⊥平面1BGC 不成立,故③错误.④,()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ,设EF 和1BB 成角为θ,则11cos 2EF BB EF BB θ⋅===⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ,由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以4πθ=,故④正确.综上所述,正确的命题有2个. 故选:C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法,考查运算求解能力,属于中档题.4.从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且||5PM =,设抛物线的焦点为F ,则直线MF 的斜率为( ) A .2- B .2C .43-D .43【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标,进而求出点M 的坐标,代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >,由题意知,焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-, 所以015PM x =+=,解得04x =, 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得,04y =±,因为00y >,所以04y =,所以点M 坐标为()1,4-, 代入斜率公式可得,40211MF k -==---. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.5.已知双曲线22221x y a b-= (a>0,b>0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .[2,)+∞ B .(1,2),C .(2,)+∞D .(1,2]【答案】A 【解析】 【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围. 【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba,∴b a 22224a b e a +=…, 2e ∴…,故选:A . 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件. 6.已知复数z 满足()1i +z =2i ,则z =( )A B .1C D .12【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则,可得z ,然后利用复数模的概念,可得结果. 【详解】由题可知:()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-,所以1z i =+所以z ==故选:A 【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题. 7.已知复数z 满足i z11=-,则z =( ) A .1122i + B .1122i - C .1122-+iD .1122i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-,得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+, 所以,1122z i =-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题. 8.已知0a b >>,则下列不等式正确的是( )A b a <B b a >C .abe b e a -<- D .abe b e a ->-【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法,作差法,排除不符合条件的选项,得到符合条件的选项. 【详解】已知0a b >>,赋值法讨论0a b >>的情况:(1)当1a b >≥时,令2a =,1b =b a <,a b e b e a ->-,排除B 、C 选项;(2)当01b a <<≤时,令12a =,13b =b a >,排除A 选项.故选:D. 【点睛】比较大小通常采用作差法,本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,得到符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于中等题.9.函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数,可排除B 选项; 当x 0<时,()0f x <,可排除D 选项; 当x 1=时,()12f ln =,当x 3=时,ln10ln10(3),ln 22727f =>, 即()()1?3f f >,可排除C 选项, 故选:A 【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题. 10.已知等差数列{}n a 中,468a a +=则34567a a a a a ++++=( ) A .10 B .16C .20D .24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==,再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中,4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.11.已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点,若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ,则双曲线C 的离心率为( ) ABCD .2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ,代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=,然后分别求出点P 到两条渐近线的距离,由距离之积为214c ,并结合222222b m a n a b -=,可得到,,a b c 的齐次方程,进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ,有22221m n a b-=,得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=,则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+, 所以222214a b c c =,则22244()a c a c -=,即()22220c a -=,故2220c a -=,即2222c e a ==,所以e =故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.12.已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球(记为球O )的球面上,且底面ABCDEF 为正六边形,顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G,若PA =AB =O 的表面积为( ) A .163πB .94π C .6πD .9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意,得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥,求得2PG ==,再结合球的性质,求得球的半径32R =,利用表面积公式,即可求解. 【详解】由题意,六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形,顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ,可得此六棱锥为正六棱锥, 又由2AB =,所以2AG =,在直角PAG ∆中,因为6PA =,所以222PG PA AG =-=,设外接球的半径为R ,在AOG ∆中,可得222AO AG OG =+,即222(2)(2)R R =-+,解得32R =, 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

山东省青岛市2020年4月高三统一质量检测(一模)数学试卷(含答案)

山东省青岛市2020年4月高三统一质量检测(一模)数学试卷(含答案)

