排队论及其模型
排队论模型——精选推荐
排队论模型（⼀）基本概念⼀、排队过程的⼀般表⽰凡是要求服务的对象称为顾客，凡是为顾客服务的称为服务员⼆、排队系统的组成和特征主要由输⼊过程、排队规则、服务过程三部分组成三、排队模型的符号表⽰1、X：表⽰顾客到达流或顾客到达间隔时间分布2、Y：服务时间分布3、Z：服务台数⽬4、A：系统容量限制5、B：顾客源数⽬6、C：服务规则 FCFS先到先服务 LCFS后到先服务各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-⼀般相互独⽴分布；G-⼀般随机分布等。
这⾥k阶埃尔朗分布是为相互独⽴且服从相同指数分布的随机变量时服从⾃由度为 2k的χ2分布。
例如,M/M/1表⽰顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。
D/M/C表⽰顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。
⾄于其他⼀些特征,如顾客为⽆限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。
M/M/1排队模型•到达时间泊松过程（Poisson process）；•服务时间是指数分布（exponentially distributed）；•只有⼀部服务器（server），遵循先到先服务规则•队列长度⽆限制•可加⼊队列的⼈数为⽆限四、排队系统的运⾏指标1、平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望，记做Ls2、平均排队长：指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记做Lq3、平均逗留时间：顾客在系统内逗留的时间（包括排队等待的时间和被服务的时间）的数学期望，记做Ws4、平均等待时间：指⼀个顾客在排队系统中排队等待时间额数学期望，记做Wq5、平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲的时间）长度的数学期望，记做Tb6、系统的状态：指系统中顾客数（⼆）输⼊过程与服务时间的分布当输⼊过程是泊松流的时候，顾客相继到达的时间间隔T必服从指数分布（三）⽣灭过程⼀、定义（四）M/M/s等待制排队模型⼀、单服务台模型1、定义2、队长的分布⼆、⼏个重要的数量指标1、平均队长2、平均排队长3、平均逗留时间4、平均等待时间5、重要关系6、忙期和闲期平均逗留时间等于平均忙期三、多服务台模型（M/M/s/∞）。
排队论课件MM排队模型
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
04:37:02
8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
04:37:02
10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
04:37:02
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1
第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。
排队论方法讲解
方 法
dPn(t) dt
Pn(t)Pn1(t)
Pn(0)0,(n1)
讲
特别的,当n=0时,有
解
dP0 (t) dt
P0 (t)
P0 (0) 1
排
解上述两个方程组,可得
队
P0 ( t ) e t , P1 ( t ) te t ,
论
P2 (t )
( t ) 2 2!
e t ,
解
排队主体是物：生产线－产品，维修工
－待修机器，卫星－信息，跑道－飞机
排 1. 基本概念
队
1.排队过程的一般模型
进入排队系统（输等入候）服务
论
接受服 务离开系统（输出
方
顾客服务过程分为四个步骤：
法
输入过程
讲
排队系统
排队规则
服务机构
解
输出过程
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出
过程可以不用考虑
概率为
方
P n ( t t) P { N ( t t) N ( 0 ) n }
n
法
P { N (t t) N (t) k } P { N (t) N (0 ) n k } k 0
n
讲
Pk(t,tt)Pnk(t) k0
P0(t,tt)Pn(t)P1(t,tt)Pn1(t)
解
n
Pk(t,tt)Pnk(t)
讲
Ws
Wq
1
,Ls
Lq
解
排 2.1.2 系统容量有限 M/M/1/N/∞
（1）系统状态概率
队
P0
1 1 N1
,
1
论
Pn
1 1 N1
n ,1
带优先权排队论-模型简介应用案例分享
即
