【恒心】2014届江西省南昌市高三二模测试卷数学(文科)试题及参考答案
江西省南昌市高三第二次文科数学模拟试题(解析版)
江西省南昌市高三第二次文科数学模拟试题(解析版)数学模拟试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合,,则等于()A. B. C. D.2. 若实数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若为实数,则“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知分别是四面体棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是()A. 平面B. 平面C. 直线相交于同一点D.5. 执行如图程序框图,若,则输出的()A. B. C. D.6. 已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,抛物线上一点,若,则的面积为()A. B. C. D.7. 已知点在不等式组表示的平面区域内,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8. 如图,已知函数()的部分图像与轴的一个交点为,与轴的一个交点为,那么()A. B. C. D.9. 在《周易》中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有种组合方法,这便是《系辞传》所说:“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”,有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况,即为八卦,在一次卜卦中,恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是()A. B. C. D.10. 已知定义在上的函数满足:对任意实数都有,,且时,,则的值为()A. B. C. D.11. 已知函数,若函数恰好有两个零点,则实数等于(为自然对数的底数)()A. B. C. e. D.12. 已知双曲线的两焦点分别是,双曲线在第一象限部分有一点,满足,若圆与三边都相切,则圆的标准方程为()A. B.C. D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 从某企业的某种产品中抽取1000件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,假设这项指标在内,则这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________.14. 已知在等腰直角中,,若,则等于_________.15. 一正三棱柱的三视图如图,该正三棱柱的顶点都在球的球面上,则球的表面积等于______.16. 如图,有一块半径为米,圆心角的扇形展示台,展示台分成两个区域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中).某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香紫龙卧雪、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:元/米2,,元/米2,,元/米2,,为使预计日总效益最大,的余弦值应等于_____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知各项均为正数且递减的等比数列满足:成等差数列,前5项和(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若等差数列满足,求数列的前项和.18. 如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,,侧面是等腰直角三角形,,平面平面,点分别是棱上的点,平面平面(Ⅰ)确定点的位置,并说明理由;(Ⅱ)求三棱锥的体积.19. 为提升教师专业功底,引领青年教师成长,某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛.在这次比赛中,通过采用录像课评比的片区预赛,有共10位选手脱颖而出进入全市决赛.决赛采用现场上课形式,从学科评委库中采用随机抽样选代号的7名评委,规则是:选手上完课,评委当场评分,并从7位评委评分中去掉一个最高分,去掉一个最低分,根据剩余5位评委的评分,算出平均分作为该选手的最终得分.记评委对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委对这位选手的分数排名偏差”().排名规则:由高到低依次排名,如果选手分数一样,认定名次并列(如:选手分数一致排在第二,则认为他们同属第二名,没有第三名,接下来分数为第四名).七位评委评分情况如图所示:(Ⅰ)根据最终评分表,填充如下表格,并完成评委4和评委5对十位选手的评分的茎叶图;(Ⅱ)试根据评委对各选手的排名偏差的平方和,判断评委4和评委5在这次活动中谁评判更准确.20. 已知椭圆的两焦点分别是,点在椭圆上,(1)求椭圆的方程;(2)设是轴上的一点,若椭圆上存在两点,使得,求以为直径的圆面积的取值范围.21. 已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数有极小值,求该极小值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线,的直角坐标方程;(Ⅱ)若,交于点,曲线与轴交于点,求线段的中点到点的距离.23. 选修4-5:不等式选讲已知函数,.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)若对任意的,存在,使得,求实数的取值范围.高三第二次文科数学模拟试题(解析版)数学模拟试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合,,则等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:可求出集合A,B,然后进行补集、交集的运算即可.详解:A={x|0<x<4},B={x|x<﹣1,或x>3};∴A∩B={x|3<x<4}=.故选:D.点睛:考查描述法、区间表示集合的概念,以及补集、交集的概念及运算.2. 若实数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析:利用复数的运算法则、复数相等即可得出.详解:∵+y=2+i(i为虚数单位),∴x+y+yi=(1+i)(2+i)=1+3i,∴,解得y=3,x=﹣2.则x+yi在复平面内对应的点(﹣2,3)位于第二象限.故选:B.点睛:本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.3. 若为实数,则“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析:由,则成立,反之:如,即可判断关系.详解:由,则成立,反之:如,则不成立,所以“”是“”的必要不充分条件,故选B.点睛:本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4. 已知分别是四面体棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是()A. 平面B. 平面C. 直线相交于同一点D.【答案】B【解析】试题分析:根据题目中的条件得到线线平行,再得到线面平行,ABD就可以判断正误了,对于C选项根据课本定理,两个平面的交线的性质得到证明.详解:A :,,,,可得到GH平行于AC,EF平行于AC,故平面得到,选项正确.B :因为BD和FH不平行,而且两条直线在同一平面内,故得到两直线延长后相交,可得到BD与平面EFG 是相交的关系.选项不正确.D:,,,,可得到GH平行于AC,EF平行于AC,由平行线的传递性得到,选项正确.故答案为:B.点睛:这个题目考查的是直线和平面的位置关系的判断,线面平行的判定,线线平行的判定,直线共点的判定,一般证明线面平行是从线线平行入手,通过构造平行四边形,三角形中位线,梯形底边等,找到线线平行,再证线面平行.5. 执行如图程序框图,若,则输出的()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值,模拟程序运行过程,可得答案.详解:若,则:满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,;满足循环的条件,,当时,不满足进行循环的条件,此时输出结果,故选B.点睛:本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果,当循环次数不多时或有规律时,常常采用模拟循环的方法求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.6. 已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,抛物线上一点,若,则的面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:由抛物线的定义,求得点的坐标,进而求解三角形的面积.详解:由抛物线的方程,可得,准线方程为,设,则,即,不妨设在第一象限,则,所以,故选A.点睛:本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用,其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.7. 已知点在不等式组表示的平面区域内,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:作出约束条件所表示的平面区域,由,求得点的坐标,即可得到结果.详解:作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由,解得,且点,又因为点在不等式组的平面区域内,所以实数的取值范围是,故选C.点睛:本题主要考查了线性规划的应用,其中正确作出约束条件所表示的平面区域是解答的关键,着重考查了数形结合思想和推理与运算能力.8. 如图,已知函数()的部分图像与轴的一个交点为,与轴的一个交点为,那么()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:由特殊点的坐标求出φ,再根据五点法作图求出ω,可得函数的解析式;再根据定积分的意义,以及定积分的计算公式,求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积.详解:如图,根据函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣φ<0)的部分图象与y轴的交点为B(0,),可得cosφ=,∴cosφ=,∴φ=﹣.根据函数的图象x轴的一个交点为A(﹣,0),结合五点法作图可得ω•(﹣)﹣=﹣,∴ω=2,∴函数f(x)=cos(2x﹣).故.点睛:已知函数的图象求解析式:(1);(2)由函数的周期求;(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9. 在《周易》中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有生八卦”,有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况,即为八卦,在一次卜卦中,恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:基本事件总数n=23=8,这六爻恰好有两个阳爻一个阴爻包含的基本事件m=3,由此能求出这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率.详解:在一次所谓“算卦”中得到六爻,基本事件总数n=23=8,这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3,∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p=.故选:C.点睛:本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,古典概型一般是事件个数之比,即满足条件的事件个数除以总的事件个数即古典概型的概率.10. 已知定义在上的函数满足:对任意实数都有,,且时,,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:根据题干条件得到函数的周期性和奇偶性,从而得到,由得到结果.详解:对任意实数都有,可得到函数的周期是6,,即函数为偶函数,则,根据奇偶性得到=-2.故答案为:B.点睛:这个题目考查的是函数的基本性质,周期性和奇偶性的应用,对于抽象函数求解析式,一般先要研究函数的这两个性质,通过周期将要求的函数的自变量化到题中所给的区间,再应用奇偶性求职即可.11. 已知函数,若函数恰好有两个零点,则实数等于(为自然对数的底数)()A. B. C. e. D.【答案】C【解析】试题分析:根据分段函数的解析式画出函数图像,得到函数的单调性,由图像知道函数和函数第一段相切即可,进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到,解出方程即可. 详解:根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的,由图像知道函数和函数第一段相切即可,设切点为(x,y)则根据导数的几何意义得到解得,k=e.故答案为:C.点睛:这个题目考查了导数的几何意义,本题中还涉及根据函数零点求参数取值,是高考经常涉及的重点问题,(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解;(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图象与参数的交点个数;(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.12. 已知双曲线的两焦点分别是,双曲线在第一象限部分有一点,满足,若圆与三边都相切,则圆的标准方程为()A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析:根据双曲线的定义和题干条件得到的长度,再根据圆的切线长定理列方程,解得半径,由双曲线的焦三角形的内切圆的结论得到内切圆圆心坐标,即可求得圆的方程.详解:设则m+n=14,根据双曲线的定义得到m-n=2,解得m=8,n=6,根据双曲线的方程得到c=5,2c=10,故得到三角形是以角P为顶点的直角三角形,圆是其内切三角形,设半径为r,根据切线长定理得到8-r=4+r,解得r=2,圆心坐标为(1,2)故得到方程为.故答案为:A.点睛:这个题目考查的是双曲线的几何意义的应用,以及圆的切线长定理的应用,焦三角形内切圆的结论的应用,解决圆锥曲线中和焦三角形有关的问题,主要会应用到圆锥曲线的定义,余弦定理,面积公式等.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 从某企业的某种产品中抽取1000件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,假设这项指标在内,则这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________.【答案】0.79【解析】分析:由频率分布直方图求出这种指标值在内的频率,由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率.详解:这种指标值在内,则这项指标合格,由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为,所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为.点睛:本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面:1、用样本估计总体是统计的基本思想,而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确,直方图比较直观;2、频率分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频率之和等于1;在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所以,所有小长方形的面积的和等于1.14. 已知在等腰直角中,,若,则等于_________.【答案】-2【解析】试题分析:由条件可得,运用向量的加减运算和数量积的性质,计算可得所求值.详解:等腰直角△ABC 中,|BA|=|BC|=2,可得,故答案为:﹣2.点睛:本题考查向量的加减运算和向量数量积的性质,考查运算能力,属于基础题.解决向量小题的常用方法有向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.在解决多元的范围或最值问题时,常用的解决方法有:多元化一元,线性规划的应用,均值不等式的应用等.15. 一正三棱柱的三视图如图,该正三棱柱的顶点都在球的球面上,则球的表面积等于______.【答案】【解析】试题分析:首先利用三视图得到外接球的半径,进一步利用球的表面积公式求出结果.详解:根据正三棱柱的三视图:得到三棱柱底面等边三角形的高为,则:底面中心到地面顶点的距离为:,故正三棱柱的外接球半径为:r=,故:S=4π•52=100π,故答案为:100π点睛:这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目,涉及到三视图的还原,外接球的体积或者表面积公式,一般三试图还原的问题,可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图,找外接球的球心,常见方法有:提圆心;建系,直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上.16. 如图,有一块半径为米,圆心角的扇形展示台,展示台分成两个区域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中).某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香紫龙卧雪、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:元/米2,,元/米2,,元/米2,,为使预计日总效益最大,的余弦值应等于_____________.【答案】【解析】分析:设日总效益设为,运用三角形的面积公式和扇形的面积公式,即可得到目标函数,求得导数,即可得到所求最大值点.详解:设日总效益设为,则,又由,可得,解得,由,函数递增,,函数递减,既有,即由时,预计日收益最大,所以的余弦值为.点睛:本题主要考查了的实际应用问题,以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求解函数的极值与最值,其中正确理解题意,列出函数关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知各项均为正数且递减的等比数列满足:成等差数列,前5项和(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若等差数列满足,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)根据等差数列的性质得到,由等比数列的公式得到,等比数列求和即可;(2)由第一问得到,根据等比数列求和公式求和即可.详解:(Ⅰ)由成等差数列得:,设公比为,则,解得或(舍去),所以,解得:.所以数列的通项公式为(2)设等差数列的公差为,由得:,所以,,数列的前项和.点睛:这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
【恒心】2014届江西省高考仿真模拟数学(文科)试题 (二)及参考答案