青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟。一、单项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的已知♓是虚数单位 复数12,iz i-=则 的共轭复数 的虚部为 ✌ ♓ ♓ 已知集合2{|log 2}A x R x =∈< 集合 ⌧∈ ⌧ ❝ 则✌✆ ✌ ☎ ✆  ☎ ✆  ☎ ✆ ☎ ✆已知某市居民在  年用于手机支付的个人消费额ξ☎单位 元✆服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在☎   ✆内的概率为✌    附 随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则 ☎↗⇔↘↗⇔✆  (22)0.9544P μσξμσ-<<+= ☎↗ ⇔↘↗ ⇔✆   设0.22,a b ==♦♓⏹2,log 0.2,c =则♋ ♌♍的大小关系正确的是 ✌ ♋♌ ♍ ♌♋ ♍ ♌♍♋ ♍♋♌已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数✆若♐☎⌧✆的零点为↑极值点为↓则↑↓✌   已知四棱锥 ✌的所有棱长均相等 点☜☞分别在线段 ✌ 上 且☜☞底面✌则异面直线☜☞与 所成角的大小为✌   在同一直角坐标系下 已知双曲线 22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线 点✌分别在双曲线 的下支和曲线 上 则线段✌长度的最小值为✌.3B .2C 某单位举行诗词大会比赛 给每位参赛者设计了❽保留题型❾ 、❽升级题型❾ 、❽创新题型❾三类题型 每类题型均指定一道题让参赛者回答。已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二、多项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分。在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求。全部选对的得 分 部分选对的得 分 有选错的得 分。已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=设,a b 的夹角为→则.||||A a b = .B a c ⊥ .//C b c  →  已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-⌧∈ 则 ✌ ♎♐☎⌧✆♎ ♐☎⌧✆ 在区间☎⇨✆上只有 个零点 ♐☎⌧✆ 的最小正周期为⇨.3D x π=为♐☎⌧✆图象的一条对称轴 已知数列{}n a 的前⏹项和为 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前⏹项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为✌数列{1}n a +是等差数列数列{1}n a +是等比数列数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形 其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是✌该四棱合的高为311.B AA CC ⊥该四棱台的表面积为 该四棱合外接球的表面积为 ⇨三、填空题 本题共 个小题 每小题 分 共 分。 若 ⌧1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立 则实数♋的取值范围为♉♉♉♉ 已知函数♐☎⌧✆的定义域为 ♐☎⌧ ✆为奇函数 ♐☎✆ 则♐☎✆♉♉♉♉  已知♋∈☠二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于 记♋的取值集合为✌则由集合✌中元素构成的无重复数字的三位数共有♉♉♉♉♉♉个 年是中国传统的农历❽鼠年❾有人用 个圆构成❽卡通鼠❾的形象 如图 ✈☎ ✆是圆✈的圆心 圆✈过坐标原点 点☹、 均在⌧轴上 圆☹与圆 的半径都等于 圆 、圆☹均与圆✈外切。已知直线●过点 ☎ ✆ 若直线●与圆☹、圆 均相切 则●截圆✈所得弦长为♉♉♉♉  ☎✆若直线●截圆☹、圆 、圆✈所得弦长均等于♎则♎♉♉♉♉ ☎本题第一个空 分 第二个空 分✆四、解答题 本题共 小题 共 分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。  ☎ 分✆设等差数列{}n a 的前⏹项和为,n S 等比数列{}n b 的前⏹项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =⏹∈☠✉ ☎ ✆求{},{}n n a b 的通项公式☎✆是否存在正整数 使得6k S k <且139k T >?若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由。 ☎ 分✆在△✌中 ♋ ♌ ♍分别为内角✌  的对边 22222()(1tan )b b c a A =+-- ☎ ✆求角 ☎✆若210,c= 为 中点 在下列两个条件中任选一个 求✌的长度。条件① △✌ 的面积  且  ✌条件②25 cos.5B=注 如果选择两个条件分别解答 按第一个解答计分。 ☎ 分✆在如图所示的四棱锥☜✌中 四边形✌为平行四边形 △ ☜为边长为 的等边三角形 ✌✌☜点☞分别为✌ ☜的中点 ☞是异面直线✌和 的公垂线。☎ ✆证明 平面✌☜⊥平面 ☜☎✆记 ☜的重心为☝求直线✌☝与平面✌所成角的正弦值 ☎ 分✆某网络购物平台每年 月 日举行❽双十一❾购物节 当天有多项优惠活动 深受广大消费者喜爱。☎ ✆已知该网络购物平台近 年❽双十❾购物节当天成交额如下表年份成交额(百亿元)    求成交额✆的线性回归方程 并预测 年该平台❽双十一❾购物节当天的成交额☎百亿元✆ ☎✆在 年❽双十一❾购物节前 某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台 上分别参加✌、 两店各一个订单的❽秒杀❾抢购 若该同学的爸爸、妈妈在✌、 两店订单❽秒杀❾成功的概率分别为☐、❑记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为✠ ☎ ♓✆求✠的分布列及☜☎✠✆☎♓♓✆已知每个订单由 ☎♏∈☠✉ ✆件商品 构成 记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 总数量为✡假设27sinsin,44k k p q k k kπππ=-= 求☜☎✡✆取最大值时正整数 的值附 回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑☎ 分✆已知 为坐标原点 椭圆 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左 右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线2:4y x =的焦点 以12F F 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点☎ ✆求椭圆 的标准方程☎✆ 若直线●与 相交于✌两点 记点✌到直线⌧ 的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线●与 相交于☜☞两点 记△ ✌△ ☜☞ 的面积分别为12,.S S☎♓✆证明 1EFF ∆的周长为定值 ☎♓♓✆求21S S 的最大值 ☎ 分✆已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点☎ ✆处的切线方程为⍓ ☎ ✆当⌧∈☎✆时 证明  ♐☎⌧✆☎✆设函数♑☎⌧✆⌧♐☎⌧✆当⌧∈☎ ✆时 证明 ♑☎⌧✆  ☎ ✆若数列{}n a 满足 *11(),01,n n a f a a n N +=<<∈ 证明1ln 0.ni ia=<∑。