W1-2 = W = 0.33937小时
从而
W2 =
故
4é
1
ù
0.33937
(0.3337)
= 0.34126 小时
ê
ú
3ë
4
û
1
W2 - = 0.00793 小时
m
案例求解
同理，令 W1-3 为随机到达的病人的平均等待时间，
有 W1-3 = 0.1W1 + 0.3W2 + 0.6W3
的顾客到达，也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级的顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客的服务，并马上开始为高优先级顾客服务。
模型简介
1
模型假设：
1. 两个模型都存在N个优先级（1级代表最高）
2. 服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务”
W1-3 与一般M/M/s模型中当s=2, μ=3，λ=1 +2 +3 =2时
W 的取值相同。
即
W1-3 = W = 0.375小时
从而 W3 =
1
0.375 - 0.1(0.3337) - 0.3(0.34126)] = 0.39875 小时
[
0.6
故
1
W3 -
m
= 0.06542 小时
3
案例求解
时间是相同的。
案例求解
3
由于病危病人和严重病人的治疗不能耽误，所以这是一个强占性优先权
排队模型。数据显示μ=3，λ=2，因此可求得1 =0.2，2 =0.6，3 =1.2。
运筹学中的排队论分析与应用
运筹学中的排队论分析与应用运筹学是一门研究如何最优化决策的学科。
在现代社会中，许多场景下都存在排队现象，例如银行、超市、机场等场所。
排队论作为运筹学的一个重要分支，专门研究如何通过合理的排队策略来优化服务效率与用户体验。
本文将介绍排队论的基本原理、应用场景以及如何利用排队论进行实际问题的分析与解决。
一、排队论的基本原理排队论是研究排队系统的理论与方法，其基本原理包括排队模型、排队规则以及排队指标。
1. 排队模型排队模型是对排队系统进行抽象和建模的过程，常用的排队模型有M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
其中，M表示顾客到达过程符合泊松分布，而服务过程符合指数分布；1表示一个服务台，c表示多个服务台；G表示总体服从一般分布。
2. 排队规则排队规则是指在排队系统中，顾客到达和离开的规则。
常用的排队规则有先到先服务（First-Come-First-Serve，简称FCFS）、最短作业优先（Shortest Job First，简称SJF）、优先级法则等。
3. 排队指标排队指标是对排队系统性能的度量，常用的排队指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙度等。
这些指标可以帮助我们评估排队系统的效率，并进行比较和优化。
二、排队论的应用场景排队论的应用场景非常广泛，几乎可以涵盖各个行业。
下面以几个典型的应用场景为例，介绍排队论在其中的分析与应用。
1. 银行排队银行是排队论的典型应用场景之一。
通过排队论的分析，银行可以确定合理的柜台数量和工作人员配置，以减少客户的等待时间和提高服务效率。
此外，银行还可以考虑引入预约系统、自助服务等方式，进一步优化排队系统。
2. 售票窗口排队售票窗口也是一个常见的排队场景，如电影院、火车站等。
利用排队论，可以根据顾客到达的速率和服务时间的分布，预测等待时间，并提前安排足够的窗口进行服务，以提高售票效率和用户体验。
3. 交通信号灯优化交通信号灯的优化也可以借助排队论的方法。
通过对道路上车辆到达和通过的流量进行统计和分析，可以调整信号灯的信号周期和配时方案，以减少交通拥堵和减少等待时间。
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
排队论模型
E[N (t)] = λt ； Var[N (t)] = λt 。
当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔 T 必服从指数分布。这是
由于
P{T > t} = P{[0, t) 内呼叫次数为零} = P0 (t) = e−λt 那么，以 F (t) 表示 T 的分布函数，则有
P{T
≤
t}
=
F (t)
设 N (t) 表示在时间区间 [0, t) 内到达的顾客数（ t > 0 ），令 Pn (t1,t2 ) 表示在时间区
间 [t1,t2 )(t2 > t1 ) 内有 n(≥ 0) 个顾客到达的概率，即 Pn (t1,t2 ) = P{N (t2 ) − N (t1) = n} (t2 > t1, n ≥ 0)
=
⎧1 − e−λt , ⎨
⎩0,
t≥0 t<0
而分布密度函数为
f (t) = λe−λt , t > 0 .
