相似三角形的综合应用
相似三角形的性质在教育教学中的应用
相似三角形的性质在教育教学中的应用相似三角形是数学中的基础概念之一，具有广泛的应用价值。
在教育教学中，相似三角形的性质不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文将以几个具体案例，探讨相似三角形的性质在教育教学中的实际应用。
1. 求解高难度几何问题相似三角形的性质使得我们能够解决一些高难度的几何问题。
例如，给定一个复杂的几何图形，我们需要求解其中一些未知的边长或角度，这时我们可以利用相似三角形的性质进行推断和计算。
通过观察和比较各个三角形的边长比例或角度比例，我们可以利用相似三角形的比例关系得出所需的答案。
通过这种方法，我们能够辅助学生解决一些复杂的几何难题，提高他们的问题解决能力和思维灵活性。
2. 计算高度和距离在实际生活中，我们经常需要计算高度和距离，例如估算一座高楼的高度、测量不可达之处的距离等。
相似三角形的性质可以帮助我们快速并准确地计算这些值。
以估算高楼的高度为例，我们可以利用相似三角形的性质，在合适的位置测量楼影的长度和角度，然后通过相似三角形的比例关系，计算出楼的高度。
这种方法不仅简单高效，而且准确度也比较高，为我们提供了一种实用的计算手段。
3. 测量不可达之处的高度相似三角形的性质还可以应用在测量不可达之处的高度上。
例如，我们常常遇到需要测量河流宽度的情况，但由于河流宽度过大或者无法直接测量，我们无法使用传统的测量工具。
此时，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。
我们可以选择在河岸上找到一个能够直接测量的高度，再找到一个与之成相似三角形的目标物体，通过相似三角形的比例关系计算出目标物体的高度，从而间接得到河流的宽度。
这种方法充分利用了相似三角形的性质，解决了实际测量中的困难。
4. 做图形缩放和设计相似三角形的性质在图形缩放和设计中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要根据实际建筑比例进行设计，但我们又无法在纸上或电脑屏幕上直接按实际比例绘图。
相似三角形的性质和实际应用
相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的综合应用-学生版
知识精要1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论3、相似三角形的判定及性质(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、三角形相似的基本模型：(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；常见条件：①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ⋅=⋅，④ADE B ∠=∠(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型：已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形.EA BCDDCB A已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.常见条件：① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)常见条件：①，2AC AD AB =⋅③2BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅FEBCD(7)双高型推广：左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程)常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=22:m nODCBA例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
专题03相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】【题型5 利用相似三角形测量距离】【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2B．16C．9D．7.5 2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E 到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF ＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM为m．【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD ⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】13．（2023•费县二模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD 的高是m．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG ＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C 在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF ＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB ⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5 利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC ⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB ＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m 23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质线杆，且电线、线及河两边都是平行的．O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC 都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．25．（2022秋•济南期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．（2023•西吉县一模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．27．（2023•莲湖区模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度（EP），在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆AB，已知河岸高出水面0.6m，即DE＝0.6m．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树MP，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若AB，DE，MP均垂直于河面EP，则河宽EP 是多少米？。
相似三角形的应用举例
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。
本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。
相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。
例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。
2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。
例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。