青岛市高三一模试题及答案数学理(20201028171739)

青岛市高三一模试题及答案数学理(20201028171739)

f ( x)
俯视图
1 x 2 2ex , g( x) 2
3e2 ln x b (其中 e为常数, e 2.71828 ) ,
,且在该点处的切线相同 .
(Ⅱ )当 x
1 ,e 时 , 2( f (x)
e
2ex)
a 6e2 ( 2g( x)
e2 )
(a
2) x 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .
22.( 本题满分 14 分 )
OA, OB,OC 满
足 OC a1OA a2010 OB ,三点 A, B , C 共线且该直线不过 O 点,则 S2010 等于
A. 1005
B . 1006
C. 2010
D . 2012
12 .平面 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 m1 和直线 n1 ,给出下列四个命
2 21 3 33
33 11
3
所以 二面角 M NC
20.( 本题满分 12 分 )
B 的余弦值为
33
. ………… 12 分
11
解 :( Ⅰ )因为
a
2 n
1
2
a
2 n
anan 1 , 即 (an 1
an )( 2an
an 1)
0
又 a n 0 , 所以有 2a n a n 1 0 ,所以 2a n a n 1
13 . 若 ( x 1 )n 展 开 式 中 第 2 项 与 第 6 项 的 系 数 相 同 , 那 么 展 开 式 的 中 间 一 项 的 系 数 x


14 .已知区域
{( x, y) | x y 10, x 0, y 0}, A {( x, y) | x y 0, x 5, y 0} ,若向区域 上随

山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围( ) A .2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 2.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0x ≠)的图象可能为( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-,故函数是奇函数,所以排除A ,B ;取x π=,则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且80S =,33a =-,则9S =( ) A .9 B .12C .15-D .18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =,33a =-可得1,a d 以及9a ,而989S S a =+,代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ,则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=,所以9899S S a =+=.故选:A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.4.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为(mod )N n m =,例如112(mod3)=.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n等于( ).A .21B .22C .23D .24【答案】C 【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.5.已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=,则ω的最小值为A .16B .23C .53D .56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象,因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=,所以sin()1633ωωπππ+-=±,即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ,所以52,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,所以ω的最小值为53.故选C . 6.已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C 的方程不可能为( )A .221155x y -=B .221515x y -=C .221312y x -=D .221217y x -=【答案】C【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°,双曲线C 的渐近线方程为y x =或y =.A 选项渐近线为y x =,B 选项渐近线为y =,C 选项渐近线为12y x =±,D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选:C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.7.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( ) A .多1斤 B .少1斤C .多13斤 D .少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a , 则123891043a a a a a a ++=++=,, 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-== , 故选C8.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ,若F 到直线20bx ay -=,则E 的离心率为( )A B .12C .2D .3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ,有21ba=,再利用222a b c =+即可解决.由F 到直线20bx ay -=,得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ,所以21ba=,即()2224a c a -=,解得2e =. 故选:A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题,一般求椭圆离心率的问题时,通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式,本题是一道容易题.9.要得到函数2sin 2y x x =-的图像,只需把函数sin 22y x x =-的图像( )A .向左平移2π个单位 B .向左平移712π个单位 C .向右平移12π个单位D .向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形,整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比,从而可选出正确答案. 【详解】 解:1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A :可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换,考查了辅助角公式.本题的易错点有两个,一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时,忘记乘了自变量前的系数.10.若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩…函数()()g x f x kx =+只有1个零点,则k 的取值范围是( ) A .(1,0)- B .(,0)(1,)-∞⋃+∞ C .(,1)(0,)-∞-+∞U D .(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解. 【详解】()()g x f x kx =+有1个零点等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点.记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->,则过原点作()h x 的切线, 设切点为00(,)x y ,则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-, 又切线过原点,即000()()h x h x x '=, 将0000()13,()()h x x x x =---,02003()38x h x x '-+=-代入解得02x =.所以切线斜率为2(2)328231h '=-⨯+⨯-=, 所以1k <-或0k >. 故选:C 【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.11.已知函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()()2g x f x =+ ) A .[]0,1 B .[]0,2 C .[]1,2 D .[]1,3【答案】A 【解析】试题分析:由题意,得022{820xx ≤≤-≥,解得01x ≤≤,故选A . 考点:函数的定义域.12.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ,若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直,则双曲线M 的离心率的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】由b a >可得e >由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则TF b =≥,进而求解.【详解】b a >Q ,所以离心率c e a ==>,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有TF ,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以TF b =≥,即ba所以c e a ==,所以双曲线M 的离心率的取值范围是. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