2014届江西省高考仿真模拟试题 (二)数 学(文科)共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S ={1,2},集合T ={a },∅表示空集,如果S U T =S ,那么a 的值是( )A .∅B .1C .2D .1或22.如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ,n ,则图形Ω面积的估计值为( )A.ma nB.na mC.ma 2nD.na 2m3.一个由实数组成的等比数列,它的前6项和是前3项和的9倍,则此数列的公比为( )A .2B .3 C.12D.134.已知a ,b 是平面向量,若a ⊥(a -2b ),b ⊥(b -2a ),则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65.如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆,俯视图是半径为2的圆,则该几何体的体积等于( )A.4π3B.8π3C.16π3D. 32π36.已知常数a ,b ,c 都是实数,f (x )=ax 3+bx 2+cx -34的导函数为f ′(x ),f ′(x )≤0的解集为{x |-2≤x ≤3},若f (x )的极小值等于-115,则a 的值是( )A .-8122B.13 C .2D .57.已知⊙P 的半径等于6,圆心是抛物线y 2=8x 的焦点,经过点M (1,-2)的直线l 将⊙P 分成两段弧,当优弧与劣弧之差最大时,直线l 的方程为( )A .x +2y +3=0B .x -2y -5=0C .2x +y =0D .2x -y -5=08.已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数,∀x 1≥0,∀x 2≥0,若x 1≠x 2,则f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0.如果f ⎝⎛⎭⎫13=34,4f (log 18x )>3,那么x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B.⎝⎛⎭⎫12,2 C.⎝⎛⎦⎤12,1∪(2,+∞)D.⎝⎛⎭⎫0,18∪⎝⎛⎭⎫12,2 9.已知函数①f (x )=x 2;②f (x )=e x ;③f (x )=ln x ;④f (x )=cos x .其中对于f (x )定义域内的任意一个x 1都存在唯一的x 2,使f (x 1)f (x 2)=1成立的函数是( )A .①B .②C .②③D .③④10.若数列{a n }满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有a n +T =a n 成立,则称数列{a n }为周期数列,周期为T .已知数列{a n }满足a 1=m (m >0),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n-1,a n >1,1a n ,0<a n ≤1,则下列结论中错误的是( )A .若m =45,则a 5=3B .若a 3=2,则m 可以取3个不同的值C .若m =2,则数列{a n }是周期为3的数列D .∃m ∈Q 且m ≥2,使得数列{a n }是周期数列第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.) 11.已知sin α-3cos α=0,则sin 2αcos 2α-sin 2α=________.12.如果执行下列程序框图,那么输出的S =________.13.一次射击训练,某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况,且该小组的平均成绩为8.15环,设该小组成绩为7环的有x 人,成绩为8环、9环的人数情况见下表:环数(环) 8 9 人数(人)78那么x =________.14.已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若a 2=b 2+c 2-bc ,c b =12+3,则tan B 的值等于________.15.已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2=1的两个焦点,点P 在此双曲线上,PF 1→·PF 2→=0,如果点P 到x 轴的距离等于55,那么该双曲线的离心率等于________. 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)设函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3+sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π3+3cos ωx (其中ω>0),且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值和最小值.17.(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试,其有2 000名学生报名参加了笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成八组:第一组[195,205),第二组[205,215),……,第八组[265,275).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)从这2 000名学生中,任取1人,求这个人的分数在255~265之间的概率约是多少?(2)求这2 000名学生的平均分数;(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节,试估计应将分数线定为多少?18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BA=BC.把△BAC沿AC折起到△P AC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示.点E、F分别为棱PC,CD的中点.(1)求证:平面OEF∥平面APD;(2)求证:CD⊥平面POF;(3)在棱PC上是否存在一点M,使得M到P,O,C,F四点距离相等?请说明理由.19.(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{a n},a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)已知数列{b n}的通项公式是b n=2n-1,集合A={a1,a2,…,a n,…},B={b1,b2,b3,…,b n,…}.将集合A∩B中的元素按从小到大的顺序排成一个新的数列{c n},求数列{c n }的前n 项和S n .20.(本小题满分13分)已知f (x )=x 2-2x -ln(x +1)2.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若函数F (x )=f (x )-x 2+3x +a 在⎣⎡⎦⎤-12,2上只有一个零点,求实数a 的取值范围.21.(本小题满分14分)过椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,F 1为其左焦点,已知△AF 1B 的周长为8,椭圆的离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ,Q ,且OP →⊥OQ →?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【参考答案】一、选择题1.D 依题意得T ⊆S ,因此a =1或a =2,故选D.2.C 由几何概率的意义可知,图形Ω面积的估计值为m n ×a 2=ma 2n ,故选C.3.A 记题中的等比数列的公比为q .依题意有S 6=9S 3,∴S 6-S 3=8S 3,∴S 6-S 3S 3=8,即q 3=8,得q =2,故选A.4.B 记向量a ,b 的夹角为θ.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·(a -2b )=0,b ·(b -2a )=0,即|a |2=|b |2=2a ·b =2|b |2cos θ,cos θ=12,θ=π3,即向量a ,b 的夹角为θ=π3,故选B.5.C 依题意得,该几何体是一个半球,其体积等于12×43π×23=16π3,故选C.6.C 依题意得f ′(x )=3ax 2+2bx +c ≤0的解集是[-2,3],于是有3a >0,-2+3=-2b 3a ,-2×3=c 3a ,解得b =-3a2,c =-18a ,函数f (x )在x =3处取得极小值,于是有f (3)=27a +9b +3c -34=-115,-812a =-81,a =2,故选C.7.A 依题意得,要使两弧之差最大,注意到这两弧的和一定,因此就要使其中的一弧长最小,此时所求直线必与MP 垂直,又点P (2,0),因此直线MP 的斜率等于2,因此所求的直线方程是y +2=-12(x -1),即x +2y +3=0,故选A.8.B 依题意得,函数f (x )在[0,+∞)上是减函数,不等式4f (log 18x )>3等价于f (log 18x )>34,f (|log 18x |)>f ⎝⎛⎭⎫13,|log 18x |<13,即-13<log 18x <13,由此解得12<x <2,故选B. 9.B 对①,当x 1=0时,x 2不存在;对②,任意的x 1,存在唯一一个x 2(x 2=-x 1)使得f (x 1)f (x 2)=1成立;对③,当x 1=1时,x 2不存在;对④,当x 1=π2时,x 2不存在.10.D 对于A ,当a 1=m =45时,a 2=54,a 3=a 2-1=14,a 4=4,a 5=3,因此选项A 正确.对于B ,当a 3=2时,若a 2>1,则a 3=a 2-1=2,a 2=3,⎩⎪⎨⎪⎧m >1,m -1=3或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1,1m=3,由此解得m =4或m =13;若0<a 2≤1,则a 3=1a 2=2,a 2=12,⎩⎪⎨⎪⎧m >1,m -1=12或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1,1m =12,由此解得m =32,因此m 的可能值是13,32,4,选项B 正确.对于C ,当m =2时,a 1=2,a 2=2-1,a 3=2+1,a 4=2,a 5=2-1,a 6=2+1,…,此时数列{a n }是以3为周期的数列,因此选项C 正确.综上所述,故选D.二、填空题11.解析: sin α=3cos α⇒tan α=3,则2sin αcos αcos 2α-sin 2α=2tan α1-tan 2α =-34.答案: -3412.解析: 依题意,执行题中的程序框图,最后输出的S =2×(1+2+3+…+20)=2×20×(1+20)2=420.答案: 42013.解析: 依题意得7x +8×7+9×8=(x +7+8)×8.15,由此解得x =5. 答案: 514.解析: 依题意得b 2+c 2-a 2=2bc cos A =bc ,cos A =12,A =60°.c b =sin Csin B =sin (B +60°)sin B =12+32·1tan B =12+3,因此tan B =12.答案: 1215.解析: 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,|PF 1|-|PF 2|=±2a ,(|PF 1|2+|PF 2|2)-(|PF 1|-|PF 2|)2=2|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2,|PF 1|·|PF 2|=2b 2=2.又S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12|F 1F 2|×55,因此|F 1F 2|=25,a =(5)2-1=2,该双曲线的离心率是|F 1F 2|2a =52.答案:52三、解答题16.解析: (1)f (x )=sin ωx +3cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3. ∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2,∴T =2πω=π,∴ω=2.(2)由(1)得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3, ∴g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,可得π3≤x +π3≤56π, ∴当x +π3=π2,即x =π6时,g (x )取得最大值g ⎝⎛⎭⎫π6=2sin π2=2;当x +π3=5π6,即x =π2时,g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫π2=2sin 5π6=1. 17.解析: (1)设第i (i =1,2,…,8)组的频率为f i ,则由频率分布图知f 7=1-(0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008)×10=0.12,∴这个人的分数在255~265之间的概率约是0.12.(2)这2 000名学生的平均分数为200×0.04+210×0.1+220×0.1+230×0.2+240×0.2+250×0.16+260×0.12+270×0.08=237.8.(3)从第一组到第四组,频率为0.04+0.1+0.1+0.2=0.44,而0.5-0.44=0.06,将第五组[235,245),按以下比例分割:0.060.2-0.06=37,∴中位数为235+3=238,∴应将分数线定为238分.18.解析: (1)证明:因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上,所以PO ⊥平面ADC ,所以PO ⊥AC .因为AB =BC ,所以O 是AC 的中点, 所以OE ∥P A . 同理OF ∥AD .又OE ∩OF =O ,P A ∩AD =A , 所以平面OEF ∥平面PDA .(2)证明:因为OF ∥AD ,AD ⊥CD , 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ,CD ⊂平面ADC , 所以PO ⊥CD .又OF ∩PO =O ,所以CD ⊥平面POF . (3)存在,事实上记点E 为M 即可. 因为CD ⊥平面POF ,PF ⊂平面POF , 所以CD ⊥PF .又E 为PC 的中点,所以EF =12PC ,同理,在直角三角形POC 中,EP =EC =OE =12PC ,所以点E 到四个点P ,O ,C ,F 的距离相等. 19.解析: (1)设等差数列{a n }的公差为d . 由题意(a 4-2)2=a 2a 6得(3d -1)2=(1+d )(1+5d ).解得d =3或者d =0.因为公差d 不为0,所以d =3. 故a n =3n -2.(2)由题意知数列{c n }是数列{a n }与数列{b n }的公共项,令2n -1=3m -2,则2n =2·2n -1=6m -4=3(2m -1)-1不是数列{c n }的项,2n +1=2n -1·22=12m -8=3(4m-2)-2是数列{c n }的项.所以{c n }是以a 1=b 1=1为首项,4为公比的等比数列,即 c n =4n -1,故S n =1-4n 1-4=4n -13.20.解析: (1)f (x )的定义域为{x |x ≠-1}. ∵f (x )=x 2-2x -ln(x +1)2, ∴f ′(x )=2x -2-2x +1=2(x 2-2)x +1,解⎩⎪⎨⎪⎧x ≠-1,f ′(x )>0得-2<x <-1或x >2, ∴f (x )的单调递增区间是(-2,-1)和(2,+∞). (2)由已知得F (x )=x -ln(x +1)2+a ,且x ≠-1, ∴F ′(x )=1-2x +1=x -1x +1.∴当x <-1或x >1时,F ′(x )>0; 当-1<x <1时,F ′(x )<0.∴当-12<x <1时,F ′(x )<0,此时,F (x )单调递减;当1<x <2时,F ′(x )>0,此时,F (x )单调递增. ∵F ⎝⎛⎭⎫-12=-12+2ln 2+a >a ,F (2)=2-2ln 3+a <a , ∴F ⎝⎛⎭⎫-12>F (2). ∴F (x )在⎣⎡⎦⎤-12,2上只有一个零点⇔⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫-12≥0,F (2)<0或F (1)=0.由⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫-12≥0,F (2)<0得12-2ln 2≤a <2ln 3-2;由F (1)=0得a =2ln 2-1.∴实数a 的取值范围为12-2ln 2≤a <2ln 3-2或a =2ln 2-1.21.解析: (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a =8,c a =32,解得⎩⎨⎧a =2,c =3,∴b 2=a 2-c 2=1, 故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)假设满足条件的圆存在,其方程为x 2+y 2=r 2(0<r <1). 当直线PQ 的斜率存在时,设其方程为y =kx +t , 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +t ,x 24+y 2=1消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-4=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8kt 1+4k 2,x 1x 2=4t 2-41+4k 2.①∵OP →⊥OQ →,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1=kx 1+t ,y 2=kx 2+t , ∴x 1x 2+(kx 1+t )(kx 2+t )=0, 即(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0.②将①代入②得(1+k 2)(4t 2-4)1+4k 2-8k 2t 21+4k 2+t 2=0, 即t 2=45(1+k 2).∵直线PQ 与圆x 2+y 2=r 2相切,∴r =|t |1+k2=45(1+k 2)1+k2=255∈(0,1), ∴存在圆x 2+y 2=45满足条件.当直线PQ 的斜率不存在时,也适合x 2+y 2=45.综上所述,存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足条件.。
江西省南昌三中2014届高三数学10月第二次月考试题 文 新人教A版
南昌三中2013—2014学年度上学期第二次月考高三数学(文)试卷一、选择题(共有10个小题,每小题5分,共50分) 1、复数z =1i i+在复平面上对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 3、下列命题中是真.命题的为( ) A .x R ∀∈,21x x <+ B .x R ∀∈,21x x ≥+C .x R ∃∈,y R ∀∈,22xy y =D .x R ∀∈,y R ∃∈,2x y > 4、函数0.51log (43)y x =-的定义域为( ) A.( 34,1) B(34,∞) C (1,+∞) D. ( 34,1)∪(1,+∞)5、曲线311y x =+在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A. -9B. -3C.9D.15 6、已知51sin()25πα+=,那么cos α= ( )A .25-B .15-C .15D .257、()212log 32y x x =-+的递增区间是( )A.(),1-∞ B.(2,+∞) C.(-∞,23) D.(23,+∞)8、若向量,,a b c 满足a ∥b 且a c ⊥,则()2c a b +=( )A .4B .3C .2D .09、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若48S =,820S = ,则11121314a a a a +++=( )A .18B .17C .16D .1510、已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈,其中真命题是( )A .14,p pB .13,p pC .23,p pD . 24,p p二、填空题(共有5个小题,每小题5分,共25分)11、已知集合{}27A x x =-≤≤,B={x|m+1<x<2m -1}且B ≠∅,若A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是 。
江西省南昌市-高三第二次模拟试卷文科数学.4
江西省南昌市-高三第二次模拟试卷数学(文科)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知集合P ={2|23,y y x x x R =-+∈}, Q={|ln(2)x y x =+},则PQ =A .RB .(-2,+∞)C .[)2,+∞D .(]2,2- 2.已知a R ∈,则“2a >”是“22a a >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的高是 A .12B .32C .1D .334.数列{a n }满足a 1+ 3·a 2+ 32·a 3+…+ 3n-1·a n =2n,则a n = A .1231-•n B .1321-•n C .n 21 D .nn 35.已知α、β是平面,m 、n 是直线,给出下列命题①若m α⊥,m β⊂,则αβ⊥. ②如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线,那么n 不与α相交.③若m αβ=,n ∥m ,且,n n αβ⊄⊄,则n ∥α且n ∥β.其中真命题的个数是A .0B .3C .2D .16.经过圆22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A.30x y -+= B. 30x y --= C. 10x y +-= D. 30x y ++= 7.已知函数y =sin A (wx φ+)+k 的最大值是4,最小值是0,最小正周期是2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是A .4sin(4)6y x π=+ B .2sin(2)23y x π=++C .2sin(4)23y x π=++D .2sin(4)26y x π=++8.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)7(log 4f a =,)3(log 21f b =,)2.0(6.0-=f c ,则c b a ,,的大小关系是( )A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .c b a <<9.已知函数()sin4xf x π=,如果存在实数1x 、2x ,使得对任意的实数x ,都有12()()()f x f x f x ≤≤,则12x x -的最小值是 ( )A .8πB .4πC .2πD .π10.已知)(1x f y -=是函数⎩⎨⎧∈-∈=-]2,1(,12]1,0(,log )(12x x x x f x 的反函数,则)0(1-f 的值是A .0B .21C .43 D .111.设△ABC 是等腰三角形,0120ABC ∠=,则以,A B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A .122+ B .132+ C .12+ D .13+12.若对任意,x A y B ∈∈,(,A R B R ⊆⊆)有唯一确定的(,)f x y 与之对应,则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。
2014年高考江西文科数学试题及答案(word解析版)