3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。
例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。
2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。
例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。
3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。
通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。
4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。
这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。
总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。
准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。
例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。
此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。
2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。
例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。
此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。
3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。
例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。
此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。
4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。
例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。
另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。
总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。
通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在数学和几何学中，相似三角形具有广泛的应用，本文将探讨相似三角形在实际问题中的应用和意义。
一、地理测量地理测量是相似三角形应用的典型领域。
在实际测量过程中，我们经常会遇到难以直接测量的地理距离或高度。
通过使用相似三角形的原理，我们可以利用已知的尺寸测量未知的尺寸。
举例来说，当我们想要测量一座高山的高度时，可以在水平地面上测量该高山的基座与观测点的距离，并同时测量观测点与该高山的顶点的夹角。
然后，我们可以构造一个与已知角度相等且具有比例关系的三角形，如此，我们就可以通过比例计算出高山的真实高度。
二、建筑设计相似三角形在建筑设计中也扮演着重要的角色。
当建筑师设计建筑物的平面图时，通常需要考虑到各种限制条件，如建筑物所在地的面积、材料的成本和现有建筑的布局。
相似三角形的应用可以帮助建筑师在平面图中精确计算出各个部分的尺寸。
举例来说，当建筑师需要设计一个大厦的外墙高度时，可以先测量周围已有建筑物的高度，然后利用相似三角形的原理创建一个比例，从而计算出大厦外墙的高度。
三、影视制作在影视制作领域，相似三角形的应用同样不可或缺。
特效动画、绿幕合成和特殊镜头的制作都需要准确的测量和计算。
相似三角形可以帮助摄影师和特效团队准确地计算出场景中各个元素的尺寸和位置关系。
举例来说，当制作一个动画场景时，摄影师可以首先测量实际场景中各个元素的尺寸和位置，然后通过相似三角形的原理将这些尺寸和位置比例应用到动画场景中，从而创造出逼真且准确的效果。
四、遥感技术遥感技术利用卫星或飞机上的传感器来获取地球表面的信息，然后通过相似三角形的应用来测量地球表面的高度、距离和坐标。
相似三角形在遥感图像处理中扮演着重要的角色，可以帮助科学家和地理学家研究地球表面的变化和特征。
举例来说，当科学家想要测量一片森林的总面积时，可以先使用遥感图像获取该森林的部分面积，并且可以测量出图像上的距离。
相似三角形在现实生活中的应用
应用比例解题
边长比例+对应角相等
1.使用相似三角形解决实际问题，需要掌握边长比例和对应角相等的概念，并且需要注意确定哪些角度以及哪些边是对应的。
2.当两个三角形相似时，我们可以利用边长比例+对应角相等，通过知道一个确定的边长或角度，来求出其他未知的边长或角度。这种方法常用于建筑工程计算、地图比例尺计算等实际生活中的问题解决。
直角三角形与比例
直角三角形的一条直角边上的中线等于斜边的一半，这可以用于构建相似三角形。
在相似三角形中，两个三角形的对应边的比例相等，可以利用这个性质求解一些实际问题。例如，可以用直角三角形的勾股定理和相似三角形的比例关系求出高度、边长等参数。
相似三角形可以用于估计远处物体的高度、距离等，例如在测量电线塔高度、建筑物高度等方面有广泛应用。
2023/6/1
目录
CONTENTS
相似三角形面积比例为边比例平方
根据公式，可以在实际应用中解决许多与比例相关的问题，例如测量高楼建筑物的高度或深度、估算远离我们的大型物体的大小或形状，以及计算三角形的面积等。此外，通过掌握相似三角形的解题技巧，我们还可以更好地理解几何学中的概念，提高我们的数学素养和应用能力。
1. 通过对应角相等，可以推导出平行线之间的性质。当两条平行线被一条横线所切分时，所形成的对应角相等的三角形也是相似的。这可以帮助我们推导出平行线的基本性质，如平行线上的相邻角互补，平行线之间的距离相等等。
2. 对应角相等还可以用于解决三角形的问题。当两个三角形中对应角相等时，这两个三角形是相似的。利用相似三角形的性质，我们可以解决一些涉及到三角形的问题，如求解三角形的面积、周长等。同时，相似三角形的性质也可以帮助我们推导出勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数公式。
(详细版)相似三角形的性质和应用
(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。
2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。
这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。
- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。
通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。
- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。
3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。
为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。
测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。
根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。
通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。
以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。
(Word count: 229 words)。
相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用相似三角形可是数学世界里特别有趣的一部分呢！今天咱们就来好好聊聊相似三角形的性质以及它在实际生活中的那些神奇应用。