山东省青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准

山东省青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准

青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

B C A D C B A B 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

9.AC 10.BCD 11.ABD 12.CD三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。

13.22m -≤≤;14.25-;15.10x y -+=;16.(1)28y x =;(2)2.四、解答题:本题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)解:(1)方案一:选条件①.因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++,即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ,因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++,解得2q =或0q =(舍)所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)由(1)得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1(()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二:(1)选条件②.因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈,所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=,+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =,211112a S a =+=+=,21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)同方案一的(2)方案三:(1)选条件③.当2n ≥时,因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ (ⅰ)所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- (ⅱ)(ⅰ)-(ⅱ)得122(1)n n n a na n a +=--,即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时,122a a =,21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈(2)同方案一的(2)18.(本小题满分12分)解:(1)因为cos 2cos sin a C a C c A =-,所以由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈,sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-,即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =,则4C π=②若cos sin 10C C +-=,则2sin(42C π+=因为5444C πππ<+<,所以344C ππ+=,即2C π=综上,4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形,所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+(当且仅当a b =等号成立)所以1122sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+19.(本小题满分12分)解:(1) 底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形,∴CD BC ⊥,1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ,∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ,∴1BC D E ⊥,∵1D E CD ⊥,BC CD C = ,∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ,∴平面11CC D D ⊥底面ABCD .(2)取AB 的中点FE 是CD 的中点,底面ABCD 是矩形,EF CD∴⊥以E 为原点,以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴,建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>,则(0,0,0)E ,(1,1,0)B ,1(0,0,)D a ,(0,1,0)C ,1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ,(1,1,0)EB = ,1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:11100x y az +=⎧⎨=⎩,令11x =可得111,0y z =-=,∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ,(1,0,0)CB = ,1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得,22200x y az =⎧⎨+=⎩,令21z =可得2y a =-,∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π,所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =.∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ,由于(1,1,0)A -,(0,1,0)C ,(0,1,0)D -,1(0,0,1)D ,所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,则12126sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F20.(本小题满分12分)解:(1)由频率分布直方图的性质可得:0.050.351a b c ++++=,即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,所以0.2b =又23c b =,解之得:0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件,不超过9万次的件数为1006040-=件,由乙地试验结果的分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=,不超过9万次的零件数为25件,所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200(说明:填对5个数据得1分,用去尾法)所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关(3)在甲地实验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)((44256P C ξ===131********(1)(()4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)()()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21.(本小题满分12分)解:(1) 椭圆E 的离心率为12,12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得:2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为:22143x y +=(2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则1F MN ∆的周长48a ==,1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=,即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时,设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=,则3t >,r ===3t > ,1103t ∴<<,304r ∴<<综上可知:304r <≤22.(本小题满分12分)解:(1)由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ,2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-,则()xg x e a '=-①当0a ≤时,()0xg x e a '=->,所以()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意②0a >时,由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时,()0g x '<,函数()g x 单调递减;当(ln ,)x a ∈+∞时,()0g x '>,函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<,即a e >,令()2ln a a a ϕ=-(0)a >,则22()1a a a a ϕ-'=-=,当(0,2)a ∈时,()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数;当(2,)a ∈+∞时,()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数;∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>,即2ln a a >,从而ln 2a a a <<,2a e a >∴2()0a g a e a =->,又因为(0)10g =>,所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点,符合题意,综上,实数a 的取值范围为(,)e +∞.(2)不妨设12x x <,则1(,ln )x a ∈-∞,2(ln ,)x a ∈+∞,所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----22x x e a e ax -=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=(当且仅当2x x e a e -=,即ln x a =时,等号成立).所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >,可得2()(ln )0p x p a >=,即22()(2ln )0g x g a x -->,又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点,所以12()()g x g x =,所以12()(2ln )g x g a x >-,又2ln x a >,所以22ln ln a x a -<,又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减,所以122ln x a x <-,即122ln x x a +<.。