-121-
对于泊松流, λ 表示单位时间平均到达的顾客数,所以 1 就表示相继顾客到达平均 λ
间隔时间，而这正和 ET 的意义相符。
对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从
n=2
（2）
-120-
在上述条件下，我们研究顾客到达数 n 的概率分布。 由条件 2o，我们总可以取时间由 0 算起，并简记 Pn (0,t) = Pn (t) 。
由条件 1o 和 2o，有
P0 (t + Δt) = P0 (t)P0 (Δt)
n
∑ Pn (t + Δt) = Pn−k (t)Pk (Δt), k =0
指数分布是单参数 λ 的非对称分布，记作 Exp(λ) ，概率密度函数为：
排队论公式
1/ 每名客户
λ
ρ：系统忙着的概率，ρ =
cμ
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均 顾客数 （每位）顾客在店内的平均 逗留时间 （每位）顾客平均修理时间
2
2
ρ + λ D(v)
????= ρ +
2(1 - ρ )
?q? = λ ??q = ????- ρ ????
???? ??s =
λ
e
Lq Wq =
λ
e
μ：每小时可以服务的人数， 1/ 每名客户服务时间的分钟数
λ
e
=
λ（ m -
LS）
μ ????= m - (1 - P0 )
λ
??q = ????- (1 - ??0 )
???? ??s =
λ
e
Lq Wq =
λ
e
λ
ρ：系统忙着的概率， ρ = μ
排队论公式二
M/M/C/ ∞ /m 多服务台模型 单队，并列 C个服务台
P0 = ∑
1
C-1
k=0
1 k!
( λ )k μ
+
1 C!
?
1
1 -
ρ
?
λ () μ
C
M/????/1/ ∞ /m
λ ????= ??q +
μ
C
(Cρ ) ρ
??q =
2 ??0
C! (1 - ρ )
LS ??s =
λ
??q ??q =
λ
n
= (1 - ρ ) ρ
1- ??0 =
ρ
队列问题的公式
队列问题的公式通常用于解决一些具有队列特性的数学问题。
下面列举几个常见的队列问题公式：
1.排队论中的M/M/1公式：M/M/1模型表示一个系统有无限个顾客和有限
个服务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从
相同的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = λW，其中L是队列长
度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
2.排队论中的M/M/c公式：M/M/c模型表示一个系统有无限个顾客和c个服
务台，顾客以泊松流到达，服务时间和服务时间是相互独立的，服从相同
的指数分布。
该模型可以用以下公式表示：L = (c / (c - λ)) * λ * W，其中L
是队列长度，λ是平均到达率，W是平均服务时间。
3.优先队列公式：优先队列是一种数据结构，其中元素具有优先级。
最常见
的优先队列公式是查找具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)，插入新元素的时间复杂度为O(log n)，删除具有最大优先级的元素的时间复杂度为O(log n)。
4.循环队列公式：循环队列是一种使用固定大小的数组实现队列的方法，其
中头尾指针可以指向队列的开头和结尾。
循环队列的公式包括：front =
(front + enqueue) % size和rear = (rear + enqueue) % size，其中front是头指针，rear是尾指针，enqueue是入队操作，size是数组大小。
以上是一些常见的队列问题公式，它们可以帮助我们解决一些具有队列特性的数学问题。
排队论简要知识
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
(完整版)排队论模型
排队论模型排队论也称随机服务系统理论。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：➢有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
➢有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
➢顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。
一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：➢输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
➢排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。
所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。
➢服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。
若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。
医院排队论模型(1)
医院排队论模型(1)医院排队论模型指的是人在医院排队就诊的过程中，如何利用排队论模型来优化排队过程，提高就诊效率，降低排队时间。
下面从排队论模型的三要素（到达率、服务率、队列容量）出发，探讨在医院排队过程中如何优化流程。
第一、到达率到达率指的是单位时间内到达就诊的人数。
在医院排队过程中，到达率的分析可以帮助医院预测每天需要接待的患者数量，从而根据就诊人数、科室人员数量等资源来合理安排诊疗流程，避免出现拥堵的情况。
在医院安排就诊计划时，可以根据就诊需求、人员数量、诊室开放时长等来制定排班计划，如早上安排主诊医生接待复杂病人，下午安排副诊医生接待一般患者等。
第二、服务率服务率指的是单位时间内完成服务的人数。
在医院排队过程中，每个病人的就诊时间不同，有的患者需要进行详细检查、化验，需要较长时间，有的患者可能只需要短暂检查，大约十几分钟左右。
因此，为了提高个体效率，医院可以根据病人种类、健康状况等特不同性制定不同的服务时间，避免患者等待时间过久。
医院服务行业，提高服务水平可以吸引更多患者就诊，轻松排队也能提高了患者就诊时的舒适度和安全感。
第三、队列容量队列容量指的是医院可以容纳等待就诊人数和等待空间。
医院到达的患者数量与就诊人数不匹配，往往会造成人流混乱，交通拥堵等问题。
因此，医院应该合理利用队列容量，充分利用场地现有资源，设置等待区域、设立排队标识等措施，通过这些技术手段，既可以避免人流混乱，也可以避免就诊过程中因不注意安全方面出现不必要的伤害。
以上是基本的医院排队论模型，通过对到达率，服务率和队列容量的分析可以合理安排医院就诊计划，优化流程，提高服务水平、减少等待时间，使得医院就诊流程得到良性循环。
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修理技工 发放修配零件的管 理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
9
1.2 排队系统的组成和特征