20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 〔1〕[20####,文1,5分]若复数z 满足(1i)2i z +=〔i 为虚数单位〕,则||z =〔〕〔A 〕1〔B 〕2〔C D [答案]C[解析]解法一:∵若复数z 满足(1i)2i z +=,∴()()()21i 2i 1i 1i 1i 1i i z -===+++-,∴z ==故选C . 解法二:设i z a b =+,则()()i 1i 2i a b ++=,()()i 2i a b a b -++=,0a b -=,2a b +=,解得1a =,1b =,1i z =+,1i z =+=故选C .[点评]本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i 的幂运算性质,求复数的模,属于基础题. 〔2〕[20####,文2,5分]设全集为R ,集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则()R A C B =〔〕〔A 〕(3,0)-〔B 〕(3,1)--〔C 〕(]3,1--〔D 〕(3,3)- [答案]C[解析]{|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤,所以{}()31R A C B x x =-<<-,故选C .[点评]本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 〔3〕[20####,文3,5分]掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于〔〕〔A 〕118〔B 〕19〔C 〕16〔D 〕112[答案]B[解析]点数之和为5的基本事件有:()1,4,()4,1,()2,3,()3,2,所以概率为41369=,故选B .[点评]本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式nN是本题的重点,正确求出事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞所包含的基本事件数是本题的难点.〔4〕[20####,文4,5分]已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则a =〔〕 〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1〔D 〕2 [答案]A[解析](1)2f -=,(2)4f a =,所以[(1)]41f f a -==,解得14a =,故选A . [点评]本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基础题.〔5〕[20####,文5,5分]在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为〔〕〔A 〕19-〔B 〕13〔C 〕1〔D 〕72[答案]D[解析]222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D . [点评]本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.〔6〕[20####,文6,5分]下列叙述中正确的是〔〕〔A 〕若,,a b c R ∈,则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤〔B 〕若,,a b c R ∈,则22""ab cb >的充要条件是""a c >〔C 〕命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定是"存在x R ∈,有20x ≥〞 〔D 〕l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ [答案]D[解析]〔1〕对于选项A :若,,a b c R ∈,当2"0"ax bx c ++≥对于任意的x 恒成立时,则有:①当0a =时,0b =,0c ≥,此时240b ac -≤成立;②当0a >时,240b ac -≤.∴2"0"ax bx c ++≥ 是2"40"b ac -≤充分不必要条件,2"40"b ac -≤是2"0"ax bx c ++≥必要不充分条件.故A 不正确. 〔2〕对于选项B :当22""ab cb >时,20b ≠,且a c >,∴22""ab cb >是""a c >的充分条件.反之,当a c >时,若0b =,则22ab cb =,不等式22ab cb >不成立.∴""a c >是22""ab cb >的必要不充分条件. 故B 不正确.〔3〕对于选项C :结论要否定,注意考虑到全称量词"任意〞,命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定应该是"存在x R ∈,有20x <〞.故选项C 不正确.〔4〕对于选项D :命题"l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ.〞是两个平面平行的一个判定定理,故选D .[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.〔7〕[20####,文7,5分]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系, 随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是〔〕 〔A 〕成绩〔B 〕视力〔C 〕智商〔D 〕阅读量 [答案]D[解析]表1:()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;表2:()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;表3:()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;表4:()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,∴阅读量与性别有关联的可能性最大,故选D .[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.〔8〕[20####,文8,5分]阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为〔〕〔A 〕7 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕11 [答案]B[解析]由程序框图知:135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++的值,∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-,而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-,∴跳出循环的i 值为9,∴输出i 9=,故选B .[点评]本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.〔9〕[20####,文9,5分]过双曲线22221x y C a b-=:的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点〔O 为坐标原点〕,则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕221412x y -=〔B 〕22179x y -=〔C 〕22188x y -=〔D 〕221124x y -=[答案]A[解析]以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过坐标原点O ,则4c =.且4CA =.设右顶点为(),0B a ,(),C a b ,ABC ∆为Rt ∆222BA BC AC ∴+=,()22416a b ∴-+=,又22216a b c +==.得1680a -=,2a =,24a =,212b =,所以双曲线方程221412x y -=,故选A .[点评]本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题.〔10〕[20####,文10,5分]在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与()2322y a x ax x a a =-++∈R 的图像不可能的是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕[答案]B[解析]当0a =时,函数22ay ax x =-+的图象是第二,四象限的角平分线,而函数2322y a x ax x a =-++的图象是第一,三象限的角平分线,故D 符合要求;当0a ≠时,函数22a y ax x =-+图象的对称轴方程为直线12x a =,由2322y a x ax x a =-++可得:22341y a x ax '=-+,令0y '=,则113x a =,21x a=,即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a =-++的两个极值点,对称轴12x a =介于113x a =和21x a =两个极值点之间,故A 、C 符合要求,B 不符合,故选B .[点评]本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握二次函数的图象和性质,三次函数的极值点等知识点是解答的关键. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.〔11〕[20####,文11,5分]若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是. [答案](),e e[解析]11ln ln 1y x x x x=⨯+⨯=+,切线斜率2k =,则0ln 12x +=,0ln 1x =,0x e ∴=()0f x e ∴=,所以(),P e e . [点评]本题主要考查导数的几何意义,以与直线平行的性质,要求熟练掌握导数的几何意义.〔12〕[20####,文12,5分]已知单位向量12,e e 的夹角为α,且1cos 3α=,若向量1232a e e =-,则||a =.[答案]3[解析]()()()222221212123232129412cos 9a a e e e e e e α==-=+-⋅=+-=,解得3a =. [点评]本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题. 〔13〕[20####,文13,5分]在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取最大值,则d 的取值X 围.[答案]71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭[解析]因为170a =>,当且仅当8n =时n S 取最大值,可知0d <且同时满足890,0a a ><,所以,89770780a d a d =+>⎧⎨=+<⎩,易得718d -<<-.[点评]本题主要考查等差数列的前n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题.〔14〕[20####,文14,5分]设椭圆()2222:10x y Ca b a b+=>>的左右焦点为12F F ,,作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B,两点,1F B 与y 轴交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于.[答案 [解析]因为AB 为椭圆的通径,所以22b AB a=,则由椭圆的定义可知:212b AF a=-,又因为1AD F B ⊥,则1AF AB =,即2222b b a a a =-,得2223b a =,又离心率c e a=,结合222a b c =+,得到:e =. [点评]本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直于斜率之间的关系是解决本题的关键,运算量较大.为了方便,可以先确定一个参数的值.〔15〕[20####,文15,5分],x y R ∈,若112x y x y ++-+-≤,则x y +的取值X 围为. [答案][]0,2[解析] 11x x +-≥,11y y +-≥,要使112x x y y +-++-≤,只能112x x y y +-++-=,11x x +-=,11y y +-=,∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤.[点评]本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.〔16〕[20####,文16,12分]已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数,且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中a ∈R ,()0,θπ∈.〔1〕求,a θ的值;〔2〕若245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解:〔1〕()()1cos 1sin 042f a a ππθθ⎛⎫⎛⎫=++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0θπ∈,,∴sin 0θ≠,∴10,1a a +=∴=-………2分函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数()()02cos cos 0f a θθ∴=+==……………4分2πθ∴=.……………5分〔2〕有〔1〕得()()2112cos cos 2cos 2sin 2sin 422f x x x x x x π⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭……………7分 12sin425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴4sin 5α=………8分2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,3cos 5α∴=-……………10分413sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫∴+=+=⨯-= ⎪⎝⎭……………12分 [点评]本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解决问题的能力.〔17〕[20####,文17,12分]已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n N ∈. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕证明:对任意1n >,都有*m N ∈,使得1a ,n a ,m a 成等比数列.解:〔1〕当1n =时111a S ==,当2n ≥时,()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验,当1n =时11a =,32n a n ∴=-.〔2〕使1a ,n a ,m a 成等比数列.则21n m a a a =,()23232n m ∴--=,即满足()2233229126m n n n =-+=-+,所以2342m n n =-+,所以对任意1n >,都有m N *∈,使得1n m a a a ,,成等比数列. [点评]本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.〔18〕[20####,文18,12分]已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <.〔1〕当4a =-时,求()f x 的单调递增区间;〔2〕若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.解:〔1〕当4a =-时,()()()222422f x x x =-=-()f x 的定义域为[)0,+∞,()(2'242x fx x-=-,令()'0f x >得20,25x x ≤<>,所以当4a =-时,()f x 的单调递增区间为()20,2+5⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭和,.〔2〕()()22f x x a x =+,()()()()()2'22102222x a x a x a f x x a x xx+++=++=,令()'0f x =,得12,210a ax x =-=-,0a <,120x x ∴>>,所以,在区间,,,102a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0上,()'0f x >,)(x f 的单调递增;在区间,102aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,()'0f x <,)(x f 的单调递减;又易知()()220f x x a x =+≥,且02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.①当12a-≤时,即20a -≤<时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为()1f ,由()21448f a a =++=,得222a =-±,均不符合题意.②当142a<-≤时,即82a -≤<-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,不符合题意.③当42a->时,即8a <-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值可能为1x =或4x =处取到,而()18f ≠,()242(6416)8f a a =++=,得10a =-或6a =-〔舍去〕,当10a =-时,()f x 在区间[1,4]上单调递减,()f x 在区间[1,4]上的最小值()48f =符合题意.综上,10a =-.[点评]本题考查的是导数知识,重点是利用导数判断函数的单调性,难点是分类讨论.对学生的能力要求较高,属于难题.〔19〕[20####,文19,12分]如图,三棱柱111ABC A B C -中,111,AA BC A B BB ⊥⊥.〔1〕求证:111AC CC ⊥;〔2〕若2,3,7AB AC BC ===,问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值. 解:〔1〕三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,1BB BC ∴⊥,又11BB A B ⊥且1BC A B C =,11BB BCA ∴⊥面,11BB CC ∥11CC BCA ∴⊥面,又11AC BCA ∴⊂面,11AC CC ⊥.〔4分〕〔2〕设1AA x =,在Rt △11Rt A BB ∆中,22111=-=4AB A B BB x -,同理,2221111C=3A AC CC x -=-,在1ABC ∆中 1cos BAC ∠=22221122112(4)(3)A B A C BC x A B A C x x +-=---,2122127sin (4)(3)x BA C x x -∠=--,〔6分〕 所以121111127sin BA C 22A BCx S A B AC -=∠=△,〔7分〕从而三棱柱111ABC A B C -的体积 1211272A BC x x V S l S AA -=⋅=⋅=△〔8分〕,因22422636127127777x x x x x -=-=--+()〔10分〕故当42=7x 时,即142AA =7时,体积V 取到最大值377. [点评]本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用,几何体的体积的最值的求法,考查转化思想以与空间想象能力.〔20〕[20####,文20,13分]如图,已知抛物线2:4C x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D 〔O 为坐标原点〕. 〔1〕证明:动点D 在定直线上;〔2〕作C 的任意一条切线l 〔不含x 轴〕与直线2y =相交于点1N ,与〔1〕中的定直线相交于点2N ,证明:2221||||MN MN -为定值,并求此定值解:〔1〕根据题意可设AB 方程为2y kx =+,代入2=4x y ,得()242x kx =+,即2480x kx --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则有:128x x =-,〔2分〕直线AO 的方程为11y y x x =;BD 的方程为2x x =,解得交点D 的 坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩〔4分〕,注意到128x x =-与211=4x y ,则有1121211824y x x y y x y -===-,〔5分〕 因此D 点在定直线y=-2上〔2x ≠〕〔6分〕.〔2〕依据题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠,代入2=4x y 得2=4+x ax b (),即2440x ax b --=,由0∆=得216160a b +=,化简整理得2b a =-〔8分〕 故切线l 的可写为2y ax a =-.令2y =、2y =-得12,N N 坐标为12(,2)N a a +,22(,2)N a a-+-〔11分〕则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=,即2221MN MN -为定值8.〔13分〕[点评]本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.〔21〕[20####,文21,14分]将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ,()F n 为这个数的位数〔如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =〕,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率. 〔1〕求(100)p ;〔2〕当2014n ≤时,求()F n 的表达式.〔3〕令()g n 为这个数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()()h n f n g n =-,{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈,求当n S ∈时()p n 的最大值.解:〔1〕当100n =时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为()11100192p =.〔2分〕 〔2〕当19n ≤≤时,这个数有1位数组成,()9F n =,当1099n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,9n -个两位数组成,则()29F n n =-,当100999n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,99n -个三位数组成,()3108F n n =-, 当10002014n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,900个三位数组成,999n -个四位数组成,()41107F n n =-,所以,1929,1099()3108,10099941107,10002014n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩〔5分〕〔3〕当n b =〔+19N b b ≤≤∈,〕,()0g n =;当()1019,09,,n k b k b k N b N +=+≤≤≤≤∈∈时,()g n k =;100n =时()11g n =,即,0,19,(),n 10,19,09,,11,n 100n g n k k b k b k N b N +⎧≤≤⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩〔8分〕同理有,0,18,,n 10,19,09,,()80,8998,20,n 99,100n k k b k b k N b N f n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩〔10分〕由()()()1h n f n g n =-=h,可知9,19,29,49,59,69,79,89,90n =,所以当n 100≤时,}{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =〔11分〕当9n =时,()90p =,当90n =,()()()901909019g p F ==,当()10918,n k k k N +=+≤≤∈时, ()()()29209g n k k p n F n n k ===-+〔13分〕由209ky k =+关于k 单调递增,故当109n k =+〔18k ≤≤,k N +∈〕时,()p n 的最大值为()889169p =,又8116919<,所以最大植为119.〔14分〕 [点评]本题为信息题,也是本卷的压轴题,考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力,本题的命题新颖,对学生能力要求较高,难度较大,解决本题的关键首先在于审清题意,搞清楚()F n 、()p n 的含义,这样就可以解决前两问,同时为第三问做好铺垫,第三问在前两问的基础上再加以深入,考查学生综合分 析问题的能力.本题由易到难,层层深入,是一道难得的好题.。
2014年江西省南昌市高三文科数学第二次模拟考试试卷及答案
2014年江西省南昌市高三文科数学第二次模拟考试试卷及
答案
绝密★启用前
2014年江西省南昌市高三第二次模拟考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分.
