优先权排队论模型

带优先权的排队论模型
在优先权排队模型中，队中的成员被服务的顺序基于他们被赋予的优先级。

相比一般的排队模型，很多真实存在的排队系统实际上更符合带优先权的排队论模型，比如紧急工作的招聘优先于其他一般的工作；VIP客户较其他一般客户，在服务上享有优先权等等。

因此，带优先权的排队论模型有其实际意义。

这里介绍两种最基本的优先权排队模型——非强占性优先权模型和强占性优先权模型。

两个模型除优先权行使方式之外，其他假设均一致。

我们首先描述这两个模型，之后分别给出其结论，最后通过一个案例来阐述其在实际中的应用。

1.模型
公共假设：（1）两个模型都存在N个优先级（1级代表最高）
（2）服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务”
（3）对任意优先级，顾客到达服从Poisson分布，服务时间服从负指数分布
（4）对任意优先级顾客的服务时间相同
（5）不同优先级顾客的平均到达率可以不同
非强占性优先权（Nonpreemptive Priorities）是指，即使一个高优先级的顾客到达，也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。

也就是说，一旦服务员开始对一个顾客服务，这项服务就不能被打断直至服务结束。

强占性优先权（Preemptive Priorities）是指，一旦有高优先级的顾客到达，服务员即中断对低优先级顾客的服务（这名顾客重新回到排队中），并马上开始为高优先级顾客服务。

结束这项服务后，再按照公共假设中的原则选取下一个被服务的顾客。

（这里由于负指数分布的无记忆性，我们不必关注被中断顾客的服务进度，因为剩余服务时间的分布与从起点开始的服务时间的分布总是相同的。

）
对这两个模型来说，如果忽略顾客的优先级，它们是完全等同于一般的M/M/s排队模型的。

因此，当计算整个队列中顾客的总人数（L,L q）时，M/M/s模型的结论是适用的；实际上，若随机选择一个顾客，其等待时间（W,W q）也可以通过Little公式计算得出。

我们改变的只是顾客们等待时间的分布。

在优先权排队模型下，等待时间的的方差更大，高优先级的顾客缩短了等待时间，而低优先级的顾客增长了等待时间。

为了体现优先权对排队模型的影响，我们需要计算每一个优先级上顾客的平均等待时间（W k,k=1,2,……N）和平均队长（L k,k=1,2,……N）。

2.结论
用W k表示稳定状态下k优先级的顾客平均等待时间（包括服务时间），则两个模型的结论可以表示如下。

非抢占性模型（M/M/s ）
111k k k W AB B μ
-=+, for k = 1,2,...,N, where 10!!
j
s s j s r A s s r j μλμ-=-=+∑, 01B =,
11k
i
i k B s λμ==-∑,
s number of servers =,
m e a n s e r v
i c e r a t e p e r b u s y s e r v e r μ=, m e a n a r r i v i a l r a
t e f o r p r i o r i t y i λ=, 1N
i i λλ==∑,
r λμ
=, （这里假设了1
k
i i s λμ=<∑，从而使第k 个优先级能够达到稳定状态。

）
Little 公式对任意优先级仍然适用，所以L k ——第k 个优先级在稳定状态下的平均队长（包括正在接受服务的顾客）可以表示为：
k k k L W λ=， for k = 1,2,...,N
强占性模型（M/M/1）
11k k k
W B B μ-=, for k = 1,2,...,N 注意到这里的结论适用于仅有一个服务台的情况，但实际上对于s > 1的情况，W k 可以通过简单的迭代得出，该方法在案例中会做介绍。

同样，应用Little 公式，可得第k 个优先级在稳定状态下的平均队长（包括正在接受服务的顾客）：
k k k L W λ=, for k = 1,2,...,N
3. 案例——市医院急诊中心的问题
管理咨询顾问注意到市医院的急诊病人并没有简单地按照达到顺序接受治疗，实际上病人大致被分为三类：（1）病危型，病情致命，必须马上治疗；（2）严重型，拖延治疗会使病情加重；（3）平稳型，治疗不及时并没有严重的后果。

病人们按照以上优先级进行排队，每个优先级内部再按照到达顺序排队。

预测显示，大约有10%的病危型病人，30%的严重型病人，60%的平稳型病人。

因为严重的疾病在紧急处理后还要进行进一步治疗，所以花在急诊室的时间并不是很长，进而我们可以认为三种类型的病人接受治疗的时间是相同的。

由于病危病人和严重型病人的治疗不能耽误，所以这是一个强占性优先权排队模型。

数据显示μ=3，λ=2，因此可求得λ1=0.2，λ2=0.6，λ3=1.2。

通过对比s=1和s=2时的情况，说明是否有必要在急诊室增加一个医生。

用Excel 计算的数据如下表所示。

（为了对比，同时给出在非抢占性模型下的各项数据。

）
下面来计算s=2时，强占性模型下的每个优先级病人的平均等待时间。

由于第一优先级的病人的等待时间并不受其他优先级的影响，所以对任意的λ2、λ3，W 1取值相同，当λ2=λ3=0时，W 1与一般M/M/s 模型中当s=2, μ=3，λ=λ1=0.2时W 的取值相同。

即 ()01211
10.00037!(1)s q q L P W W W s λμρμλμρλμ==+=+=+=-小时， 其中 s λρμ
=, ()()10011!!1/()n s s n P n s s λμλμλμ-=⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑, 故 11
0.00037W μ-=小时。

下面考虑前两个优先级。

同理，这两个优先级的病人也不受第三优先级的影响。

令为随机到达的前两个优先级的病人的平均等待时间，则该病人是第一优先级的概率为112()1/4λλλ+=，是第二优先级的概率为212()3/4λλλ+=。

故 12121344
W W W -=+, 另一方面，12W -与一般M/M/s 模型中当s=2, μ=3，λ=λ1+λ2=0.8时W 的W 1-2
取值相同。

即 12W W -==0.33937小时，
从而 2410.33937(0.3337)0.3412634W ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦
小时， 故 210.00793W μ
-=小时。

同理，令13W -为随机到达的病人的平均等待时间，
有 131230.10.30.6W W W W -=++,
13W -与一般M/M/s 模型中当s=2, μ=3，
λ=λ1+λ2+λ3=2时W 的取值相同。

即 13W W -==0.375小时，
从而 []310.3750.1(0.3337)0.3(0.34126)0.398750.6W =
--=小时, 故 31
0.06542W μ-=小时。

所以，完整的数据对比表如下：
从中可以看出，强占性模型下，若只有一名医生，在接受治疗前，病危型病人平均等待时间约为1.5分钟，严重型病人平均等待时间大于9分钟，平稳型病人平均等待时间大于1小时。

在两个模型下，多派一名医生均能大幅缩减任一优先级病人的平均等待时间；尤其在强占性模型中，多派一名医生几乎消除了除平稳型以外病人的等候治疗时间。

因此，该案例下，在急诊室中多派一名医生是十分有必要的。