实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征： (1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台； (3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客 提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状 态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶 段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空 闲无事。
到达的顾客 要求服务内容 服务机构
1.不能运转的机器 2.修理技工
3.病人 4.电话呼唤 5.文件稿 6.提货单 7.到达机场上空的飞机 8.驶入港口的货船 9.上游河水进入水库 10.进入我方阵地的敌机
修理 领取修配零件
诊断或动手术 通话 打字 提取存货 降落 装(卸)货装(卸) 放水，调整水位 我方高射炮进行射击
23
1.2 排队系统的组成和特征
服务机构 (服务台情况)
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。 从构成形式上看，服务台有： ①单队——单服务台式；如(a)图 ②单队——多服务台并联式；如(c)图
③多队——多服务台并联式；如(b)图
④单队——多服务台串联式；如(d)图 ⑤单队——多服务台并串联混合式； ⑥多队——多服务台并串联混合式等等。
④ 优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇 到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于 此种服务规则。
18
1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
(3) 混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，
一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具 体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数 量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的 等待空间是有限的。例如最多只能容纳K个顾客在系统 中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数(又称为队长) 小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开 系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的 床位是有限的。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务 台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如， 排队等待售票，故障设备等待维修等。 对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用 下列各种规则：
先到先服务(FCFS) 后到先服务(LCFS) 随机服务(RS) 有优先权的服务
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1.2 排队系统的组成和特征
服务机构 (服务台情况)
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。 服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服 务员(服务台、通道、窗口等)。 从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。 在有多个服务台的情形中，可以是平行排列的，也 可以是前后排列的，或混合排列的。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一 般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服 务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系 统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音， 顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新 拔号，这种服务规则即为损失制。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
(2)等待制。 对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用 下列各种规则：
① 先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是 最普遍的情形。 ② 后到先服务。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走， 就属于这种情况。 ③ 随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某 个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
运筹学
排队论
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排队论
排队论(queuing theory)也称随机服务系 统理论(Random Service System Theory)，
是为研究和解决具有拥挤现象的问题而发展起 来的一门应用数学的分支。
具体地说，它是在研究各种排队系统概率 规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设 计和最优控制问题。
顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机 型的。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流 (最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
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1.2 排队系统的组成和特征
输入过程
(4) 顾客的到达可以是相互独立的。
(5) 输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的，即描 述相继到达的间隔时间分布和所含参数 (如期望值、方 差等)都是与时间无关的。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
(3)混合制
① 队长有限。 ② 等待时间有限。