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知全集,,,则(∁U)为
3.下列说法正确的是
A.命题“存在,”的否定是“任意,”
B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C.函数在其定义域上是减函数
D.给定命题,若“且”是真命题,则是假命题
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4.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球的球面上,
球的表面积是
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2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)1.已知复数,则z在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解:===,则此复数在复平面上对应的点为(,),在第四象限,故选D.由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以2-i,再进行计算求出此复数对应的点得坐标,即可得到答案.本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的几何意义,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数,复数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握.2.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},M{-1,0,1,3},N{-2,0,2,3},则(∁U M)∩N为()A.{-1,1}B.{-2}C.{-2,2}D.{-2,0,2}【答案】C【解析】解:∵U={-2,-1,0,1,2,3},M{-1,0,1,3},∴∁U M={-2,2},又N={-2,0,2,3},∴(∁U M)∩N={-2,2},故选C.依题意,可求得∁U M={-2,2},从而可求得(∁U M)∩N.本题考查交、并、补集的混合运算,属于基础题.3.下列说法正确的是()A.命题“存在x∈R,x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2013<0”B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C.函数f(x)=在其定义域上是减函数D.给定命题p、q,若“p且q”是真命题,则¬p是假命题【答案】D【解析】解:对于A,命题“存在x∈R,x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2013≥0”,∴A错误;对于B,两个三角形面积相等,不能得出这两个三角形全等,∴必要条件不成立,∴B错误;对于C,函数f(x)=在其定义域的两个区间(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数,∴C错误;对于D,给定命题p、q,若“p且q”是真命题,∴p、q都是真命题,∴¬p是假命题,∴D正确.故选:D.A中,写出命题p的否定¬p,判定A错误;B中,由两三角形面积相等,不能推出两三角形全等,判定B错误;C中,函数f(x)在其定义域的两个区间上分别是减函数,判定C错误;D中,由“p且q”是真命题,得出p、q都是真命题,从而得¬p是假命题,判定D正确.本题通过命题真假的判定,考查了命题的否定、充分与必要条件,函数的单调以及复合命题的真假性问题,是综合性题目.4.已知函数f(x)=cosωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin(ωx+)的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】解:∵函数f(x)=cosωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,∴由得ω=2,∴函数f(x)=cos2x,g(x)=sin(2x+)∴要得到函数g(x)=sin(2x+)的图象,由于sin(2x+)=cos(2x+-)=cos(2x-),得到函数g(x)=cos(2x-)即可,∴需要把函数f(x)=cos2x图象向右平移个单位长度,故选B.根据最小正周期为π,可以求出ω的值,然后再利用图象平移求解.本题考查了余弦型函数的性质、诱导公式及图象变换,关键是用诱导公式把两个函数的名称化成一致的.5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球O的球面上,球O的表面积是()A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】C【解析】解:由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为2,底面为等腰直角三角形,如图:SA⊥平面ABC,SA=2,AC的中点为D,在等腰直角三角形SAC中,取O为SC的中点,∴OS=OC=OA=OB,∴O为三棱锥外接球的球心,R=,∴外接球的表面积S=4π×=8π.故选:C.几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为等腰直角三角形,取O为SC的中点,可证OS=OC=OA=OB,由此求得外接球的半径,代入球的表面积公式计算.本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键.6.方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是()A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线【答案】D【解析】解:由题意,(x2+y2-2x)=0可化为x+y-3=0或x2+y2-2x=0(x+y-3≥0)∵x+y-3=0在x2+y2-2x=0的上方,∴x2+y2-2x=0(x+y-3≥0)不成立,∴x+y-3=0,∴方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是一条直线.故选:D.将方程等价变形,即可得出结论.本题考查轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.7.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是()A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】解:∵函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点,即为函数y1=|lgx|,y2=f(x)的图象的交点,又∵函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|,y2=f(x)的图象,如下图所示:由图可知:两个函数y1=|lgx|,y2=f(x)的图象共有10个交点,故函数F(x)=f(x)-|lgx|有10个零点,故选:B.在坐标系中画出两个函数y1=|lgx|,y2=f(x)的图象,分析两个图象交点的个数,进而可得函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数.本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数.8.已知函数y=f(x)对任意的x∈R满足2x f′(x)-2x f(x)ln2>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.2f(-2)<f(-1)B.2f(1)>f(2)C.4f(-2)>f(0)D.2f(0)>f(1)【答案】A【解析】解:构造函数g(x)=,则g′(x)=′,∵x∈R满足2x f′(x)-2x f(x)ln2>0,∴g′(x)>0,即函数g(x)在R上单调递增,则g(-2)<g(-1),g(1)<g(2),g(-2)<g(0),g(0)<g(1),即<,<,<,<,即2f(-2)<f(-1),2f(1)<f(2),4f(-2)<f(0),2f(0)<f(1),故A正确.故选:A.根据条件构造函数g(x)=,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论.本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强,有一点的难度.9.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱A1B1,CD的中点,点M是EF的动点,FM=x,过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体积为V(x),则函数V(x)的大致图象是()A. B. C.D.【答案】C【解析】解:如图:(1)当<<时,过点M、直线AB作平面交CC1,DD1于点P、Q,则四边形ABPQ为矩形,此时,截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP,∵FM=CM1=x,如图:B1C=,△BB1M1∽△PM1C,由相似比得,,,∴CP=,∴三棱矩ADQ-BCP的体积V(x)=S△BCP•AB==;(2)当<<时,过点M、直线AB作平面交B1C1,A1D1于点P、Q,则四边形ABPQ为矩形,此时,截面下面那部分是四棱矩ADQA1-BCPB1,∵FM=x,由相似比知C1P=,∴四棱矩ADQA1-BCPB1的体积V(x)==.<∴V(X)=.<<由解析式,知V(x)的图象为C.故选:C.本题关键是理解,体积V(x)的变化是随变x的变化而怎样变化的,可以找列出V关于x的关系式,利用相似比就可以找到它们的关系,从而得到答案,当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案.本题考查空间相象能力,函数思想,关键是要求理解变量与变量之间的关系.属于较难题.10.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若=2-,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】解:设右焦点为F′,则∵=2-,∴+=2,∴E是PF的中点,∴PF′=2OE=a,∴PF=3a,∵OE⊥PF,∴PF′⊥PF,∴(3a)2+a2=4c2,∴e==,故选:C.设右焦点为F′,由=2-,可得E是PF的中点,利用O为FF'的中点,可得OE为△PFF'的中位线,从而可求PF′、PF,再由勾股定理得出关于a,c的关系式,最后即可求得离心率.本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查抛物线的定义,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11.若不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x均成立,则实数a的取值范围是______ .【答案】(1,3)【解析】解:∵函数y=x2+2x+2的最小值为1,∴不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x均成立,则|a-2|<1,∴1<a<3,∴实数a的取值范围是(1,3).故答案为:(1,3).构造函数y=x2+2x+2,由二次函数的性质,可以求出函数的最小值,根据不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x均成立,可得|a-2|<1,即可得到a的取值范围,进而得到答案.本题考查的知识点函数恒成立问题,其中根据二次函数的性质得到函数y=x2+2x+2的最小值是解答本题的关键.12.已知角α(-π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是,则cos(+α)的值是______ .【答案】【解析】解:角α(-π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是,则角α(-π<α<0)的终边与单位圆交点的纵坐标是-,∴cosα=,sinα=-,则cos(+α)=-sinα=,故答案为:.由题意可得角α的终边与单位圆交点的纵坐标是-,由此求得cosα和sinα的值,再根据cos(+α)=-sinα,计算求得结果.本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于中档题.13.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是______ .【答案】-【解析】解:由程序框图知:算法的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值,∵跳出循环的n值为2014,∴输出S=cos+cos+cosπ+…+cos,又cos+cos+cos+cos+cos+cos=0,∴输出S=cos+cos+cosπ+cos=--1=-.故答案为:-.的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值,根据条件判断跳出循环的n值,利用余弦函数的周期性求输出S的值.本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.14.观察下列等式23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,53=21+23+25+27+29,…,若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109,则正整数m等于______ .【答案】10【解析】解:由题意可得第n行的左边是m3,右边是m个连续奇数的和,设第n行的最后一个数为a n,则有a2-a1=11-5=6=2×(1+2)=1×2+4,a3-a2=19-11=8=2×(2+2)=2×2+4,a4-a3=29-19=10=2×(3+2)=3×2+4,…a n-a n-1=2(n-1+2)=(n-1)×2+4,以上(n-1)个式子相加可得a n-a1=n2+3n-4故a n=n2+3n+1,即n2+3n+1=109解得n=9.∴m=n+1=9+1=10故答案为:10.可得规律:第n行的左边是m3,右边是m个连续奇数的和,设第n行的最后一个数为a n,累加可得a n,本题考查类比推理,涉及累加法求数列的通项公式,属基础题.15.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是______ .【答案】①②④【解析】解:当-2≤x≤-1,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,当-1≤x≤1时,P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,当1≤x≤2时,P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,当3≤x≤4时,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,∴函数的周期是4.因此最终构成图象如下:①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图象即分析可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确.故答案为:①②④.根据正方形的运动,得到点P的轨迹方程,然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.本题考查的知识点是函数图象的变化,其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象,利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键.三、解答题(本大题共6小题,共75.0分)16.某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)若甲一天能生产20件产品A,乙一天能生产15件产品A,估计甲乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数.【答案】解:(1)甲生产一件产品A,三等品的件数为3+7=10,此时给工厂带来盈利小于30元的概率为,则给工厂带来盈利不小于30元的概率为P=1-=.(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20×=2件三等品,估计乙一天生产的15件产品A中有15×=3件三等品,所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.【解析】(1)根据古典概型的概率公式进行求解即可.(2)根据条件求出甲乙两人一天内生产的三等品的件数即可得到结论.本题主要考查统计与概率的应用,比较基础.17.已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N+,在a n与a n+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为b n,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】解:(1)∵a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,∴2(a5+S5)=(a4+S4)+(a6+S6)…(2分)即2a6-3a5+a4=0,∴2q2-3q+1=0,∵q≠1,∴,…(4分)所以等比数列{a n}的通项公式为;…(6分)(2),…(9分)∴数列{b n}为等比数列,∴.…(12分)【解析】(1)根据a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,列出方程,求出公比,得到通项公式;(2)由等差数列的性质求出,利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和T n.本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式及性质的应用,属于一道中档题.18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置,使得A′C=2.(1)求五棱锥A′-BCDFE的体积;(2)在线段A′C上是否存在一点M,使得BM∥平面A′EF?若存在,求A′M;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)连接AC,设AC∩EF=H,由ABCD是正方形,AE=AF=4,得H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH,从而有A′H⊥EF,CH⊥EF,∴EF⊥平面A′HC,从而平面A′HC⊥平面ABCD,…(2分)过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O,则A′O⊥平面ABCD.…(4分)∵正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,得到:A′H=2,CH=4,∴cos∠A′HC==,∴HO=A′H•cos∠A′HC=,A′O=,∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=×(62-×4×4)×=;…(6分)(2)线段A′C上存在一点M,使得BM∥平面A′EF,A′M=.…(7分)证明:∵A′M==A′C,HO=HC,∴OM∥A′H,∴OM∥平面A′EF,…(9分)又BD∥EF,∴BD∥平面A′EF,…(10分)∴平面MBD∥平面A′EF,…(11分)由BM在平面MBD内,∴BM∥平面A′EF.…(12分)【解析】(1)连接AC,设AC∩EF=H,由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD,过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O,则A′O⊥平面ABCD,由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积.(2)线段A′C上存在一点M,使得BM∥平面A′EF,A′M=.证明平面MBD∥平面A′EF,即可得出结论.本题考查五棱锥的体积的求法,考查线面平行,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.19.如图已知△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=120°,点M是边BC上的动点,动点N满足∠MAN=30°(点A,M,N按逆时针方向排列).(1)若=2,求BN的长;(2)若•=3,求△ABN面积的最大值.【答案】解:(1)由=2,得点N在射线AC上,AN=4,BN2=1+16-2×1×4×cos120°=21,即BN=;(2)设∠BAM=x,则∠CAM=120°-x,∵△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和,∴°=°,得:AM=,又∠MAN=30°,=3,∴AM•AN•cos30°=3,即,∴△ABN的面积S=°=,即S==+.(其中:sinφ=,cosφ=(其中φ为锐角),∴当2x-φ=90°时,△ABN的面积最大,最大值是.【解析】(1)由=2,得点N在射线AC上,AN=4,再利用余弦定理即可得出;(2)设∠BAM=x,则∠CAM=120°-x,由于△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和,可得AM=,已知∠MAN=30°,=3,利用数量积可得:,可得△ABN的面积S=°,再利用倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出.本题综合考查了余弦定理、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角形的面积公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,B,过点F 且倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点,椭圆C的离心率为,•-•=-.(1)求椭圆C的方程;(2)若P1,P2是椭圆上不同两点,P1,P2⊥x轴,圆R过点P1,P2,且椭圆上任意一点都不在圆R内,则称圆R为该椭圆的内切圆.问椭圆C是否存在过点F的内切圆?若存在,求出点R的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)因为离心率为,所以a=2b,c=,所以椭圆方程可化为:,直线l的方程为y=x+,…(2分)由方程组,得:,即,…(4分)设C(x1,y1),D(x2,y2),则,…(5分)又=(x1+a,y1)•(x2+a,y2)-(x1-a,y1)•(x2-a,y2)=2a(x1+x2),∴4b•(-)=-,解得b=1,∴椭圆方程是.…(7分)(2)由椭圆的对称性,可以设P1(m,n),P2(m,-n),点R在x轴上,设点R(t,0),则圆R的方程为:(x-t)2+y2=(m-t)2+n2,由内切圆定义知道,椭圆上的点到点R距离的最小值是|P1R|,设点M(x,y)是椭圆C上任意一点,则|MR|2=(x-t)2+y2=,…(9分)当x=m时,|MR|2最小,∴m=-=,①…(10分)又圆R过点F,所以(-)2=(m-t)2+n2,②…(11分)点P1在椭圆上,∴,③…(12分)由①②③解得:t=-或t=-,又t=-时,m=<,不合题意,综上:椭圆C存在符合条件的内切圆,点R的坐标是(-,).…(13分)【解析】(1)由离心率为,得a=2b,c=,直线l的方程为y=x+,由方程组,得,由此利用已知条件能求出椭圆方程.(2)由椭圆的对称性,设P1(m,n),P2(m,-n),点R在x轴上,设点R(t,0),圆R的方程为:(x-t)2+y2=(m-t)2+n2,由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆,点R的坐标是(-,).本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆的内切圆是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.21.已知函数f(x)=sinx-ax-bxcosx(a∈R,b∈R).(1)若b=0,讨论函数f(x)在区(0,π)上的单调性;(2)若a=2b且a≥,对任意的x>0,试比较f(x)与0的大小.【答案】解:(1)b=0时,f(x)=sinx-ax,则f′(x)=cosx-a,当a≥1时,f′(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递减;当a≤-1时,f′(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递增;当-1<a<1时,存在θ∈(0,π),使得cosθ=a,即f(θ)=0,①x∈(0,θ)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,θ)上单调递增,②x∈(θ,π)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(θ,π)上单调递减.(2)a=2b时,f(x)=sinx-x(2+cosx),猜测f(x)<0恒成立,证明:f(x)<0等价于<,令g(x)=,则g(x)==-+,当,即a≥时,g′(x)≤0,g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<0恒成立.【解析】(1)问中,分a≥1,a≤-1,-1<a<1进行讨论;(2)中引进新函数g(x),将问题转化为求新函数的单调性问题.本题属于利用导数求函数的单调性问题,解题过程中用到了分类讨论思想,转化思想.。