先来说说相似三角形的性质吧。
相似三角形的对应角相等，这就好比两个长得有点像的三角形，它们对应的角就像是同一个模子里刻出来的，度数完全一样。
还有啊，相似三角形的对应边成比例。
这啥意思呢？就比如说有两个相似三角形，一个大一个小，大三角形的边和小三角形对应的边，它们的长度之比是固定的，就像双胞胎的身高比例一样稳定。
那相似三角形在生活中有啥用呢？我给您讲个事儿。
有一次我去逛街，看到路边有个工人师傅在测量一个很高的大楼的高度。
他手里拿着个测量工具，一会儿看看大楼，一会儿在本子上写写画画的。
我好奇地凑过去问：“师傅，您这是咋量的呀？”师傅笑着说：“这大楼太高了，直接量可不行。
我就利用相似三角形的原理呢！”他在大楼旁边立了一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大楼的影子长度。
因为杆子和大楼以及它们的影子分别构成了相似三角形，通过已知的杆子长度和影子长度，还有测量出来的大楼影子长度，就能算出大楼的高度啦！当时我就觉得，这相似三角形可真是太神奇了，能解决这么实际的问题。
咱们再回到相似三角形的性质哈。
相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
这两个性质在解决很多数学问题的时候可管用了。
比如说，给您两个相似三角形，告诉您它们的相似比是 2:3，其中一个三角形的周长是 10，那另一个三角形的周长不就能轻松算出来是 15 嘛。
要是再告诉您其中一个三角形的面积是 8，那另一个三角形的面积就是 18 啦。
相似三角形在建筑设计里也大有用处。
建筑师在设计大楼的时候，经常要考虑比例和尺寸的问题。
他们会利用相似三角形来确保大楼的各个部分比例协调，美观又稳固。
想象一下，如果没有相似三角形的知识帮忙，说不定盖出来的大楼就会歪歪斜斜，那可就糟糕啦！在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在生活中可真是个神奇的存在！你可能会想，三角形跟我们的日常生活有什么关系呢？别小看这个简单的图形，它可是藏着不少宝贝呢。
想象一下，在你逛街的时候，看见了一个超酷的建筑，像个巨大的三角形，这时候，你有没有想过，那些建筑师是怎么设计出这么完美的形状的？没错，相似三角形就是他们的秘密武器之一。
说到相似三角形，大家应该都知道，简单来说就是形状相同但大小不同的三角形。
这玩意儿可不是随便说说的，咱们可以在生活中找到它的身影。
比如，你在爬山的时候，看到远处的山，像极了你家旁边的小山丘，但那座远山比你家那座高多了。
这时候你就可以利用相似三角形来估算一下那座山的高度。
是不是觉得很神奇？只要在你身边找一个合适的地方量一下距离，算出角度，然后就能得出那座山的高度，简直就像魔法一样。
比如说，你要给家里挂画，结果发现画和墙的比例不太对，感觉有点小了。
你可以利用相似三角形的方法，把画的尺寸和墙的尺寸对比一下，找出一个合适的比例。
这样一来，挂上去的时候就显得特别协调，简直是美的享受。
要是你画的角度不对，挂上去可能就会让人觉得怪怪的，这样就失去了那种艺术的氛围了。
再来谈谈旅游的时候，很多人喜欢拍风景照，尤其是那些高山、瀑布之类的地方。
你可能会发现，远处的瀑布看起来小得可怜，像是画中的一抹白色。
这时候，你就可以用相似三角形的原理，来估算一下这个瀑布的实际高度。
通过对比你和瀑布的角度和位置，算一算，心里就有数了。
还可以和朋友们一起分享这些小技巧，大家都觉得你很厉害，心里那叫一个美啊！再说说学校的科学实验，老师经常让同学们用相似三角形来测量一些看似不可能测量的东西。
比如，学校的旗杆高得很，直接量不着。
可是，利用相似三角形，你可以在离旗杆一定距离的地方，用一个小三角形的测量器，算出旗杆的高度。
老师说得那么简单，结果你一做，发现其实挺有趣的，仿佛变成了小侦探，解开了一个个谜团，心里那个得意，真是忍不住想笑。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
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相似三角形的综合应用（相似三角形的模型分析） ◆ 教学目标
知识技能目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，运用相似三角形的性质定理解决相似中的模 型问题，如“金字塔型”、“沙漏型”、“母子型”.
2、通过推理掌握证明比例式、等积式、求线段长及求面积的方法. 过程与方法目标：通过学生体验，小组讨论，使知识口诀花，模型化.
情感态度与价值观目标：体验框架式教学，增强模型意识，增强学习数学的信心、兴趣. ◆ 重点：通过模型的学习，掌握相似中的证明，定理性质推论.
◆ 难点：性质定理及推论的选择、运用，理清知识间的相互联系.
◆ 知识储备：
（一）相似三角形的常见模型：
1、“金字塔”模型
2、“沙漏”模型
3、“母子”模型
2、相似三角形的判定定理和性质：
判定：①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似.
④平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似. 性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应边上高的比、对应边上中线的比、对应角平分线的比，周长的比都等 于相似比.
③相似三角形的面积比等于相似比的平方.
◆ 教学过程
第一环节 自主做学,知识链接
例1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，则：
⑴_______==CD
AE DF EF ； (2)△AEF 的周长：△CDF 的周长= ； (3)若5AEF =△S ，则_______CD F =△S .
(4)过点F 作CD FG ⊥于点G ，交AB 于点H ，则
______=FG FH . 第二环节 合作探究
相似三角形的模型运用：（一）“金字塔”模型
例2、如图在△ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，分别过点B 、C 作
AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线与点F 、E ，求证：CE
BF AD 111+= .
口诀：平行线，比例现；中间比，关系连.
变式演练：在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，
过点O 作MN//AD 分别交AB 、CD 于点M 、N,求证：OM=ON.
（二）“沙漏”模型
例3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，
CD DE 21=. (1)求证：AF=2FD ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.
口诀：要求线段长，比例关系帮；模型在其中，面积自然来
变式演练：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE//AC,若 3:1S CD E BD E =△△：S ，则AOC DOE S △△：S 的值为（ ） 3
1.A 41.
B 91.
C 161.D
(三)“母子”模型
例4、如图，在△ABC 中，AB CD ,90⊥︒=∠BCA 于点D.
(1)若AC=5，CD=4，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.
(2)若AC=6，CD=8，求AD ，BD ，AB ，BC 的长.
口诀：双垂直母子型，射影定理要记清；知两段求四段，还有方法帮你算. 变式演练：如图，矩形ABCD 中，AD=a ，DC=b ，在AB 上找一点E ，使E 点
与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE=x ，问：这样的E 点是否存在？若存在，这样的点E 有几个？请说明理由.
第三环节 课堂小结
一般归纳：模型→思路→方法→答案→...... “记忆通向理解形成直觉”
1、运用相似三角形的性质和判定解决相似中的模型问题.
2、通过推理掌握证明比例式，等积式，以及求线段长、求角的方法.
3、使知识模型化，口诀化，深度化，体验框架教学.。