③ 逗留时间 ( 等待时间与服务时间之和 ) 有限。例如用高 射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时 间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被 击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊 情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混 合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则
(3)混合制 ① 队长有限。 ② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不 超过某一给定的长度 T，当等待时间超过 T时， 顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电 子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元 器件被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐， 等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店 用餐。
服务台的各 种排列方式
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1.2 排队系统的组成和特征
单队列——S个服务台并联的排队系统
S个队列——S个服务台的并联排队系统
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1.2 排队系统的组成和特征
单队——多个服务台的串联排队系统
多队——多服务台混联、网络系统
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1.2 排队系统的组成和特征
服务机构 (服务台情况)
(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有 单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批 乘客就属于成批服务。 (3) 服务时间的分布。服务时间可分为确定型和随机型。一 般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔 良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布 的)等等。
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1.2 排队系统的组成和特征
排队规则 （续）
从允许排队的空间看
队列可以排在具体的处所，也可以是抽象的。
排队空间可以有限，也可以无限。
从排队的队列数目看，可以是单列，也可以是多列。
在多列的情形，各列间的顾客有的可以互相转移，有的不能。
有的排队顾客因等候时间过长而中途退出，有的不能退出， 必须坚持到被服务为止。
2
排队论
排 队 论 是 1909 年 由 丹 麦 工 程 师 爱 尔 朗 (A.K ． Erlang) 在研究电活系统时创立的， 几十年来排队论的应用领域越来越广泛， 理论也日渐完善。特别是自二十世纪 60 年 代以来，由于计算机的飞速发展，更为排 队论的应用开拓了宽阔的前景。
3
排队论
排队论(queuing theory) 研究内容包括三
解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，估计 服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否 4 合理，研究设计改进措施等。
排队论
第1节
基本概念
第2节
第3节 第4节 第5节 第6节 第7节
到达间隔的分布和服务时间的分布
单服务台负指数分布排队系统的分析 多服务台负指数分布排队系统的分析 一般服务时间M/G/1模型 经济分析——系统的最优化
Байду номын сангаас12
1.2 排队系统的组成和特征
输入过程
(2) 顾客到来的方式。这是描述顾客是怎样来到系统的， 他们是单个到达，还是成批到达。
病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题 中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这 种顾客则是成批到达的。
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1.2 排队系统的组成和特征
输入过程
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分 布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要 确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达 K 个顾客(K=1、2、)的概率是多大。
个部分：
(1) 排队系统的性态问题
(2) (3)
性态问题，即研究各种排队系统的概率规 律性，主要研究队长分布、等待时间分布和 排队系统的最优化问题 最优化，又分静态最优和动态最优，前者 忙期分布等。 指最优设计，后者指现有排队系统的最优运 排队系统的统计推断问题 统计推断，即判断一个给定的排队系统符 营。 合哪种模型，以便根据排队理论进行研究。
分析排队系统的随机模拟法
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第1节 基 本 概 念
1.1 排队过程的一般表示
1.2 排队系统的组织和特征
1.3 排队模型的分类 1.4 排队问题的求解
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1.1 排队过程的一般表示
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务 系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若 不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入 队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规 则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾 客立即离开系统。
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1.1 排队过程的一般表示
排队过程的一般模型
各个顾客由顾客源(总体)出发，到达服务机构(服务 台、服务员)前排队等候接受服务，服务完成后离开。 排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服 务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次 序接受服务的。