数学(文科)
度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(文科)参考答案及评分标准11.2; 12.29; 13.4; 14.222coscos cos 2cos cos sin 222222A B C B C A =+-; 15.{|1x x ≤-或2}x ≥ 三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.解:(1)由题意可知,第3组的人数为0.0651000300⨯⨯=,第4组的人数为0.0451000200⨯⨯=,第5组的人数为0.025*******⨯⨯=。
………………………3分 所以利用分层抽烟在600名志愿者中抽取12名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:123006600⨯=,第4组122004600⨯=,第5组121002600⨯=………………6分 (2)设第四组的四名志愿者分别为1234,,,A A A A ,第五组的2名志愿者分别为12,B B ,从这六人中抽取3人的所有结果有:123124134234121122131132141142231,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B 232241242341342112212312412,,,,,,,,.A A B A A B A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B …………8分符合条件的有:121122131132141142231232241242,,,,,,,,,,A AB A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B 341342,.A A B A A B ……………………………………………………………………………10分所以所求概率是123.205P ==………………………………………………………………12分 17.解:(1)1(sin cos ,)2m n x x +=+,所以21111()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222f x x x x x x x x x =+-=+-=-,…3分即()f x )24x π=-,………………………………………………………………4分当[0,]2x π∈时,32[,]444x πππ-∈-,sin(2)[42x π-∈-,所以当[0,]2x π∈时,函数()y f x =的值域是1[,22-;……………………………6分(2)由()25B f =,得3sin()45B π-=,又(,)444B πππ-∈-,所以4cos()45B π-=,………………………………………………………………………8分因此”2cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410B B B B ππππππ=-+=---=, ……9分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得2223242298225510c c c =+-⨯⨯, ……11分 所以:52,8c a ==。
2014年高考数学江西卷(文科)word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试江西卷文科一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西文1)若复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位),则||z =( ) A.1 B.2 C.2 D.32.(2014江西文2)设全集为R ,集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则()A B =R ð( ) A.(3,0)- B.(3,1)-- C.(3,1]-- D.(3,3)-3.(2014江西文3)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.1124.(2014江西文4)已知函数2,0()()2,0x x a x f x a x -⎧⋅=∈⎨<⎩R ≥,若[(1)]1f f -=,则=a ( )A.14 B.12C.1D.2 5.(2014江西文5)在ABC △中,内角,A B C ,所对的边分别为,,,c b a ,若32a b =,则2222sin sin sin B A A-的值为( ) A.19-B.13C.1D.726.(2014江西文6)下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”;B. 若,,a b c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”;C. 命题“对任意x ∈R ,有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ,有20x ≥”;D. l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则αβ∥.7.(2014江西文7)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4所示,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量8.(2014江西文8)阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )A.7B.9C.10D.119.(2014江西文9)过双曲线12222=-by a x C :的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A O O ,两点(为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 10.(2014江西文10)在同一平面直角坐标系中,函数22322()2ay ax x y a x ax x a a =-+=-++∈R 与的图像不可能...的是( )二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.成绩 性别不及格及格总计男 6 14 20 女 10 22 32 总计163652视力 性别好差总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652智商 性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计163652阅读量性别丰富不丰富 总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652开始1,0i S ==1?S <-结束否是2i i =+输出ixyOxy OxyOxyOA.B.C.D.lg2i S S i =++11.若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是 . 12.已知单位向量12,e e 的夹角为α,且1cos 3α=,若向量1232=-a e e ,则||=a . 13.(2014江西文13)在等差数列{}n a 中,71=a ,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8=n 时n S 取得最大值,则d 的取值范围是 .14.(2014江西文14)设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点为21F F ,,过2F 作x 轴的垂线与C相交于B A ,两点,B F 1与y 轴相交于点D ,若B F AD 1⊥,则椭圆C 的离心率等于 . 15.x y ∈R ,,若112x y x y ++-+-≤,则y x +的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2014江西文16)(本小题满分12分)已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数,且04f π⎛⎫=⎪⎝⎭,其中a ∈R ,()0θ∈π,. (1)求θ,a 的值; (2)若2452f ααπ⎛⎫⎛⎫=-∈π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,求sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.(2014江西文17)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS n -=∈,*N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:对任意1>n ,都有m ∈*N ,使得m n a a a ,,1成等比数列. 18.(本小题满分12分)已知函数x a ax x x f )44()(22++=,其中0<a . (1)当4-=a 时,求)(x f 的单调递增区间; (2)若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8,求a 的值. 19.(2014江西文19)(本小题满分12分)如图所示,三棱柱111C B A ABC -中,1AA BC ⊥,11A B BB ⊥.(1)求证:11AC CC ⊥;(2)若2AB =,3AC =,7BC =,问1AA 为何值时,三棱柱111C B A ABC -体积最大,并求此最大值.20.(2014江西文20)(本小题满分13分) 如图所示,已知抛物线2:4C xy =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)求证:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴),与直线2y =相交于点1N ,与(1)中的定直线相交于点2N ,求证:2221MN MN -为定值,并求此定值.21.(2014江西文21)(本小题满分14分) 将连续正整数*1,2,,()n n ∈N 从小到大排列构成一个数123n ,()F n 为这个数的位数(如12n =时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,(12)15F =),现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率.(1)求(100)p ;(2)当2014n ≤时,求()F n 的表达式; (3)令()g n 为这个数中数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()()h n f n g n =-,A1A1C1BCBxyOM DBA*{|()1,100,}S n h n n n ==∈N ≤,求当n S ∈时()p n 的最大值.。
江西省南昌市2014届高三第二次模拟测试数学文试题(扫描版)
2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11. (1,3) 12.313.32- 14. 10 15.①②④三、解答题:本大题共6个题,共75分.16.解:(1)甲生产一件产品A ,给工厂带盈利不小于30元的概率为:11911010P =-=……………………………………………………………………………6分 (2)估计甲一天生产的20件产品A 中有120210⨯=件三等品,………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有215310⨯=件三等品,……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分17.解:(1)因为445566,,a S a S a S +++成等差数列,所以55446655a S a S a S a S +--=+--,………………………………………………2分 即654230a a a -+=,所以22310q q -+=,因为1q ≠,所以12q =,……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =;………………………………………………6分 (2)1333()242n nn n n a a b ++=⋅=,………………………………………………………9分133()39322[()1]344212n n nT +-==--.………………………………………………………12分18.解(1)连接AC ,设AC EF H ⋂=,由ABCD 是正方形,4AE AF ==,得H 是EF 的中点,且,EF AH EF CH ⊥⊥,从而有',A H EF CH EF ⊥⊥,所以EF ⊥平面'A HC ,从而平面'A HC ⊥平面ABCD ,…… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O , 则'A O ⊥平面ABCD ………………3分因为正方形ABCD 的边长为6,4AE AF ==, 得到:'A H CH ==1cos '2A HC ∠==,所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==ABCD EF A 'O H所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =⨯-⨯⨯=6分 (2)线段'A C 上存在点M ,使得'//A M 平面'A EF,'A M =.……………7分证明:'A M =1'4A C =,14HO HC =, 所以//'OM A H ,所以//OM 平面'A EF ,……………………………………………9分又//BD EF ,所以//BD 平面'A EF ,…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF , …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内,所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分 19.解:(1)由2AN AC =,得点N 在射线AC 上, 4AN =,2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=,即BN =5分 (2)设BA M x ∠=,则120CAM x ∠=︒-,因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和,所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒,得:AM =,………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+,所以△ABN的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=- ………………………10分(其中:sin φφφ==为锐角), 所以当290x φ-=︒时,△ABN12分 20.解:(12,a b c ==, 所以椭圆方程可化为:222214x y b b+=,直线l的方程为y x =,………………2分由方程组222214x y b by x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得:2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分 设1122(,),(,)C x y D x y,则12x x +=,………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+,所以4()b ⋅=,所以1b =,椭圆方程是2214x y +=;………………7分 (2)由椭圆的对称性,可以设12(,),(,)P m n P m n -,点E 在x 轴上,设点(,0)E t , 则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+,由内切圆定义知道,椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE , 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点,则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时,2||ME 最小,所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆E 过点F,所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上,所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得:2t =-或t =t =23m -=<-,不合,综上:椭圆C 存在符合条件的内切圆,点E的坐标是(2-.……………………13分21.解:(1)0b =时,()sin f x x ax =-,则'()cos f x x a =-,……………………2分 当1a ≥时,'()0f x <,所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减;…………………3分 当1a ≤-时,'()0f x >,所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增;……………… 4分 当11a -<<时,存在(0,)φπ∈,使得cos a φ=,即()0f φ=,(0,)x φ∈时,'()0f x >,函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增, ……………………5分 (,)x φπ∈时,'()0f x <,函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分(2)2a b =时,()sin (2cos )2af x x x x =-+,猜测()0f x <恒成立,……………7分证明:()0f x <等价于sin 2cos 2x a x x <+,记sin ()2cos 2x ag x x x =-+,则 222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++,……………………………10分当123a ≥,即23a ≥时,'()0g x ≤,()g x 在区间(0,)+∞上单调递减,……………12分 所以当0x >时,()(0)0g x g <=,即()0f x <恒成立;……………………………14分。
2014年高考文科数学江西卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位),2i 2i(1i)==1i 1i (1i)(1i)z -=+++-∴||z =∴(){|R A B x =-【提示】根据补集的定义求得RB ,再根据两个集合的交集的定义,求得()R A B .1=.ilgi 2+++【解析】由题意,4c =,双曲线的一条渐近线方程为by x a=,令x a =,则y b =,即(,)A a b ,∵右焦点(4,0)F ,||4FA =,22(4)16a b -+=∴,2216a b +=∵,2a b ==,∴∴双曲线C 的方程为221x y -=.【解析】当0a =时,函数22ay ax x -=+的图象是第二,四象限的角平分线,而函数2322y a x ax x a -=++的图象是第一,三象限的角平分线,故D 符合要求;当0a ≠时,函数22ay ax x -=+图象的对称轴方程为直线12x a =,由2322y a x a x x a -=++可得:22341y a x ax -'=+,令0y '=,则113x a =,21x a=,即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a -=++的两个极值点,对称轴12x a =介于113x a =和21x a=两个极值点之间,第Ⅱ卷【答案】3【解析】22211229124912a e e e e =-+=-||3a =【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义求出2a 的值,从而得到||a 的值11AD F B k =-,即22b c c-=---,解得33c -⨯==(0,π)θ∈∵,sin 0θ≠∴1a +∴=0,即1a =-.()f x ∵为奇函数,(0)(2)cos 0f a θ=+=∴,πcos 02θθ==∴, (Ⅱ)由(Ⅰ)知2π1()(2cos )cos(2)cos2(sin 2)sin 422f x x x x x x =++=-=--1,12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴,45α=∴sin , π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵,3cos 5α==-∴,πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴【提示】(Ⅰ)把π4x =代入函数解析式可求得a 的值,进而根据函数为奇函数推断出(0)0f =,进而求得cosθ,则θ的值可得.(Ⅱ)利用245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭和函数的解析式可求得sin 2α,进而求得cos 2α,进而利用二倍角公式分别求得sin α,cos所以对任意1n >,都有m N *∈,使得1a ,n a ,m a 成等比数列.【提示】(Ⅰ)利用“当2n ≥时,1n n n a S S -=-;当1n =时,11a S =”即可得出;(Ⅱ)对任意的1n >,假设都存在*m N ∈,使得1a ,n a ,m a 成等比数列,利用等比数列的定义可得21n m a a a =,即()23232n m --=,解出m 为正整数即可4a =-()f x1BCA B C =1BCA ⊥面1CC ∥11AC BC B AC -=117sin 2x B AC BAC -∠, 111ABC A B C -的体积11122A BCx S l S AA -==△2636)+77-90,设的表达式,利用二次函数的最值,求最大值【提示】(Ⅰ)设AB 的方程为2y kx =+,代入2=4y x ,整理得24-8=0x kx -,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有:128x x =-,直线AO 的方程为11y y x x =与BD 的方程为2x x =,联立即可求得交点D 的坐标为2121=x x y x y x =⎧⎪⎨⎪⎩,利用128x x =-,即可求得D 点在定直线2y =-上;(Ⅱ)当19n ≤≤时,这个数有1位数组成,()9F n =,当1099n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,9n﹣个两位数组成,则()29F n n =-, 当100999n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,99n﹣个三位数组成,()3108F n n =-, 当10002014n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,900个三位数组成,999n -个四位数()41107F n n =-【提示】(Ⅰ)根据题意,首先分析100n =时,这个数的位数,进而可得其中0的个数,有等可能事件的概率公式,计算可得答案;(Ⅱ)分19109910099910002014n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤,,,,四种情况讨论这个数的组成情况,综合即可得 ()F n ;(3)根据题意,分情况求出当n S ∈时()P n 的表达式,比较其最大值的大小,即可得答案. 【考点】排列、组合的实际应用。
2014年江西高考文科数学试题含答案(Word版)
答案 C
解析 A = {x | −3 < x < 3}, B = {x | −1 < x ≤ 5} ,所 A I (CRB) = {x − 3 < x < −1}
3.掷两 均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于
A. 1
B. 1
18
9
答案 B
C. 1 D. 1
6
12
解析 点数之和为 5 的基本
件有
令,4
y'
=
0,Leabharlann x1=1 3a
,
x2
=
1 a
.所
对
轴
x
=
1 2a
介于两个极值点
x1
=
1 3a
,
x2
=
1 a
,之间,所
B
是错误的 所 选择 B
填空 本大 共 5 小 , 小 5 ,共 以5 .