青岛市高三一模试题及答案(数学理)

青岛市高三一模试题及答案(数学理)

青岛市高三教学质量统一检测数学试题(理科) 2020.3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(i 为虚数单位)等于 A .1 B .1- C .i D .i - 2.若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ,}1{x y x B -==,则A B =I A .(]1,∞- B .]1,1[-C .φD .{1}3.设p 和q 是两个简单命题,若p ⌝是q 的充分不必要条件,则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A .1 3 B .4 1 C . 0 0 D .605.若dx x a ⎰=22sin π,dx x b ⎰=1cos ,则a 与b 的关系是A .b a <B .b a >C .b a =D .0=+b a 6.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A .2B. 1C .22+D. 1+7.已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点,则a 的值为 A .1B .4C .8D .168.将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为A .2B .3C .4D .69.已知281(0,0)x y x y+=>>,则x y +的最小值为A .12B .14C .16D .1810.过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点,过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ,若直线AC 平行于y 轴,则点A 的坐标是A .)2,1(B .)4,2(C .)2,21( D .)1,0( 11.在数列}{n a 中,a a a n n +=+1(a n ,N *∈为常数),若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=,三点C B A ,,共线且该直线不过O 点,则2010S 等于A .1005B .1006C .2010D .201212.平面α外有两条直线m 和n ,如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ,给出下列四个命题: ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ; ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ; ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合; ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合;其中不正确...的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.若n xx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同,那么展开式的中间一项的系数为 ; 14.已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ,若向区域Ω上随机投1个点,则这个点落入区域A 的概率()P A = ; 15.关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ;16.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ,且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根,则实数a 的范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=,)cos 2,1(x =,设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ,且⊥,求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值. 18.(本小题满分12分)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利,则x 最少为多少元? 19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图,在直观图中,SA SC =,N M 、分别为SB AB 、的中点.(Ⅰ)求证:SB AC ⊥;(Ⅱ)求二面角B NC M --的余弦值.20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a aa ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较nn T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)A B C M S N侧视图俯视图4已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2(其中e 为常数,2.71828e =⋅⋅⋅),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e a ex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ,P 是椭圆C 上的一点,且在x 轴的上方,H 是1PF 上一点,若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ(其中O 为坐标原点).(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ,点),(01-M ,设Q 是椭圆C 上的一点,过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =u u u r u u u u r, 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测 数学试题(理科)答案 2020.3一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. CBBBA BCDDA AD二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13.20 14.4115.),(23- 16.),(∞+1 三、解答题(共74分). 17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分因为6136260ππππ<+<<<A A ,,所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分 所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………8分 (),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分 所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利,则x 最少为60元. …………12分 19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ,侧面⊥SAC 底面ABC , 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,,所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -. (4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-u u u r u u r.).2,0,1(),0,3,3(-==MN CM …………6分 设=),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x yx ,取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a CN m b a CB m ,得02=+c a , 令1=c ,则)1,36,2(-=…………10分 所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===,所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++nn n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n猜想:13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时,41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立; ②假设当k n =时,不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分 当1+=k n 时,1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分 又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xe x g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g ea ex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2Λx x x x a -≥-(当)1,1[ex ∈时,0ln <x ,0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时,x x ≤≤1ln ,且等号不能同时成立,0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-=')……………………9分令0)(='x F 得:1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以,当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,0)(<'x F ;当(]1,x e ∈时,0)(>'x F ;所以,)(x F 在)1,1[e上为减函数,)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122122=+b y a c ,解得a b y 21= 所以ab y PF 212== 根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分 2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以112122222-+=-==λa b a c e ……………6分 显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4k±=所以直线l的方程为04=+4+yx……………14分+44=-yx或0。

