4.2 正态随机变量的线性组合

f X ( z y ) fY ( y )dy, f X ( x ) fY ( z x )d x .



Probability and Statistics
4.2 正态随机变量的线性组合 引理 设Y1～N(0,σ2),Y2～N(0,1),且Y1,Y2相互独 立,则 Y1 Y2 N (0， 2 1).
Байду номын сангаас
Probability and Statistics
例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计）X～N(41.5 ,0.42) 活塞的直径（以cm计）Y～N(40.5 ,0.32),设X与Y相互独 立，若活塞不能装入汽缸则需要返工，求需返工的概率. 解：按题意，当活塞不能装入汽缸时要返工，故所 求概率为 P{ X Y } P{ X Y 0} 由上述定理知X-Y服从正态分布，且
) 0.995 (2.567),
Probability and Statistics
例2 设X1, X2, …,X9相互独立，且都服从正态分布N(2 ,4)； Y1, Y2, Y3,Y4相互独立，且都服从正态分布N(1 ,1),又设
X与Y 相互独立，求 P{ X Y }.
解：由上述推论可知
(2) 1 (2) 0.0228
Probability and Statistics
• 例2 一电路由3只独立工作的电阻串联而成, 2 (1)已知电阻器的电阻(以欧计) Y ~ N (6,0.3 ), 求电路的总电阻W超过19的概率; (2)设电阻器的电阻 Y ~ N (6, 2 ), 若求电 路的总电阻W 超过19的概率小于0.005, 问要控制 至多是多少？
且Y1,Y2,Y3相互独立 ,所以 P{Y1 Y 按题意,需求 使得 2 Y3 19} .
P{
3 Y i 1 i
18

1 (
1
1



19 18

} .
) ., (
1

.,
3 2 .
Probability and Statistics
电路由3只独立工作的电阻串联而成 （1）求电路的总电阻W 超过19的概率; 解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3, 2 Y ~ N (6,0.3 ), i 1, 2, 3, 则有 i 且Y1,Y2,Y3相互独立,所以 Y1 Y2 Y3 ~ N (3 6, 3 0.32 ),
定理1 设Y1 ~ N ( 1 , 12 ), Y2 ~ N ( 2 , 22 ), 且Y1 ,Y2相互
2 独立，则有Y1 Y2 ~ N ( 1 2 , 12 2 ).
Probability and Statistics
定理 设X1, X2, …,Xn相互独立，且Xi～N(μi ,σi2)， i=1,2, …,n,则对于不全为零的常数 C1, C2, …,Cn，有
U C1 X 1 C 2 X 2 N (C1 1 C 2 2 Cn X n
2 2 C n n , C12 12 C 2 2 2 2 Cn n)
两个或多个相互独立的正态随机变量的线性组 合仍是正态变量.
推论 设X1, X2, …,Xn相互独立，且服从同一分布N(μ ,σ2)， 1 n X X i 是X1, X2, …,Xn的算术平均，则 n i 1 X N (0,1)或 X N ( , 2 / n) / n
Probability and Statistics
4.2 正态随机变量的线性组合 引理 设Y1～N(0,σ2),Y2～N(0,1),且Y1,Y2相互独 立,则 Y1 Y2 N (0， 2 1). 提示：利用卷积公式
f X Y ( z ) 或 f X Y ( z )

电路由3只独立工作的电阻串联而成, 2 Y ~ N ( 6 , ), 若求电路的总电阻W (2)设电阻器的电阻 超过19的概率小于0.005,问 要控制至多是多？ 解：(2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则 有 Yi ~ N (6, 2 ), i 1, 2, 3,
Y1 Y2 Y3 ~ N (, 3 2 ),
1 9 X Xi 9 i 1
由X与Y 相互独立，得
X-Y
4 4 1 N (2, ), Y Yi 9 4 i 1
1 N (1, ), 4
4 1 25 N (2 1, ), 即 X - Y N (1, ) 9 4 36 故P{X Y } P{X Y 0} 01 X Y 1 01 P{ } 1 25 / 36 25 / 36 25 / 36
1.2 0.8849
Probability and Statistics
作业
Ｐ112.
9
即 Y1 Y2 Y3 ~ N (18,0.27), 故所求概率为 3
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
1 0.27
i 1
Yi 18
0.27

19 18 0.27
}
1 (
) 1 (1.92) 1 0.9276 0.0274
Probability and Statistics
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 1 D( X Y ) D( X ) (1)2 D(Y ) 0.25
故X Y
N (1,0.25). X Y 1 01 1 P{ X Y 0} P{ } ( ) 0.25 0.25 0.25