令令.若曲线 y = x ln x 点P 处的 线平行于直线 2x − y +1 = 0,则点P 的坐标是_______.
=
r 3e1
−
r 2e2
,
则
|
r a
|=
_______.
解析
v a
2
=
v a
2
=
(
r 3e1
−
r 2e2
)2
=
(
r 3e1
)2
+
(
r 2e2
)2
−
r 12e1
⋅
r e2
=
9
+
4
−12 cosα
=
9
解得 a = 3
江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考文数(附答案)
江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考文科数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求) 1.已知i 为虚数单位,复数i z2321+-=的共轭复数为z ,则=+z z ( )A.i 2321+-B.i 2321--C.i 2321+D.i 2321- 2.已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-απαα4cos ,31cos sin 2则= ( ) A.181 B.91 C.92 D.18173.已知0>a 且1≠a ,则1>ba 是0)1(>-b a 的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.对于实数a 和b ,定义运算b a *,运算原理如 右图所示,则式子321ln *41e -⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为( ) A .6B .7C .8D .95、已知函数()()()x x f x x f -'+=ln 22, 则()1f '= ( )A .1B .2C .3D .46.数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=n A 表示{}n a 前n 项之积,则2014A = ( ) A .-3 B .3 C . -2 D .27.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,其中甲成绩的中位数为15,极差为12;乙成绩的众数为13,1x ,2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,1s ,2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有 ( )第4题图A .1212,x x s s >< B. 1212,x x s s =< C. 1212,x x s s == D. 1212,x x s s => 8.下列命题中的真命题是( ) ①若命题:0,sin p x x x ∃<≥,命题q :函数()22xf x x =-仅有两个零点,则命题p q ⌝∨为真命题;②若变量,x y 的一组观测数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 均在直线21y x =+上,则y x 与的线性相关系数1r =;③若[],0,1a b ∈,则使不等式21<+b a 成立的概率是41. A ①② B ①③ C ② D ②③9.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( ) A .109 B . 1110 C . 98 D .2 10.如图,直角梯形ABCD 中,∠A =90°,∠B =45°,底边AB =5,高AD =3,点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动,EM ⊥AB 于M ,EN ⊥AD 于N ,设BM =x ,矩形AMEN 的面积为y ,那么y 与x 的函数关系的图像大致是( )二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11、已知向量()()4,,2,1-==m b a,且a ∥b ,则=+⋅)(________.12、一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为________.第10题图第7题图13. 已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数,且m 满足不等式()0192≤--m m m ,则实数m 的值为______.14. 已知离心率为2的双曲线221x y m n+=()R n m ∈,的右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn=____________ .15. 已知集合(){}M=ln 2x y x x R =-∈,{}N=14,x x x a x R ---<∈.若M N φ≠,则实数a 的取值范围是____________ .三、解答题:(本大题共6小题,共75分.其中16、17、18、19题12分,20题13分,21题14分)16.(本小题满分12分)已知()322sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈ (Ⅰ)最小正周期及对称轴方程;(Ⅱ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且 ()f A =3a =,求BC 边上的高的最大值.17.(本小题满分12分)已知箱子里装有4张大小、形状都相同的卡片,标号分别为1,2,3,4. (Ⅰ)从箱子中任取两张卡片,求两张卡片的标号之和不小于5的概率;(Ⅱ)从箱子中任意取出一张卡片,记下它的标号m ,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的标号n ,求使得幂函数()()nm xn m x f 2-=图像关于y 轴对称的概率.18.(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 中,54242a a a a +=,前()2m m N *∈项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍. (Ⅰ)求通项n a ;(Ⅱ)已知{}n b 满足()()n n b n a n N λ*=-∈,若{}n b 是递增数列,求实数λ的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点,面PAD ⊥面ABCD ,四边形BCDE 为矩形60PAD ∠=,PB =22PA ED AE ===. (Ⅰ) 已知()PF PC R λλ=∈,且PA ∥面BEF ,求λ的值; (Ⅱ)求证:CB ⊥面PEB ,并求点D 到面PBC 的距离.20.(本题满分13分)已知1,2F F 为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,过椭圆右焦点F 2斜率为k(0k ≠)的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点,1EFF ∆的周长为8,且椭圆C 与圆223x y +=相切。
数学_2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z=12+i,则z在复平面上对应的点位于()A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知全集U={−2, −1, 0, 1, 2, 3},M{−1, 0, 1, 3},N{−2, 0, 2, 3},则(∁U M)∩N为()A {−1, 1}B {−2}C {−2, 2}D {−2, 0, 2}3. 下列说法正确的是()A 命题“存在x∈R,x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2013<0”B 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C 函数f(x)=1x在其定义域上是减函数 D 给定命题p、q,若“p且q”是真命题,则¬p是假命题4. 已知函数f(x)=cosωx(x∈R, ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin(ωx+π4)的图象,只要将y=f(x)的图象()A 向左平移π8个单位长度 B 向右平移π8个单位长度 C 向左平移π4个单位长度 D 向右平移π4个单位长度5. 一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球O的球面上,球O的表面积是()A 2πB 4πC 8πD 16π6. 方程(x2+y2−2x)√x+y−3=0表示的曲线是()A 一个圆和一条直线B 一个圆和一条射线C 一个圆D 一条直线7. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[−1, 1]时,f(x)=2|x|−1,则函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点个数是()A 9B 10C 11D 188. 已知函数y=f(x)对任意的x∈R满足2x f′(x)−2x f(x)ln2>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A 2f(−2)<f(−1)B 2f(1)>f(2)C 4f(−2)>f(0)D 2f(0)>f(1)9. 如图:正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱A1B1,CD的中点,点M是EF的动点,FM=x,过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体积为V(x),则函数V(x)的大致图象是( )ABC D10. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0),作圆x 2+y 2=a 24的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若OP →=2OE →−OF →,则双曲线的离心率为( ) A √10 B√105 C √102D √2二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11. 若不等式x 2+2x +2>|a −2|对于一切实数x 均成立,则实数a 的取值范围是________. 12. 已知角α(−π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是13,则cos(π2+α)的值是________.13. 如果执行如图的程序框图,那么输出的值是________.14. 观察下列等式23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,53=21+23+25+27+29,…,若类似上面各式方法将m 3分拆得到的等式右边最后一个数是109,则正整数m 等于________.15. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点.设顶点P(x, y)的轨迹方程是y =f(x),则对函数y =f(x)有下列判断: ①函数y =f(x)是偶函数;②对任意的x ∈R ,都有f(x +2)=f(x −2); ③函数y =f(x)在区间[2, 3]上单调递减; ④函数y =f(x)在区间[4, 6]上是减函数. 其中判断正确的序号是________.三、解答题:本大题共6个题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 某公司生产产品A ,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A ,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)若甲一天能生产20件产品A ,乙一天能生产15件产品A ,估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数.17. 已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1=12,前n 项和为S n ,且a 4+S 4,a 5+S 5,a 6+S 6成等差数列.(1)求等比数列{a n }的通项公式;(2)对n ∈N +,在a n 与a n+1之间插入3n 个数,使这3n +2个数成等差数列,记插入的这3n 个数的和为b n ,求数列{b n }的前n 项和T n .18. 如图,已知正方形ABCD 的边长为6,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,AE =AF =4,现将△AEF 沿线段EF 折起到△A′EF 位置,使得A′C =2√6. (1)求五棱锥A′−BCDFE 的体积;(2)在线段A′C 上是否存在一点M ,使得BM // 平面A′EF ?若存在,求A′M ;若不存在,说明理由.19.如图已知△ABC 中,AB =1,AC =2,∠BAC =120∘,点M 是边BC 上的动点,动点N 满足∠MAN =30∘(点A ,M ,N 按逆时针方向排列). (1)若AN →=2AC →,求BN 的长;(2)若AM →⋅AN →=3,求△ABN 面积的最大值.20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,左、右顶点分别为A ,B ,过点F 且倾斜角为π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点,椭圆C 的离心率为√32,AC →⋅AD →−BC →⋅BD →=−32√35. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 1,P 2是椭圆上不同两点,P 1,P 2⊥x 轴,圆R 过点P 1,P 2,且椭圆上任意一点都不在圆R 内,则称圆R 为该椭圆的内切圆.问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆?若存在,求出点R 的坐标;若不存在,说明理由.21. 已知函数f(x)=sinx −ax −bxcosx(a ∈R, b ∈R). (1)若b =0,讨论函数f(x)在区(0, π)上的单调性;(2)若a =2b 且a ≥23,对任意的x >0,试比较f(x)与0的大小.2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)答案1. D2. C3. D4. B5. C6. D7. B8. A9. C10. C11. (1, 3)12. 2√2313. −3214. 1015. ①②④16. 解:(1)甲生产一件产品A,三等品的件数为3+7=10,此时给工厂带来盈利小于30元的概率为10100=110,则给工厂带来盈利不小于30元的概率为P=1−110=910.(2)估计甲一天生产的20件产品A中有20×110=2件三等品,估计乙一天生产的15件产品A中有15×210=3件三等品,所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.17. 解:(1)∵ a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,∴ 2(a5+S5)=(a4+S4)+(a6+S6),即2a6−3a5+a4=0,∴ 2q2−3q+1=0,∵ q≠1,∴ q=12,∴ 等比数列{a n}的通项公式为a n=12n.(2)b n=a n+a n+12⋅3n=34⋅(32)n,∴ 数列{b n}为等比数列,∴ T n=34⋅32−(32)n+11−32=94[(32)n−1].18. 解:(1)连接AC ,设AC ∩EF =H , 由ABCD 是正方形,AE =AF =4,得H 是EF 的中点, 且EF ⊥AH ,EF ⊥CH ,从而有A′H ⊥EF ,CH ⊥EF , ∴ EF ⊥平面A′HC ,从而平面A′HC ⊥平面ABCD ,…过点A′作A′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ,则A′O ⊥平面ABCD .… ∵ 正方形ABCD 的边长为6,AE =AF =4, 得到:A′H =2√2,CH =4√2, ∴ cos∠A′HC =8+32−242×2√2×4√2=12, ∴ HO =A′H ⋅cos∠A′HC =√2,A′O =√6,∴ 五棱锥A′−BCDFE 的体积V =13×(62−12×4×4)×√6=28√63;…(2)线段A′C 上存在一点M ,使得BM // 平面A′EF ,A′M =√62.… 证明:∵ A′M =√62=14A′C ,HO =14HC ,∴ OM // A′H ,∴ OM // 平面A′EF ,… 又BD // EF ,∴ BD // 平面A′EF ,…∴ 平面MBD // 平面A′EF ,…由BM 在平面MBD 内,∴ BM // 平面A′EF .…19. 解:(1)由AN →=2AC →,得点N 在射线AC 上,AN =4, BN 2=1+16−2×1×4×cos120∘=21,即BN =√21; (2)设∠BAM =x ,则∠CAM =120∘−x ,∵ △ABC 的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和,∴ 12⋅AB ⋅AMsinx +12⋅AC ⋅AMsin(120∘−x)=12⋅AB ⋅AC ⋅sin120∘, 得:AM =√32(sinx+√3cosx),又∠MAN =30∘,AM →⋅AN →=3,∴ AM ⋅AN ⋅cos30∘=3,即AN =4sinx +2√3cosx ,∴ △ABN 的面积S =12(4sinx +2√3cosx)⋅sin(x +30∘)=√3sin 2x +√32cos 2x +52sinxcosx ,即S =54sin2x −√34cos2x +3√34=2√74sin(2x −φ)+3√34. (其中:sinφ=√32√7,cosφ=2√7(其中φ为锐角),∴ 当2x −φ=90∘时,△ABN 的面积最大,最大值是2√7+3√34. 20. 解:(1)因为离心率为√32,所以a =2b ,c =√3b , 所以椭圆方程可化为:x 24b2+y 2b 2=1,直线l 的方程为y =x +√3b ,…由方程组{x 24b 2+y 2b 2=1y =x +√3b ,得:x 2+4(x +√3b)2=4b 2, 即5x 2+8√3bx +8b 2=0,… 设C(x 1, y 1),D(x 2, y 2),则x 1+x 2=−8√35b ,… 又AC →⋅AD →−BC →⋅BD →=(x 1+a, y 1)•(x 2+a, y 2)−(x 1−a, y 1)•(x 2−a, y 2)=2a(x 1+x 2), ∴ 4b•(−8√35b)=−32√35,解得b =1,∴ 椭圆方程是x 24+y 2=1.…(2)由椭圆的对称性,可以设P 1(m, n),P 2(m, −n),点R 在x 轴上,设点R(t, 0),则圆R 的方程为:(x −t)2+y 2=(m −t)2+n 2,由内切圆定义知道,椭圆上的点到点R 距离的最小值是|P 1R|, 设点M(x, y)是椭圆C 上任意一点,则|MR|2=(x −t)2+y 2=34x 2−2tx +t 2+1,…当x =m 时,|MR|2最小,∴ m =−−2t32=4t 3,①…又圆R 过点F ,所以(−√3−t)2=(m −t)2+n 2,②… 点P 1在椭圆上,∴ n 2=1−m 24,③…由①②③解得:t =−√32或t =−√3,又t =−√3时,m =−4√33<−2,不合题意,综上:椭圆C 存在符合条件的内切圆,点R 的坐标是(−√32,0).… 21. 解:(1)b =0时,f(x)=sinx −ax ,则f′(x)=cosx −a ,当a ≥1时,f′(x)<0,所以函数f(x)在区间(0, π)上单调递减; 当a ≤−1时,f′(x)>0,所以函数f(x)在区间(0, π)上单调递增; 当−1<a <1时,存在θ∈(0, π),使得cosθ=a ,即f(θ)=0, ①x ∈(0, θ)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0, θ)上单调递增, ②x ∈(θ, π)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(θ, π)上单调递减. (2)a =2b 时,f(x)=sinx −a2x(2+cosx),猜测f(x)<0恒成立,证明:f(x)<0等价于sinx2+cosx <a2x,令g(x)=sinx2+cosx −a2x,则g(x)=2cosx+1(2+cosx)2−a2=−3(12+cosx−13)2−a2+13,当a2≥13,即a≥23时,g′(x)≤0,g(x)在区间(0, +∞)上单调递减,所以当x>0时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<0恒成立.。
2014年江西省赣州市高考数学二模试卷(文科)