2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题

2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题

青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数12,i zi -=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –i B.1C. iD. -1 2.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B=A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772 附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b 5.已知函数39,0()( 2.718...,0x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2 .B .C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” 、“升级题型” 、“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答。已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 112.125A 80.125B 113.125C 124.125D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b r r 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin23sin cos cos ,fx x x x x =+-x ∈R,则A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π .3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21n n a =-.1n D T < 12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.该四棱合的高为311.B AA CC ⊥ C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。13.若∀x 1(0,),4x x a -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L 、S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S 、圆L 均与圆Q 外切。已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L 、圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ;(2)若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.(本题第一个空2分,第二个空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139kT >?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。18.(12分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--.(1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度。条件①:△ABC 的面积S=4且B> A;条件②:25cos .5B = 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线。(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱。(1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k (k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sinsin ,44k k p q k k k πππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值. 附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx xnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值;(ii)求21S S 的最大值.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1.(1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ;(3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.n i i a=<∑。

2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测(一模)数学试题

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青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β= A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” 、“升级题型” 、“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答。已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=rrrrr设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r.B a c ⊥r r.//C b c r rD. θ=135°10.已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L 、S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S 、圆L 均与圆Q 外切。已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L 、圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d,则d=____. (本题第一个空2分,第二个空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度。 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:5cos 5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线。(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. (12 分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱。 (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:年份2015 2016 2017 2018 2019 成交额(百亿元)912172127求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k(k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.22. (12 分)已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑- 11 -。

