等差数列专题复习

等差数列

知识梳理

1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：

*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2

n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

8.等差数列的性质：

（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ）

图示：

m

m

m m

m m

S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++

（4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n

n

A f n

B =， 则

21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值

法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n += 法二：①“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+00

1

n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

②“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

或求{}n a 中正负分界项

（7）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则： 1.当项数为偶数n 2时，=-奇偶S S d n ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{}n a 中，若共有奇数项12+n 项，则

121111(1)(21)1n n n n n S n a S S S n a S n S na S S a S n +++++⎧=+⎧=+=++⎪⎪

⇒⇒=⎨⎨

=-=⎪⎪⎩⎩

奇奇偶奇偶奇偶偶 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等差数列练习题

一、选择题 1.已知

为等差数列，

135246105,99

a a a a a a ++=++=，则

20

a 等于（ ）

A. -1

B. 1

C. 3

D.7

2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于

A ．1

B 5

3

C.- 2 D 3

4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1

2

D.2

5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( ) A.12 B.13 C.14 D.15

6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ） A ．18 B 27 C 36 D 9