2014年江西省赣州市高考数学二模试卷(文科)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)1.已知函数z=(i是虚数单位).则复数z对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M={y|y=2cosx}.N={x|≤0}.则集合M∩N=()A.{x|-2≤x≤-1}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|-1≤x<2}D.{x|-1<x≤2}3.若函数f(x)=cos2x-(x∈R),则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.已知等比数列{a n}的公比为2,且a1+a3=5,则a2+a4的值为()A.10B.15C.20D.255.下列命题中真命题是()A.相关系数r(|r|≤1),|r|值越小,变量之间的线性相关程度越高B.“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R.均有x2+x+1<0”C.命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为假命题D.“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件6.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=()A. B.2 C. D.47.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A. B. C. D.8.某商场举办新年购物抽奖活动.先将160名顾客随机编号为001,002,003,…,160.采用系统抽样的方法抽取幸运顾客.已知抽取的幸运顾客中最小的两个编号为007,023.那么抽取的幸运顾客中最大编号应该是()A.151B.150C.143D.1429.设椭圆>>的离心率为,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能10.如图,AB、CD分别是单位圈O的两条直径,MN是单位圈O上的一条动弦.且MN∥AB;当MN从C点出发,沿x轴正方向平行移动到D点的过程中,记的弧长为u.直线MN、直线AB与圈O所围成的平面区域的面积为S(u).则函数S(u)的大致图象是()A. B. C. D.二、解答题(本大题共11小题,共100.0分)11.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=>.则f(1)的值为______ .12.已知=2,=3,=4,…,若=6(a,t均为正实数).类比以上等式,可推测a,t的值,则t+a= ______ .13.执行如图的程序框图,如果输入的N的值是6,那么,那么输出的p的值是______ .14.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x,y).则点M落在区域Ω2的概率为______ .15.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°,过点AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N.则的最大值为______ .16.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,满足b(b-c)=a2-c2.且•≥0.(1)求A的值;(2)若a=,求b-c的取值范围.17.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100ml(不含80)之间,属于酒后贺车;在80mg/100ml(含80)以上时,属醉酒贺车,对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了250辆机动车,查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人,图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求:此次抽查的250人中,醉酒驾车的人数;(2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取2人,求恰有1人属于醉酒驾车的概率.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,并且满足a1=2,na n+1=S n+n(n+1).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)设T n为数列的前n项和,求T n.19.如图,在四棱维S-ABCD中,底面ABCD是正方形.SA⊥底面ABCD,SA=AD=1.点M是SD的中点.AN⊥SC,交SC于点N.(1)求证:SC⊥平面AMN;(2)求三棱维D-ACM的体积.20.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,且直线y=x+是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的左顶点A的l交y轴于Q.与椭圆交于R,过原点O且平行于l的射线交椭圆于S.求证:|AQ|,|OS|,|AR|成等比数列.21.已知函数f(x)=lnx-ax2+bx.(1)当b=a-1时,讨论f(x)的单调性;(2)当a=0时,若函数f(x)有两个不同的零点.求b的取值范围;(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)为函数f(x)的图象上的两点,记k为直线AB的斜率,x0=.求证f′(x0)<k.。
江西省南昌市2014届高三数学(文)交流卷(九)
江西省南昌市2014届高三数学(文)交流卷(九)一、选择题(本题共10个小题,每题5分,共50分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的)1若纯虚.数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+(其中是虚数单位,b 是实数),则b =( )A .2-B .2C .-4D .42.设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的( ) A .充分不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.如图是函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的图像的一部分,A ,B 是图像上的一个最高点和一个最低点,O 为坐标原点,则OA ·OB 的值为 A.12πB.19π2+1C.19π2-1 D.13π2-1 4.设各项为正的等比数列}{n a 的公比1≠q ,且653,,a a a 成等差数列,则6453a a a a ++的值为 A .215+ B.215- C.21 D.2 5.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A.163π B.193π C.1912π D.43π 6.已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数,且0)2(=f ,则不等式0)1()1(>--x f x 的解集为:A .}13|{-<<-x x B.}3111|{<<<<-x x x 或C .}3103|{<<<<-x x x 或 D.}213|{><<-x x x 或7.已知1tan()42πα+=,且02πα-<<,则22sin sin 2cos()4ααπα+=-( )A.8.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,其准线经过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点,点M 为这两条曲线的一个交点,且|MF |=2p ,则双曲线的离心率为( ). A.102 B .2 C. 5 D.529. 在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 成立,则( ).A .-1<a <1B .0<a <2C .-12<a <32D .-32<a <1210. 设函数f (x )=1x,g (x )=-x 2+bx .若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( )A.x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B.x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C.x 1+x 2<0,y 1+y 2>0D.x 1+x 2<0,y 1+y 2<0二、填空题(本题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知向量a =(2,1),b =(x ,y ). 若x ∈{-1,0,1,2},y ∈{-1,0,1},求向量a ∥b 的概率为 .12.如图,正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE相交于点G ,已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上; ②恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ;③三棱锥A ′-FED 的体积有最大值;④直线A ′E 与BD 不可能垂直.其中正确的命题的序号是________.13.运行如右图所示的程序框图,若输出的y 值的范围是[0, 10],则输入的x 的值的范围是 .14. 已知函数⎩⎨⎧≤+>+=0),3(20,2log )(2x x f x x x f ,则=-)5(f 15.已知数列{a n }中,a 1=1,且P (a n ,a n +1)(n ∈N *)在直线x -y +1=0上,若函数f (n )=1n +a 1+1n +a 2+1n +a 3+…+1n +a n (n ∈N *,且n ≥2),函数f (n )的最小值是________.四、解答题(本题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).16.(本题满分12分)已知(cos sin )m x x x ωωω=+,()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-,其中ω>0.设函数f (x )=m n ⋅,且函数f (x )的周期为π.(Ⅰ) 求ω的值;(Ⅱ)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且a ,b ,c 成等差数列,当f (B )=1时,判断△ABC 的形状.17.(本小题满分12分)有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体,从这些小正方体中随机地任取1个.(1)求小正方体各面没有涂色的概率.(2)求小正方体有2面或3面涂色的概率.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点,AA 1=AB=1.(1)求证:平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1;(2)求证:A 1C//平面AB 1D ;.19.(本小题满分12分)数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n =a n (S n -1).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)设b n =log 2S n S n +2,数列{b n }的前n 项和为T n ,求满足T n ≥6的最小正整数n .20.(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1的一个焦点为F 1(0, 3),M (x,4)(x >0)为椭圆C 上一点,△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在平行于OM 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.答案17.(本题满分12分)(1)60个1×1×1的小正方体中,没有涂上颜色的有6个,61(0)6010P ξ===; (2) )由(1)可知P =(2)P ξ=+(3)P ξ=2460=886015+=. 18.(本小题满分12分)解法一:证明:(1)因为B 1B ⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC ,所以AD ⊥B 1B (1分)因为D 为正△ABC 中BC 的中点,所以AD ⊥BD (2分)又B 1B ∩BC=B , 所以AD ⊥平面B 1BCC 1 (3分)又AD ⊂平面AB 1D ,故平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1 (4分)(2)连接A 1B ,交AB 1于E ,连DE (5分)因为点E 为矩形A 1ABB 1对角线的交点,所以E 为AB 1的中点 (6分)又D 为BC 的中点,所以DE 为△A 1BC 的中位线,所以DE//A 1C (7分)又DE ⊂平面AB 1D ,所以A 1C//平面AB 1D (8分)解法二:解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:111(((0,,0),(0,,1),221(0,,0),(0,0,0)(2)2A A B B C D --分 (1)证明:由13(,0,0),(0,1,0),(0,0,1)AD BC BB ===, 得110,,,0,AD BC AD BC AD BB AD BB ⎧⋅=⊥⎧⎪⎨⎨⊥⋅=⎩⎪⎩所以 又BC ∩⊥BB 1=B ,所以AD ⊥平面B 1BCC 1. (4分)又AD ⊂平面AB 1D ,所以平面AB 1D ⊥B 1BCC 1 (5分)(2)证明:连接A 1B ,交AB 1于E ,连DE ,因为点E 为正方形A 1ABB 1对角线的交点,所以E 为AB 1的中点,即11(,).42E - (6分) 11131131(,,),(,,1),4222,DE A C A C ED ==-=由得所以A C//ED.(7分)又DE ⊂平面AB 1D ,所以A 1C//平面AB 1D (8分)19. (1)证明:∵2n S =a n (S n -1),∴2n S =(S n -S n -1)(S n -1)(n ≥2).∴S n S n -1=S n -1-S n ,即1S n -1S n -1=1. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)解:由(1)知S n =1n ,∴b n =log 2n +2n. ∴T n =log 2(31×42×53×64×…×n +2n )=log 2(n +1)(n +2)2≥6.∴(n +1)(n +2)≥128.∵n ∈N *,∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10.20. 解:(1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3),所以b 2=a 2+9.则椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2a 2+9=1. 因为x >0,所以S △MOF 1=12×3×x =32,解得x =1. 故点M 的坐标为(1,4).因为M (1,4)在椭圆上,所以1a 2+16a 2+9=1,得a 4-8a 2-9=0,解得a 2=9或a 2=-1(不合题意,舍去), 则b 2=9+9=18,所以椭圆C 的方程为x 29+y 218=1. (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,其方程为y =4x +m (因为直线OM 的斜率k =4).由⎩⎪⎨⎪⎧y =4x +m ,x 29+y 218=1,消去y 化简得18x 2+8mx +m 2-18=0. 进而得到x 1+x 2=-8m 18,x 1x 2=m 2-1818. 因为直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,所以Δ=(8m )2-4×18×(m 2-18)>0,化简得m 2<162,解得-92<m <9 2.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点,所以·=0,所以x 1x 2+y 1y 2=0.又y 1y 2=(4x 1+m )(4x 2+m )=16x 1x 2+4m (x 1+x 2)+m 2,x 1x 2+y 1y 2=17x 1x 2+4m (x 1+x 2)+m 2=17(m 2-18)18-32m 218+m 2=0. 解得m =±102.由于±102∈(-92,92),所以符合题意的直线l 存在,且所求的直线l 的方程为y =4x +102或y =4x -102.21.【解析】(1)因为()22ln (0)a f x x a x x x =+->, 所以()()222222222()1x a x a a a x ax a f x x x x x+---'=--==. ①若0=a ,()x x f =,()x f 在()+∞,0上单调递增.②若0>a ,当()0,2x a ∈时,()0f x '<, ()x f 在()a 2,0上单调递减;当()2,x a ∈+∞时,()0f x '>,()x f 在()+∞,2a 上单调递增.③若0<a ,当()0,x a ∈-时,()0f x '<, ()x f 在()a -,0上单调递减;当(),x a ∈-+∞时,()0f x '>,()x f 在()+∞-,a 上单调递增.综上:①当0=a 时,()x f 在()+∞,0上单调递增.②当0>a 时,()x f 在()a 2,0上单调递减,()x f 在()+∞,2a 上单调递增. ③当0<a 时,()x f 在()a -,0上单调递减,()x f 在()+∞-,a 上单调递增.(2)当1a =时,()()0ln 2>-+=x x xx x f . 由(1)知,若1a =,当()0,2x ∈时,()0f x '<,()x f 单调递减,当()2,x ∈+∞时,()0f x '>,()x f 单调递增,所以()()2ln 32min -==f x f .因为对任意的12,[1,e]x x ∈,都有12()()f x g x ≥成立,问题等价于对于任意[]1,e x ∈,()()min f x g x ≥恒成立,即23ln 224ln 2x bx --+-≥对于任意[]1,e x ∈恒成立, 即12b x x+≥对于任意[]1,e x ∈恒成立, 因为函数x x y 1+=的导数21'10y x =-≥在[]1,e 上恒成立, 所以函数x x y 1+=在[]1,e 上单调递增,所以max 11e e x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以12e e b +≥,所以e 122eb +≥.。
江西省南昌二中2014届高三第二轮复习测数学试卷
江西省南昌二中2014届高三第二轮复习测数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位,a ∈R .若复数2i 2ia a +-为实数,则a =A .14B .1C .0 D.2±2.(理)下列函数中,在其定义域上不是奇函数的是 A.ln(y x =+ B .11()212xy x =+- C .123312331ln 1x x y x x ++=-+ D .ln(sec tan )y x x =+ (文)以下有关命题的说法错误..的是 A .命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”B .“c o s 2α=-”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件C .对于命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则则 D .若q p ∧为假命题,则p 、q 均为假命题3.(理)已知数列{}n a 的通项公式2(62)2014n a n n λ=-++,若6a 或7a 为数列{}n a 的最小项,则实数λ的取值范围A .(3 , 4)B . [ 2 , 5 ]C . [ 3 , 4 ]D . [59,22] (文)函数f (x )=sin x cos xx 的最小正周期和振幅分别是A .πB .πC .2π,1D .π,4.(理)32sin cos sin y x x x =+-的最大值 A .2827 B .3227 C .43 D .4027(文)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的概率为 A. .0.2 B .0.4 C .0.5 D .0.65.(理)7(354)x y z +- 展开式的项数为A .21B .28C .36D .45(文)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是A .15B .110 C .35 D .710 6.(理)由曲线28y x =与直线28y x =-围成的封闭图形的面积A .24B .36C .42D .48 (文)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4-)<f (1),则A .a >0,4a -b =0B .a <0,4a -b =0C .a >0,2a -b =0D .a <0,2a -b =07.如程序框图所示,已知集合A ={x|框图中输出的x 值},集合B ={y|框图中输出的y 值},全集U =Z ,Z 为整D数集.当x =-1时()U C A B =C .{-3,-1,7}D .{-3,-1,7,9}8.一个由三个正方体组成几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .9+B . 11C . 9.125D .10+9.(理)椭圆2211625x y +=上的点到圆22(6)1x y ++=上的点的距离的最大值A .11B .9CD .(文)如图,F 1、F 2是椭圆C 1:24x +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是A B C .32D .210如图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数()y S a =是图中阴影部分介于平行线y a =及x 轴之间的那一部分的面积,则函数()y S a =的图象大致为二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.) 11.(理)在ABC ∆中,C ∠为钝角,设B A P B A N B A M cos cos ,sin sin ),sin(+=+=+=,则P N M ,,的大小关系(文)曲线y=323++x x 在1=x 处的切线方程为 .12.(理)已知点)3,3(A , O 为坐标原点,点P (x ,y )的坐标x , y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-0,02303y y x y x 则向量OP 在向量A O方向上的投影的取值范围是(文)已知数列}{n a 的通项公式2014)26(2++-=n n a n λ,若6a 或7a 为数列}{n a 的最小项,则实数λ的取值范围 13. (理)若函数 ,3,2,1)),(()(),()(,1)(112===+=+k x f f x f x f x f xx x f k k 又记:,则=)1(2014f(文)设0≤α≤π,不等式x 2-(2sin α)x +α2cos 21≥0对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围为________.14.(理)若P ,Q 为21x y -=上在y 轴两侧的点,则过P,Q 的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值 (文)直线82+=x y 的任意点P ,圆x 2+y 2-2x -4y =0上的任意点为Q ,线段PQ 的长度最小值等于________.15.(理科)选做题:本大题共2小题,任选一题作答. 若做两题,则按所做的第(1)题给分,共5分. (1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为3214x t y t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数),若以直角坐标系xoy 的O 点为极点,ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程为222(cos sin )16ρθθ-=.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,则AB(2)(不等式选做题)若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解,则实数a 的取值范围是 .(文科)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________. .三、解答题(本大题共6小题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题12分)(理)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且222b ac a c bc ==-+.(1)求sin b Bc的值;(2)试判断△ABC 的形状,并说明理由. (文)已知数列{}n a 满足:11a =,14n n a a n ++=,n S 是数列{}n a 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列111n S +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n K ,证明:对于任意的n ∈N*,都有34n K <17(理)已知数列{}n a 满足:11=a ,n a a n n 41=++,n S 是数列{}n a 的前n 项和;数列{}n b 前n 项的积为n T ,且(1)2n n n T -=。