山东省青岛市的高三统一质量检测数学试卷.doc

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青岛市 2020 年高三统一质量检测数学试题全卷满分 150 分 .考试用时 120 分钟一单项选择题 :本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的.1.已知 i 是虚数单位 ,复数 z12i, 则 z 的共轭复数 z 的虚部为iA. –iC. iD. -12.已知集合 A { x R |log 2 x 2} ,集合 B={x ∈ R||x-1|<2}, 则 A ∩ B=A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞ ,3)3.已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 (单位 :元 )服从正态分布 N (2000,100 2 ), 则该市某居民手机支付的消费额在 (1900, 2200) 内的概率为附 : 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 N ( ,2), 则P( μ-σ <ξ <μ +σ )= ,P(2 2 ) 0.9544 , P( -μ3σ <ξ <μ +3σ. )=4.设 a20.2 , b sin2 ,c log 2 0.2, 则 a, b,c 的大小关系正确的是A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数 f ( x)3x 9, x 02.718...为自然对数的底数 ),若 f(x)的零点为 α,极值点为 β,则 α+β= xe x, x 0 (e6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等 ,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上 ,且 EF 同一直角坐标系下 ,已知双曲线y 2 x 2 1(a 0, b 0) 的 离 心 率 为 2, 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 2, 函 数C:2b 2 ay sin(2 x6 ) 的图象向右平移单位后得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上 ,则线段 AB 长度3的最小值为B.3 C. 28.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了 “保留题型 ” “升级题型 ”“创新题型 ”三类题型 ,每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为4, 且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三5道题后至少答对两道题的概率A. 112B.80C. 113D. 124125125125125二多项选择题 :本题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分在每小题给出的四个选项中 ,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分 ,部分选对的得 3 分 ,有选错的得0 分r r r r( r r r9.已知向量a b (1,1),a b 3,1),c (1,1),设 a, b 的夹角为θ,则A.r rB.r rC.r rD. θ =135 °| a | | b | a c b / /c10.已知函数 f ( x) sin 2 x 2 3 sin xcos x cos2 x, x∈R,则A. -2≤ f(x) ≤2B. f(x) 在区间 (0, π)上只有 1 个零点C. f(x) 的最小正周期为πD. x 为 f(x)图象的一条对称轴311.已知数列{ a n}的前 n 项和为 S, a1 1, Sn 1 S n 2a n 1,数列{ 2n } 的前n项和为T n, n N * , 则a n a n 1下列选项正确的为A.数列{ a n 1} 是等差数列B.数列{ a n 1} 是等比数列C.数列{ a n}的通项公式为a n 2n 1 D . T n 112. 已知四棱台ABCD A1B1C1D1 的上下底面均为正方形 , 其中AB 2 2, A1 B1 2, AA1 BB1 CC1 2, 则下述正确的是A.该四棱合的高为 3B. AA1 CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16 π三填空题 :本题共 4 个小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分13.若 x (0, ), 4x x 1 a 恒成立,则实数a的取值范围为____14.已知函数 f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数 , f(0)=1, 则 f(2)=____15. 已知 a∈ N,二项式( x a 1 )6展开式中含有x2项的系数不大于240,记 a 的取值集合为A,则由集合 A 中x元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象 ,如图 :Q(0,-3) 是圆LS均在 x 轴上 ,圆 L 与圆 S 的半径都等于 2,圆 S 圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点点Q 的圆心 ,圆 Q 过坐标原点O .O;(1)若直线 l 与圆 L 圆 S 均相切 ,则 l 截圆 Q 所得弦长为 ____ ;(2)若直线 l 截圆 L 圆 S 圆 Q 所得弦长均等于d,则 d=____.(本题第一个空 2 分 ,第二个空 3 分 )四解答题 :本题共 6 小题 ,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(10 分 )设等差数列{ a n }的前n项和为S n , 等比数列{ b n}的前n项和为T n . 已知a1b12, S26, S312, T2 4 , n∈N*.3(1)求{ a n},{b n} 的通项公式;k,使得S k 6k 且 T k 13(2)是否存在正整数若存在 ,求出 k 的值 ;若不存在 ,请说明理由918.(12 分 )在△ ABC 中 , a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边 , 2b2 (b2 c2 a2 )(1 tan A) .(1)求角 C ;(2)若c 2 10, D 为 BC 中点 ,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度条件① :△ABC 的面积 S=4 且 B> A;条件② : cos B 2 5 .5注 :如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分19. (12 分 )在如图所示的四棱锥 E-ABCD中 ,四边形 ABCD 为平行四边形 ,△ BCE为边长为 2 的等边三角形 ,AB=AE,点 F,O 分别为AB, BE的中点 , OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线(1)证明 :平面 ABE⊥平面BCE;(2)记 OCDE的重心为G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值.20. (12 分 )某网络购物平台每年11 月 11 日举行“双十一”购物节 ,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱(1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表:年份20152016201720182019成交额(百亿元)912172127求成交额y (百亿元 ) 与时间变量x (记 2015年为x=1, 2016年为x=2,⋯⋯依次类推)的线性回归方程,并预测2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元 ) ;(2)在 2020 年“双十一”购物节前 ,某同学的爸爸妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加AB 两店各一个订单的“秒杀”抢购 ,若该同学的爸爸妈妈在AB两店订单“秒杀”成功的概率分别为pq,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求 X 的分布列及E(X);(ii) 已知每个订单由k(k ≥ 2,k∈ N* )件商品W 构成 ,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y,假设7sink sinp 2 , q kk 4k4k,求 E(Y)取最大值时正整数k 的值 .附 :回归方程y ?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:?n n? bx i y i nx y (x i x )y i y)i 1 i 1 ?n n ; a y bx .x i2 nx 2 ( x i x) 2i 1 i 121. (12 分 )已知 O 为坐标原点 , 椭圆 C :x 2y22 2 1(a b 0) 的左,右焦点分别为点 F1, F2 , F2又恰为抛物线a bD: y2 4 x 的焦点,以 F1 F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点 .(1)求椭圆 C 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与 D 相交于 A,B 两点 ,记点 A,B 到直线 x=-1 的距离分别为 d1, d2 ,| AB | d1 d2 . 直线l与C相交于E,F两点 ,记△ OAB,△ OEF 的面积分别为S1, S2.(i)证明 : EFF1的周长为定值 ;(ii)求S2的最大值 . S122. (12 分 )已知函数 f ( x) ax ln x x2 2 的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1.(1)当 x∈ (0,2) 时,证明 : 0< f(x)<2;(2)设函数 g(x)=xf(x), 当 x∈ (0,1)时 ,证明 : 0<g(x)<1 ;(3)若数列{ a n}满足 : a n 1 f (a n ),0 a1 1,n N *n.证明 :ln a i 0.i 1。

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