江西省2014届新课程高三第二次适应性测试数学(文)试题 扫描版含答案
文科数学试题(二)命题解析设计思路:主要考查平面向量数量积基本运算,容易题。
4.解:22log sinlog cos88ππ+=1sin 24223log (sincos )log 882πππ==-.答案:B.设计思路:主要考查三角函数与对数求值,中档题。
5. 解:∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac 。
又a 2-c 2=ac -bc ,∴b 2+c 2-a 2=bc 。
在△ABC 中,由余弦定理得:cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21,∴∠A =60°。
由正弦定理得sin B =aAb sin ,∵b 2=ac ,∠A =60°,∴21sin sin 60sin 60c ac b B b ===︒︒ 答案:C.设计思路:主要考查余弦定理,正弦定理及其应用,中档题。
6. 解:21(2)1(),.(2)2(1)f f x f x ''==--答案:B.设计思路:主要考查导数知识,容易题。
7. 解:设公差为d ,2242844443696245454(2)(4)4,33(2)18 2.29a a a a a d a d a d a a a a a d da a a a a d d=⋅⇒=-⋅+⇒=+++====+++答案:A.设计思路:主要考查等差数列与等比数列基本计算,中档题。
8.解:设xOB β∠=,则43sin ,cos 55ββ==-,则4134sin sin()sin()()3525210παπαβ+=-=-=⨯--⨯=,选D 。
答案:D.设计思路:主要考查三角函数概念和求值,中档题。
9.解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以2lo g (1)1(1)1n a n n -=+-⨯=即.12+=n n a 得10a =210+1. 答案:A.设计思路:主要考查数列与对数知识,考查综合应用知识能力,中高档题。
江西省南昌三中2014届高三上学期第二次月考数学(文)试卷
一、选择题(共有10个小题,每小题5分,共50分)1、复数z =1i i+在复平面上对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 3、下列命题中是真.命题的为( ) A .x R ∀∈,21x x <+ B .x R ∀∈,21x x ≥+C .x R ∃∈,y R ∀∈,22xy y =D .x R ∀∈,y R ∃∈,2x y > 4、函数y =的定义域为( ) A.( 34,1) B(34,∞) C (1,+∞) D. ( 34,1)∪(1,+∞)5、曲线311y x =+在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A. -9 B. -3 C.9 D.15 6、已知51sin()25πα+=,那么cos α= ( )A .25-B .15-C .15D .257、()212log 32y x x =-+的递增区间是( )A.(),1-∞ B.(2,+∞) C.(-∞,23) D.(23,+∞)8、若向量,,a b c 满足a ∥b 且a c ⊥,则()2c a b +=( )A .4B .3C .2D .0 9、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若48S =,820S = ,则11121314a a a a +++=( ) A .18 B .17 C .16D .1510、已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈,其中真命题是()A .14,p pB .13,p pC .23,p pD . 24,p p二、填空题(共有5个小题,每小题5分,共25分)11、已知集合{}27A x x =-≤≤,B={x|m+1<x<2m -1}且B ≠∅,若A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是 。
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绝密★启用前2014南昌市高三第二次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分. 考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数12i+在复平面内对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--,{}1,0,1,3M =-,{}2,0,2,3N =-,则(∁U M )N 为 A . {}1,1- B .{}2- C .{}2,2- D .{}2,0,2- 3.下列说法正确的是A .命题“存在x ∈R ,220130x x ++>”的否定是“任意x ∈R ,220130x x ++<” B .两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C .函数1()f x x=在其定义域上是减函数 D .给定命题p q 、,若“p 且q ”是真命题,则p ⌝是假命题4.已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π,为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象,只要将()x f y =的图象A .向左平移8π个单位长度 B .向右平移8π个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4π个单位长度5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球O的球面上, 球O 的表面积是A .2πB .4πC .8πD .16π6.方程22(20x y x +-=表示的曲线是2正(主)视图左(侧)视图俯视图A .一个圆和一条直线B .一个圆和一条射线C .一个圆D .一条直线 7.已知函数()y f x =是周期为2的周期函数,且当[1,1]x ∈-时,||()21x f x =-,则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是A .9B .10C .11D .12 8.已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),则下列不等式成立的是 A .2(2)(1)f f -<- B .2(1)(2)f f > C .4(2)(0)f f -> D .2(0)(1)f f >9.如图:正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,,E F 分别是棱11,A B CD 的中点,点M 是EF 的动点,FM x =,过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体积为()V x ,则函数()V x 的大致图像是10.过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->,作圆2224a x y +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若2OP OE OF =-,则双曲线的离心率为 AB.5C .2D绝密★启用前AB CD12014届南昌市高三第一次模拟考试文科数学 第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.若不等式2222x x a ++>-对于一切实数x 均成立,则实数a 的取值范围是______. 12.已知角α(0)πα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是13,则c o s ()2πα+的值是___.13.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是__________.143333235,37911,413151719,52123252729,=+=++=+++=++++,若类似上面各式方法将3m 分拆得到的等式右边最后一个数是109,则正整数m等于____.15.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =,则对函数()y f x =有下列判断:①函数()y f x =是偶函数;②对任意的x ∈R ,都有(2)(2)f x f x +=-;③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减;④函数()y f x =在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是 .三、解答题:本大题共6个题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)某公司生产产品A ,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果统计如下: 们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率.(1)计算甲生产一件产品A ,给工厂带来盈利不小于30元的概率;(2)若甲一天能生产20件产品A ,乙一天能生产15件产品A ,估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数. 17.(本小题满分12分)已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且445566,,a S a S a S +++成等差数列.(1)求等比数列{}n a 的通项公式;(2)对n +∈N ,在n a 与1n a +之间插入3n 个数,使这32n+个数成等差数列,记插入的这3n 个数的和为n b ,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD 的边长为6,点,E F 分别在边,AB AD 上,4AE AF ==,现将△AEF 沿线段EF 折起到△'A EF 位置,使得'A C = (1)求五棱锥'A BCDFE -的体积;(2)在线段'A C 上是否存在一点M ,使得//BM 平面'A EF ?若存在,求'A M ;若不存在,说明理由. 19.(本小题满分12分)如图已知ABC △中,1,2,120AB AC BAC ==∠=︒,点M 是边BC 上的动点,动点N满足30MAN ∠=︒(点,,A M N 按逆时针方向排列). (1)若2AN AC =,求BN 的长;(2)若3AM AN ⋅=,求△ABN 面积的最大值. 20.(本小题满分13分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A B ,过点F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆于,C D 两点,椭圆CAC AD BC BD ⋅-⋅=.(1)求椭圆C 的方程;(2)若12,P P 是椭圆上不同两点,12,P P x ⊥轴,圆R 过点12,P P ,且椭圆上任意一点都不在圆R 内,则称圆R 为该椭圆的内切圆.问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆?若存在,求出点R 的坐标;若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数()sin cos f x x ax bx x =--(,)a b ∈∈R R . (1)若0b =,讨论函数()f x 在区间(0,)π上的单调性; (2)若2a b =且23a ≥,对任意的0x >,试比较()f x 与0的大小.2014届南昌市高三二模考试文科数学参考答案ABCD F A 'ABCN二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11. (1,3) 12.313.32- 14. 10 15.①②④三、解答题:本大题共6个题,共75分.16.解:(1)甲生产一件产品A ,给工厂带来盈利不小于30元的概率为:11911010P =-=……………………………………………………………………………6分 (2)估计甲一天生产的20件产品A 中有120210⨯=件三等品,………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有215310⨯=件三等品,……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分17.解:(1)因为445566,,a S a S a S +++成等差数列,所以55446655a S a S a S a S +--=+--,………………………………………………2分 即654230a a a -+=,所以22310q q -+=,因为1q ≠,所以12q =,……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =;………………………………………………6分 (2)1333()242n nn n n a a b ++=⋅=,………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--.………………………………………………………12分18.解(1)连接AC ,设AC EF H ⋂=, 由ABCD 是正方形,4AE AF ==,得H 是EF 的中点,且,EF AH EF CH ⊥⊥,从而有',A H EF CH EF ⊥⊥, 所以EF ⊥平面'A HC ,从而平面'A HC ⊥平面ABCD ,…………………………… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ,则'A O ⊥平面ABCD ………………3分因为正方形ABCD 的边长为6,4AE AF ==,得到:'A H CH == 所以1cos '2A HC ∠==,所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =⨯-⨯⨯=………………6分(2)线段'A C 上存在点M ,使得'//A M 平面'A EF ,'A M =……………7分证明:'A M =1'4A C =,14HO HC =, 所以//'OM A H ,所以//OM 平面'A EF ,……………………………………………9分又//BD EF ,所以//BD 平面'A EF ,…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF , …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内,所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分 19.解:(1)由2AN AC =,得点N 在射线AC 上, 4AN =,2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=,即BN =……………………………5分 (2)设BA M x ∠=,则120CAM x ∠=︒-,因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和,所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒,得:AM =,………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+,所以△ABN 的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=-………………………10分(其中:sinφφφ==为锐角),所以当290x φ-=︒时,△ABN .………………12分20.解:(1,所以2,a b c ==, 所以椭圆方程可化为:222214x y b b+=,直线l的方程为y x =,………………2分由方程组222214x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得:2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分设1122(,),(,)C x y D x y,则12x x +=,………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+,所以4()b ⋅=,所以1b =,椭圆方程是2214x y +=;………………7分 (2)由椭圆的对称性,可以设12(,),(,)P m n P m n -,点R 在x 轴上,设点(,0)R t , 则圆R 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+,由内切圆定义知道,椭圆上的点到点R 距离的最小值是1||PR , 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点,则222223||()214MR x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时,2||MR 最小,所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆R 过点F,所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上,所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得:2t =-或t =,又t =时,2m =<-,不合, 综上:椭圆C 存在符合条件的内切圆,点R的坐标是(2-.……………………13分 21.解:(1)0b =时,()sin f x x ax =-,则'()cos f x x a =-,…………………2分 当1a ≥时,'()0f x <,所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减;…………………3分 当1a ≤-时,'()0f x >,所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增;……………… 4分 当11a -<<时,存在(0,)φπ∈,使得cos a φ=,即()0f φ=,(0,)x φ∈时,'()0f x >,函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增, ……………………5分 (,)x φπ∈时,'()0f x <,函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减 ……………………6分(2)2a b =时,()sin (2cos )2af x x x x =-+,猜测()0f x <恒成立,……………7分证明:()0f x <等价于sin 2cos 2x ax x <+,记sin ()2cos 2x ag x x x =-+,则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++,……………………………10分当123a ≥,即23a ≥时,'()0g x ≤,()g x 在区间(0,)+∞上单调递减,……………12分 所以当0x >时,()(0)0g x g <=,即()0f x <恒成立;……………………………14分。